MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Một số hệ phương trình được học trong chương trình phổ thông có phương pháp giải rõ ràng, học sinh chỉ cần nhớ thuật giải, rèn luyện các kĩ năng biến đổ[r]
(1)MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Hệ phương trình là dạng toán khá phổ biến các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ và đề thi HSG các cấp Đối với nhiều học sinh, bài toán giải hệ phương trình coi là bài toán khó, chí là câu khó cấu trúc đề thi ĐH, CĐ Qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ và bồi dưỡng học sinh giỏi phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải các hệ phương trình này, tôi thấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo các kĩ giải hệ phương trình thông thường và chú ý tới số kĩ thường áp dụng giải “hệ không mẫu mực” Trong bài viết này tôi xin gọi các hệ phương trình mà thuật giải không trình bày sách giáo khoa Bài viết chia làm ba mục: Mở đầu là tóm tắt các hệ phương trình thường gặp, đã giới thiệu khá chi tiết sách giác khoa Mục thứ hai là số kĩ giải hệ phương trình không mẫu mực Các bài toán đưa phần lớn là tôi sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, số ít tôi các kì thi KS, thi HSG,…Lời giải các bài toán này tôi chú ý đến cách đưa hệ không mẫu mực dạng quen thuộc mà không quan tâm đến kết cuối cùng Cuối cùng là hệ thống các bài tập để bạn đọc tham khảo Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi ĐH, CĐ và ôn thi HSG cho học sinh khối 12 Thời gian giảng dạy chuyên đề này cho học sinh khối 12 ôn thi ĐH, CĐ là buổi Mặc dù tâm huyết với chuyên đề, thời gian và khả có hạn nên bài viết khó tránh khỏi thiếu sót Tối mong nhận góp ý quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề hoàn thiện và trở thành tài liệu có ích giảng dạy và học tập Yên lạc, tháng 01 năm 2012 Nguyễn Thành Đông (2) I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Một số hệ phương trình học chương trình phổ thông có phương pháp giải rõ ràng, học sinh cần nhớ thuật giải, rèn luyện các kĩ biến đổi, tính toán là có thể làm Thực chất các hệ phương trình này ta gặp nhiều THCS và THPT, không riêng môn toán mà môn lí, môn hóa,… Một lần ta nhắc lại các dạng hệ phương trình Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ax by c a ' x b ' y c ' a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng , đó x, y là ẩn b) Cách giải: Với hệ này ta có thể giải nhiều cách khác như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, đặt ẩn phụ,… Hệ ba phương trình bậc ba ẩn a1x b1 y c1z d1 a2 x b2 y c2 z d a x b y c z d 3 , đó x, y, z là a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng ẩn b) Cách giải: Với hệ này ta có thể giải nhiều cách khác như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, phương pháp khử Gauss,… Hệ gồm phương trình bậc và phương trình khác ax by c 0 f ( x, y ) 0 a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng , đó x, y là ẩn còn f(x,y) là biểu thức hai biến x, y b) Cách giải: Sử dụng