finite dimensional asymptotic behavior of navier stokes voigt equations TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGÂN DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN HỮU HẠN CHIỀU CỦA HỆ NAVIER-STOKES-VOIGT TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Mã số: Phương trình vi phân tích phân 46 01 03 HÀ NỘI, 2021 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Cung Thế Anh Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Minh Trí Viện Tốn học Phản biện 2: PGS.TS Lê Văn Hiện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Đỗ Đức Thuận Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt (một số tài liệu viết Voight) giới thiệu Oskolkov năm 1973 mơ hình chuyển động chất lỏng không nén nhớt đàn hồi Xét hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt   ut − α2 ∆ut − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f  ∇ · u = Ω × (0, ∞), (1) Ω × (0, ∞), Ω tập Rd , d ∈ {0, 1}, u = u(x, t) hàm vectơ cần tìm p = p(x, t) hàm áp suất, ν > hệ số nhớt, α tham số đặc trưng cho tính đàn hồi chất lỏng, f hàm ngoại lực Ngày nay, hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt xét mơ hình quy hố hệ Navier-Stokes mơ hình α-mơ hình học chất lỏng Năm 2006, hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt Cao, Luansin Titi xét hệ chỉnh hoá hệ Navier-Stokes ba chiều việc giải số, với tham số α nhỏ Số hạng −α2 ∆ut có ý nghĩa quan trọng, vừa làm cho hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt đặt trường hợp ba chiều; vừa thay đổi tính chất parabolic hệ Navier-Stokes ban đầu thành hệ có tính chất hyperbolic Khi α = 0, mặt hình thức, hệ Navier-Stokes-Voigt trở thành hệ Navier-Stokes cổ điển Ngoài ra, ưu điểm hệ Navier-Stokes-Voigt so với α-mơ hình khác khơng cần bổ sung thêm điều kiện biên (ngồi điều kiện biên vật lí Dirichlet hệ Navier-Stokes) để đảm bảo tính đặt toán Trong thực tế, việc nghiên cứu giải số hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt có nhiều ý nghĩa khoa học cơng nghệ, có việc khơi phục ảnh Trong năm gần đây, vấn đề toán học liên quan đến hệ Navier-Stokes-Voigt thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Sự tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Navier-Stokes-Voigt trường hợp miền bị chặn không bị chặn thoả mãn bất đẳng thức Poincaré nghiên cứu nhiều nhà toán học Tốc độ suy giảm nghiệm hệ Navier-Stokes-Voigt nghiên cứu nhiều cơng trình Các kết việc nghiên cứu tồn nghiệm dáng điệu tiệm cận nghiệm qua tồn tập hút tồn cục hệ Navier-Stokes-Voigt cơng bố nhiều cơng trình Tuy nhiên, hầu hết kết đạt trường hợp điều kiện biên Dirichlet điều kiện biên tuần hồn, ngoại trừ cơng trình gần nghiên cứu tồn nghiệm tồn tập hút hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt hai chiều với điều kiện biên không miền Lipschitz Lí thuyết thơng thường hỗn loạn khẳng định dòng chảy hỗn loạn, dòng chảy chất khí chất lỏng chất khí lỏng dao động khơng độ chất điểm liên tục thay đổi hướng độ lớn, chẳng hạn xoáy nước, theo dõi số bậc tự hữu hạn Đối với hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ba chiều, Kalantarov Titi chứng minh kết số tham số xác định modes năm 2009 Năm 2014, Azouani Titi đề xuất thuật toán điều khiển phản hồi để ổn định hố nghiệm phương trình tiến hố cách sử dụng hữu hạn tham số xác định (modes, nodes, phần tử thể tích, ) mà không yêu cầu tồn đa tạp quán tính, giả thiết chặt mà nhiều phương trình tiến hố khơng thoả mãn Từ điều nêu trên, ta