Vận dụng phần mềm maple trong giảng dạy các nội dung toán cao cấp thông qua một số bài toán ứng dụng

Bài viết trình bày một số ứng dụng của phần mềm này trong giảng dạy toán cao cấp về giải tích và đại số tuyến tính thông qua một số bài toán ứng dụng liên quan đến lĩnh vực kỹ thuật.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) VẬN DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG GIẢNG DẠY CÁC NỘI DUNG TỐN CAO CẤP THƠNG QUA MỘT SỐ BÀI TỐN ỨNG DỤNG  Phạm Mỹ Hạnh(*), Trần Thị Ngọc Giàu(*) Tóm tắt Theo xu hướng phát triển chung khoa học công nghệ, phần mềm ứng dụng ngày áp dụng rộng rãi giảng dạy nghiên cứu khoa học Người học không cần nắm vững kiến thức mà phải sử dụng thành thạo cơng cụ phần mềm tính tốn để giải toán thực tế Dựa cơng cụ tính tốn hiệu Maple, viết trình bày số ứng dụng phần mềm giảng dạy tốn cao cấp giải tích đại số tuyến tính thơng qua số toán ứng dụng liên quan đến lĩnh vực kỹ thuật Từ khóa: Phần mềm Maple, tốn cao cấp, giảng dạy toán cao cấp, toán kỹ thuật Đặt vấn đề Trong trình học bậc đại học, sinh viên cần rèn luyện khả tự học, tự nghiên cứu Để chiếm lĩnh tri thức, người học cần nắm vững kiến thức giảng viên truyền thụ, đồng thời linh động sáng tạo vận dụng nội dung học vào giải vấn đề thực tiễn sống Chương trình tốn bậc đại học cung cấp cho sinh viên số kiến thức toán cao cấp giải tích đại số tuyến tính Đa số kiến thức tương đối khó sinh viên Vì thế, sinh viên cần hỗ trợ cơng cụ tính tốn, phần mềm mơ phỏng, qua giúp phát triển khả tư lực tính tốn, mơ hình hóa Người học sử dụng máy tính điện tử phần mềm để tạo đối tượng tốn học sau tìm tịi khám phá thuộc tính ẩn chứa bên đối tượng Dựa chuẩn đầu giáo dục bậc đại học, sinh viên cần nắm vững kiến thức giải toán, em phải sử dụng số cơng cụ tính tốn phần mềm để giải toán ứng dụng thực tế Hiện có nhiều phần mềm hỗ trợ hoạt động giảng dạy học tập toán Theo [1, tr 5] “Phần mềm Maple Trường đại học tổng hợp Waterloo (Canada) Trường đại học kỹ thuật Zurich (Thụy Sĩ) xây dựng đưa vào sử dụng lần năm 1985” Đến phần mềm phát triển đến phiên Maple 2018 Phần mềm Maple có giao diện thân thiện với người dùng hỗ trợ hầu hết lĩnh vực tốn học bao gồm số nội dung toán cao cấp như: tính giới hạn; đạo hàm; (*) Trường Đại học An Giang 16 tích phân; giải phương trình vi phân; vẽ đồ thị khảo sát hàm nhiều biến; ma trận; định thức; giải hệ phương trình Ngồi ra, phần mềm hỗ trợ người dùng việc lập trình tìm lời giải cho tốn với cấu trúc dịng lệnh đơn giản Với tính ưu việt trên, Maple thực công cụ hỗ trợ đắc lực cho giảng viên sinh viên trình giảng dạy học tập, đồng thời phần mềm ưu việt giúp giải tốn kỹ thuật Maple khơng giúp sinh viên kiểm tra lại kết tính tốn mà cịn dùng để mơ vật, tượng tìm lời giải cho tốn kỹ thuật Bên cạnh người sử dụng lập trình với cấu trúc dịng lệnh đơn giản để giải tình có vấn đề Theo chương trình đại cương tốn cho ngành kỹ thuật, sinh viên tiếp cận số nội dung giải tích cổ điển đại số tuyến tính Các nội dung giải tích cổ điển như: giới hạn hàm số; phép tính vi phân hàm nhiều biến; phép tính tích phân; tích phân đường tích phân mặt; phương trình vi phân có nhiều ứng dụng thực tế nội dung tương đối khó sinh viên Với thời lượng lớp (từ đến tín chỉ), sinh viên nắm số kiến thức giải tập từ mức độ đơn giản đến trung bình Tương tự, nội dung đại số tuyến tính như: ma trận; định thức; hệ phương trình tuyến tính… sinh viên có điều kiện tìm hiểu thêm ứng dụng thực tế khái niệm Vì thế, trình học, sinh viên cần đến hỗ trợ phần mềm tính