Tài liệu Parabol cơ bảm đến nâng cao doc

C. Parabol I. định nghĩa và phơng trình 1. Định nghĩa: trong mặt phẳng, cho đờng thẳng và một điểm F không thuộc . Tập các điểm M trong mặt phẳng sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến là một Parabol nhận F làm tiêu điểm và làm đờng chuẩn. Số p bằng khoảng cách từ F đến đợc gọi là tham số tiêu. 2. Phơng trình chính tắc Nếu ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho điểm p F,0 2 và đờng thẳng có phơng trình: x = p 2 , thì trong hệ trục đó, Parabol có phơng trình dạng: y 2 = 2px 3. Một số tính chất a) Parbol y 2 = 2px là hình không bị chặn, có 1 trục đối xứng Ox, đó là đờng thẳng qua tiêu điểm và vuông góc với đờng chuẩn. Parabol không có tâm đối xứng. b) Nếu điểm M o (x o , y o ) thuộc Parabol, thì M o F là bán kính qua tiêu điểm M o F = x o + p 2 . c) Tâm sai của Parbol e = 1 II. Tiếp tuyến Cho Parbol (P) có phơng trình y 2 = 2px (p > 0). 1. Nếu điểm M o (x o , y o ) (P) thì tiếp tuyến tại điểm M o của (P) có phơng trình dạng: y o y = p(x + x o ). 2. Đờng thẳng có phơng trình Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P): y 2 = 2px khi và chỉ khi ta có B 2 p = 2AC 1 3. Nếu điểm M o (x o , y o ) không thuộc Parbol, thì để có tiếp tuyến qua điểm M o , cần và đủ là 2 o y > 2px o . Khi đó có hai tiếp tuyến qua điểm M o . Cách viết phơng trình tiếp tuyến nh sau: Cách 1. Giả sử T (x 1 , y 1 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Khi đó phơng trình tiếp tuyến có dạng: y 1 y = p(x + x 1 ) Ta tìm (x 1 , y 1 ) bởi hệ: 2 11 11 1o o 1 o o o y 2px vì T(x , y ) (P) yy p(x x ) vì tiếp tuyến qua M (x , y ) = =+ Cách 2 . Xét đờng thẳng ( ) qua điểm M o (x o , y o ). Phơng trình ( ) có dạng: A (x x o ) + B(y y o ) = 0 hay Ax + By (Ax o + By o ) = 0, ( ). Đờng thẳng ( ) tiếp xúc với (P): y 2 = 2px khi và chỉ khi: B 2 p = 2A (Ax o + By o ) hay B 2 p + 2ABy o + 2x o A 2 = 0. Từ đây, ta tìm đợc A, B sai khác một hằng số tỷ lệ. III. Luyện tập 1. Cho Parabol y 2 = 2px, M o (x o , y o ) là điểm trên mặt phẳng sao cho 2 oo y 2px > . Từ M kẻ hai tiếp tuyến đến Parabol, tại các tiếp điểm T 1 và T 2 . Hãy viết phơng trình đờng thẳng T 1 T 2 . Lời giải: Giả sử T 1 (x 1 , y 1 ), T 2 (x 2 , y 2 ). Khi đó tiếp tuyến tại T 1 có phơng trình dạng: y 1 y = p (x + x 1 ). Theo giả thiết tiếp tuyến đo qua M o (x o , y o ), nên ta có: y o y 1 = p (x o + x 1 ) (1) Tơng tự, tiếp tuyến tại T 2 (x 2 , y 2 ) có phơng trình dạng: y 2 y = p (x + x 1 ); Do tiếp tuyến này qua M o (x o , y o ) nên ta có: y o y 2 = p (x o + x 2 ) (2) 2 Xét đờng thẳng : y o y = p (x + x 0 ). Do các hệ thức (1) và (2). Ta có T 1 (x 1 , y 1 ), T 2 (x 2 , y 2 ) . Do đó phơng trình T 1 T 2 là: y o y = p (x + x o ). 2. Cho Parabol y 2 = 2px, tìm tập hợp các điểm M, từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến tới Parabol và hai tiếp tuyến đó vuông góc. Lời giải : Giả sử M (X, Y) và là đờng thẳng qua M và có hệ số góc k. Phơng trình của có dạng: y Y = k(x X) hay kx y + (Y kX) = 0. Đờng thẳng tiếp xúc với Parabol khi và chỉ khi: p = 2k (Y kX) hay 2X.k 2 2Yk + p = 0 (1) Theo giả thiết, qua M(X, Y) có hai tiếp tuyến với Parabol và hai tiếp tuyến đó vuông góc, nên phơng trình (1) có 2 nghiệm k 1 , k 2 mà k 1 . k 2 = 1 hay pp 1X 2X 2 = = M (X, Y) thuộc đờng chuẩn của Parabol. 