Cho tập Từ tập A có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau và trong 3 chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm phải có một chữ số[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x 1 y x có đồ thị ( C ) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d ) : y x m luôn cắt đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt A, B Tìm tất các giá trị m để độ dài đoạn AB nhỏ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: 2cos3x + 3sin x + cosx = Giải phương trình: x x 1 y x y 9 x y x y 0 Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( x, y ) Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có A ' ABC là hình chóp tam giác đều, AC a , A ' B a Tính theo a thể tích khối chóp A '.BB ' C ' C Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c chứng minh: 2 II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng DG có phương trình: 2x y 0, đường thẳng BD có phương trình: x y 0 và C (0; 2) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D A 0,1, 2,3, 4,5,6,7 Câu VII.a (1,0 điểm) Cho tập Từ tập A có thể lập tất bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho các chữ số đôi khác và chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm phải có chữ số a2 + (1- b)2 + b2 + (1- c)2 + c2 + (1- a)2 ³ L = lim - x3 - x2 + x2 - x®1 Câu VIII.a (1,0 điểm) Tính giới hạn: B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) có phương 2 trình: x y x y 0 và đường thẳng ( ): x y 11 0 Lập phương trình tiếp tuyến o ( C ), biết tiếp tuyến tạo với ( ) góc 45 Câu VII.b (1,0 điểm) T×m hÖ sè cña x khai triÓn nhị thức n lµ sè tù nhiªn tháa m·n: C2 +2 A2 +n=112 n n Câu VIII.b (1,0 điểm) Tính giới hạn: I lim x x 1 x sin 2012 x ( 2x + x n ) , ( x 0 ) biÕt r»ng (2) - Hết -Chú ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên Thí sinh: ………………………………; Số báo danh: …………………… HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013 LẦN MÔN TOÁN -KHỐI D ( Đáp án có 05 trang ) Câu Nội dung Điểm I Khảo sát hàm số 1,0 (2,0) +)Tập xác định: D=R\{-2} 0,25 +) Sự biến thiên: 0, x D Chiều biến thiên: y’= ( x 2) 2; Suy hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2) và Hàm số không có cực trị lim y lim y 2 lim y ; lim y x +) Giới hạn và đường tiệm cận: ; x Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= - và tiệm cận ngang là y = +) Bảng biến thiên: x x x -2 + y’ + 0,25 y 0,25 +) Đồ thị: 1 0; Đồ thị cắt trục Oy điểm ;0 và cắt trục Ox điểm y Đồ thị nhận điểm I(-2;2) làm tâm đối xứng I(-2;2) 0,25 O -5 x -2 -4 Chứng minh… Hoành độ giao điểm đồ thị (C ) và đường thẳng (d) là nghiệm phương 1,0 0,25 x 2 x 1 x m x2 x (4 m) x 1 m 0 (1) trình: 2 Do (1) có m 12 và ( 2) (4 m)( 2) 1 2m 0 m nên đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị ( C ) điểm phân biệt A, B 0,25 (3) Giả sử A( x A ; y A ); B(x B ; yB ) đó x A ; xB là nghiệm phương trình (1) Ta có: y A m x A ; yB m xB nên 0,25 AB ( x A xB ) ( y A yB )2 2(m 12) 24 II (2,0) Vậy ABmin 24 m 0 Giải phương trình lượng giác sin x cos x 2cos3 x 0 sin 0,25 .s inx cos cos x cos3 x 3 cos x cos3 x 3 cos x cos( x) 3 x k x k , k Z x k x k , kZ Vậy phương trình có họ nghiệm: Giải phương trình Điều kiện: x ≥ Vậy nghiệm phương trình là x 9 Giải hệ phương trình x y x y 9 y x y 0 Điều kiện: x y Hệ đã cho (*) a b a x y x b x y a 0 y b a Đặt: Hệ (*) trở thành 