TRƯỜNG TH PT CHUYÊN V Ĩ N H PHÚC KỲT H I T H Ử ĐẠI HỌC L Ầ N 1 NĂM H Ọ C 20132014 Môn:T o á n 12. KhốiD. Thời gian làm bài: 180 phút ( K h ô n g kể thời gian giao đề) A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm).Cho hàm số 3 2 y x ( 2m1)xm 1 = - + + - - ( C m ). 1) Khảo s á t s ự biến thiênv à v ẽ đồ thịcủa h à m s ố khi m 1 = . 2) Tìmm để đường thẳngy 2mxm 1 = - - cắt cắt đ ồ thịh à m s ố ( C m )tạib a điểmphânbiệt c ó h o à n h độ l ậ p thànhm ộ t cấp s ố cộng. Câu I I (2,0điểm) 1 ) Giải phươngtrình: ( ) 3 2 2 sinx 3 3sinx 2 sin x 3 tanx - = + - . 2)Giải h ệ phươngtrình: ( ) ( ) 2 2 2 4 9 x y 2xy 13 x y 1 2x 3 x y ì + + + = ï - ï í ï + = ï - î . Câu I I I (1,0điểm). Tínhgiớih ạ n : 3 x 2 3x2 3x2 L lim x 2 ® + - - = - Câu I V (1,0điểm).C h o hình chóp S.ABCD có đáy l à hình bình h à n h v ớ i AB2a = , BC a 2 = , BD a 6 = .Hình chiếuv u ô n g góc của S l ê n m ặ t phẳng ABCD l à trọngtâm G của tamgiác BCD , biết SG 2a = . TínhthểtíchV của hình chóp S.ABCD v à khoảng cách giữah a i đường thẳng AC v à SB theoa . Câu V (1,0 điểm).C h o ,x y l à cács ố dương thoảm ã n 1 1 1 3 xy x y + + = .Tìmgiátrịl ớ n nhất của biểu thức: 2 2 3 3 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) y x M x y y x x y x y = + + - - + + + B. PHẦN RIÊNG (3 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1.Theo chươngtrình Chuẩn Câu VIA (2,0điểm) 1)Trong m ặ t phẳng với h ệ trụctoạ đ ộ Oxy ,cho hình thangcân ABCD có h a i đáy l à AB, CD ; h a i đường chéo AC , BD v u ô n g góc v ớ i nhau. Biết ( ) A 0;3, ( ) B 3;4 v à C n ằ m trên trụch o à n h . Xác địnhtoạđ ộ đỉnh D của hình thang ABCD . 2)Tìm s ố h ạ n g khôngchứa x trongkhai triển: ( ) n 3 2 p x x x æ ö = + ç ÷ è ø .B i ế t rằngs ố n g u y ê n dương n thoảm ã n 6 7 8 9 8 n n n n n 2 C 3 C 3 C C 2C + + + + = CâuVIIA (1,0điểm).Xác định m để h à m s ố : ( ) ( ) 2 y m 3mx 2 m 3 cos x = - + - l u ô n n g h ị c h biến trên¡ 2.Theo chươngtrình n â n g cao. Câu VI B (2,0điểm) 1) Trongm ặ t phẳng với hệ tọa đ ộ Oxy ,lậpphươngtrìnhchínhtắccủa elip ( ) E biết rằngcó m ộ t đỉnh v à h a i tiêuđiểmcủa ( ) E tạothànhm ộ t tamgiácđều v à chuvi hình chữnhật cơ s ở của ( ) E l à ( ) 12 2 3 + . 