I/ Chó ý: 1/ Khi đứng tr−ớc một tích phân ta cần chú ý đến các vấn đề sau: - Cận: Nếu cận của tích phân đối xứng ta nên kiểm tra xem hàm d−ới dấu tích phân có tính chất đặc biệt hay khôn[r]
(1)LuyÖn thi 13 – tÝch ph©n – NguyÔn tr×nh – n¨m 2010 – trang TÝch ph©n I/ Chó ý: 1/ Khi đứng tr−ớc tích phân ta cần chú ý đến các vấn đề sau: - Cận: Nếu cận tích phân đối xứng ta nên kiểm tra xem hàm d−ới dấu tích phân có tính chất đặc biệt hay không - Hàm: Xem tích phân có thuộc dạng tích phân phần hay đổi biến 2/ Mét sè vi ph©n th−êng gÆp: adx = d (ax + b) x α dx = 1 1 d ( x α +1 ); dx = d (ln x ); 1 ± dx = d x ∓ α +1 x x x sin xdx = −d cos x; cos xdx = d sin x; sin xdx = d (sin x ); (cos x ± sin x )dx = d (sin x ∓ cos x ) 1 dx = d (tan x ); dx = −d (cot x ) cos x sin x e x dx = de x ; a x dx = da x ln a II/ Mét sè bµi to¸n: D¹ng 1: Mét sè tÝch ph©n c¬ b¶n ph¶i nhí: b k α +1 b 1.1/ ∫ kx α dx = x a α +1 a b b (kx + m) α +1 a k (α + 1) a b b 1 1.3/ ∫ dx = (kx + m) − α +1 a ; α k (−α + 1) a ( kx + m ) 1.2/ ∫ (kx + m) α dx = b ∫ x + m dx = ln(x + m) b a a b x − x1 1 b 1 1.4/ ∫ dx = dx − dx = ln ∫a ( x − x ) x − x ∫a ( x − x ) x − x2 a ( x − x )( x − x ) b b 1.5/ (kx + m)dx = ∫ a (kx + m) 3k b b a k 1.6/ ∫ sin( kx + m).dx = − cos(kx + m) a a b k b 1.7/ ∫ cos(kx + m).dx = sin( kx + m) a a b b sin x.dx b d (cos x ) cos x − 1.8/ ∫ dx = ∫ =∫ = ln 2 cos x + a a sin x a sin x a (cos x + 1)(cos x − 1) b b b b cos x.dx d (sin x ) sin x − 1.9/ ∫ dx = ∫ = − = − ln ∫ sin x + a a cos x a cos x a (sin x + 1)(sin x − 1) b b b k b 1.10/ ∫ e kx + m dx = e kx + m a a b a (2) LuyÖn thi 13 – tÝch ph©n – NguyÔn tr×nh – n¨m 2010 – trang b 1.11/ ∫x a dx = thì đặt x = tan t +1 Dạng 2: Đ−a vào vi phân để áp dụng bảng nguyên hàm Bµi to¸n 1: Hµm ph©n thøc: x + 3x + 10 1./ a/ C = ∫ dx x + 2x + x + x + 10x + b/ D = ∫ dx x + 2x + - Ta cã 1 1 x + 3x + 10 ( x + x + 9) + ( x + 1) x +1 C=∫ dx = ∫ dx dx dx = + ∫ ∫ 2 x x x x x x + + + + + + 0 0 1 1 2x + d ( x + x + 9) 1 C=x0 + ∫ dx = + ∫ = + ln(x + x + 9) x + 2x + x + 2x + 1 xdx dx dx 1./ I = ∫ =⋯= ∫ −∫ 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) dx π 1./ I = ∫ (§S: I = ln + ) x +1 1 dx dx dx 1./ I = ∫ = ⋯ =∫ − ∫ x ( x + 1) x x ( x + 1) 3x + 3x + 3dx 2dx dx 1./ I = ∫ dx = ∫ +∫ +∫ x − 3x + ( x − 1) x −1 x+2 2dx dx 2dx dx 1./ I = ∫ =∫ −∫ +∫ x + 3x + x x x +1 x+2 1./ I = ∫ (x + 3x + ) 2 ( x + 2) − ( x + 1) = ∫ dx ( x + 2)( x + 1) dx x −1 x2 1./ I = ∫ dx = dx (x + 5x + 1)(x − 3x + 1) ∫ x + + x − + x x 1 d x + x =∫ 1 x + + x + −3 x x a a d + x − 2 a−x x x 