DE THI CHON HSG TRUONG PHUC TRACH

Tìm x để thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi mpa có diện tích lớn nhất ... Giám thị coi thi không giải thích gì thêm..[r]

SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT PHÚC TRẠCH ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁN: LỚP 12 NĂM HỌC:2012-2013 Thời gian làm bài:120phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1.(3,0điểm) Cho hàm số y x  2mx  3(m  1)x  (1), m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  : y  x  điểm phân biệt A(0;2) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M(3;1) Bài 2.(3,0điểm) Tìm m để hệ phương trình : Bµi 3.(4,0 ®iÓm) có ba cặp nghiệm phân biệt Cho tam giác ABC không tù.Chứng minh A B C A B C 10 tan + tan +tan +tan ⋅ tan ⋅ tan ≥ √ 2 2 2 Dấu đẳng thức xảy nào ? x, y, z  (0;1)   Bài 4.(4,0điểm)  xyz (1  x)(1  y )(1  z ) CMR: x +y +z  2 Bài 5.(6,0điểm) ∘ Cho hình chóp S.ABC có ∠ ASB =∠ ASC=45 ;cos(∠BSC)= ; SB=SC= √ SA.SA=a K là trung điểm BC; M là điểm nằm trên đoạn thẳng AK Đặt AM=x Chứng minh: SA (ABC) Mặt phẳng (a) qua M và vuông góc với AK Tìm x để thiết diện hình chóp S.ABC cắt mp(a) có diện tích lớn Hết Giám thị coi thi không giải thích gì thêm ĐÁP ÁN Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị với ( ) là: x  2mx  3(m  1)x   x   x 0  y 2   g(x) x  2mx  3m  0(2) Đường thẳng () cắt dồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0;2), B, C  Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác  m    '  m  3m     m     g(0) 0 3m  0  m 3 1điểm Bài 1(3đ) Bài 2(3đ) Gọi B  x1 ; y1  và C  x2 ; y  1điểm , đó x1 , x2 là nghiệm (2); y1  x1  và y1  x2  h d  M;()   1  2S 2.2  BC  MBC  4 h 2 Ta có 2 BC ( x2  x1 )  ( y2  y1 ) 2  ( x2  x1 )  x1 x2  8(m2  3m  2) Mà = 1điểm Suy 8(m  3m  2) =16  m 0 (thoả mãn) m 3 (thoả mãn) Ta có x=0 không là nghiệm phương trình ) x2  x 1 3x  x  m  x Thay vào phương trình thứ ta được: (a) Hệ có ba cặp nghiệm (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn 1đ Xét hàm số 1đ với Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt 1đ Vậy là giá trị cần tìm Không tính tổng quát, giả sử A ≥ B ≥C C B A π C B A Vì tam giác ABC không tù ⇒ ≤ ≤ ≤ ⇒tan ≤ tan ≤ tan ≤ 1đ A B C Đặt x = tan ; y = tan ; z = tan thì < z y x Bài 3(4đ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: - x; - y; - z ta được: Bài 4(4đ) − x +1 − y +1 − z ≥ √ ( − x ) ( 1− y )( − z )= √3 −(x + y + z )+ xy + yz+ xz − xyz A B Vì xy + yz + xz = tan tan Suy ra: B C + tan tan A C + tan tan =1 x yz  (x  y  z)  1   ( x  y  z )  xyz     2  ( x  y  z )  xyz 3   x yz  x yz   x  y  z  xyz 2     1  2   3     1đ 1đ 3 10 √ −1 = √ Vì x + y + z √ nên ⇒ x + y + z+ xyz ≥ 2+ (3 ) 1đ Từ đó suy điều cần chứng minh Dấu "=" xảy tam giác ABC Ta có: (1)  1-(x+y+z)+xy+yz+zx=2xyz  x +y +z =2-2(x+y+z)+(x+y+z) -4xyz  x yz   xyz   áp dụng bđt Côsi ta có : nên  x yz   2 2    x +y +z 2-2(x+y+z)+(x+y+z) -4 1đ Đặt t= x+y+z thì:  t  Khi đó: 15 3 t  t  2t   (2t  3) (  t )   2 27 27 4 x +y +z dấu xảy t= hay x=y=z= (đpcm)  1đ 2đ S F P E N A Q M C K B 3đ Bài 5(6đ) Δ CM: AB=AC= a ( sử dụng định lí cosin tam giác); vuông cân A: SA ⊥ AB ⇒ SA ⊥( ABC) SA ⊥ AC Δ SAB = Δ SAC(c-g-c) ; { BC AK; SA AKTrong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đt song song BC cắt AB; AC P, QTong mặt phẳng (SAK) qua M kẻ đt song song với SA cắt SK N Từ N kẻ đt song song với BC cắt SB; SC F; E thiết diện là hình chữ nhật PQEF : S td =PQ PF Ta có : BC=a √ ; AK= a/ Tính PQ=2 x √ ; PF=(a− x ) x +a −2 x ¿ hay M là trung điểm AK ¿ S td =2 x √ (a −2 x) ≤ √3 ¿ 1đ 1đ 1đ