Bµi 4:2 ®iÓm Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh thứ 3.[r]
(1)PHẦN ĐÁP ÁN đáp án - Đề Bµi 4® a) 74( 72 + – 1) = 74 55 55 (®pcm) 2® b) TÝnh A = + + 52 + 53 + + 549 + 55 (1) 5.A = + 52 + 53 + + 549 + 55 + 551 (2) Trõ vÕ theo vÕ (2) cho (1) ta cã : 4A = 551 – => A = Bµi 4® 51 1 a b c a 2b 3c a 2b 3c 20 5 a) ó 12 12 => a = 10, b = 15, c =20 0,5® 0,5® 2® b) Gäi sè tê giÊy b¹c 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ x, y, z ( x, y, z N*) Theo bµi ta cã: x + y + z = 16 vµ 20 000x = 50 000y = 100 000z Biến đổi: 20 000x = 50 000y = 100 000z 20 000 x 50000 y 100 000 z x y z x y z 16 2 100 000 100 000 100 000 5 => Suy x = 10, y = 4, z = VËy sè tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ 10; 4; 0,5® Bµi 4® 1 a) f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 - x - 1® 1 f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 - x + 1® b) A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 t¹i x = - A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 +…+ (-1)100 = + + +…+ = 50 (cã 50 sè h¹ng) 2® Bµi 4®: VÏ h×nh (0,5®) – phÇn a) 1,5® - phÇn b) 2® b a) ABD = EBD (c.g.c) => DA = DE b) V× ABD = EBD nªn gãc A b»ng gãc BED Do gãc A b»ng 900 nªn gãc BED b»ng 900 e c a Bµi 5: 4® d (2) a) Tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c ABG cã: a 1 DE//AB, DE = AB, IK//AB, IK= AB i Do đó DE // IK và DE = IK b) GDE = GIK (g c g) v× cã: DE = IK (c©u a) Gãc GDE = gãc GIK (so le trong, DE//IK) Gãc GED = gãc GKI (so le trong, DE//IK) ⇒ e G k b GD = GI Ta cã GD = GI = IA nªn AG = AD - VÏ h×nh: 0,5® - Phần a) đúng: 2đ - Phần b) đúng: 1,5đ - §Ò 2: Bài 1: điểm 2 3 18 (0, 06 : 0,38) : 19 4 = 15 17 38 19 109 (100 : 100 ) : 19 = 109 17 19 38 50 15 50 : 19 = 109 323 19 250 250 : = 109 13 = 10 19 = 0.5đ 1đ 0.5 0.5đ 506 253 = 30 19 95 0.5đ Bài 2: a c a) Từ c b suy c a.b a c a a.b 2 đó b c b a.b a (a b) a = b ( a b) b 0.5đ 0.5đ 0.5đ a2 c2 a b2 c2 b 2 2 b) Theo câu a) ta có: b c b a c a b2 c b b2 c b 1 2 2 a từ a c a a c 2 0.5đ 1đ b c a c b a 2 a c a hay 2 b a b a 2 a a c 0.5đ 0.5đ d c (3) Bài 3: x a) x 0.5đ 1 2 x 2 x 5 1 x 2 x 2 x 5 hay Với 1 11 x x x 5 hay Với x 1đ 0.25đ 0.25đ b) 15 x x 12 x x 13 ( )x 14 49 13 x 20 14 130 x 343 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài 4: Cùng đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 5.x 4 y 3.z và x x y z 59 Ta có: 1đ x y z x x y z 59 60 1 1 1 59 hay: 5 60 0.5đ Do đó: x 60 12 ; x 60 15 ; x 60 20 0.5đ 0.5đ Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ DAB DAC suy 0 Do đó DAB 20 : 10 A 200 b) ABC cân A, mà (gt) ABC (1800 200 ) : 800 DBC 600 A 00 nên M D ABC nên C (4) 0 Tia BD nằm hai tia BA và BC suy ABD 80 60 20 Tia BM là phân giác góc ABD nên ABM 10 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 20 ; ABM DAB 10 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 y 8(x 2009) Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ 25 nên (x-2009)2 , suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 Vì y2 0.5đ Với (x -2009) =1 thay vào (*) ta có y = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ) Từ đó tìm (x=2009; y=5) 0.5đ 0.5đ - §Ò Bài 1:(4 điểm): Thang điểm Đáp án a) (2 điểm) 212.35 46.92 510.73 255.49 10 212.35 212.34 510.7 A 12 12 9 3 125.7 14 0,5 điểm 212.34 1 510.73 12 1 59.73 23 0,5 điểm 10 212.34.2 12 59.73.9 10 b) (2 điểm) n + - Với số nguyên dương n ta có: 3n 2 2n2 3n 2n = 3n2 3n 2n2 n n n = (3 1) (2 1) n n n n = 10 5 3 10 10 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm điểm (5) = 10( 3n -2n) n 2 n 2 n n Vậy 10 với n là số nguyên dương 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Thang điểm Đáp án a) (2 điểm) 4 16 x 3, x 5 5 14 x 5 x 2 x 2 x x 1 x 7 0,5 điểm x 11 0 x 10 0 x 1 x 10 0 x 7 x x 10 1 ( x 7)10 0 x 7010 x7 x 8 ( x 7) x 7 0,5 điểm 0,5 điểm x 21 7 3 x 21 3 b) (2 điểm) x 7 0,5 điểm x 1 Bài 3: (4 điểm) Đáp án a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số chia từ số A : : Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k a k;b k; c Từ (1) = k 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Thang điểm 0,5 điểm 0,5 điểm (6) 0,5 điểm ) 24309 25 16 36 Do đó (2) k = 180 và k = 180 k2( 0,5 điểm + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 b) (1,5 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm a c Từ c b suy c a.b a c a a.b 2 đó b c b a.b 0,5 điểm 0,5 điểm a ( a b) a b ( a b ) b = Bài 4: (4 điểm) Thang điểm 0,5 điểm Đáp án Vẽ hình A I M B C H K E a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm AC = EB Vì AMC = EMB MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE 0,5 điểm b/ (1 điểm ) (7) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o điểm HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o điểm BME là góc ngoài đỉnh M HEM Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài tam giác ) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 0,5 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 200 M D C B -Vẽ hình a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy DAB DAC 0 Do đó DAB 20 : 10 1điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0 b) ABC cân A, mà A 20 (gt) nên ABC (180 20 ) : 80 600 ABC nên DBC 0 Tia BD nằm hai tia BA và BC suy ABD 80 60 20 Tia BM là phân giác góc ABD 0 0,5 điểm (8) nên ABM 10 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 20 ; ABM DAB 10 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm §Ò Bµi 1.2 Nội dung cần đạt Sè h¹ng thø nhÊt lµ (-1) (3.1-1) Sè h¹ng thø hai lµ (-1)2+1(3.2-1) … D¹ng tæng qu¸t cña sè h¹ng