phương pháp Hệ đối xứng loại a) Định nghĩa: Là hệ mà ta đổi vai trò hai ẩn cho phương trình, phương trình đó không thay đổi b) Cách giải: Biến đổi tương đương làm xuất tổng và tích các nghiệm đặt tổng S, tích P ( S P ) Thông thường sau bước này ta hệ đơn giản Hệ đối xứng loại a) Định nghĩa: Là hệ mà ta đổi vai trò hai ẩn cho phương trình, phương trình này biến thành phương trình b) Cách giải: Trừ vế cho vế làm xuất nhân tử chung x-y đưa hệ đã cho hai hệ đơn giản Hệ đẳng cấp f1 ( x; y ) f ( x; y ) g ( x; y ) g ( x; y ) a) Định nghĩa: Là hệ có dạng , đó fi ( x; y ) & gi ( x; y ) là các đa thức đẳng cấp hai biến và cùng bậc b) Cách giải: Xét riêng x=0 Nếu x khác thì ta đặt y=kx nhận xét và chia cho vế ta phương trình ẩn k Tìm k ta tìm x và y (3) II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp biến đổi tương đương Một số kĩ thường áp dụng phân tích thành tích, bình phương lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất nhân tử chung,… x xy y 2 y x (1) y x y x 2 (2) Bài Giải hệ phương trình: Giải: ĐK: x y 0 Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất nhân tử chung (3) x y (1) x y xy y y x 0 ( x y )( x y 2) 0 x 2 y (4) Từ (3) & (2) ta có x=y=1 Từ (4) & (2) ta có Kết luận : Hệ có nghiệm x 2 y y y 2 y y 0; x 2 y ; x 3 xy 2 x y 1 (1) x y x y x y (2) Bài (Báo TH&TT) Giải hệ phương trình: Giải: ĐK: x y Ta có xy xy (1) x xy y xy 1 ( x y ) xy 0 xy xy (3) x 1 y 2 x y x y 0 (4) xy y 0; x 1 y y 0 y 3; x -Từ (3) và (2) ta có -Vì x y nên (4) không thỏa mãn Vậy hệ có hai nghiệm 1 x3 y 19 x (1) 2 Bài (Đề thi TS cũ) Giải hệ phương trình: y xy x (2) xy ( x y 1) x y 0 x y Giải: Nếu x=0, (1) trở thành 1=0, vô lí Vậy x khác Nhân hai vế (1) với 6, 6 x3 y 114 x 2 hai vế (2) với 19x ta được: 19 xy 19 x y 114 x 3 2 Cộng vế với vế ta được: x y 19 x y 19 xy 0 , giải phương trình bậc ba xy ; xy ; xy này ta (4) (1) 19 x3 x y thì 27 -Nếu 27 xy ,(1) 19 x3 x y 3 -Nếu -Nếu xy 1,(1) x 0, vô lí x (1 ) 2 (1) xy y (1 ) 4 (2) xy Bài (HSG QG 1996) Giải hệ phương trình: xy Giải: ĐK x 0 & y 0 Dễ thấy x=0 y=0 không thõa mãn hệ Với x>0, y>0 ta có 2 1 xy 3x 3x 7y 1 x y 3x y 1 2 x y x y 7y 3x 7y ( nhân vế với vế) 21xy (7 y 24 x)( x y ) 24 x 38 xy y 0 y 6 x (vì x, y dương) 1 0 7 x x x 21 Thay vào phương trình (1) ta Từ đó suy x và y Phương pháp đặt ẩn phụ Một số phương trình sau nhân chia hai vế cho cùng biểu thức khác không số động tác tách và ghép khéo léo ta làm xuất các đại lượng mà nhờ cách đặt ẩn phụ ta có thể đưa hệ phức tạp hệ đơn giản, quen thuộc x y xy 4 y (1) 2 y ( x y ) 2 x y (2) Bài Giải hệ phương trình: Giải: Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ Với y khác không, chia hai vế (1) và x2 x y 4 a x y y x2 ( x y )2 2 x b y ta y (2) cho y ta được: Đặt a b 4 b 4 a b 4 a a 5, b 9 a 3, b 1 a 2b a 2(4 a ) a 2a-15=0 Từ đây ta tìm x và y y xy 6 x (1) 2 x y x (2) Bài Giải hệ phương trình: (5) Giải: Nhận thấy x=0 không thỏa mãn hệ Chia hai vế (1) và (2) cho y y y2 y 6 S y x x x x x y 5 y y 5 y P x x x x Đến đây ta đặt Giải hệ này