3. Cho Parabol (P) có phơng trình y 2 = 10x và điểm 5 I,5 2 nằm trền (P). Một góc vuông thay đổi quanh I và hai cạnh của góc vuông đó cắt (P) tại M, N khác I. Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn qua điểm cố định. Lời giải . Giả sử M (10 m 2 , 10m), N(10n 2 , 10n). Khi đó 2 5 IM 10m ,10m 5 2 JJJG 2 5 IN 10n ,10n 5 2 JJG Ta có IM IN IM.IN 0 = JJJGJJG JJJGJJG ()() 22 55 10m 10n 10m 5 10n 5 0 22 + = ()( ) ()() 22 25 4m 1 4n 1 25 2m 1 2n 1 0 4 += (2m 1) (2n 1) [(2m + 1)(2n + 1) + 4] = 0 3 Vì M,N khác I, nên 11 m,n 22 , nên IM IN (2m 1)(2n 1) 4 0 + ++= JJJGJJG 4 mn + 2(m + n) + 5 = 0 (1) Đờng thẳng MN có phơng trình: 2 22 x10m y 10m 10n 10m 10n 10m = x (m + n)y + 10mn = 0 (2) Thay 2(m + n) = 5 4mn từ (1) vào (2), ta có: phơng trình MN: 2x + (5 + 4mn)y + 20 mn = 0 hay 4mn. (y + 5) + (2x + 5y) = 0 Dễ thấy đờng thẳng MN luôn qua điểm 25 A,5 2 III. Bài tập tự giải 1. Đề thi Đại học Mỏ địa chất (1998) Cho Parabol y 2 = 64x (P) và đờng thẳng : 4x + 3y + 46 = 0. Xác định điểm M trên Parabol sao cho khoảng cách từ M đến là nhỏ nhất. Đáp số: M (+9, 24). 2. Đề thi Đại học Kinh tế quốc dân 1996. Cho Parabol y = ax 2 (a > 0) (P) a) Đờng thẳng có phơng trình y = ax + 2a cắt Parabol tại hai điểm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đờng thẳng . b) Cho điểm A(a, a 3 , đờng thẳng (d) song song với tiếp tuyến tại A của Parabol, cắt Parabol tại hai điểm MN. Tính tỷ số diện tích của tam giác AMN và diện tích của hình phẳng chắn bởi (d) và Parabol. Đáp số: a) diện tích bằng 9 a 2 (đvdt) 4 b) 3 4 3. Cho Parabol (P) y 2 = 4x. Một đờng thẳng bất kỳ qua tiêu điểm của Parabol và cắt (P) tại hai điểm A, B. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A, B đến trục của Parabol là một đại lợng không đổi. 4. Cho (P): y 2 = 2px, tiêu điểm F. là tiếp tuyến của (P) tại tiếp điểm M (x o , y o ). a) Chứng minh rằng chân đờng vuông góc hạ từ F tới nằm trên tiếp tuyến tại đỉnh O của Parabol. b) Chứng minh rằng điểm k đối xứng với điểm F qua nằm trên đờng chuẩn của (P). Chứng tỏ rằng k là hình chiếu của M (x o , y o ) lên đờng chuẩn (D). c) Đờng thẳng cắt trục Ox tại L. Chứng minh rằng O là trung điểm của NL, ở đó N là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox. d) Pháp tuyến tại M của Parabol cắt Ox tại Q. Chứng minh rằng đoạn NQ không đổi, khi M thay đổi trên (P). 5. Các đề 2, 8, 12, 23, 30, 36, 146, 150 trong bộ đề thi tuyển sinh đại học. Phần II. Phơng pháp tọa độ trong không gian. Bài 1 . Véc tơ và tọa độ trong không gian. I. Nhắc lại lý thuyết 1. Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian: Hệ thống ba trục tọa độ chung gốc O, đôi một vuông góc với nhau đợc gọi là hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian. Kí hiệu Oxyz hay { } 123 O, e , e , e JJGJJGJJG , ở đó 123 e,e,e là các véctơ đơn vị định hớng trục. JJGJJGJJG Trục Ox gọi là trục hoành Trục Oy gọi là trục tung Trục Oz gọi là trục cao 2. Tọa độ của điểm và của véc tơ 5 Cho hệ trục tọa độ Oxyz. M là điểm trong không gian Hạ MM vuông góc với mặt phẳng xoy. Ta có véc tơ OM OM ' M ' M= + JJJJG JJJJJG JJJJJJG 3 = 12 OM OM OM++ JJJJJG JJJJJG JJJJJG = 12 xe 3 yeze++ JJGJJGJGJ Vậy điểm M tơng ứng với cặp ba số sắp thứ tự (x, y, z), đợc gọi là các tọa độ của M, kí hiệu M(x, y, z). Cho véc tơ trong không gian, khi đó có duy nhất điểm N sao cho a G a ON = G JJJG , tơng tự ta có 11 2 2 33 aONae ae ae== + + . G JJJG JJGJJGJJG Nh vậy, mỗi véctơ a G , có duy nhất cặp ba số (a 1 , a 2 , a 3 ) để . Cặp (a 11 2 2 33 aae ae ae=+ + G GJJGJJGJJG 1 , a 2 , a 3 ) sắp thứ tự đó đợc gọi là các tọa độ của véctơ a , kí hiệu a G = { } 123 a,a,a hay a G ( ) 123 a,a,a . 