thø n lµ: (-1)n+1(3n-1) A = (-3).17 = -51 §iÓm 2.1 x 2y , 3y = 5z NÕu x-2y = x= -15, y = -10, z = -6 0,5 NÕu x-2y = -5 x= 15, y = 10, z = 0,5 1+1 1.1 1 2.2 2.3 3.1 3.2 4.1 4.2 x y x xy 10 =9 x = ±6 0,5 Ta cã 2x = 3z nªn x1 = 6; y1 = 15; z1 = vµ x1 = -6; y1 = -15; z1 = -4 0,25 0,25 y z 1 x z x y x = y = z = x y z =2 0,5 x 0,5 y 0,5 z x y z x+y+z = 0,5 =2 5 x = 2; y = 6; z = - a a a a a9 a1 a2 a3 1 a2 a3 a4 a9 a1 a1 a2 a9 (v× a1+a2+…+a9 ≠0) 0,5 0,5 0,5 0,25 a1 = a2; a2 = a3; … ;a9 = a1 a1 = a2 = a3=…= a9 0,25 a b c a b c ( a b c) ( a b c) 2b 1 a b c a b c ( a b c) ( a b c) = 2b (v× b≠0) 0,25 a+b+c = a+b-c 2c = c = §Æt c1 = a1-b1; c2 = a2-b2;…; c5 = a5-b5 XÐt tæng c1 + c2 + c3 +…+ c5 = (a1-b1)+( a2-b2)+…+( a5-b5) = c1; c2; c3; c4; c5 ph¶i cã mét sè ch½n c1 c2 c3 c4 c5 AOE = BOF (c.g.c) O,E,F th¼ng hµng vµ OE = OF AOC = BOD (c.g.c) C,O,D th¼ng hµng vµ OC = OD EOD = FOC (c.g.c) ED = CF §Ò 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 (9) Bµi 1.1 1.2 1.3 2.1 Nội dung cần đạt §iÓm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Sè bÞ chia = 4/11 Sè chia = 1/11 KÕt qu¶ = V× |2x-27|2007 ≥ "x vµ (3y+10)2008 ≥ "y |2x-27|2007 = vµ (3y+10)2008 = x = 27/2 vµ y = -10/3 V× 00≤ ab ≤99 vµ a,b N 200700 ≤ 2007ab ≤ 200799 4472 < 2007ab < 4492 2007ab = 4482 a = 0; b= x y z k §Æt 0,5 0,25 0,25 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng … k = -2 X = -3; y = -4; z = - 2.2 3.1 3.2 a b c Tõ gi¶ thiÕt suy b2 = ac; c2 = bd; b c d a b3 c a b3 c 3 3 3 Ta cã b c d b c d (1) a3 a a a a b c a L¹i cã b b b b b c d d (2) a b3 c a 3 Tõ (1) vµ (2) suy ra: b c d d 1 1 1 1 Ta cã: > 10 ; > 10 ; > 10 … > 10 ; 1 1 10 100 2x y 2x ³0; 3y 0,25 0,25 10 = 10 ) -18 Ta cã C = -18 - ( V× 0,25 0,5 0,5 0,25 ³0 2 x 0 Max C = -18 3 y 0 x = vµ y = -3 4.1 4.2 0,5 ABH = CAK (g.c.g) BH = AK MAH = MCK (c.g.c) MH = MK (1) gãc AMH = gãc CMK gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) MHK vu«ng c©n t¹i M Đáp án đề số Câu1: Nhân vế bất đẳng thức ta đợc : (abc)2=36abc +, NÕu mét c¸c sè a,b,c b»ng th× sè cßn l¹i còng b»ng +,Nếu 3số a,b,c khác thì chia vế cho abc ta đợc abc=36 +, Từ abc =36 và ab=c ta đợc c2=36 nên c=6;c=-6 +, Từ abc =36 và bc=4a ta đợc 4a2=36 nên a=3; a=-3 +, Từ abc =36 và ab=9b ta đợc 9b2=36 nên b=2; b=-2 0,25 (10) -, NÕu c = th× avµ b cïng dÊu nªn a=3, b=2 hoÆc a=-3 , b=-2 -, NÕu c = -6 th× avµ b tr¸i dÊu nªn a=3 b=-2 hoÆc a=-3 b=2 Tãm l¹i cã bé sè (a,b,c) tho· m·n bµi to¸n (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) C©u (3®) a.(1®) 5x-3<2=> -2<5x-3<2 (0,5®) … 1/5<x<1 (0,5®) b.(1®) 3x+1>4=> 3x+1>4hoÆc 3x+1<-4 (0,5®) *NÕu 3x+1>4=> x>1 *NÕu 3x+1<-4 => x<-5/3 VËy x>1 hoÆc x<-5/3 (0,5®) c (1®) 4-x+2x=3 (1) * 4-x³0 => x4 (0,25®) (1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( tho¶ m·n ®k) (0,25®) *4-x<0 => x>4 (0,25®) (1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (lo¹i) (0,25®) C©u3 (1®) ¸p dông a+b a+bTa cã A=x+8-x³x+8-x=8 MinA =8 <=> x(8-x) ³0 (0,25®) ¿ x≥0 * − x ≥0 =>0x8 (0,25®) ¿{ ¿ ¿ ¿ x≤0 x≤0 * − x ≤0 => x ≥ kh«ng tho· m·n(0,25®) ¿{ ¿{ ¿ ¿ VËy minA=8 0x8(0,25®) C©u4 Ta cã S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5®) =22.12+22.22+ +22.102 2 =2 (1 +22+ +102) =22.385=1540(0,5®) C©u5.(3®) A D Chøng minh: a (1,5®) Gọi E là trung điểm CD tam giác BCD có ME là đờng trung bình => E ME//BD(0,25®) Trong tam gi¸c MAE cã I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AM (gt) mµ ID//ME(gt) Nªn D lµ trung ®iÓm cña AE => AD=DE (1)(0,5®) B M V× E lµ trung ®iÓm cña DC => DE=EC (2) (0,5®) So s¸nh (1)vµ (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25®) b.(1®) Trong tam giác MAE ,ID là đờng trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam gi¸c BCD; ME lµ §êng trung b×nh => ME=1/2BD (2)(0,5®) So s¸nh (1) vµ (2) => ID =1/4 BD (0,25®) C (11) Đáp án đề số C©u Ta cã a b c a = b c d d (1) Ta l¹i cã a b c a+b+c = = = b c d b +c +a (2) a+ b+c a = b+c +d d a+b+c C©u A = a = c = b = b+c a+b c +a ( a+ b+c ) NÕu a+b+c => A = Tõ (1) vµ(2) => ( ) NÕu a+b+c = => A = -1 C©u a) A = + x −2 để A Z thì x- là ớc => x – = ( 1; 5) * x = => A = * x = => A = - x +3 b) A = -2 * x = => A = * x = -3 => A = để A Z thì x+ là ớc => x + = ( 1; 7) * x = -2 => A = * x = => A = -1 * x = -4 => A = - * x = -10 => A = -3 C©u a) x = hoÆc - b) x = hoÆc - 11 c) x = C©u ( Tù vÏ h×nh) MHK lµ c©n t¹i M ThËt vËy: ACK = BAH (gcg) => AK = BH AMK = BMH (g.c.g) => MK = MH VËy: MHK c©n t¹i M Đáp án đề số Câu 1: Gọi x, y, z là độ dài cạnh tơng ứng với các đờng cao 4, 12, a Ta cã: 4x = 12y = az = 2S x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 ®iÎm) Do x-y < z< x+y nªn S S 2S S S 2 − < < + ⇒ < < a 6 a (0,5 ®iÓm) 3, a , Do a N nªn a=4 hoÆc a= (0,5 ®iÓm) a Tõ a = c a = b = a− b ⇒ a = a −b ⇔ a = c b b a = c b d d c d c −d c c − d a −b a b a+b b a+ b a+b c +d = = ⇒ = ⇔ = c d c +d d c +d b d c −d (0,75 ®iÓm) (0,75 ®iÓm) C©u 2: V× tÝch cña sè : x2 – ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 lµ sè ©m nªn ph¶i cã sè ©m hoÆc sè ©m (12) Ta cã : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – XÐt trêng hîp: + Cã sè ©m: x2 – 10 < x2 – x2 – 10 < < x2 – 7< x2 < 10 x2 =9 ( x Z ) x = ( 0,5 ®iÓm) + cã sè ©m; sè d¬ng x2 – 4< 0< x2 – < x2 < x Z nªn kh«ng tån t¹i x VËy x = (0,5 ®iÓm) C©u 3: Tríc tiªn t×m GTNN B = |x-a| + | x-b| víi a<b Ta cã Min B = b – a ( 0,5 ®iÓm) Víi A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| = [| x-a| + | x-d|] + [|x-c| + | x-b|] Ta cã : Min [| x-a| + | x-d|] =d-a axd Min [|x-c| + | x-b|] = c – b b x c ( 0,5 ®iÓm) VËy A = d-a + c – b