2) Tính tổng : 2 3 2013 2013 2013 2013 S 1.2.C 2.3.C 2012.2013.C = + + + L CâuVII B (1,0điểm).Xác địnhm để h à m s ố : ( ) ( ) 2 2 y m m 1 x m m 1 sinx 2m = + + + - + + l u ô n đồng biến trên¡ HẾT Đề chính thức (Đềthigồm 01 trang) TRƯỜNG TH PT CHUYÊN V Ĩ N H PHÚC KỲT H I T H Ử ĐẠI HỌC L Ầ N 1 NĂM H Ọ C 20132014 Môn:T o á n 12. KhốiD. Thời gian làm bài: 180 phút ( K h ô n g kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM T H I ( V ă n bản này gồm 05 trang) I ) Hướng dẫn chung: 1) Nếu thísinhl à m bài khôngtheocách n ê u trongđáp án nhưng v ẫ n đúng thìchođủ s ố điểm từng phần như thangđiểmquy định. 2) Việc chitiếth o á thangđiểm(nếucó) trong h ư ớ n g dẫn chấm phảiđảmb ả o không l à m s a i l ệ c h h ư ớ n g dẫn chấmvà phải được thốngnhất thựchiện trongcác giáo viên chấmthi. 3) Điểm toànb à i tínhđến 0,25 điểm.Sau khi cộng điểmtoànb à i , giữn g u y ê n kết quả. I I ) Đáp án và thangđiểm: Câu Đáp án Điểm C h o h à m s ố 3 2 y x ( 2m1)xm 1 = - + + - - (C m ). 1) K h ả o s á t s ự biến thiênv à v ẽ đồ thịcủa h à m s ố khi m 1 = . 1,0 đ CâuI Khi m 1 = h à m s ố trởthành 3 2 y x 3x2 = - + - Tậpx á c định:R; h à m s ố l i ê n tụctrênR . Sự biến thiên:lim x y ®-¥ = +¥ ; lim x y ®+¥ = -¥ .Đ ồ thịh à m s ố không có tiệmcận. 0,25 2,0 đ B ả n g biến thiên: x –µ 0 1 2 + µ y ’ + 0 – – 0 + y + µ 2 y ĐU =0 –2 –µ 0.25 Đồ thịcủa h à m s ố c ó dạng như hình dưới đây: 0.25 2) Tìmm để đường thẳngy 2mxm 1 = - - cắt ( C m )tạib a điểmphânbiệt có h o à n h độ l ậ p thànhm ộ t cấp s ố c ộ n g 1,0đ Xét phương trìnhh o à n h độ giao điểm: 3 2 x ( 2m1)xm 1 2mxm 1 - + + - - = - - 3 2 x ( 2m1)x2mx0 Û - + + = ( ) 2 x x ( 2m1)x2m 0 Û - + + = x 0 x 1 x 2m = é ê Û = ê ê = ë 0.25 Đề chính thức (Đềthigồm 01 trang) B a giaoim l : ( ) A 0m 1 - - ( ) B 1 m 1 - ( ) 2 C 2m4mm 1 - - Tac ú : A , B , C phõn bit 1 m 0m 2 ạ ạ (*) Sp s p cỏc h o n h theothttngdn tac ú cỏc dóy s s a u ã 0 1 2ml p thnhcp s cng 0 2m2.1 m 1 + = = thom ó n (*) ã 0 2m 1 l p thnhcp s cng 1 0 1 2.2m m 4 + = = thom ó n (*) ã 2m 0 1 l p thnhcp s cng 1 2m1 2.0 m 2 + = = - thom ó n (*) 0.25 0.25 K t l u n : m = 1 1 1 2 4 - 0.25 1) Gii phngtrỡnh: ( ) 3 2 2 sinx 3 3sinx 2 sin x 3 tanx - = + - .(1) CõuII iukin: cos x 0 ạ Phng trỡnhó cho tngng v i : ( ) 3 2 2 sinx.cosx 3cosx 3 sin x 2 sin x 3 sin x - = + - 3 2 2 2 sinx.cosx 3cosx 3cosx.sinx 2 sinx - = - + 0.25 2,0 ( ) ( ) 2 2 sinx sinx.cosx 1 3cosx sinx.cosx 1 0 - + - = ( ) ( ) 2 sinx.cosx 1 2s i n x 3cosx 0 - + = ( ) 2 1 sin2x1 2 2cosx 3cosx 0 2 ổ ử - - + = ỗ ữ ố ứ 0.25 2 2 cos x 3cosx 2 0 - - = (d o sin2x2 0,x - ạ " ) ( ) cos x 2 V N 1 cos x 2 ộ = ờ ờ = - ờ ở 0.25 1 2 cos x x k2,k 2 3 p = - = + p ẻ  ( thom ó n iukin) Vy phngtrỡnhcú h a i h n g h i m : 2 x k2,k 3 p = + p ẻ 0.25 2)Gii h phngtrỡnh: ( ) ( ) 2 2 2 4 9 x y 2xy 13 x y 1 2x 3 x y ỡ + + + = ù - ù ớ ù + = ù - ợ . Vitl i h phngtrỡnh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 5 x y 4 x y 13 x y 1 x y