tốn Maple nhằm kiểm tra lại kết tính tốn, mơ đồ thị hàm số nhiều biến Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP khơng gian vẽ vật thể khối ba chiều tính thể tích đường, mặt khơng gian… Ngồi ra, vận dụng nội dung tốn học vào tình thực tế cho tốn kỹ thuật để tìm hiểu sâu mối quan hệ toán học với lĩnh vực hoạt động sản xuất, sinh viên cần hỗ trợ giảng viên việc nêu rõ vấn đề cần giải quyết, khơi gợi lại kiến thức tốn học kiến thức chun ngành có liên quan, đề xuất phương pháp vận dụng kiến thức tốn để tìm lời giải Bên cạnh đa số tốn kỹ thuật cần phương tiện tính tốn hiệu để giải khối lượng lớn liệu đầu vào phần mềm tốn học Maple hỗ trợ tích cực cho giảng viên lẫn sinh viên Vận dụng phần mềm Maple giảng dạy số nội dung Toán cao cấp Trong mạch kiến thức đại số tuyến tính có nhiều toán ứng dụng kỹ thuật; tốn mơ tượng tự nhiên Vì thế, giảng viên lồng ghép vào nội dung giảng dạy số toán kỹ thuật từ hoạt động thực tiễn sống Dựa vào tính Maple, giảng viên giúp sinh viên nâng cao khả tư duy, lực tính tốn, mơ giải tình có vấn đề Bài toán Nghiên cứu sinh sản tằm, người ta nhận thấy tằm đẻ 100 trứng tháng Trong số có 10% sống sót qua giai đoạn ấu trùng 20% số ấu trùng nở thành nhộng Chỉ có 30% số nhộng lớn thành tằm Giả sử giai đoạn kéo dài tháng 40% số tằm trưởng thành tháng tuổi sống tháng có khả sinh sản Tính số lượng tằm có tháng thứ 10, biết lúc đầu có 40 tằm [5, tr 97] Bài giải: Để giải tốn này, giảng viên giúp sinh viên phân tích tìm mối quan hệ liệu đầu vào sau: Giả sử wn , xn , yn , zn tương ứng số lượng trứng, ấu trùng, nhộng tằm tháng thứ n Khi w1 , x1 , y1 , z1 w0 , x0 , y0 , z0 số lượng trứng, ấu trùng, nhộng tằm tháng thứ thời điểm ban đầu Ngoài ra, dựa vào liệu ban đầu ta lập mối quan hệ đại lượng sau:  w1  100 z0   x1  0,1w0  y  0,2 x   z1  0,3 y0  0,4 z0 Mối quan hệ viết lại dạng ma trận: 0 100   w0   w1    x  0,1 0   x0   1   ,  y1   0,2 0   y0       0,3 0,4   z0   z1    w1  0 x   1 A1       y1  10 0    0  z1  0 1 với M   0  0 Vì lúc 0 0 0 0 đầu 1000   w0  0   x0   M A0 , 0   y0  10     z0  1000     có 40 tằm nên A0  0 0 40 T Thực phép nhân ma trận, A1   4000 0 16 nên số tằm tháng thứ T 16 1 A1  M A0 ; A2  M A1  M A0  10 10 100 10 1 A10    M 10 A0  10  Suy số tằm tháng thứ 10, khoảng 14,5 tằm Nếu gọi u số tằm ban đầu A hàm theo u từ ta xây dựng hàm số biểu diễn biến thiên sinh sản tằm lệnh Maple sau: > with(linalg); > g:=(i,u)  transpose(evalm((M^i)&*A(u))); g : (i, u)  transpose(evalm(`&*`(M i , A(u)))) > plot([seq([i,g(i,40)[1,4]],i=1 40)]); 17 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) trường số phức tìm bốn giá trị riêng phức từ tìm ma trận khả nghịch P ma trận đường chéo D  diag(v1 , v2 , v3 , v4 ) gồm giá trị riêng phức v1 , v2 , v3 , v4 M cho M  P.D.P1 Khi đó, xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu  max vi  số 1i  lượng tằm giảm theo thời gian Trường hợp 2: Nếu max vi  lượng 1i  Hình Đồ thị minh họa sinh sản tằm với điều kiện ban đầu có 40 tằm Dựa vào đồ thị nhận thấy, chọn số lượng tằm ban đầu 40 tháng đầu đến tháng thứ 30 số lượng tằm có biến động Tuy nhiên từ tháng thứ 30 trở số tằm bắt đầu phát triển ổn định Liệu số lượng tằm ban đầu có mang tính định đến ổn định mức sinh sản tằm không? Kiểm tra giả định cách giả sử số lượng tằm ban đầu 1000 Thực tương tự ta có đồ thị sau: Hình Đồ thị minh họa sinh sản tằm với điều kiện ban đầu có 1000 tằm Qua đồ thị Hình Hình nhận thấy số lượng tằm ban đầu không ảnh hưởng đến tính ổn định sinh sản tằm Do đó, ma trận M