b x c ( 0, ®iÓm) C©u 4: ( ®iÓm) A, VÏ Bm // Ax cho Bm n»m gãc ABC Bm // Cy (0, ®iÓm) Do đó góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC ABm + CBm = A + C tøc lµ ABC = A + C ( 0, ®iÓm) b VÏ tia Bm cho ABm vµ A lµ gãc so le vµ ABM = A Ax// Bm (1) CBm = C Cy // Bm(2) Tõ (1) vµ (2) Ax // By Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vuông NOA và NOC ta có: AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, ®iÓm) T¬ng tù ta còng cã: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, ®iÓm) Tõ (1); (2) vµ (3) ta cã: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, ®iÓm) Hớng dẫn chấm đề số C©u 1(2®): 100 102 100 2 100 99 a) A = - 2 (1® ) b) 2n 3n 5n (0,5® ) n+1 n n 6; 2;0; 4 -1 -2 -5 -6 (0,5® ) C©u 2(2®): 1 a) NÕu x ³ th× : 3x - 2x - = => x = ( th¶o m·n ) (0,5®) 1 NÕu x < th× : 3x + 2x + = => x = 1/5 ( lo¹i ) (0,5®) VËy: x = (13) x y z vµ 2x + 3y - z = 50 (0,5®) b) => => x = 11, y = 17, z = 23 (0,5®) 213 C©u 3(2®): C¸c ph©n sè ph¶i t×m lµ: a, b, c ta cã : a + b + c = 70 12 15 : : 6 : 40 : 25 a ,b ,c 35 14 vµ a : b : c = (1®) => (1®) C©u 4(3®): KÎ DF // AC ( F thuéc BC ) (0,5® ) => DF = BD = CE (0,5® ) => IDF = IFC ( c.g.c ) (1® ) => gãc DIF = gãc EIC => F, I, C th¼ng hµng => B, I, C th¼ng hµng (1®) C©u 5(1®): 7.2 x 1 y (14 x 1) 7 y => => (x ; y ) cÇn t×m lµ ( ; ) Đáp án đề số 10 1 1 1 1 = − ; =1 − ; = − ; …; = − 1.2 2.3 3.4 99 100 99 100 −1 −1 −1 1 99 + + + + + + − =1 − = 2 3 99 99 100 100 100 C©u 1: a) Ta cã: VËy A = 1+ b) A = 1+ ( )( ) ( ) 3 4 (2 )+ ( )+ ( )+ +201 ( 20.221 ) = = 1+ + + .+ 21 = ( 2+3+ 4+ +21 ) =¿ = 2 21 22 −1 2 ( ) 2 = 115 C©u 2: a) Ta cã: √ 17>4 ; √ 26>5 nªn √ 17+ √ 26+1>4 +5+1 hay √ 17+ √ 26+1>10 Còn √ 99 < 10 Do đó: √ 17+ √ 26+1> √ 99 1 1 1 > ; > > ; ; … ; √1 10 √ 10 √ 10 1 1 + + + + > 100 =10 VËy: 10 √1 √ √ √ 100 b) 1 = √ 100 10 C©u 3: Gäi a,b,cña lµ c¸c ch÷ sè cña sè cã ba ch÷ sè cÇn t×m V× mçi ch÷ sè a,b,cña không vợt quá và ba chữ số a,b,của không thể đồng thời , vì đó ta không đợc số có ba chữ số nên: a+b+c 27 MÆt kh¸c sè ph¶i t×m lµ béi cña 18 nªn a+b+c =9 hoÆc a+b+c = 18 hoÆc a+b+c=17 Theo gi¶ thiÕt, ta cã: a = b = c = a+b+ c Do đó: ( a+b+c) chia hết cho (14) Nªn : a+b+c =18 a = b = c =18 =3 a=3; b=6 ; cña =9 Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị nó phải là số chẵn VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 396; 936 C©u 4: a) VÏ AH BC; ( H BC) cña ABC + hai tam gi¸c vu«ng AHB vµ BID cã: BD= AB (gt) Gãc A1= gãc B1( cïng phô víi gãc B2) AHB= BID ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) AH BI (1) vµ DI= BH + XÐt hai tam gi¸c vu«ng AHC vµ CKE cã: Gãc A2= gãc C1( cïng phô víi gãc C2) AC=CE(gt) AHC= CKB ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) AH= CK (2) tõ (1) vµ (2) BI= CK vµ EK = HC b) Ta cã: DI=BH ( Chøng minh trªn) t¬ng tù: EK = HC Từ đó BC= BH +Hc= DI + EK C©u 5: Ta cã: A = |x − 2001|+|x − 1| = |x − 2001|+|1 − x|≥|x −2001+1 − x|=2000 Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ là 2000 x-2001 và 1-x cùng dấu, tức là : x 2001 biÓu ®iÓm : C©u 1: ®iÓm a ®iÓm b ®iÓm C©u 2: ®iÓm : a ®iÓm b ®iÓm C©u : 1,5 ®iÓm C©u 4: ®iÓm : a ®iÓm ; b ®iÓm C©u : 1,5 ®iÓm - Đáp án đề số11 C©u1: x+ x+3 x+ x +5 x +349 +1+ +1+ +1+ +1+ −4=0 327 326 325 324 ⇔ (x+329)( + + + + )=0 327 326 325 324 (0,5® ) ⇔ x +329=0 ⇔ x=−329 a, (1) ⇔ b, a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = x x (1) §K: x ³ -7 (0,25 ®) 1 (0,5 ® ) (0,25 ®) 5x x x x … (0,25 ®) VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 C©u 2: (0,25®) (15) 1 1 S=1 − + − + + − 2007 7 7 a, S=7 − 7 2007 S 1 1 ; S=7 − 1+ − + − − 2006 7 7 (0.5®) 2007 (0,5®) 99 −1 −1 100 −1 + + + + = + + + ! 3! ! 100! 2! 3! 100 ! ¿ 1− <1 (0,5®) 100! n+2 n n n+ n n +2 n n+ c, Ta cã − +3 −2 =3 +3 −(2 −2 ) (0,5®) b, (0,5®) 3n 10 −2n 5=3n 10− 2n −2 10=10 ( 3n − 2n −2 ) ⋮10 (0,5®) Câu 3: Gọi độ dài cạnh là a , b, c, chiều cao tơng ứng là x, y, z, diện tích S ( 0,5đ ) 2S y x y z ⇒2 x=3 y=4 z ⇒ = = a= 2S x b= c= 2S z (0,5®) a b c 2S 2S 2S ⇒ = = ⇒ = = 2x 3y 4z vËy x, y, z tØ lÖ víi ; ; (0,5®) C©u4: GT; KL; H×nh vÏ (0,5®) a, Gãc AIC = 1200 (1 ® ) b, LÊy H ∈ AC : AH = AQ ⇒IQ=IH=IP C©u5: B ; LN B ; LN ⇔2 ( n −1 )2 +3 NN Vì ( n −1 )2 ≥0 ⇒2 ( n −1 )2 +3 ≥ đạt NN (0,5đ) DÊu b»ng x¶y n −1=0 ⇔n=1 vËy B ; LN ⇔ B= vµ n=1 (0,5®) (1 ® ) (0,5®) - Đáp án đề số 12 C©u : ®iÓm Mçi c©u ®iÓm a) (x-1) ❑5 = (-3) ❑5 ⇒ x-1 = -3 ⇔ x = -3+1 ⇔ x = -2 b) (x+2)( + + − − ) = 11 12 13 14 15 1 1 + + − − ⇒ x+2 = ⇔ x = 11 12 13 14 15 c) x - √ x = ⇔ ( √ x ) ❑2 - √ x = ⇔ ⇒ x=0 hoÆc √ x - = ⇔ √ x = ⇔ x = √ x ( √ x - 2) = ⇒ C©u : ®iÓm Mçi c©u 1,5 ®iÓm y 2y + = , + = , = 1− y x x 8 x x(1 - 2y) = 40 ⇒ 1-2y lµ íc lÎ cña 40 ¦íc lÎ cña 40 lµ : a) §¸p sè : b) T×m x x = 40 ; y = x = -40 ; y = x = ; y = -2 x = -8 ; y = z để A Z A= √ x+1 =1+ √x− √ x −3 ± 1; ± √x = (16) √x− nguyªn ⇒ √ x −3 ¦(4) = -4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4 C¸c gi¸ trÞ cña x lµ : ; 4; 16 ; 25 ; 49 C©u : ®iÓm |5 x −3| - 2x = 14 ⇔ |5 x −3| = x + (1) §K: x ³ -7 (0,25 ®) A nguyªn 1 5x x x x … (0,25 ®) VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 C©u4 (1.5 ®iÓm) C¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7, 5, A B C A + B+C 180 = = = = =12 15 15 ⇒ A= 840 ⇒ góc ngoài đỉnh A là 960 B = 600 ⇒ góc ngoài đỉnh B là 1200 C = 360 ⇒ góc ngoài đỉnh C là 1440 ⇒ C¸c gãc ngoµi t¬ng øng tØ lÖ víi ; ; b) 1) AE = AD ⇒ ⇒ D E Δ ADE c©n EDA E 1800 A Δ (1) ABC c©n 1800 A AB C = (2) ABC ⇒ E E 1= ⇒ C B Tõ (1) vµ (2) ⇒ ED // BC a) XÐt Δ EBC vµ Δ DCB cã BC chung (3) EBC DCB (4) BE = CD (5) Tõ (3), (4), (5) ⇒ ⇒ Δ EBC = BEC CDB = 900 Δ DCB (c.g.c) ⇒ CE AB ……………………………………… Đáp án đề số 13 Bµi 1: ®iÓm a, TÝnh: A= 10 175 − 100 ¿ 31 183 176 12 ( − )− ¿ 7 11 ¿ (0,25®) (17) = 31 19 341 −57 − 11 33 284 1001 284284 = = = 1056 1001 55 33 55 1815 − 1001 1001 1001 b, 1,5 ®iÓm Ta cã: +) + +7 +……+ 100 = ( 1+100) + ( + 97) +…….