Download Đề thi HSG Toán 12 bảng B

[r]

ONTHIONLINE.NET

đề thi học sinh giỏi kớp 12 mơn thi : tốn (Bảng B) Thời gian: 180 phút. Câu1:

Cho hàm số

 

1

1 2

2



    

x

m x m x

y

1.Khảo sát hàm số m =1

2.Tìm m để hàm số có cực trị khoảng cách CĐ CT nhỏ Câu2:

1.Tính tích phân :   dx e x

x x

 

1

2

1

2.Cho hàm số :   

 



0 cos2

x x e

y

x

khi khi

0

  x x Tính đạo hàm hàm số x0=0

Câu3:

1.Giải bất phương trình: x 1 x2 x

2.Giải phương trình : log2006xlog2006xx logxlogx2006 x

Câu4:

1.Giải phương trình : cos2x cos6x4sin3x40

2.Xét tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức C

g B

g A

g

F 5cot 16cot 27cot

 

 .

Câu5:

1Cho Parabol (P) có phương trình : y2 4xvà gọi F tiêu điểm Parabol.

CMR đường thẳng qua F cắt (P) hai điểm A , B tiếp tuyến (P) A , B vng góc với

2.Cho tam giác ABC cân A Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp D trung điểm cạnh AB E trọng tâm tam giác ACD

đáp án đề thi học sinh giỏi kớp 12 mơn thi : tố

Thời gian: 180 phút.

Câu1:

1.Khi m= ta có hàm số:

3

2

   

x x x y

1

   

x x

(1) 0.25Đ *.TXĐ: D= R\ 1 0.25 Đ

*.Sự Biến Thiên:

a.Chiều biến thiên:

 2

/

1 1

  

x y

; 0

/

  

 x x

y

Bảng xét dáu y/:

x -∞ +∞

y/

+ - - + Hàm số đồng biến khoảng (-∞; 0)  (2; +∞)

Hàm số nghịch biến khoảng (0 ; 1)  (1 ; 2) 0.25Đ

b.Cực trị:

Hàm số đạt cực đại x= yCĐ=-3

Hàm số đạt cực tiểu x=2 yCT=1 0.25Đ c.Giới hạn:

  x

lim

  

 

1 3

2

x x x

x 

lim

  

 

1 3

2

x x x



1

lim

x

  

 

1 3

2

x x x

1

lim

x

  

 

1 3

2

x x x

  x

lim

 2

1 3

2

      

    

x x

x x

x 

lim

 2

1 3

2

      

    

x x

x x

Đường thẳng y = x-2 tiệm cận xiên 0.25Đ

d.Bảng Biến Thiên: 0.25Đ

x -∞ +∞ y/ + - - +

y

-3 +∞ +∞

-∞ -∞

2.Ta có :  2 / 3      x m x x y =   x 12

x g

0.25Đ Hàm số có cực trị  phương trình y/=0 có hai nghiệm phân biệt

 0

 g x có hai nghiệm phân biệt ≠1

 

4 4 3 /                                  m m m m m g

(1) 0.5Đ Ta lại có :

  v u x m x m x y        1 2 2 / / / v v u uv

y  

Khi y/=0 /

/

   

 x m

v u v u

0.25Đ Giả sử hàm số có CĐ CT A(x1 ; y1) B(x2 ; y2)

Vì y/(x1)=0 nên y1=2x1-5m+2 Vì y/(x2)=0 nên y2=2x2-5m+2

Suy A(x1 ; 2x1-5m+2) B(x2 ; 2x2-5m+2) 0.25Đ Khi AB2=5(x1-x2)2 = 5(x1+x2)2-20x1x2 (2) 0.25Đ Do x1 x2 nghiệm phương trình g(x) = nên áp dụng định lý vi-ét ta có

       3 2 m x x x x (3)

Thay (3) vào (2) ta AB2= 80-60m 0.25Đ Theo giả thiết AB<2  AB2 20 80 60m20 m1 (4)

Kết hợp (1) (4) ta đáp số cần tìm là: 1<m<4/3 0.25Đ

Câu2: 1.Đặt I =

 

   

    x  dx

e dx x e dx e dx x e x e e dx e x x x dx e x

x x x

x x x x x x                               1 1 2 2 2 2 2 1 0,5 Đ Xét tích phân

Đặt                     x x e v dx x du dx e dv x u 1 1 0.5Đ

Thế  

dx x e x e dx x

ex x x

      1 1 1 0.25Đ

Khi       

         1 1 0 1 2 2 x e dx e dx x e dx x e dx x e dx e

I x x x x x x

0.5Đ 1 2 1             

 e e

x e

ex x

0.25Đ 2.Đặt          cos2 x x e x f x khi khi 0   x x   o x f   lim /     0   x f x f = lim  x 2