mang tính định Dùng gói lệnh Maple đại số tuyến tính >with(linalg); sinh viên dễ dàng tìm đa thức đặc trưng M là: f (t )  t  t  5 f (t ) có nghiệm 1, giá trị riêng M Kiểm tra chéo hóa ma trận M 18 tằm phát triển đến giai đoạn ổn định, tương ứng với trường hợp tốn khảo sát, giá trị riêng lớn M Trường hợp 3: Nếu max vi  số lượng 1i  tằm liên tục tăng bùng nổ dân số Riêng trường hợp 3, giảng viên sinh viên thay đổi liệu mối quan hệ liệu đầu vào để xác định ma trận M tương ứng Bằng cơng cụ tính tốn Maple, sinh viên tương ứng tìm giá trị riêng M kiểm chứng kết đồ thị minh họa Bên cạnh nội dung đại số tuyến tính, sinh viên cịn học nhiều kiến thức giải tích cổ điển với nội dung giới hạn, tích phân, phương trình vi phân Hầu hết nội dung có nhiều ứng dụng toán kỹ thuật vật lý Đối với sinh viên thuộc chuyên ngành Vật lý, Kỹ thuật môi trường… em tham khảo tốn sau: Bài tốn Một bể chứa nước phía có chiều dày 1,4 m phía lớp dầu dày m Biết trọng lượng riêng nước dầu tương ứng  n  9,81 KN/m3  d  8,39 KN/m3 a) Xác định áp suất đáy bể bao nhiêu? Cột áp suất đáy bể tính theo cột nước áp suất? b) Trong trường hợp bể chứa tồn nước Bể tích nước V  100 lít Người ta dùng dung dịch chứa g gram muối hịa tan lít nước với vận tốc trung bình a = lít/phút khuấy Giả sử đáy bể có vịi nước với vận tốc a = lít/phút Hỏi nồng độ muối bể đạt giá trị k = 0,5 gr/lít? [5, tr 99-103] Bài giải: Dựa ví dụ này, giảng viên giúp sinh viên ơn lại số kiến thức TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP học chất lỏng, đặc biệt trường hợp áp suất thủy tinh, đồng thời làm rõ mối quan hệ mật thiết toán học toán kỹ thuật a) Nhận thấy bể chứa hở có áp suất mặt tự khơng áp suất p độ sâu h tính theo cơng thức: p   h Trường hợp bể chứa nước phía dầu áp suất mặt phân cách nước dầu là: p pc   d hd  8,39   16,78 KN/m2 Áp suất cột nước lên đáy bể xác định bởi: pn   n hn  9,811,4  13,734 KN/m2 Do đó, áp suất đáy bể là: p  16,78  13,734  30,541 KN/m2 Ngồi ra, áp suất biểu diễn tương đương với cột chất lỏng Nếu mặt thoáng chất lỏng chịu áp suất p0 đó, ta cần chuyển áp suất thành cột chất lỏng tương p đương cộng với giá trị h để cột  nước áp suất tổng Vì lượng dầu tác dụng áp lực lên cột nước mặt phân cách nên cột nước áp suất mà lượng dầu tác động lên đáy bể: p pc 16,78 h0    1,71 m n 9,81 Vậy cột nước áp suất đáy bể là: 1,71 + 1,4 = 3,11 m b) Giả sử x(t ) lượng muối bể thời gian t , xác định hiệu số lượng muối cho vào bể lượng muối thoát dx(t ) a  ga  x(t ) (1) (Với khỏi bể Khi dt V liệu đầu vào x(0)  lượng muối ban đầu 0) Đây dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số Dùng gói lệnh >with(student); để nhập giải phương trình vi phân từ xác định thời gian cần thiết để lượng muối bể đạt nồng độ yêu cầu toán > diff(x(t),t)=g*a-a*x(t)/V;  a x(t ) x(t )  g a  t V > s:=factor(dsolve({%,x(0)=0})); Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019)  at      s : x(t )   g V 1  e V       > Limit(rhs(s),t=infinity):%=simplify(value(%), assume=positive);  at     lim  g V  1  e V    g V t      > ss:=solve(rhs(s)=V*k,t);  g k  ln  V g   ss :  a > subs(a=2,V=100,k=1/2,g=1,ss):%=evalf(%,4); 50 ln(2)=34,66 Vậy thời gian cần thiết để nồng độ muối bể đạt giá trị k = 0,5 gr/lít 34,66 phút Bên cạnh việc đưa gói thủ tục câu lệnh để người dùng tham khảo sử dụng, Maple cho phép lập trình để giải số tốn đơn giản Đối với trường hợp a) toán 2, giảng viên yêu cầu sinh viên xây dựng đoạn chương trình nhỏ Maple để tính áp suất điểm hồ biết trọng lượng riêng chất lỏng chiều cao cột chất lỏng Trong trình học để ơn lại kiến thức tốn, sinh viên thao tác rèn luyện kỹ lập trình thơng qua đoạn code nhỏ Hoạt động giúp em củng cố kiến thức mà cịn nâng cao lực tư tính tốn Bài tốn Hàm cosin tính phương pháp khai triển Taylor theo công thức: x x x6 x8 x10 x12 cos( x)         2! 