thấy việc nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt cịn nhiều vấn đề mở Vì chúng tơi chọn đề tài "Dáng điệu tiệm cận hữu hạn chiều hệ Navier-Stokes-Voigt" Chúng nghiên cứu vấn đề sau: (P1) Đánh giá số tham số xác định nodes nghiệm không dừng, nghiệm dừng nghiệm tuần hồn hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ba chiều với điều kiện biên tuần hồn (P2) Ổn định hố nghiệm dừng hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt hai trường hợp hai chiều ba chiều với điều kiện biên tuần hoàn điều khiển phản hồi hữu hạn chiều (P3) Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ba chiều với điều kiện biên Dirichlet khơng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hữu hạn chiều hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt thơng qua việc nghiên cứu tốn (P1), (P2) (P3), cụ thể sau: (i) Đánh giá số phiếm hàm xác định nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt trường hợp điều kiện biên tuần hoàn (ii) Chứng tỏ nghiệm dừng ổn định điều khiển phản hồi hữu hạn chiều hai trường hợp hai chiều ba chiều với điều kiện biên tuần hoàn (iii) Chứng minh tồn nghiệm yếu tồn cục tốn (P3) chứng tỏ hệ động lực sinh nghiệm yếu có tập hút tồn cục hữu hạn chiều với số chiều fractal hữu hạn Tiếp theo nghiên cứu tồn ổn định nghiệm dừng; chứng tỏ có tốn tử chiếu nghiệm lên không gian hữu hạn chiều mà toán tử chiếu thoả mãn số đánh giá xấp xỉ dáng điệu nghiệm xác định Phương pháp nghiên cứu ❼ Nghiên cứu tồn nghiệm: Phương pháp xấp xỉ Galerkin phương pháp compact ❼ Nghiên cứu tồn tính chất tập hút: Các phương pháp lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều ❼ Đánh giá số phiếm hàm xác định: Phát triển phương pháp cơng trình Titi cộng năm 1993 năm 1997 ❼ Nghiên cứu toán ổn định hoá điều khiển phản hồi hữu hạn chiều: Sử dụng phương pháp cơng trình Azouani and Titi năm 2014 Cấu trúc kết luận án Chương trình bày số khái niệm kết khơng gian Sobolev, hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt số kết phụ Chương trình bày đánh giá số phiếm hàm xác định nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt trường hợp điều kiện biên tuần hồn Chương trình bày tốn ổn định hố nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt điều khiển phản hồi hữu hạn chiều trường hợp điều kiện biên tuần hồn Chương trình bày tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình NavierStokes-Voigt với điều kiện biên không Các chương 2, viết dựa báo [CT1], [CT2] Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án đăng tạp chí Annales Polonici Mathematici Acta Mathematica Vietnamica Kết Chương nội dung cơng trình [CT3] Danh mục cơng trình gửi đăng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại số khái niệm kết không gian hàm, phép nhúng, toán tử, hệ Navier-Stokes-Voigt số kết phụ Các không gian hàm ❼ C k , Lp không gian Sobolev: C k (Ω), Lp (Ω), W m,p (Ω), H m (Ω) (m ∈ N) ❼ Không gian hàm trừu tượng: Lp (0, T ; X), ≤ p ≤ ∞, W 1,p (0, T ; X) Một số bất đẳng thức: bất đẳng thc Hăolder, Bt ng thc Poincarộ, bt ng thc Gronwall, bất đẳng thức Young với ϵ Các phép nhúng liên tục compact: định lí Rellich-Kondrachov, phép nhúng khơng gian hàm trừu tượng Các tốn tử: tốn tử Stokes A, tốn tử song tuyến tính B dạng ba tuyến tính Một số kết tồn tập hút toàn cục số chiều fractal tập hút toàn cục Một số kết số bậc tự hữu hạn: modes, nodes phần tử thể tích Hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt với điều