3 2cos 1

x x e x  lim   x     2

3 1cos 1 cos

x x x e x    1.0Đ lim   x x cos lim   x 3 x e x  lim   x 2 sin x x 0.5Đ 1

3   

 0.5Đ

Câu3: 1.ĐK: 

       x x x 0.25Đ Nhân hai vế BPT với 2 x1 x20 ta BPT cho

 1  2  22 2 3 2  22 2

4               

 x x x x x x x x x (1) 0.5Đ

Nếu 1≤ x < (1)  32 x 1 x2

Bình phương hai vế ta : 11 5x4 x1x2

2 7 17 14        

 x x x

Nghiệm trường hợp 7 x2 0.5Đ

Nếu x=2 (1) có dạng 0>0 x=2 khơng nghiệm 0.25Đ

Nếu x>2 (1)    

                 17 14 11 11 2 2 x x x x x x x x             



2 ; 11 x x x x

Trong trường hợp BPT vô nghiệm 0.25Đ Vậy nghiêm BPT cho 7 2 x2 0.25Đ

2.ĐK:               2006 0 2006 log x x x x 0.25Đ                   

 2005

2006 2005 0 2006 x x x x x

(*) 0.25Đ Đặt log2006xlog2006x xlogxlogx2006 xt 0.25Đ

 

    2006  

1 2006 2006 log 2006 log2006             

  t

t t t

x

t

x x x

x x x x x x          2006 x x t 0.5Đ Nếu t=0 logx2006 x1 x1003 thoã mãn ĐK (*) 0.25Đ

Nếu 2006 xx1 x2  2006x10

Nhận xét : phương trình có nghiệm x1, x2

           2

1 1 2005

1 2006 x x x x x x không thoả mãn ĐK (*) 0.25Đ Vậy phương trình cho có nghiệm x=1003 0.25Đ

Câu4:

1.cos2x cos6x4sin3x40 cos2x 1 2sin23x4sin3x40

sin 2sin3 1 2cos sin3 1

2

cos 2

        

) , (

3 sin

0 cos

Z l k l x

k x

x x

 

     

    

  

  

 

 

 

 

0.5Đ 

 m

x

2 

 

với m Z 0.5Đ

2.Ta có F 5cotg2A16cotg2B27cotg2C

3cotg2A12cotg2B  4cotg2B9cotg2C  18cotg2C2cotg2A 0.5Đ áp dụng BĐT cơsi ta có

gB gA B

g A

g 12cot 12cot cot cot

3 2



 (1)

gC gB

C g B

g 9cot 12cot cot cot

4 2



 (2) 

  

0.75Đ 18cotg2C2cotg2A12cotgC.cotgA (3)

Cộng (1) , (2) (3) ta : F 12cotgA.cotgBcotgB.cotgCcotgC.cotgA (4) 0.25Đ Mặt khác tam giác ABC ta có :

cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = (5) Thật vậy,trong tam giác ABC ta có : A+B+C=B+C=-A

Do cotg(B+C)=cotg(-A) 

gA gC

gB gC gB

cot cot

cot

1 cot cot

  



 cotgB.cotgC 1 cotgA.cotgB cotgC.cotgA

 cotgA.cotgBcotgB.cotgCcotgC.cotgA1 0.25Đ Thay (5) vào (4) ta F ≥ 12

Vậy Fmin = 12  

       

  

3 cot

2 cot

1 cot

gC gB gA

0.25Đ Câu5:

1.Tiêu điểm F(-1;0) 0.25Đ Đường thẳng () qua F (-1;0) có phương trình: a(x+1) + by = với a2+b2>0 0.25Đ

Nếu a=0 () có dạng y = ,u cầu tốn khơng thoả mãn

Nếu a0 ta chọn a=1 Khi () : x=-1 - by 0.25Đ

Tung độ giao điểm (P) () nghiệm phương trình

y2 = -4(-1 - by)

 y2 - 4by - = (*) 0.25Đ

Giả sử A(x1;y1) B(x2;y2) giao điểm (P) () phương trình tiếp tuyến

A B có dạng : y1y=-2(x1+x) (d1) y2y=-2(x2+x) (d2) 0.25Đ (d1) , (d2) có véc tơ phương : n1 2;y1, n2 2;y2 0.25Đ

Ta thấy n1.n2 4y1y2 (2) Thay (1) vào (2) ta có n1.n2 0    d1  d2 0.25Đ

2.Chọn hệ trục hình vẽ ,khi :

B(-c;0) C(c;0) A(0;a) D(-c/2;a/2) 0.5Đ

Gọi E (x;y) ta có 

       

   

   

2

2

6

2

a a a

y

c c c

x

      

2 ;

a c E

0.25Đ Gọi I (x;y) ,do IOY nên I(0;y)

Mặt khác IDAB nên 

 



 

 

a c a I AB

ID

2 ; 0

2

0.25Đ

Bây ta có : 

 

  

a c c IE

2 ;

2



 



 



2 ;

3a a

DC

0.5Đ

Suy 2

3

   a 

a c a c DC IE

0.25Đ

DC

IE 