4! 6! 8! 10! 12! Hãy viết chương trình đầu vào x n để xấp xỉ hàm cos x cách tính tổng n số hạng Bài giải: #Chuong trinh tinh ham cosin bang cong thuc Taylor #Dau vao: x, n #Dau ra: Xap xi gia tri cua cos x cosine : proc  x, n  local i, s, k , sgn; s : 1; k : 0; 19 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP sgn : 0; for i from to n s : s  sgn * x( k 1) / factorial (k  1); sgn :   sgn  1 ; k : k  1; od; print("The cosine function",s);#Dau end; cosine : proc  x, n  local i, s, k ,sgn; s : 1; k : 0; sgn : 0; for i to n s : s  sgn * x(k 1) / factorial (k  1); sgn :   sgn  1 ;k : k  end do; print(“The cosine function”, s) end proc     cosine    ,3  ;    Tạp chí Khoa học soá 37 (04-2019) "The cosine function",   cosine(0,3); "The cosine function", Kết luận Tóm lại, phần mềm Maple hệ thống mở, cho phép tạo lập công cụ bổ sung cho phần mềm chưa đề cập tới Quá trình giảng dạy học tập tốn với hỗ trợ Maple khơng hạn chế động sáng tạo thầy trị, mà ln tạo nhiều hội phát triển tư linh hoạt sáng tạo sinh viên Đây công cụ hiệu hoạt động giảng dạy, học tập nghiên cứu khoa học, q trình tìm tịi lời giải cho toán kỹ thuật Để sử dụng phần mềm Maple hiệu quả, giảng viên sinh viên cần tích cực nghiên cứu để sử dụng thành thạo gói thủ tục mà phần mềm cung cấp vận dụng linh hoạt nội dung giảng dạy, đáp ứng nhu cầu việc ứng dụng Toán học vào thực tiễn./ Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Châu (2005), Sử dụng Maple toán sơ cấp toán cao cấp, NXB Khoa học Kỹ thuật, tr [2] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học Kỹ thuật [3] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ (2000), Toán cao cấp (Tập I - Tập II), NXB Giáo dục [4] Trịnh Thanh Hải (2005), Giáo trình sử dụng phần mềm hỗ trợ dạy học Toán, Đại học Thái Nguyên [5] Phạm Minh Hồng (2004), Maple tốn ứng dụng, NXB Khoa học Kỹ thuật, tr 97-103 APPLYING MAPLE IN TEACHING ADVANCED MATHEMATICS VIA SOME APPLIED PROBLEMS Summary With the development of science and technology, software programs are widely used in teaching and research Leaners should not only master knowledge but also be able to use the relevant programs to solve practical problems Based on Maple software effectiveness, this article presents some Maple applications in teaching advanced mathematics on analysis and linear algebra via several applied problems related to technological issues Keywords: Maple software, advanced mathematics, teaching advanced mathematics, technological problem Ngày nhận bài: 19/12/2018; Ngày nhận lại: 16/01/2019; Ngày duyệt đăng:19/4/2019 20 ... viên Vận dụng phần mềm Maple giảng dạy số nội dung Toán cao cấp Trong mạch kiến thức đại số tuyến tính có nhiều tốn ứng dụng kỹ thuật; tốn mơ tượng tự nhiên Vì thế, giảng viên lồng ghép vào nội dung. .. cho toán kỹ thuật Để sử dụng phần mềm Maple hiệu quả, giảng viên sinh viên cần tích cực nghiên cứu để sử dụng thành thạo gói thủ tục mà phần mềm cung cấp vận dụng linh hoạt nội dung giảng dạy, ... linh hoạt nội dung giảng dạy, đáp ứng nhu cầu việc ứng dụng Toán học vào thực tiễn./ Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Châu (2005), Sử dụng Maple toán sơ cấp toán cao cấp, NXB Khoa học Kỹ thuật, tr