x y 3 x y ỡ ộ ự ù + + - + = ờ ỳ - ù ờ ỳ ở ỷ ớ ù + + - + = ù - ợ /K x y 0 - ạ 0.25 t 1 a x y b x y x y = + = - + - iu kinb 2 . H ó cho trthnh: ( ) 2 2 2 5 5a 4 b 2 13 a 1 a 9a24a 15 0 3 b 3 a a b 3 b 3 a ỡ ỡ + - = ỡ = = - + = ù ù ớ ớ ớ = - + = ợ ù ù ợ = - ợ 0.25 x y 1 a 1 x y 1 x 1 1 x y 2 b 2 x y 1 y 1 x y + = ỡ = + = = ỡ ỡ ỡ ù ã ớ ớ ớ ớ - + = = - = = ợ ợ ợ ù - ợ 0.25 5 a 3 5 4 b 3 a 3 3 3 ỡ = ùùù ã ớ ù = - = - = ù ợ L o i Vy h phng trỡnhcú m t n g h i m duy nht ( ) ( ) xy 1 1 = 0.25 Tớnhgiih n : 3 x 2 3x2 3x2 L lim x 2 đ + - - = - 1,0 CõuIII L ( ) ( ) 3 3 1 2 x 2 x 2 3x2 2 2 3x2 3x2 2 3x2 2 lim lim L L x 2 x 2 x 2 đ đ + - + - - ổ ử + - - - = = - = - ỗỗỗ ữữữ - - - ố ứ 0.25 1,0 ( ) ( ) ( ) 3 1 x 2 x 2 2 3 3 1 2 x 2 3 3 3x2 2 3x2 8 L lim lim x 2 x 2 3x2 2 3x2 4 3 1 L lim 4 3x2 2 3x2 4 đ đ đ + - + - = = - ổ ử - + + + + ỗ ữ ố ứ = = + + + + 0.25 ( ) ( ) 2 x 2 x 2 2 x 2 3x2 2 3x2 4 L lim lim x 2 x 2 3x2 2 3 3 L lim 4 3x2 2 đ đ đ - - - - = = - - - + = = - + 0.25 1 2 1 3 1 L L L 4 4 2 = - = - = - 0.25 CõuIV C h o hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh vi AB2a = , BC a 2 = , BD a 6 = .Hỡnhchiuv u ụ n g gúc ca S l ờ n m t phng ABCD l trngtõm G ca tamgiỏc BCD ,bit SG 2a = . TớnhthtớchV ca hỡnh chúp S.ABCD v khong cỏch giah a i ng thng AC v SB theoa . 1,0 1,0 Nhn x ộ t A B C D l hỡnh chnht (do 2 2 2 AB AD BD ) + = 0.25 3 S .ABCD ABCD 1 4 2 V SG.S a 3 3 = = 0.25 K l imi x n g v i D qua C , H l hỡnh chiuv u ụ n g gúc ca G l ờ n BKs u y ra BK ( SHG ) ^ .G i Il hỡnh chiuv u ụ n g gúc ca G l ờ n SH s u y raGI =d(AC,SB) 0.25 CÂU V GH = C J m à 2 2 2 1 1 1 2a 2a CJ GH CJ B C CK 3 3 = + Þ = Þ = TamgiácSHG v u ô n g ở G s u y raGI=a. Vậy: d(AC,SB) = a C h o ,x y l à các s ố dương thoảm ã n 1 1 1 3 xy x y + + = .Tìmgiátrịl ớ n nhất của biểu thức: 2 2 3 3 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) y x M x y y x x y x y = + + - - + + + 0.25 1,0đ C á c h 1 Đặt 1 1 0 , 0a b= x y > = > ,theođề b à i tac ó ( ) ( ) 2 3 4 a b a b ab + - + = £ (BĐTCauchy), kết h ợ p v ớ i 0a b + > s u y ra 2a b + ³ 0.25 Tatìmgiátrịl ớ n nhất của 2 2 3 3 1 1 a b ab M a b b a a b = + + - - + + + 2 2 ( ) 2 3 ( ) 2 1 a b ab a b ab a b ab ab a b a b + - + + = + - + + + + + + 2 1 12 ( ) 2 4 a b a b a b é ù = - + + + + + ê ú + ë û (do 3 ( )ab a b = - + ) 0.25 Đặt 2t a b = + ³ x é t h à m s ố : 2 12 ( ) 2g t t t t = - + + + trên [ ) 2 ; +¥ 2 12 ( ) 2 1 0 , 2g t t t t ¢ = - - + < " ³ s u y ra ( )g t n g h ị c h biến trên(2,) + ¥ 0.25 Do đ ó [ ) 2, m a x ( ) (2)6g t g + ¥ = = s u y ra giátrịl ớ n nhất của M b ằ n g 3 2 đạt được khi 1 1a b x y = = Û = = . 