1./ I = ∫ dx = dx = − ∫ ∫ 2 2 (a + x ) \ a a + x + x x x n Chó ý: MÉu cã d¹ng x ( x + c) HD: Nhân thêm x n −1 sau đó đ−a vào vi phân 1− (3) LuyÖn thi 13 – tÝch ph©n – NguyÔn tr×nh – n¨m 2010 – trang dx x ( x + 1) dx 1./ I = ∫ x ( x + 1) dx 1./ I = ∫ 2009 x ( x + 2008) b/ L−îng gi¸c: Chú ý: Lẻ tử thì đ−a vào vi phân; mẫu nhân thêm để đ−a lên tử 1./ I = ∫ π π sin x dx cos x 1./ T = ∫ 1./ T = ∫ cos xdx π π 1./ T = ∫ sin 11 xdx sin xdx − cos x − sin x 1./ T = ∫ π 1./ T = ∫ sin x cos x.dx π 1./ T = ∫ sin x (1 + sin x ) dx dx sin x 1./ T = ∫ dx cos x 1./ T = ∫ π 1./ T = ∫ dx π sin x π cos xdx − sin x − sin x cos x dx 1./ T = ∫ sin x cos x 1./ T = ∫ dx (cã thÓ dïng TPTP) sin x 1./ T = ∫ π 1./ T = ∫ cos x (1 + cos x )dx (§H-A08) π sin x cos x dx (§H-05) + cos x 1./ T = ∫ π 1./ T = ∫ dx cos x π cos x dx π sin x 1./ T = ∫ Chú ý: Chẵn mà không có mẫu thì hạ bậc; Có mẫu thì thì tách để vận dụng: 1 dx = d (tan x ); = + tan x 2 cos x cos x 1 dx = −d (cot x ); = + tan x sin x sin x 1./ I = ∫ sin x.dx 1./ I = ∫ cos x.dx 1./ I = ∫ sin x.dx 1./ I = ∫ cos x.dx π 1./ I = ∫ sin x cos x.dx π 1./ I = ∫ sin x cos x.dx 0 π π dx π sin x 1./ I = ∫ dx cos x 1./ I = ∫ (4) LuyÖn thi 13 – tÝch ph©n – NguyÔn tr×nh – n¨m 2010 – trang π π sin x 1 1/ I = ∫ dx = ⋯ = ∫ tan x ( dx ) cos x cos x π cos x π π π tan x 1./ I = ∫ dx (A-08) cos x 1./ I = ∫ dx π cos x sin x HD: §−a mÉu: cos x (1 − tan x ) C2: Chia cho cos x sin xdx + cos x Chó ý: π cos xdx (TS-01) sin x + cos x sin x + cos x 2(sin x + cos x ) + (− cos x + sin x ) 1./ I = ∫ dx = ∫ dx sin x + cos x sin x + cos x 1./ I = ∫ HD: Nªn Dïng t×m hÖ sè m, n cho… π (1 − sin x )dx (§H-03) + sin x HD: Tö cos 2xdx = d (sin 2x ) π π sin x − dx 4 1./ I = ∫ (B-08) sin x + 2(1 + sin x + cos x ) 1./ I = ∫ HD: MÉu lµ (sin x + cos x + 1)2 c/ Mò, loga Chó ý: e x dx = de x ; dx = d (ln x ) x 15.1/ 15.2/ 15.3/ 15.4/ e2 x T1 = ∫ dx − 3e x e x dx T2 = ∫ x e −1 dx T3 = ∫ x e − 4e − x ln e x + 3e x dx T4 = ∫ x e + 3e x + ( ) ex + 15.9/ T9 = ∫ x dx e −1 e x dx 15.10/ T10 = ∫ x − x e +e 15.11/ T11 = ∫ 15.12/ T12 = ∫ ln 15.5/ T5 = dx ∫ln e x + 2e− x − (B-06) 15.6/ T6 = ∫ e2 15.7/ T7 = ∫ e ex + e dx x ln x ex dx e− x + (1 + e ) dx x e2 x + π 15.13/ T13 = ∫ (esin x + cos x )cos x.dx (D-05) dx x 2 cos x 1 I = ∫ dx = ∫ cos x − 1 dx sin x π sin x π 4 3π 1./ T = ∫ π e3 dx x ln x ln(ln x) e2 15.14/ T14 = ∫ e4 15.15/ I = ∫ e dx x cos (ln x + 1) (5) LuyÖn thi 13 – tÝch ph©n – NguyÔn tr×nh – n¨m 2010 – trang cos(ln x)dx 15.8/ T8 = ∫ x e d/ C¨n: 1./ T1 = ∫ (cos x + sin x )dx sin x − cos x + ln x dx x e 1./ T2 = ∫ e 1./ T3 = ∫ (ln x )3 + ln x dx x 1./ T4 = ∫ e x x .dx Bµi to¸n 3: §Æt Èn phô b a/ D¹ng A = ∫ a dx x + k2 1 dx x + 2./ A = ∫ x = ⇒ t = - §Æt x = tan t , Khi π x = ⇒ t = - Ta cã dx = d (tan t ) = dt = (1 + tan t )dt cos t π π π π = ( ) + tan t dt = dt = t ∫ tan t + - Thay vµo A = ∫ dx x + 2./ B = ∫ x = ⇒ t = - §Æt x = tan t , Khi π x = ⇒ t = - Ta cã dx = d (2 tan t ) = π ( ) dt = + tan t dt cos t π 1 π4 π ( ) + tan t dt = dt = t = 2 ∫0 tan t + x+a Chó ý: MÉu cã d¹ng ( x + a ) + b sÏ tÝnh ®−îc = 0;±1;± ;± b 1 d x − 1+ 1 1+ x du x x dx = 2./ I = ∫ dx = = ∫ ∫ ∫ 1 1− + x 1− x + 1− 2u + x− +2 2 x x - Thay vµo A = ∫ Chó ý: (6) LuyÖn thi 13 – tÝch ph©n – NguyÔn tr×nh – n¨m 2010 – trang +/ 1 ± 1 1 dx = d x ∓ ; t = x ± ⇒ x + = t ∓ 2 x x x x +/ I = ∫ dx + x2 − x2 = dx + ∫ + x dx + x ∫ + x 2./ I = 1+ + x2 dx x4 − x2 + ∫ 2./ I = 3+ ∫ 1+ x2 dx x4 + x2 + b/ Chøa mét c¨n: ND: BiÓu thøc c¨n bËc hoÆc chøa n f ( x ) mµ biÓu thøc cßn l¹i lµm xuÊt hiÖn f ′( x )dx PP: §Æt Èn phô qua c¨n 1.1/ T1 = ∫ xdx 2x + xdx 1.2/ T2 = ∫ 3x + xdx 1.3/ T3 = ∫ x −1 1+ 1.4/ T4 = ∫ x 2x − 1dx 2 1.6/ T6 = ∫ x + x dx 1.5/ T5 = ∫ ( x + 1)dx x +1 π sin x + sin x dx + cos x 1.6/ T6 = ∫ (§H-04) π sin x 1.7/ T7 = ∫ .dx (A-06) cos x + sin x ln x e ex −1 1.8/ T8 = ∫ x dx e + dx (CT-98) 1.10/ T10 = ∫ (SPHN2-00) 3x x +1 (NT-96) 1.11/ T11 = ∫ x dx (TM-97) x + (LuËt-01) 1.12/ T12 = ( x + 2x )dx ∫0 x + 1.7/ T7 = ∫ x − x dx 1.8/ T8 = ∫ x − x dx 1.9/ T9 = ∫ x15 + 3x dx c/ Chøa c¨n a − x 3.1/ T1 = ∫ − x dx 3.5/ T5 = ∫ 3.2/ T2 = ∫ − x dx x2 − x2 π (§S: − ) 3.6/ T6 = ∫ x − x dx 3.3/ T3 = ∫ x − x dx x 2dx (TL-97) π 3.7/ T7 = ∫ cos x.dx + cos x (7) LuyÖn thi 13 – tÝch ph©n – NguyÔn tr×nh – n¨m 2010 – trang 3.4/ T4 = e x dx ∫ (HVTC-97) − x2 3.8/ T8 = ∫ dx x − ln x π cot x 3.9/ T9 = ∫ − ln (sin x ) π .dx d/ Chøa c¨n a + x 4.1/ T1 = ∫x 4.2/ T2 = ∫ + x2 + x dx 6+ ( − + ln ) x 4.3/ T3 = ∫ + x dx (TL-97) 4.4/ T4 = ∫ 16 + x x 3dx + x2 π e/ TÝch ph©n LG liªn kÕt π 2./ T1 = ∫ π 2./ T2 = ∫ π 2./ T3 = ∫ (sin x )dx sin x + cos x (4 sin x )dx (sin x + cos x ) (sin x + cos x ) cos x dx dx (NNI-01) sin x + cos x 2./ T4 = ∫ π (TM-00) (5 cos x − sin x )dx π ( π 4.8/ T8 = ∫ dx 4.5/ T5 = ∫ + 3x 4.6/ T6 = ∫ dx x2 cos x − sin x dx 4.7/ T7 = ∫ sin x + π − dx ) 2./ T5 = ∫ sin x − cos x dx (H§-01) α g/ I = ∫ f ( x )dx = đó hàm f(x) là hàm lẻ −α - Chó ý: Mét sè hµm lÎ th−êng gÆp sin 2x − cos x .dx (8) LuyÖn thi 13 – tÝch ph©n – NguyÔn tr×nh – n¨m 2010 – trang I1 = ∫ −2 + 5x dx ( x + sin x I6 = ∫ dx 1+ x2 −1 sin x ) 1− x I = ∫ x ln dx + x − I = ∫ ln 2009 x + x + dx I3 = I4 = −1 ∫ (x −3 π 2 I = ∫ e x sin xdx −1 sin x dx + cos x ∫ π π − I5 = − 3x + x )cos x.dx I = ∫ x sin x.dx − x + cos x dx x π − ∫ − sin I10 = ∫ x e x dx −1 α h/ I = α f (x) dx = ∫ f ( x )dx x +1 ∫a −α 1− x2 I1 = ∫ dx x −1 + x4 I2 = ∫ dx x −1 + ln(1 + x ) I3 = ∫ dx x −1 + dx I4 = ∫ x −1 (1 + x )(1 + e ) i/ D¹ng I = π−α ∫ I5 = I1 = π sin x dx ∫ x −π + π sin x sin x cos 5x dx x + e π − ∫ xf (sin x )dx; J = α π−α ∫ xf (cos x )dx; α PP: §Æt x = π − t; x = 2π − t π π x.sin x dx − cos x I1 = ∫ I = ∫ x.sin xdx π 2π x.sin x dx + cos x I2 = ∫ a +T I = ∫ x cos3 xdx T k/ I = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx a T a a +T T 0 a a +T HD: ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ; TÝnh I1 = 2010 π ∫ − cos 2x dx I2 = 2010 π ∫ + cos x dx 4π ∫ f (x )dx a +T sin 8x cos x I1 = ∫ dx + cos x III/ TÝch ph©n tõng phÇn 1/ Lý thuyÕt: - C«ng thøc: ∫ u ' vdx = uv − ∫ uv' dx T hoÆc ∫ vdu = uv − ∫ udv đặt t = x − T (9) LuyÖn thi 13 – tÝch ph©n – NguyÔn tr×nh – n¨m 2010 – trang b ∫ u ' vdx = uv b a b b a a b − ∫ uv' dx hoÆc ∫ vdu = uv a − ∫ udv a b a - C¸ch vËn dông: 2/ Mét sè bµi to¸n: Bµi to¸n 1: BiÓu thøc cã d¹ng P( x )e x ; P( x ) sin x; P( x ) cos x 1 1.2/ B = ∫ x e x dx 1.1/ A = ∫ ( x − 1)e dx x 0 π 1.3/ C = ∫ ( x − 1) e dx 2x 1.10/ M = ∫ x sin x.dx 1.4/ D = ∫ (e sin x − x e )dx x2 −1 π 2 x 1.11/ N = 1.5/ E = ∫ e sin x sin x cos x.dx ∫ sin 1.12/ P = ∫ cos 1.6/ G = ∫ x sin xdx π 1.7/ I = ∫ ( x + 1) sin x.dx π x dx ( π )2 π 2 π π π 2 x dx sin x u ' = x sin x 1.13/ Q = ∫ dx cos x π cos x − v = x π x dx π sin x 1.8/ K = ∫ x sin x.dx 1.14/ O = ∫ π 1.9/ L = ∫ (2x − 1) cos x.dx 1 x dx − ∫0 dx cos x 1.15/ T = ∫ x tan x.dx = ∫ 1.16/ R = ∫ −1 ′ Chó ý: D¹ng [f ( x )e x ] = (f ( x ) + f ′( x ) )e x Bµi to¸n 2: BiÓu thøc d¹ng e x sin x; e x cos x π x sin x + 2x dx π 2.1/ A = ∫ e x cos x.dx π 2.2/ B = ∫ e x sin 3x.dx π 2.4/ D = ∫ e x sin x.dx π 2.5/ E = ∫ e x cos x.dx 2.6/ G = ∫ e x sin πx.dx 2.3/ C = ∫ 5e sin x.dx x Bµi to¸n 3: BiÓu thøc d¹ng P( x ) ln x; Q( x ) ln x 3.1/ A = ∫ ln(x + 1)dx 1 3.6/ G = ∫ x ln( x + x + 1)dx (10) LuyÖn thi 13 – tÝch ph©n – NguyÔn tr×nh – n¨m 2010 – trang 10 e 3.7/ H = ∫ x ln( x + 1)dx 3.2/ B = ∫ ( x − 1) ln x.dx 3.3/ C = ∫ ln(x − x )dx (D-04) e e 3.8/ I = ∫ x ln x.dx F = ∫ x ln x.dx e ln x ln x dx ; D = dx ∫ 3 x x 1 3.4/ D = ∫ e 3.5/ E = ∫ x ln x.dx 1 10 3.9/ K = ∫ x lg x.dx π 3.10/ L = ∫ cos x ln(1 + cos x )dx eπ eπ 3.11/ M = ∫ cos(ln x )dx (C2: đặt t=lnx) 3.12/ N = ∫ sin(ln x)dx (11)