+ ( 49+ 52) = 101 34 = 1434 34 cÆp +) 1434 – 410 = 1024 +) ( 18 123 + 436 + 5310 ) = 18 ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 5869 = 105642 VËy A = 105642 : 1024 103,17 Bµi 2: §iÓm Giäi sè cÇn t×m lµ x, y, z Sè nhá lµ x , sè lín nhÊt lµ z Ta cã: x y z (1) Theo gi¶ thiÕt: + + =2 x y z Do (1) nªn z = + + ≤ (2) x y z x Vậy: x = Thay vào (2) , đợc: + =1 ≤ y z y Vậy y = Từ đó z = Ba số cần tìm là 1; 2; Bµi 3: §iÓm Có trang có chữ số Số trang có chữ số là từ 10 đến 99 nên có tất 90 trang Trang có chữ số sách là từ 100 đến 234, có tất 135 trang Suy số các chữ số tÊt c¶ c¸c trang lµ: + 90 + 135 = + 180 + 405 = 594 Bµi : §iÓm Trªn tia EC lÊy ®iÓm D cho ED = EA Hai tam gi¸c vu«ng Δ ABE = Δ DBE ( EA = ED, BE chung) BDA Suy BD = BA ; BAD Theo gi¶ thiÕt: EC – EA = A B VËy EC – ED = AB Hay CD = AB Tõ (1) vµ (2) Suy ra: DC = BD VÏ tia ID lµ ph©n gi¸c cña gãc CBD ( I Hai tam gi¸c: Δ CID vµ Δ BID cã : ID lµ c¹nh chung, CD = BD ( Chøng minh trªn) CID = IDB = C BC ) ( v× DI lµ ph©n gi¸c cña gãc CDB ) VËy Δ CID = BDA (2) + Δ BID ( c g c) IBD = ⇒ C ⇒ C = = D mµ A ( Chøng minh trªn) nªn A = IBD Gäi C lµ α =2 α ( gãc ngoµi cña Δ BCD) ⇒2 α + α = 900 Do đó ; C = 300 và A = 600 Hớng dẫn giải đề số 14 Bµi 1.a XÐt trêng hîp : * x ³5 ta đợc : A=7 ⇒ α ⇒ α = 300 (18) b * x ta đợc : A = -2x-3 XÐt x x 10 x 10 hay A > VËy : Amin = x ³5 1 1 1002 §Æt : A = Bµi a Ta cã : 1 1 1 1 1 1 99.100 = 5 99 100 = 100 * A < 4.5 5.6 6.7 1 1 1 99.100 100.101 101 * A > 5.6 6.7 2a 5a 17 3a 4a 26 a 3 a 3 = a 3 = b Ta cã : a 4a 12 14 4(a 3) 14 14 4 a 3 a 3 a lµ sè nguyªn = Khi đó (a + 3) là ớc 14 mà Ư(14) = 1; 2; 7; 14 Ta cã : a = -2;- 4;- 1; - 5; ; - 10; 11 ; -17 Bài Biến đổi : A 12n n n 1 30 §Ó A6n n n 1 30 6n n n 1 n 30n * n ¦(30) hay n {1, , 3, , , 10 , 15 , 30} * + 306 n n 1 6 n n 1 3 n 3 n 3, 6,15,30 + n 1 3 n 1,10 n {1 , , , 10 , 15 , 30} -Thử trờng hợp ta đợc : n = 1, 3, 10, 30 thoã mãn bài toán Bµi -Trªn Oy lÊy M’ cho OM’ = m Ta cã : m N n»m gi÷a O, M’ vµ M’N = OM -Dùng d lµ trung trùc cña OM’ vµ Oz lµ d ph©n gi¸c cña gãc xOy chóng c¾t t¹i D x - ODM M ' DN (c.g.c) MD ND o D thuéc trung trùc cña MN n i -Rõ ràng : D cố định Vậy đờng trung trực MN qua D cố định d f x ax bx c Bµi -D¹ng tæng qu¸t cña ®a thøc bËc hai lµ : (a 0) - - Ta cã : f x 1 a x 1 b x 1 c a 2a 1 b f x f x 1 2ax a b x b a 0 1 f x x2 x c 2 VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : (c lµ h»ng sè) ¸p dông : z m' y (19) + Víi x = ta cã : f 1 f 1f f + Víi x = ta cã : ………………………………… + Víi x = n ta cã : n f n f n 1 n n 1 n2 n c c f n f = 2 S = 1+2+3+…+n = Lu ý : Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa Bài hình không vẽ hình không chÊm ®iÓm Đáp án đề số 15 Câu1 (làm đúng đợc điểm) x x x x x x 2 Ta cã: x x 20 = x x 10 x 20 = ( x 2)( x 10) §iÒu kiÖn (x-2)(x+10) x 2; (0,25®) x -10 (0,5®) x MÆt kh¸c = x-2 nÕu x>2 -x + nÕu x< (0,25®) x x x( x 2) * NÕu x> th× ( x 2)( x 10) = ( x 2)( x 10) = x x 10 (0,5®) * NÕu x <2 th× x x x ( x 2) x ( x 2)( x 10) = ( x 2)( x 10) = x 10 (®iÒu kiÖn x -10) (0,5®) Câu (làm đúng đợc 2đ) Gäi sè häc sinh ®i trång c©y cña Líp 7A,7B, 7C theo thø tù lµ x, y, z (x> 0; y >0 ; z >0) Theo đề ta có x y z 94(1) x 4 y 5 z (2) (0,5®) BCNN (3,4,5) = 60 3x y z x y z Tõ (2) 60 = 60 = 60 hay 20 = 15 = 12 (0,5®) ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng ta cã : x y z x yz 94 20 = 15 = 12 = 20 15 12 = 47 =2 (0,5®) x= 40, y=30 vµ z =24 (0,5®) Sè häc sinh ®i trång c©y cña líp 7A, 7B, 7C lÇn lît lµ 40, 30, 24 Câu (làm đúng cho 1,5đ) 102006 53 §Ó lµ sè tù nhiªn 102006 + 53 (0,5®) §Ó 102006 + 53 102006 + 53 cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho (20) mµ 102006 + 53 = 1+ +0 + .+ + 5+3 = 102006 53 102006 + 53 hay lµ sè tù nhiªn (1®) C©u (3®) - Vẽ đợc hình, ghi GT, KL đợc 0,25đ µ ¶ ¶ a, ABC cã A1 A2 (Az lµ tia ph©n gi¸c cña A ) µ C µ A 1 (Ay // BC, so le trong) ¶A C µ V ABC c©n t¹i B mà BK AC BK là đờng cao cân ABC BK còng lµ trung tuyÕn cña c©n ABC (0,75®) hay K lµ trung ®iÓm cña AC b, XÐt cña c©n ABH vµ vu«ng BAK Cã AB lµ c¹ng huyÒn (c¹nh chung) ¶A B µ (300 ) V× ¶A µA 300 2 ¶ 900 600 300 B AC AC BH (1®) vu«ng ABH = vu«ng BAK BH = AK mµ AK = c, AMC vu«ng t¹i M cã AK = KC = AC/2 (1) MK lµ trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn KM = AC/2 (2) Tõ (10 vµ (2) KM = KC KMC c©n ¶ µ · 0 MÆt kh¸c AMC cã M 90 A=30 MKC 90 30 60 AMC (1đ) Câu Làm đúng câu đợc 1,5đ Xây dựng sơ đồ cây và giải bài toán Đáp án : Tây đạt giải nhất, Nam giải nhì, Đông giải 3, Bắc giải - Đáp án đề số 16 C©u 1: (2®) a) Xét khoảng x ≥ đợc x = 4,5 phù hợp 0,25 ® Xét khoảng x< đợc x = - phù hợp 0,25 ® b) XÐt kho¶ng x ≥ §îc x > 0,2® XÐt kho¶ng x< §îc x < -1 0,2® 2 VËy x > hoÆc x < -1 c) XÐt kho¶ng x≥ 0,1® Ta cã 3x - XÐt kho¶ng x< Ta cã -3x + x Ta đợc ⇒ x ≥ −2 ≤x ≤ 3 (21) Ta đợc −2 ≤ x ≤ Vậy giá trị x thoã mãn đề bài là −2 ≤ x ≤ C©u 2: a) S = 1+25 + 252 + + 25100 0,3® ⇒25 S=25+252 + +25101 ⇒24 S=25 S − S=25101 − 0,3® 101 VËy S = 25 −1 0,1® 24 b) 430= 230.230 = (23)10.