ta tìm S và P, từ đó ta tìm x và y x ta hệ P.S 6 S P 5 ¿ =5 xy ( x 2+ y 2) 1+ 2 =49 x y ¿{ ¿ ( (x + y ) 1+ Bài Giải hệ phương trình: ( ) ) Giải : Trước hết ta thấy hệ này có dạng quen thuộc là hệ đối xứng loại 1, nhiên đặt ẩn phụ theo tổng và tích cách thông thường ta gặp hệ khó, phức tạp và không có nghiệm đẹp Nhưng sau đặt điều kiện và khai triển ta 1 x a x y y x 5 x a b 5 x y 49 y b 2 y2 x2 y , và đặt thì ta a b 53 Đến đây ta có hệ quen thuộc x y x y xy xy x y xy (1 x) Bài (KA - 2008) Giải hệ phương trình: 2 x y xy ( x y ) xy x y a ( x y ) xy Giải: Hệ đã cho tương đương với Đặt xy b ta hệ 5 a 2 a ab b b a a a a 0, b 4 a ; b a b a a a a b a 4 2 Từ đó ta tìm x, y Phương pháp Nhiều phương trình sau rút ẩn (hoặc biếu thức) từ phương trình này vào phương trình ta phương trình đơn giản nhờ đó mà ta có cách biến đổi hệ đơn giản Ta thường áp dụng cách này với các hệ mà ta quan sát thấy phương trình nào đó hệ mà ẩn có hai phương trình hệ có cùng biểu thức chung nào đó (6) x y x y 5 (1) x y x y 2 (2) Bài (HSG QG – 2001) Giải hệ phương trình: 7 x y 0 x y 0 x y 2 y x Giải: ĐK: , từ (2) ta suy , vào (1) ta x y 3 x y Do đó ta có hệ x y 2 x y 2 x y 1 2 7 x y 9 x y x xy y x 2 y x 19; y 10 2 2 x y y x y x xy y 11 y 10 Dễ thấy nghiệm x y 1 thỏa mãn hệ còn nghiệm thì không Bài 10 (KS-THPT Chuyên VP) Giải hệ phương trình 2 4( x y ) xy 7 ( x y)2 2 x 3 xy Giải : ĐK x y 0 Phương trình thứ tương đương với 3( x y ) ( x y ) 13 x y ( x y ) 13 (*) xy ( x y) 3 2x x y Từ phương trình thứ hai ta suy , vào phương trình (*) ta x y 1 3( x y x )2 ( x y )2 13 4( x y )2 18( x y ) 14 0 x y 7 Từ đây và phương trình thứ hai hệ ta tìm các nghiệm x và y x 3xy 49 (1) 2 Bài 11 (HSG QG – 2004) Giải hệ phương trình: x xy y 8 y 17 x (2) Giải : Với hệ này, hai ẩn và hai phương trình khó có thể rút ẩn này theo ẩn Tuy nhiên, rút y từ (2) và vào (1) thì ta phương trình mà ẩn y có bậc 1: x3 x( x xy y 17 x) 49 24 xy ( x 1) 2 x x 49 x 49 (3) -Nếu x=0 thì (1) vô lí -Nếu x=-1 thì hệ trở thành y 16 y 4 x 49 x 49 y 24 x -Nếu x 1& x 0 thì từ (3) suy Thế trở lại phương trình (2) ta (7) 2 x 49 x 49 x 49 x 49 x 49 x 49 x x 17 x 24 x 24 x x 2 x x 49 x 49 49 192 x (2 x 49 x 49)2 49.192 x 24 x 3x 196 x 196 x3 2205 x 4606 x 2401 0 196 x 2205 x 2401 0 196 x3 196 2205 x 2205 0 196 x 196 x 2401 0 Phương trình cuối cùng vô nghiệm, chứng tỏ hệ có hai nghiệm (-1;4) và (-1;-4) Không phái lúc nào ta may mắn áp dụng phương pháp ‘‘ đến cùng’’ vậy, chẳng hạn gặp phương trình bậc mà không nhẩm nghiệm bài toán sau : b 2bc 2c 0 (1) 2 b c 2b 2c 0 (2) Bài 12 Giải hệ phương trình : Giải : Rõ ràng phương trình đầu có bậc b và c, điều đó gợi ý cho ta rút ẩn từ phương trình này và vào phương trình Tuy nhiên sau rút gọn ta phương trình bậc mà nghiệm lẻ Ở đây ta cần kĩ tách khéo léo : 2 Ta có (1) 2c(b 1) b 2c(b 1) b 2b 2b , rõ ràng b=1 2c b b , vào (2) ta không thỏa mãn, với b 1 suy 4b 8b 4c 8c 16 4(b 1) (2c 2) 12 4(b 1) (b 1) 12 3(b 1) 22(b 1) 25 0 b 1 5 4 ;c b 3 3 3 ;c b 3 Suy Hệ phương trình này xuất ta