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán trên véctơ. a) Giả sử M(x 1 , y 1 , z 1 ), N(x 2 , y 2 , z 2 ). Khi đó tọa độ của véctơ { } 212121 MN x x , yy,z z= G JJJJG G b) Cho a = { } 123 a,a,a ; b = { } 123 b,b ,b ; k R. Khi đó: { } 112 233 ab a b;a b;a b+= + + + GG { } 112 233 ab a b;a b;a b= GG k = { a G } 123 ka , ka , ka . c) Tích vô hớng của hai véctơ a, b G G kí hiệu: m 11 2 2 33 a.b a . b . cos(a, b) a b a b a b==+ GG G G G G + . Khi , ta có: a b= GG 2 2 22 12 aa.aa aaa 2 3 = ==++ G GG G . Nh vậy 22 12 a 2 222 3 12 a a a;b bbb=++ =++ GG 3 và () a.b cos a, b a.b = GG GG GG = 11 2 2 33 222222 12312 ab a b ab aaa.bbb 3 + + ++ ++ với a0,b0 GGGG 0 Chú ý : ab a.b = GG GG 6 4. Tích có hớng của hai véc tơ a) Cho hai vectơ ( ) ( ) 123 12 3 aa,a,a,bb,b,b== G G a, b . Ta gọi tích có hớng của hai véc tơ G G theo thứ tự đó là một véctơ, kí hiệu có các tọa độ là: a, b GG 23 31 12 23 31 12 aa aa aa , , , bb bbbb a, b = GG b) Tính chất của tích có hớng: 1. a, b a, a, b b G GG GGG 2. a, b 0 = G GG khi và chỉ khi a, b G G cùng phơng 3. n a, b a . b .sin a, b = GG G G GG GG và nh vậy độ lớn của véc tơ có số đo bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai véc tơ a, . a, b GG b G G GG 4. a, b = b, a 5. Tính hỗn tạp của ba véctơ. a) Cho ba véc tơ a, b, c G GG . Ta gọi tích hỗn tạp của ba véc tơ a, theo thứ tự đó là con số b, c GGG ( ) ,b,c a,b.cDa = G GG GG G b) Tính chất của tích hỗn tạp: 1. khi và chỉ khi ba véctơ () Da,b,c 0= GGG a, b, c G GG đồng phẳng. 2. Nếu () Da,b,c 0 GGG , thì D( a, b, c G GG c ) có số đo bằng thể tích của hình hộp dựng trên ba véc tơ a, b, . G GG 6. Chia đoạn thẳng theo tỷ số cho trớc. Cho hai điểm A(x 1 , y 1 , z 1 ); B(x 2 , y 2 , z 2 ) và một số k 1. Điểm M đợc gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k nếu MA kMB = . Nếu M (x, y, z) thì: 12 xkx 1k = x, 12 y ky y , 1k = 12 zkz 1k z = . JJJJG JJJG II. Luyện tập. Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D trong không gian; Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CD, G là trung điểm của IJ. a) Chứng minh rằng GA GB GC GD O + ++= JJJG JJJG JJJG JJJG JG 7 b) Với mọi M trong không gian, ta có: MA MB MC MD 4MG+++ = JJJJG JJJG JJJJGJJJJG JJJJG c) Tìm điểm M trong không gian để MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 nhỏ nhất. Lời giải: Câu a) và b) dễ dàng chứng minh. c) Ta có: () 2 2 22 MA MA MG GA MG GA 2MG.GA==+ =++ JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG 2 2 JJJ Tơng tự () 2 2 22 MB MB MG GB MG GB 2MG.GB==+ =++ JJJG JJJJG JJJGJG JJJG JJJJG JJJG MC 2 = 22 MG GC 2MG.GC+ + MD 2 = 22 MG GD 2MG.GD+ + JJJJG JJJG Từ đó: MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4MG 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 + ( ) 2MG. GA GB GC GD+++ JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG + Do = GA GB GC GD+++ JJJG JJJG JJJG JJJG O JG nên MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4MG 2 + (GA 2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 ) . Từ đó Do GA 2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 là hằng nên MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 min M G. Bài 2 . Cho hình lập phơng ABCD ABCD cạnh a. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỷ số 1 k 2 = , N là điểm chia đoạn BD theo tỉ số k = 2. Chứng tỏ rằng MN là đờng vuông góc chung của BD và AD. Giải Cách 1 : 8 Đặt Ta có AB a, AD b, AA ' c.== = JJJG G JJJG G JJJJG G abca= == G GG và a, vuông góc với nhau đôi một. b, c GGG Theo giả thiết, ta có: 1 AM AD 3 = JJJJG JJJJG ' ( ) NB 2ND AB AN 2 AD AN= = JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Vậy 12 AN AB AD 33 =+ JJJG JJJG JJJG Do đó ( ) 121 MN AN AM a b b c 333 = =+ + JJJJG JJJG JJJJGGG GG 111 MN a b c 333 =+ JJJJGGGG G Ta có: AD ' b c, BD b c=+ = JJJJG G G JJJGG Dễ thấy ( ) 1 .AD ' a b c (b c) 0 3 MN = + + = JJJJG JJJJG G G G G G ()( ) 1 MN.BD a b c b a 0 3 =+ = JJJJG JJJGGGGGG Vậy MN là đờng vuông góc chung của AD và BD. Cách 2 : Có thể chứng minh dựa vào kiến thức hình học không gian lớp 11. Bài 3 . Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng a) AB CD JJJG JJJG AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 b) Nếu AB CD thì AC BD AD BC JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Lời giải a) AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 222 AC AD BC BD 2 = JJJG JJJG JJJG JJJG ( )( ) ( ) ( ) AC AD AC AD BC BD BC BD+=+ JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGJJJGJJJG JJJG () DC. AC AD BC BD O+ = JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ()( ) DC. AC BC AD BD O + = JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 9 . 2DC.AB 0 AB CD= JJJG JJJG JJJG JJJG b) Theo câu a) do AB CD JJJG JJJG nên ta có: AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 (1) Do AD BC JJJG JJJG nên ta có: AB 2 + DC 2 = AC 2 + BD 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: AD 2 + BC 2 = AB 2 + DC 2 (3) Từ đó do kết quả trong a). AC BD JJJG JJJG III. Bài tập tự giải. 1) Cho hình lập phơng ABCD ABCD cạnh a. Gọi P, Q là các điểm xác định bởi AP AD ', C ' Q C ' D= = JJJG JJJJG JJJJJG JJJJJG 1. Chứng minh rằng PQ qua trung điểm M của đoạn thẳng BB. 2. Tính độ dài PQ. Đáp số: PQ = 17.a 2) Đề thi Đại học xây dựng (1998) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A 1 B 1 C 1 D 1 . H và K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A và C 1 xuống mặt phẳng (B 1 CD 1 ). Chứng minh rằng . 1 AH 2KC= JJJG JJJJG 3) Cho tam giác ABC trong không gian. 1. Tìm các điểm M trong không gian sao cho AM.CB AB.CM= JJJJGJJJG JJJG JJJJG 2. Gọi AD là đờng phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC, D (BC). Hãy biểu diễn véctơ AD JJJG theo các véctơ AB và AC JJJG JJJG . 4) Đề thi Đại học Giao thông vận tải (2000). Cho hình lập phơng ABCD ABCD, các cạnh của nó có độ dài bằng 1. Trên các cạch BB, CD, AD lần lợt lấy các điểm M, N, P sao cho: 10 . khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến là một Parabol nhận F làm tiêu điểm và làm đờng chuẩn. Số p bằng khoảng cách từ F đến đợc gọi là tham. III. Luyện tập 1. Cho Parabol y 2 = 2px, M o (x o , y o ) là điểm trên mặt phẳng sao cho 2 oo y 2px > . Từ M kẻ hai tiếp tuyến đến Parabol, tại các tiếp