(22)15 >810.315> (810.310)3 = 2410.3 VËy 230+330+430> 3.224 C©u 3: a) H×nh a AB//EF v× cã hai gãc cïng phÝa bï EF//CD v× cã hai gãc cïng phÝa bï VËy AB//CD b) H×nh b AB//EF V× cã cÆp gãc so le b»ng CD//EF v× cã cÆp gãc cïng phÝa bï VËy AB//CD C©u 4: (3®) a) MN//BC ⇒ MD//BD ⇒ D trung ®iÓm AP BP vừa là phân giác vừa là trung tuyến nên là đờng cao BD Tơng tự ta chứng minh đợc BE AQ b) AD = DP Δ DBP=Δ BDE (g.c.g) ⇒ DP = BE ⇒ BE = AD 0,5 ® ⇒ 0,8® 0,2® 0,4® 0,4® 0,2® 0,3 ® 0,2® 0,5 ® AP 0,3® Δ MBE= ΔMAD (c g c)⇒ ME=MD BP = 2MD = 2ME = BQ VËy B lµ trung ®iÓm cña PQ c) Δ BDE vu«ng ë B, BM lµ trung tuyÕn nªn BM = ME Δ ADB vu«ng ë D cã DM lµ trung tuyÕn nªn DM = MA DE = DM + ME = MA + MB C©u 5: 1® A = 1+ 10 4−x XÐt x > th× XÐt < x th× A lín nhÊt 10 4−x lín nhÊt 0,2® 0,4® 0,4® 0,2® 0,3® 10 <0 4−x 10 > a lín nhÊt - x nhá nhÊt 4−x ⇒ x=3 0,6® Đáp án đề số 17 C©u 1: ( mçi ý 0,5 ®iÓm ) a/ 4x - x = 15 b/ 3x - x > (22) 4x 3x > x + = x + 15 * Trêng hîp 1: x ³ - , ta cã: * Trêng hîp 1: x ³ , ta cã: 4x + = x + 15 3x - > x + x = ( TM§K) * Trêng hîp 2: x < - , ta cã: x > ( TM§K) * Trêng hîp 2: x < , ta cã: 4x + = - ( x + 15) 3x – < - ( x + 1) 18 x = - ( TM§K) 18 VËy: x = hoÆc x = - x < ( TM§K) VËy: x > hoÆc x < 2x 2 x 5 x 1 c/ C©u 2: a/.Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 (- 7)A = (-7)2 + (- 7)3 + … + (- 7)2007 + (- 7)2008 8A = (- 7) – (-7)2008 (1) ( 2) 1 2008 Suy ra: A = [(- 7) – (-7) ] = - ( 72008 + ) * Chøng minh: A 43 Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 , cã 2007 sè h¹ng Nhãm sè liªn tiÕp thành nhóm (đợc 669 nhóm), ta đợc: A=[(- 7) + (-7)2 + (- 7)3] + … + [(- 7)2005 + (- 7)2006 + (- 7)2007] = (- 7)[1 + (- 7) + (- 7)2] + … + (- 7)2005 [1 + (- 7) + (- 7)2] = (- 7) 43 + … + (- 7)2005 43 = 43.[(- 7) + … + (- 7)2005] 43 VËy : A 43 b/ * Điều kiện đủ: Nếu m và n thì m2 3, mn và n2 3, đó: m2+ mn + n2 * §iÒu kiÖn cÇn: Ta cã: m2+ mn + n2 = ( m - n)2 + 3mn (*) Nếu m2+ mn + n2 thì m2+ mn + n2 3, đó từ (*),suy ra: ( m - n)2 ,do đó ( m n) vì ( m - n)2 và 3mn nên mn ,do đó hai số m n chia hết cho mà ( m - n) nên số m,n chia hết cho C©u 3: Gọi độ dài các cạnh tam giác là a, b, c ; các đờng cao tơng ứng với các cạnh đó là , hb , hc Ta cã: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( + hc ) = : : (23) 1 (ha +hb) = ( hb + hc ) = ( + hc ) = k ,( víi k 0) Hay: Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( + hc ) = 5k Céng c¸c biÓu thøc trªn, ta cã: + hb + hc = 6k Từ đó ta có: = 2k ; hb =k ; hc = 3k MÆt kh¸c, gäi S lµ diÖn tÝch ABC , ta cã: a.ha = b.hb =c.hc a.2k = b.k = c.3k a b c = = C©u 4: Gi¶ sö DC kh«ng lín h¬n DB hay DC DB * Nếu DC = DB thì BDC cân D nên DBC = BCD Suy ra: ABD = ACD Khi đó ta có: ADB = ADC (c_g_c) Do đó: ADB = ADC ( trái với giả thiết) * NÕu DC < DB th× BDC , ta cã DBC < BCD mµ ABC = ACB suy ra: ABD ACD ( ) > A XÐt ADB vµ ACD cã: AB = AC ; AD chung ; DC < DB Suy ra: DAC < DAB (2) D Tõ (1) vµ (2) ADB vµ ACD ta l¹i cã ADB < ADC , ®iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt VËy: DC > DB C©u 5: ( ®iÓm) áp dụng bất đẳng thức: B x y ³ x y - , ta cã: A = x 1004 - x 1003 ( x 1004) ( x 1003) = 2007 VËy GTLN cña A lµ: 2007 DÊu “ = ” x¶y khi: x -1003 - Hớng dẫn chấm đề 18 C©u 1-a (1 ®iÓm ) XÐt trêng hîp 3x-2 3x -2 <0 => kÕt luËn : Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n b-(1 ®iÓm ) XÐt trêng hîp 2x +5 vµ 2x+5<0 Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh => kÕt luËn C©u 2-a(2 ®iÓm ) Gäi sè cÇn t×m lµ abc abc ⋮ 18=> abc ⋮ VËy (a+b+c) ⋮ Ta cã : a+b+c 27 Tõ (1) vµ (2) suy a+b+c =9 hoÆc 18 hoÆc 27 Theo bµi a = b = c = a+b+ c (1) (2) (3) (4) C (24) Tõ (3) vµ (4) => a+b+c=18 vµ tõ (4) => a, b, c mµ abc ⋮ => sè cÇn t×m : 396, 936 b-(1 ®iÓm ) A=(7 +72+73+74) + (75+76+77+78) + + (74n-3+ 74n-2+74n-1+74n) = (7 +72+73+74) (1+74+78+ +74n-4) Trong đó : +72+73+74=7.400 chia hết cho 400 Nên A ⋮ 400 C©u 3-a (1 ®iÓm ) Tõ C kÎ Cz//By cã : + CBy C = 2v (gãc cïng phÝa) (1) C1 + CAx = 2v V× theo gi¶ thiÕt C +C + α + γ = 4v =3600 VËy Cz//Ax (2) Tõ (1) vµ (2) => Ax//By C©u 4-(3 ®iÓm) Δ ABC c©n, ACB =1000=> CAB = CBA =400 Trªn AB lÊy AE =AD CÇn chøng minh AE+DC=AB (hoÆc EB=DC) Δ AED c©n, DAE = 400: =200 => ADE =AED = 800 =400+EDB (gãc ngoµi cña Δ EDB) => EDB =400 => EB=ED (1) Trªn AB lÊy C’ cho AC’ = AC C Δ CAD = Δ C’AD ( c.g.c) AC’D = 1000 vµ DC’E = 800 VËy Δ DC’E c©n => DC’ =ED (2) Tõ (1) vµ (2) cã EB=DC’ A C Mµ DC’ =DC VËy AD +DC =AB C©u (1 ®iÓm) S=(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2004 -3S= (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2004] = (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2005] -3S-S=[(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2005]-(3)0-(-3)1- -(-3)2005 2005 −3 ¿ -4S = (-3)2005 -1 S = ¿ ¿ ¿ −1 D E B 2005 = +1 - Đáp án đề 19 1 1 1 1 − − − − − − − − 90 72 56 42 30 20 12 1 1 1 1 =-( + + + + + + + + ) 1® 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = - ( − + − + − + + − + − ) 1® 2 3 9 10 = - ( − ) = −9 0,5® 10 10 Bµi 2: A = |x − 2|+|5 − x| Bµi 1: Ta cã : - Víi x<2 th× A = - x+ 2+ – x = -2x + >3 0,5® Víi x th× A = x-2 –x+5 = 0,5® Víi x>5 th× A = x-2 +x –5 = 2x –7 >3 0,5® So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A c¸c kho¶ng ta thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = (25) <=> x 1® Bài 3: a Trên tia đối tia OC lấy điểm N cho ON = OC Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC nên OM là đờng trung bình tam giác BNC Do đó OM //BN, OM = BN A G O H B C Do OM vu«ng gãc BC => NB vu«ng gãc BC Mµ AH vu«ng gãc víi BC v× thÕ NB // AH (1®) T¬ng tù AN//BH Do đó NB = AH Suy AH = 2OM (1đ) b Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm AG và HG thì IK là đờng trung bình tam gi¸c AGH nªn IK// AH IK = AH => IK // OM vµ IK = OM ; ∠ KIG = ∠ OMG (so le trong) Δ IGK = Δ MGO nªn GK = OG vµ ∠ IGK = ∠ MGO Ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng 1® Do GK = OG mµ GK = HG nªn HG = 2GO Đờng thẳng qua điểm H, G, O đợc gọi là đờng thẳng le 1® Bài 4: Tổng các hệ số đa thức P(x) giá trị đa thức đó x=1 VËy tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc: 0,5® P(x) = (3-4x+x2)2006 (3+4x + x2)2007 B»ng P(1) = (3-4+1)2006 (3+4+1)2007 = 0,5® Đáp án đề 20 C©u 1: Ta cã: 220 (mod2) nªn 22011969 (mod2) 119 1(mod2) nªn 11969220 1(mod2) 69 -1 (mod2) nªn 69220119 -1 (mod2) VËy A (mod2) hay A (1®) T¬ng tù: A 3 (1®) A 17 (1®) (26) V× 2, 3, 17 lµ c¸c sè nguyªn tè A 2.3.17 = 102 C©u 2: T×m x a) (1,5®) Víi x < -2 x = -5/2 (0,5®) Víi -2 ≤ x ≤ kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi x > x = ½ (0,5®) b) (1,5®) Víi x < -2 Kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi -2 ≤ x ≤ 5/3 Kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi x > 5/3 x = 3,5 (0,5®) Bµi 3: a) Dễ dàng chứng minh đợc IH = 0M A IH // 0M 0MN = HIK (g.c.g) I E Do đó: IHQ = M0Q (g.c.g) QH = Q0 F H N QI = QM P b) DIM vuông có DQ là đờng trung K Q O tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn nªn R QD = QI = QM B D M Nhng QI là đờng trung bình 0HA nên c) T¬ng tù: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2 Bµi 4(1®): V× 3|x-5| ³ "x R Do đó A = 10 - 3|x-5| ≤ 10 VËy A cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 10 |x-5| = x = Đáp án đề 21 Bµi §iÒu kiÖn x ³ a) A = - (0,25®) (0,5®) b) √ x+3 > A = -1 √ x −5=− √ x − x = (0,25®) (0,5®) √ x +3 √ x+3 lµ íc cña c) Ta cã: A = - §Ó A Z th× x = {1; 25} đó A = {- 1; 0} Bµi a) Ta cã: √ 7− x=x − (0,5®) x − 1≥ x −1 ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ x≥1 ¿ ¿ x=3 ; x=−2 − x=¿ (1®) b) Ta cã: 2M = – 22 + 23 – 24 + …- 22006 + 22007 3M = + 22007 (0,25®) M= 2007 (0,25®) +1 (0,5®) c) Ta cã: A = x4 + 2x2 +1 ³ víi mäi x §PCM (1®) C (27) Aˆ Bˆ Cˆ 1800 300 Aˆ 300 ; Bˆ 600 ; Cˆ 900 Bµi Ta cã: VËy tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i C (0,5®) Bµi GT, KL (0,5®) a) Gãc AIC = 1200 (1®) b) LÊy H AC cho AH = AN (0,5®) Từ đó chứng minh IH = IN = IM (1đ) Bµi A = + 2000 AMax – x > vµ nhá nhÊt (0,5®) 6−x (0,5®) – x = x = Vậy x = thoã mãn điều kiện bài toán đó A Max= 2001 (0,5đ) Đáp án đề 22 C©u 1: (2.5®) a 25 a2 15 20 15 40 55 () () () () () ( 19 ) :(31 ) = ( 13 ) : (31 ) = ( ❑3 ) a1 b A= 30 = 50 = 30 20 (0.5®) 10 94 − 69 (1− 3) = = 210 8+ 68 20 210 (1+ 5) = 0.(21) 33 c3 0,(21) = 21 = ; 99 33 c (0.5®) (0.5®) = 0,3(18) 22 c4 5,1(6) = c1 c2 C©u 2: (2®) Gäi khèi lîng cña khèi 7, 8, lÇn lît lµ a, b, c (m3) ⇒ a + b + c = 912 m3 ⇒ Sè häc sinh cña khèi lµ : b a = vµ 4,1 1,2 a b c = = =20 1,2 12 1,4 15 1,6 Theo đề ta có: ⇒ a 1,2 b ; 1,4 b c = 1,4 1,6 ; ⇒ (x = 2)2 + (0.5®) (0.5®) c 1,6 (0.5®) (0.5®) VËy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3 Nªn sè HS c¸c khèi 7, 8, lÇn lît lµ: 80 hs, 240 hs, 300 hs C©u 3: ( 1.5®): a.T×m max A Ta cã: (x + 2)2 (0.5®) (0.5®) ⇒ Amax= x = -2 (0.75®) b.T×m B Do (x – 1)2 ; (y + 3)2 ⇒ B VËy Bmin= x = vµ y = -3 C©u 4: (2.5®) KÎ CH c¾t MB t¹i E Ta cã EAB c©n t¹i E ⇒ EAB =300 ⇒ EAM = 200 ⇒ CEA = MAE = 200 (0.5®) (0.75®) C E (28) M 300 100 H Do ACB = 800 ⇒ ACE = 400 ⇒ AEC = 1200 (A1 ) (0.5®) 0 MÆt kh¸c: EBC = 20 vµ EBC = 40 ⇒ CEB = 120 ( ) (0.5®) Tõ ( ) vµ ( ) ⇒ AEM = 1200 Do EAC = EAM (g.c.g) ⇒ AC = AM ⇒ MAC c©n t¹i A (0.5®) Vµ CAM = 400 ⇒ AMC = 700 (0.5®) C©u 5: (1.5®) Gi¶ sö a2 vµ a + b kh«ng nguyªn tè cïng ⇒ a2 vµ a + b Cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d: ⇒ a2 chia hÕt cho d ⇒ a chia hÕt cho d vµ a + b chia hÕt cho d ⇒ b chia hÕta cho d (0.5®) ⇒ (a,b) = d ⇒ tr¸i víi gi¶ thiÕt VËy (a2,a + b) =1 (0.5®) - B ĐỀ 23 C©u I : 1) Xác định a, b ,c a− b+3 c − = = = (a −1) = − 3(b+ 3) = − 4( c −5) = a −3 b − c −5 −9+ 20 =−2 10 −12 − 24 10 −12 −24 => a = -3 ; b = -11; c = -7 Cách : a− = b+3 = c − = t ; sau đó rút a, b ,c thay vào tìm t =- tìm a,b,c 2) Chøng minh §Æt a = c = k => a= kb ; c = kd Thay vµo c¸c biÓu thøc : b d 2 a −3 ab+ b2 c −3 cd +5 d k − k +5 k −3 k+ − = − =0 => ®pcm 2+3 k 2+3 k b2 +3 ab d +3 cd C©u II: TÝnh: 1) Ta cã :2A= 2( 1 + + + )= 3.5 5.7 97 99 1 1 1 1 32 − + − + + − = − = =>A 5 97 99 99 99 = 16 99 1 1 2) B = = − + − + + 50 − 51 = 3 3 1 1 + + + + + 50 51 (−3) (−3 ) (− ) (−3 ) (− ) −3 ¿ ¿ ¿ 1 + +¿ (−3 ) (−3 ) => B=¿ −3 1 − = − (−352) − 351 −1 52 51 => B = (−3 −1) 51 C©u III 0,(1).3 = + = 10 10 10 30 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+ 0,(32)= 0,12+ 0,(01).32 = 1000 1000 Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = +¿ 10 12 32 + 100 1000 99 = 1489 12375 C©u IV : Gäi ®a thøc bËc hai lµ : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d (29) P(0) = 10 => -3c+d =10 (1) P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vµo (1) ta cã -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= => 2b -2+16 = > b= -5 P(3) = => 6a-30 +16 =1 => a = VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : P(x) = x ( x −1)(x − 2) −5 x (x − 1)+2( x −3)+16 => P(x) = x - 25 x 2+12 x+10 2 C©u V: a) DÔ thÊy Δ ADC = Δ ABE ( c-g-c) => DC =BE V× AE AC; AD AB mÆt kh¸c gãc ADC = gãc ABE => DC Víi BE b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN MP MN = DC = BE =MP; VËy Δ MNP vu«ng c©n t¹i M - Đáp án đề 24 Bµi 1: a) 3 3 3 10 11 12 5 5 5 A = 10 11 12 3 (0,25®) 1 1 1 3 3 10 11 12 1 1 1 5 5 A = 10 11 12 3 A= + =0 1 1 (0,25®) (0,25®) b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25®) (0,25®) Bµi 2: a) Ta cã 430 = 230.415 (0,25®) 10 30 11 3.24 = (0,25®) 15 11 30 mµ > > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 b) = 36 > 29 33 > 14 (0,25®) 36 + 33 > 29 + 14 Bµi 3: (0,25®) 3B = 2102 – 1; (0,25®) 2102 B= (30) Gäi x1, x2 x3 lÇn lît lµ sè ngµy lµm viÖc cña m¸y x1 x2 x3 (1) (0,25®) Gäi y1, y2, y3 lÇn lît lµ sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y y1 y2 y3 (2) (0,25®) Gäi z1, z2, z3 lÇn lît lµ c«ng suÊt cña m¸y z1 z2 z3 1 5z1 = 4z2 = 3z3 (3) Mµ x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25®) (0,25®) x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 395 15 18 40 395 15 Tõ (1) (2) (3) (0,5®) (0,25®) x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 Vậy số thóc đội lần lợt là 54, 105, 200 (0,25đ) Bµi 4: a) EAB =CAD (c.g.c) (0,5®) ABM ADM (1) (0,25®) BMC MBD BDM Ta cã (gãc ngoµi tam gi¸c) (0,25®) BMC MBA 60 BDM ADM BDM 60 120 (0,25®) b) Trªn DM lÊy F cho MF = MB (0,5®) FBM (0,25®) DFBAMB (c.g.c) (0,25®) DFB AMB 120 Bµi 6: Ta cã (0,5®) E A D F x 2 f (2) f ( ) 4 (0,25®) M 1 x f ( ) f (2) 2 (0,25®) 47 f (2) 32 (0,5®) B - đáp án đề 25 C©u a.NÕu x ³0 suy x = (tho· m·n) NÕu < suy x = -3 (tho· m·n) C (31) b x x −3 = − = ⇒ y 6 y =1 x −3=6 ¿{ y x y 6 ;hoÆc x 1 y x y 3 ; hoÆc x 2 ; hoÆc y 2 ;hoÆc x 3 hoÆc ¿ y=−1 x − 3=− ¿{ ¿ y ; hoÆc x hoÆc Từ đó ta có các cặp số (x,y) là (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6) x y z x y z 3x y z 30 2 c Từ 2x = 3y và 5x = 7z biến đổi 21 14 10 61 89 50 63 89 50 15 x = 42; y = 28; z = 20 C©u a A là tích 99 số âm đó 1 1.3 2.4 5.3 99.101 1 A 1002 16 100 1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 A 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 200 2 b B= x 1 x 34 1 x x x B nguyªn ˆ nguen x x 4 x 4; 25;16;1; 49 C©u Thời gian thực tế nhiều thời gian dự định Gọi vận tốc dự định từ C đến B là v1 == 4km/h Vận tốc thực tế từ C đến B là V2 = 3km/h V1 t1 V1 va V t2 V2 Ta cã: (t1 lµ thêi gian ®i AB víi V1; t2 lµ thêi gian ®i CB víi V2) t1 t t t t 15 15 tõ t2 4 t2 = 15 = 60 phót = giê Vậy quãng đờng CB là 3km, AB = 15km Ngời đó xuất phát từ 11 45 phút – (15:4) = C©u a Tam gi¸c AIB = tam gi¸c CID v× cã (IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC) b Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c) gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c) Gãc I3 = gãc I4 M, I, N th¼ng hµng vµ IM = IN Do vËy: I lµ trung ®iÓm cña MN c Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900 gãc AIB < 900 gãc BIC > 900 d NÕu AC vu«ng gãc víi DC th× AB vu«ng gãc víi AC vËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (32) C©u x 10 10 10 1 x P lín nhÊt x lín nhÊt P = 4 x 10 XÐt x > th× x < 10 XÐt x< th× x > 10 x lín nhÊt – x lµ sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt 4–x=1x=3 10 đó x = 10 Plớn = 11 - Hớng dẫn chấm đề 26 Bµi : a) T×m x Ta cã |2 x −6| + 5x =9 |2 x −6| = 9-5x * 2x –6 ³ (0,5) * 2x – < (0,5) VËy x = ⇔ x ³ đó 2x –6 = 9-5x ⇒ x = 15 ⇔ x< đó – 2x = 9-5x b) TÝnh (1+2+3+ +90).( 12.34 – 6.68) : ⇒ kh«ng tho· m·n x= tho· m·n ( 13 + 14 + 15 + 16 ) = (0,5) ( v× 12.34 – 6.68 = 0) c) Ta cã : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 + + 2101 ⇒ 2A – A = 2101 –1 (0,5) 101 101 Nh vËy –1 < VËy A<B (0,5) Bài : Gọi cạnh tam giác ABC là a, b, c và đờng cao tơng ứng là ha, hb, hc Theo đề bài ta có (ha+ hb): (hb + hc) : (hc + ) = :7 :8 hay + hb =5k ; hb + hc=7k hc + = 8k ; + hb +hc =10k (k lµ hÖ sè tØ lÖ ) (0,5) Suy hc =( + hb +hc) – (ha + hb) = 10k –5k =5k T¬ng tù : =3k , hb= 2k A DiÖn tÝch tam gi¸c : a = b.hb 2 h Suy a = b = k = T¬ng tù : a = ; b = ; b 3k c c (0,5) a b c = = 1 a.ha = b.hb =c.hc ⇒ h b hc 1 1 1 : : = : : Hay a:b:c = 10: 15 :6 ⇒ a:b:c = hb hc B C (0,5) (33) Bµi : a) T¹i x = 16 ta cã : A = (1) b) Víi x >1 §Ó A = tøc lµ 16 +1 =7 16 −1 √ √ ; t¹i x = 25 √ x+1 =5 ⇔ √ x= ⇔ x= √x− ta cã : A = 25 +1 =4 ; 25 −1 √ √ (1) Bµi : E thuéc ph©n gi¸c cña ABC nªn EN = EC ( tÝnh chÊt ph©n gi¸c) suy : tam gi¸c NEC c©n vµ ENC = ECN (1) D thuéc ph©n gi¸c cña gãc CAB nªn DC = DM (tÝnh chÊt ph©n gi¸c ) suy tam gi¸c MDC c©n vµ DMC =DCM ,(2) Ta l¹i cã MDB = DCM +DMC (gãc ngoµi cña CDM ) = 2DCM T¬ng tù ta l¹i cã AEN = 2ECN Mµ AEN = ABC (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) MDB = CAB (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän ) Tam gi¸c vu«ng ABC cã ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy CAB = ABC = AEN + MDB = ( ECN + MCD ) suy ECN + MCD = 450 VËy MCN = 900 –450 =450 (1,5) Bµi : Ta cã P = -x2 –8x + = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 21 víi mäi x DÊu (=) x¶y x = -4 Khi đó P có giá trị lớn là 21 hớng dẫn đề 27 C©u 1: (3®) b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25 suy 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5® n suy (1/2 +4) = suy 2n-1 =9 25 suy n-1 = suy n=6 0,5® n+2 n+2 n n n n n n c/ -2 +3 -2 =3 (3 +1)-2 (2 +1) = 10-2 0,5® v× 3n.10 10 vµ 2n.5 = 2n-1.10 10 suy 3n.10-2n.5 10 0,5® Bµi 2: a/ Gäi x, y, z lÇn lît lµ sè häc sinh cña 7A, 7B, 7C tham gia trång c©y(x, y, z∈z+) ta cã: 2x=3y = 4z vµ x+y+z =130 0,5® hay x/12 = y/8 = z/6 mµ x+y+z =130 0,5® suy ra: x=60; y = 40; z=30 -7(4343-1717) b/ -0,7(4343-1717) = 0,5®10 43 40 10 Ta cã: 43 = 43 43 = (43 ) 43 v× 43 tËn cïng lµ cßn 433 tËn cïng lµ suy 4343 tËn cïng bëi (34) 1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174 cã tËn cïng lµ suy (174)4 cã tËn cïng lµ suy 1717 = 1716.17 tËn cïng bëi 0,5® 43 17 suy 43 và 17 có tận cùng là nên 4343-1717 có tận cùng là suy 4343-1717 chia hÕt cho 10 0,5® suy -0,7(4343-1717) lµ mét sè nguyªn Bµi 3: 4®( Häc sinh tù vÏ h×nh) a/∆ MDB=∆ NEC suy DN=EN 0,5® b/∆ MDI=∆ NEI suy IM=IN suy BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN 0,5® c/ Gọi H là chân đờng cao vuông góc kẻ từ A xuống BC ta có ∆ AHB=∆ AHC suy HAB=HAC 0,5® gọi O là giao AH với đờng thẳng vuông góc với MN kẻ từ I thì ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA(1) 0,5® ∆ OIM=∆ OIN suy OM=ON 0,5® suy ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5® Tõ (1) vµ (2) suy OCA=OCN=900 suy OC ┴ AC 0,5® Vậy điểm O cố định - Đáp án đề 28 C©u 1: (2®) a a + a = 2a víi a ³ (0,25®) Víi a < th× a + a = (0,25®) b a - a -Víi a³ th× a - a = a – a = -Víi a< th× a - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2x + 3 -Víi x + ³ x ³ - Ta cã: 3(x – 1) – x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – – 2x – = x – (0,5®) -Víi x + < x< - Tacã: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3) = 3x – + 2x + = 5x + (0,5®) C©u 2: T×m x (2®) a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = §K: x ³ -7 (0,25 ®) 1 5x x (1) (0,25 ®) 5x x x x … (0,25 ®) VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 b 2x + 3 - 4x < (1,5®) 2x + 3 < + 4x (1) §K: 4x +9 ³ x ³ x (t/m§K) (0,5®) (1) 4x 9 x 4x (0,25®) (35) C©u 3: Gọi chữ số số cần tìm là a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18 số đó phải chia hết cho VËy (a + b + c ) chia hÕt cho (1) (0,5®) Tacã: a + b + c 27 (2) V× a ; b ³ ; c Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) nhËn c¸c gi¸ trÞ 9, 18, 27 (3) Suy ra: a = ; b = ; c = (0,5®) Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho vừa chia hết cho chữ số hàng đơn vị ph¶i lµ sè ch½n VËy ssè cµn t×m lµ: 396 ; 963 (0,5®) -Vẽ hình đúng viết giả thiết, kết luận đúng (0,5đ) -Qua N kÎ NK // AB ta cã EN // BK NK = EB EB // NK EN = BK L¹i cã: AD = BE (gt) AD = NK (1) -Häc sinh chøng minh ADM = NKC (gcg) (1®) DM = KC (1®) Đáp án đề 29 Bµi 1: Ta cã: 102007 10 = + 2007 2007 10 10A = 10 (1) 2008 10 10 = + 2008 2008 10 (2) T¬ng tù: 10B = 10 9 2008 2007 Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 10 10 10A > 10B A > B Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 (1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006 A= 2007.2006 10 18 2007.2006 2006.2007 12 20 2006.2007 = 10 (1) Mµ: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 A= Bµi 3:(2®iÓm) Tõ: x 1 x y y x-2 y Do đó : y(x-2) =8 Quy đồng mẫu vế phải ta có : (36) §Ó x, y nguyªn th× y vµ x-2 ph¶i lµ íc cña Ta cã c¸c sè nguyªn t¬ng øng cÇn t×m b¶ng sau: Y x-2 X 10 -1 -8 -6 -2 -4 -2 4 -4 -2 -8 -1 Bµi 4:(2 ®iÓm) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh thứ Vậy có: b + c > a Nh©n vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2 (1) T¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b (2) a.c + c.b > c2 (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta đợc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 Bµi 5:(3 ®iÓm) VÏ tia ph©n gi¸c ABK cắt đờng thẳng CK I A Ta cã: IBC c©n nªn IB = IC CIA 120 Do đó: BIA = CIA (ccc) nªn BIA BIA = BIK (gcg) BA=BK b) Tõ chøng minh trªn ta cã: B BAK 700 - Đáp án đề 30 C©u 1: ( ®iÓm ) 1 < víi mäi n nªn ( 0,2 ®iÓm ) n n −1 1 1 A< C = + + + + ( 0,2 ®iÓm ) −1 −1 −1 n −1 a Do MÆt kh¸c: C= 1 1 + + + + 1.3 2.4 3.5 ( n −1 ) ( n+ ) = 1 − + − + − + + − ( n −1 ❑ 1+ − − < = <1 ❑ ( n n+1 ) 2 = ( 0,2 ®iÓm) n+1 ) ( 0,2 ®iÓm) (0,2 ®iÓm ) VËy A < 1 1 + + + + ( 0,25 ®iÓm ) 2 ( n )2 1 1 1+ + + + + ( 0,25 ®iÓm ) 2 n (1+ A ) ( 0,25 ®iÓm ) 22 b ( ®iÓm ) B = = = ( ) I K C (37) 1 (1+1 ) = 2 Suy P < ;Hay P < (0,25 ®iÓm ) C©u 2: ( ®iÓm ) Ta cã √ k+1 k +1 >1 k víi k = 1,2……… n ( 0,25 ®iÓm ) áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 số ta có: √ k+1 k +1 k+1 1 .1 k +1 = < k k k √ √ k+1 Suy < 1+1+ +1+ k +1 1 <1+ − k k k +1 ( k +1 k k +1 ) = n < √ 2+ 3 + + n +1 n+1 <n+1 − < n+1 √ [ α ] =n n (0,5 ®iÓm ) ( 0,5 ®iÓm ) LÇn lît cho k = 1,2, 3,…………………… n √ k 1 + =1+ k +1 k k ( k +1 ) n cộng lại ta đợc ( 0,5 ®iÓm) => C©u (2 ®iÓm ) Gọi , hb ,hc lần lợt là độ dài các đờng cao tam giác Theo đề bài ta có: +hb hb +h c hc +h a ( +h b+ hc ) +hb + hc ( 0,4 ®iÓm ) => = = hc h b h a = = = 20 = 10 => : hb : hc = : 2: ( 0,4 ®iÓm ) MÆt kh¸c S = a ha= bhb = ch c ( 0,4 ®iÓm ) 2 a b c = = => 1 (0 , ®iÓm ) h b hc 1 1 1 : : = : : =10:15 :6 (0 ,4 ®iÓm ) => a :b : c = hb hc VËy a: b: c = 10 : 10 : C©u 4: ( ®iÓm ) Trªn tia Ox lÊy A ' , trªn tia Oy lÊy B ' cho O A ' = O B ' = a ( 0,25 ®iÓm ) Ta cã: O A ' + O B ' = OA + OB = 2a => A A ' = B B ' ( 0,25 ®iÓm ) Gäi H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu Của A và B trên đờng thẳng A ' B ' y Tam gi¸c HA A ' = tam gi¸c KB B ' ( c¹nh huyÒn, gãc nhän ) ( 0,5 ®iÓm ) => H A ' =K B' , đó HK = A ' B' (0,25 ®iÓm) Ta chứng minh đợc HK AB (DÊu “ = “ A trïng A ' B trïng B ' (0,25 ®iÓm) ' ' đó A B ≤ AB ( 0,2 ®iÓm ) VËy AB nhá nhÊt OA = OB = a (0,25®iÓm ) C©u ( ®iÓm ) Gi¶ sö √ a+√ b+ √ c=d ∈ Q ( 0,2 ®iÓm ) (38) => √ a+√ b=d − √ a => b +b +2 √ bc=d +a+ 2d √ a ( 0,2 ®iÓm) => √ bc=( d + a− b −c ) −2 d √ a ( ) ( 0,2 ®iÓm) => 4bc = ( d +a − b− c ) + d2a – 4b ( d +a − b− c ) √ a ( 0,2 ®iÓm) => d ( d +a − b− c ) √ a = ( d +a − b− c ) + 4d 2a – bc * NÕu d ( d +a − b− c ) # th×: 2 ( 0,2 ®iÓm) d +a −b − c ¿ + d a − ab ¿ lµ sè h÷u tØ ¿ √ a=¿ (0,2 5®iÓm ) ** NÕu d ( d +a − b− c ) = th×: d =0 hoÆc d 2+ a-b – c = ( 0,25 ®iÓm ) + d = ta cã : √ a+√ b+ √c=0 => √ a= √ b=√ c=0 ∈ Q (0,25 ®iÓm ) + d + a-b – c = th× tõ (1 ) => √ bc=− d √ a V× a, b, c, d nªn √ a=0∈ Q ( 0,25 ®iÓm ) VËy √ a lµ sè h÷u tØ Do a,b,c cã vai trß nh nªn √ a , √ b , √ c lµ c¸c sè h÷u tØ (39)