giải bài toán hình học phẳng: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(1 ;2), đường thẳng : y=3 Tìm điểm B thuộc và điểm C thuộc Ox cho tam giác ABC Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Để vận dụng phương pháp này ta cần đến tính chất quan trọng sau đây: Nếu hàm số f(x) đơn điệu và liên tục trên khoảng ( ; ) thì phương trình f(x)=0 có nghiệm trên khoảng ( ; ) , f(a)=f(b) và a=b x5 xy y10 y (1) x y 6 (2) Bài 13 (HSG K12 Đồng Nai) Giải hệ phương trình: (8) Nếu y=0 thì từ phương trình (1) ta suy x=0, vào phương Giải: ĐK: trình (2) ta thấy không thỏa mãn, y khác Đặt x=ky ta (1) trở thành k y ky y10 y k k y y (3) Xét hàm số f (t ) t t trên , ta có x f '(t ) 5t 0t Do đó f(t) là hàm số đồng biến trên (3) f (k ) f ( y ) k y x y Thế vào (2) ta , x x 6 x 13 x 37 x 40 36 x 37 x 40 23 x 23 x 0 5 x 23 x 1 x 41 2 16 x 148 x 160 25 x 230 x 529 9 x 378 x 369 0 Suy x=1 và đó y 1 Bài 14 (KS khối 12 chung đợt năm học 2011-2012, THPT Yên Lạc) 2 x 2 y y (1) 2 y 2 x x (2) Giải hệ phương trình: Giải: ĐK x 0, y 0 Ta thấy đây là hệ đối xứng loại 2, nên trừ vế cho vế và biến đổi ta được: x x x 2 y y y (3) 2 Xét hàm số f (t ) 2 t t t trên [1;+) , dễ thấy f’(t)>0 trên (1; ) nên f(t) đồng biến trên [1;+) và đó (3) tương đương với x=y Thế vào (1) ta x 2 x x Giải MTCT ta x=2 Do đó ta biến đổi sau x2 x 2 2 x 2 x x 2 ( x 2)( x 2) x x 5 3 x 2 2( x 2) x (4) x x 1 Phương trình (4) có VP>3, VT<2 nên (4) vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm x=y=2 (4 x 1) x ( y 3) y 0 2 Bài 15 (KA-2010) Giải hệ phương trình: x y x 7 x Đặt u = 2x; v y Giải: ĐK : Phương trình (1) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 +1) (u - v)(u2 + uv + v2 + 1) = u = v x 2x y y 5 x Nghĩa là : 25 x x x 7 (*) Thế vào (2) ta được: (9) Xét hàm số f ( x) 4 x x f '( x ) 4 x (4 x 3) 25 4x trên 3 0; 3x < 1 f 7 Mặt khác : nên (*) có nghiệm x = và y = Vậy hệ có nghiệm x = và y = Thực tế là các hệ phương trình dạng này có nhiều cách giải phong phú, các kĩ thuật tách đa dạng Trong khuôn khổ chuyên đề tôi dừng lại bốn kĩ thông dụng trên Tiếp theo tôi xin giới thiệu các hệ phương trình tương tự để bạn đọc có thêm nguồn tài liệu giảng dạy, học tập mong tiếp tục thảo luận trao đổi chuyên đề này cùng các thầy cô và các em học sinh III BÀI TẬP TỰ LUYỆN x y 3x y 1 2 x y x y 3 Bài 16 Bài 18 xy 18( x y ) 38 xy 2 x xy y 7( x y ) 14 Bài 17 x xy y 5 y 2x x y xy y (1 x ) x(1 y ) 2 Bài 19 x y 1 x( x y 1) 0 ( x y ) x 0 Bài 20 xy x 7 y 2 Bài 22 x y xy 13 y { xy x y x y x y y x 2 x y Bài 21 x x3 y x y 2 x Bài 23 x xy 6 x 81x y 81x y 33xy 29 y 4 3 Bài 25 25 y x y xy y 24 ) √ x=2 √ y +2 x (4− ) √ y=4 y +2 x ( 4+ Bài 24 Bài 26 Tìm tất các giá trị tham số a cho hệ phương trình sau có nghiệm với giá trị tham số b: Bài 27 y−x { (x + y) =1 8( x + y )− x − y =0 { (a −1) x + y =1 bx e +( a+1) by =a 2 x y 3 x y 3 x y 4 Bài 29 Bài 28 x x y y 2 y x bc 4b c 0 2 Bài 30 b 2b c 8c 18 (10) Bài 31 y x y x 2 xy y x 13 y x x y y 0 x y x 2 Bài 33 Bài 32 3( y y )(1 x 2) x x 2 y y x 2 (11)