0,25 C á c h 2 Đặt 1 1 0 , 0a b= x y > = > ,theođề b à i tac ó 2 2 3 3 1 1 a b ab M a b b a a b = + + - - + + + 0.25 ( ) ( ) 2 2 1 1 a ab b a a ab b b ab M a b b a a b + + + + = + + - - + + + . 0.25 ( ) 1 1 1 2 2 2 2 ab ab ab ab ab ab M a b b a ab b a a b b a ab = + + £ + + = + + + + + (BĐTA M G M ) 0.25 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 a b b a a b M a b b a ab é ù + + + £ + + £ + + = ê ú ë û ,(BĐTA M G M ) dấu b ằ n g khi a b 1 = = Vậy giátrịl ớ n nhất của M b ằ n g 3 2 đạt được khi 1 1a b x y = = Û = = . 0,25 Câu VI A 1)Trong m ặ t phẳng v ớ i h ệ trụctoạ đ ộ Oxy ,cho hình thangcân ABCD có h a i đáylà AB, CD ; h a i đường chéo AC , BD v u ô n g góc với nhau. Biết ( ) A 0;3, ( ) B 3;4 và C n ằ m trêntrục h o à n h . Xác địnhtoạ đ ộ đỉnh D của hình thang ABCD . 1,0đ 2,0 ( ) ( ) C Ox C c0 DC : x 3yc 0 D ( 3d cd) ẻ ị - - = ị + 0.25 2 AC(03 ) BD( 3dc 3d 4 ) AC BD 3dcc 3c 3d12 0 ( 1) - + - - ^ ị + - - + = u u u r u u u r 0.25 Il trungimAB 3 7 I( ) 2 2 ị J l trungim DC 3d2c d J 2 2 + ổ ử ị ỗ ữ ố ứ ,t 8 3c IJ AB d ( 2 ) 5 - ^ ị = 0.25 Thay(2)v o (1)cú: 2 c 6 2c 9c18 0 3 c 2 = ộ ờ - - = - ờ = ở c 6 d 2 D ( 0 2 )(tm) 3 5 5 c d D ( 6 )(k t m ) 2 2 2 = ị = - ị - - = ị = ị (Hcsinhphi kimtraiu kinthụngqua v ộ c t A B v v ộ c t DC cựng chiu) K t l u n : D ( 0 2 ) - 0,25 2) Tỡms h n g khụngcha x trongkhai trin: ( ) n 3 2 p x x x ổ ử = + ỗ ữ ố ứ .B i t rngs n g u y ờ n dng n thom ó n 6 7 8 9 8 n n n n n 2 C 3 C 3 C C 2C + + + + = 1,0 iukin: * n ,n9 ẻ Ơ 9 8 8 9 8 9 8 n 3 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 C 2C C C 2C C C n 15 + + + + + + + = + = = = 0.25 Khi ú ( ) ( ) 15 k 30 5k 15 15 15k k k k 3 3 6 15 15 k 0 k 0 2 2 p x x C x C 2 x x x - - = = ổ ử ổ ử = + = = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ồ ồ 0.25 S h n g khụngchax tngng vi 30 5k 0 k 6 6 - = = 0.25 S h n g khụngchax phi tỡml 6 6 15 C .2 320320 = 0,25 Xỏc nhm h m s : ( ) ( ) 2 y m 3mx 2 m 3 cos x = - + - l u ụ n n g h c h bin trờnĂ 1,0 Cõu o h m : ( ) 2 y m 3m2 m 3 sinx  = - - - 0,25 VII A iukinh m s l u ụ n n g h c h bin trờnĂ y 0 x Â Ê " ẻ Ă ( ) ( ) [ ] 2 2 m 3m2 m 3 sinx 0 x m 3m2 m 3 t 0 t 1 1 ,tsin x - - - Ê " ẻ - - - Ê " ẻ - = Ă 0,25 Đồ thị ( ) ( ) 2 f t 2 m 3 t m 3m = - - + - trên đoạn [ ] 1;1 - là một đoạn thẳng để ( ) [ ] ( ) ( ) f 1 0 f t 0 t 1;1 f 1 0 ì - £ ï £ " Î - Û í £ ï î 0,25 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 m 3 m 3m 0 m 3 m 2 0 2 m 3 2 m 3 2 m 3 m 3 m 2 0 2 m 3 m 3m 0 ì ì - + - £ - + £ - £ £ ì ï ï Û Û Û £ £ í í í £ £ - - £ - - + - £ î ï ï î î Vậy để hàm số nghịch biến trên ¡ thì 2 m 3 £ £ 0,25 Câu VI B 2,0 đ 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,lập phương trình chính tắc của elip ( ) E biết rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của ( ) E tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữnhật cơ sở của ( ) E là ( ) 12 2 3 + . ( ) ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b + = > > với 2 tiêu điểm ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 ;0 ; ;0 , 0F c F c c a b c - = - > 1,0 đ 0,25 2 đỉnh trên trục nhỏ là ( ) ( ) 1 2 0; , 0;B b B b - theo gt:tam giác ( ) 1 1 2 1 1 B F F B F F ÚD đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của ( ) E là ( ) 12 2 3 + . 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 3 2 3 3 : 1 2 36 27 3 4 12 2 3 c a b a x y b c b E c a b ì = - = ì ï ï ï = Û = Û + = í í ï ï = î ï + = + î 0,5 2) Tính tổng : 2 3 2013 2013 2013 2013 S 1.2.C 2.3.C 2012.2013.C = + + + L 1,0 đ Xét số hạng tổng quát : ( ) k 2013 k 1 .k .C k 2,3, ,2013. - " = 0,25 ( ) ( ) ( ) k k 2 2013 2011 2013! k 1 .k .C k 1 .k. 2012.2013.C k 2,3, ,2013 k ! 2013 k ! - - = - = " = - 0,25 Vậy ( ) 0 1 2 2011 2011 2011 2011 2011 S 2012.2013. C C C C = + + + + L 0,25 ( ) 2011 2011 S 2012.2013. 1 1 2012.2013.2 = + = 0,25 Câu Xác định m để hàm số: ( ) ( ) 2 2 y m m 1 x m m 1 sin x 2m = + + + - + + đồng biến trên ¡ 1,0 7B Đạo hàm ( ) ( ) 2 2 y m m 1 m m 1 cos x ¢ = + + + - + 1,0 đ Điều kiện hàm số luôn nghịch biến trên ¡ y 0 x ¢ Û ³ " Î ¡ 0,25 ( ) ( ) 2 2 m m 1 m m 1 cos x 0 x + + + - + ³ " Î ¡ ( ) ( ) [ ] 2 2 m m 1 m m 1 t 0 t 1;1 + + + - + ³ " Î - với t cos x = 0,25 Đồ thị ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 f t m m 1 m m 1 t , t 1;1 = + + + - + " Î - trên đoạn [ ] 1;1 - là một đoạn thẳng để ( ) [ ] ( ) ( ) f 1 0 f t 0 t 1;1 f 1 0 ì ³ ï ³ " Î - Û í - ³ ï î 0,25 Û 2 2m 2 0 m m 0 2m 0 ì + ³ " Î Þ ³ í ³ î ¡ . Vậy m 0 ³ thoả mãn yêu cầu bài toán 0,25 . .k. 2 012 .2 013 .C k 2,3, ,2 013 k ! 2 013 k ! - - = - = " = - 0,25 Vậy ( ) 0 1 2 2 011 2 011 2 011 2 011 2 011 S 2 012 .2 013 . C C C C = + + + + L 0,25 ( ) 2 011 2 011 S 2 012 .2 013 . 1 1 2 012 .2 013 .2. 3 2 013 2 013 2 013 2 013 S 1. 2.C 2.3.C 2 012 .2 013 .C = + + + L 1, 0 đ Xét số hạng tổng quát : ( ) k 2 013 k 1 .k .C k 2,3, ,2 013 . - " = 0,25 ( ) ( ) ( ) k k 2 2 013 2 011 2 013 ! k 1 .k .C k 1 .k 3yc 0 D ( 3d cd) ẻ ị - - = ị + 0.25 2 AC(03 ) BD( 3dc 3d 4 ) AC BD 3dcc 3c 3d1 2 0 ( 1) - + - - ^ ị + - - + = u u u r u u u r 0.25 Il trungimAB 3 7 I( ) 2 2 ị J l trungim DC 3d2 c d J 2