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 PT 3x x x x7 x 5 x x x 5 x 9 x 9 x 2 III (1,0) 1,0 0,25 b 2a 9 (1) b a2 a 0 (2) 2 Thế (1) vào (2) được: a 2a 9a 18 0 (a 2)(a 9) 0 a 3 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 (4) x 6 a 3 b 3 y x; y 6; 3 IV (1,0) Vậy nghiệm hệ là: Tính thể tích khối chóp… 0,25 1,0 Gọi E là trung điểm BC , H là tâm tam giác ABC A 'H mp(ABC) Ta có AE a a , AH A ' H A ' A2 AH 6a 0,25 a2 a3 VABC A ' B 'C ' A ' H S ABC 2 a3 VA ' BB 'CC ' VABC A ' B 'C ' VA ' ABC A ' H S ABC VABC A ' B 'C ' 3 (đvtt) S ABC V (1,0) Chứng minh BĐT… Ta có: 0,25 a2 + (1- b)2 ³ 0,25 0,25 1,0 | a + 1- b | Dấu “ = ” a 1 b b2 + (1- c)2 ³ | b + 1- c | Dấu “ = ” b 1 c c2 + (1- a)2 ³ | c + 1- a | Dấu “ = ” c 1 a 0,25 Cộng vế với vế ta a2 + (1- b)2 + b2 + (1- c)2 + c2 + (1- a)2 ³ ³ 2 | a + 1- b | + | b + 1- c | + | c + 1- a | 2 2 | a + 1- b + b + 1- c + c + 1- a |= 2 (a b)(b c) 0; (a b)(c a) 0;(c a)(b 1 c) 0 Dấu “=” ³ Dấu “=” xảy a =b=c = Suy điều phải chứng minh 0,25 0,25 0,25 Chương trình chuẩn VI.a (1,0) Tìm tọa độ các đỉnh A,B,D Ta có: D DG DB D có tọa độ là nghiệm hệ phương trình: 1,0 0,25 (5) 2x y 0 5x 3y 0 x y D( 1; 1) Giả sử B ( xB ; yB ) vì B BD nên xB yB 0 0,25 x y 2 M B, B Trung điểm BC là 5x B 3y B 0 x 2 B B(2;4) x B yB y B Do M DG nên ta có hệ phương trình: 0,25 Do ABCD là hình bình hành nên x A 1 AB DC 4 y A 3 VII.a x A 1 A(1;1) y A 1 0,25 Vậy A(1;1) , B (2; 4) , D( 1; 1) Có bao nhiêu số… 1,0 Xét các số dạng: abcde (kể a=0) 0,25 + Có cách chọn vị trí cho số + vị trí còn lại có A7 cách chọn Như có A7 =2520 số thỏa mãn yêu cầu bài toán ( kể số đứng đầu 0) 0,25 Số các số có dạng: 0bcde là: A6 =240 số Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2520 - 240 = 2280 số VIII.a Tính giới hạn… - x3 - 2 - x2 + + ) x2 - x2 - L = lim( x®1 0,25 1,0 0,25 ( ) - x2 + x + - x3 - - x3 - - L1 = lim = lim = lim = x®1 x®1 x®1 x - x2 - - x3 + ( x + 1) 5- x3 + )( ( L2 = lim 2- x®1 Vậy VI.b ( ( ) (x æ 2ö ÷ ÷ - 1ç + x + + x + ç ÷ ç ÷ è ø ) ) ( ) 0,25 =12 11 12 24 0,25 Chương trình nâng cao Viết phương trình tiếp tuyến… I 1; 1 Theo bài ( C ) có tâm , bán kính R 10 2 Giả sử tiếp tuyến có phương trình ( ') : ax by c 0, ( a b 0) a 3b 3a 3b 8ab 0 20( a b ) b 3a Theo bài ta có: TH1 a 3b Ta có ( ') : x y c 0 cos450 0,25 1- x2 + 23 x2 + + x2 + L ) - = lim x®1 x2 + = lim x®1 x2 - 0,25 | 4a 2b | 2 1,0 0,25 0,25 (6) c 14 d ( I , ') 10 c ( ') : x y 0 và ( ') : x y 14 0 Có: TH2 b 3a Ta có ( ') : x y c 0 c 12 d ( I , ') 10 c ( ') : x y 12 0 và ( ') : x y 0 Có: Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn: 3x y 0; x y 14 0 ; x y 12 0 ; x y 0 VII.b Tìm hệ số … Điều kiện: n N , n 2 n(n 1) Cn2 An2 n 112 2n(n 1) n 112 n 7 5n 3n 224 0 n 32 n k n 0,25 0,25 1,0 0,25 n 7 (thỏa mãn điều kiện) n 1 k 7 k k k 28 k x C7 (2 x ) C7 x x x k 0 k 0 Ta có: k 7 k Hệ số số hạng chứa x khai triển là C7 , đó: 28 k 7 k 3 Vậy hệ số số hạng chứa x khai triển là C7 =560 VIII.b Tính giới hạn… 0,25 0,25 0,25 1,0 I lim( Ta có: x x 1 1 x ) sin 2012 x sin 2012 x 0,25 x 1 2x lim x sin 2012 x x sin 2012 x (2 x 1) + x 1 2012 x 1 lim lim x sin 2012 x x 1006 (2 x 1) + x 1 3018 1 1 x x I lim lim x sin 2012 x x sin 2012 x 1+ x 2012 x 1 lim lim x sin 2012 x x 2012 1+ x 4024 1 I I1 I 3018 4024 12072 I1 lim (Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa) 0,25 0,25 0,25 (7)