kiện biên tuần hồn Chương ĐÁNH GIÁ SỐ CÁC THAM SỐ XÁC ĐỊNH NODES ĐỐI VỚI NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ba chiều với điều kiện biên tuần hồn Chúng tơi đánh giá số tham số xác định nodes nghiệm khơng dừng, nghiệm dừng nghiệm tuần hồn hệ Navier-Stokes-Voigt ba chiều Ở đây, số tham số xác định nodes ước lượng phụ thuộc vào tham số hệ hệ số nhớt, tham số đặc trưng cho tính đàn hồi hệ, ngoại lực miền xét Nội dung chương viết dựa báo [CT1] Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 2.1 Đặt toán Cho Ω = (0, L)3 , L > 0, hình lập phương R3 Xét hệ phương trình NavierStokes-Voigt ba chiều sau   ut − α2 ∆ut − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f  ∇ · u = Ω × (0, ∞), (2.1) Ω × (0, ∞), với điều kiện biên tuần hoàn u(x, t) = u(x + Lei , t) với t > 0, (2.2) {e1 , e2 , e3 } sở tắc R3 điều kiện ban đầu u(0) = u0 Ω (2.3) Ta có hệ Navier-Stokes-Voigt chiều viết dạng hàm sau d (u + α2 Au) + νAu + B(u, u) = f dt (2.4) Nếu f ∈ L∞ (0, ∞; H), ta định nghĩa số Grashof tổng quát sau Gr = 3/4 ν λ1 lim sup |f (t)| (2.5) t→∞ Trong chương này, đưa đánh giá số tham số xác định nodes nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt Chúng tơi chứng tỏ hai nghiệm dừng trùng giá trị chúng trùng tập hữu hạn điểm phù hợp, biết dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt tập điểm rời rạc phù hợp dáng điệu tiệm cận nghiệm hồn tồn xác định điểm khác miền 2.2 Kiến thức chuẩn bị Chú ý 2.2.1 Với f g thuộc L∞ (0, ∞; H) thoả mãn lim |f (t) − g(t)| = số Grashof t→∞ tổng quát Gr định nghĩa hàm f hàm g Định lí 2.2.2 Cho f ∈ L∞ (0, ∞; H) Nếu u0 ∈ V tốn (2.3)-(2.4) có nghiệm yếu toàn cục u ∈ L∞ (0, ∞; V ) thoả mãn 1/2 2 lim sup |u(t)| + α ∥u(t)∥ t→∞ ν λ1 Gr2 ≤ d0 (2.6) Hơn nữa, u0 ∈ D(A) tốn (2.3)-(2.4) có nghiệm mạnh tồn cục u ∈ L∞ (0, ∞; D(A)) thoả mãn (2.6) 3/2 2 lim sup ∥u(t)∥ + α |Au(t)| t→∞ 3/2 2ν λ1 27c41 ν λ1 ≤ Gr6 Gr2 + d0 2α6 d40 (2.7) Chia miền Ω = (0, L)3 thành N hình lập phương Ωj , j = 1, , N , √ Ωj hình lập phương thứ j có cạnh h = L/ N Lấy điểm xj tương ứng Ωj , j = 1, , N Bổ đề 2.2.3 Với w ∈ D(A), tồn số dương c2 , c3 , c4 , c5 thoả mãn |w|2 ≤ 4L3 ϑ2 (w) + c2 L |Aw|2 , N 4/3 c4 L |Aw|2 , N 2/3 c5 L ≤ c4 LN ϑ2 (w) + 1/3 |Aw|2 , N ∥w∥2 ≤ c3 LN 2/3 ϑ2 (w) + ∥w∥2L∞ (Ω) (2.11) ϑ(w) = max |w(xj )| 1≤j≤N 2.3 Các tham số xác định nodes trường hợp nghiệm không dừng Một tập hợp hữu hạn điểm N := {x1 , x2 , , xN } ⊂ Ω gọi tập tham số xác định nodes với hai nghiệm mạnh u v hệ phương trình (2.3)-(2.4) với điều kiện ban đầu u0 , v ∈ D(A) ngoại lực tương ứng f, g ∈ L∞ (0, ∞; H) thoả mãn lim |u(xj , t) − v(xj , t)| = với xj ∈ N , j = 1, , N, t→∞ lim |f (t) − g(t)| = t→∞ lim ∥u(t) − v(t)∥2 + α2 |Au(t) − Av(t)|2 = t→∞ Định lí 2.3.1 Chia Ω = (0, L)3 thành N hình lập phương với điểm tập hợp điểm N := {x1 , x2 , , xN } lấy tương ứng hình lập phương Khi N tập tham số xác định nodes N> 2.4 216c41 c4 λ1 L2 Gr4 α4 d20 3/2 (2.12) Các tham số xác định nodes trường hợp nghiệm dừng Nếu ngoại lực f ∈ H hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ba chiều có nghiệm dừng u thoả mãn νAu + B(u, u) = f H, (2.21) u thoả mãn ước lượng sau ∥u∥ ≤ |f | 1/2 |Au| ≤ νλ1 c21 |f | + |f |3 3/2 ν ν λ1 (2.22) Định lí 2.4.1 Cho f ∈ H Giả sử u v hai nghiệm dừng hai hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt sau νAu + B(u, u) = f, νAv + B(v, v) = f, thoả mãn u(xj ) = v(xj ), j = 1, , N Khi đó, N> 8c31 |f |3/2 3/4 ν λ1 c21 |f | + |f |3 3/2 ν ν λ1 3/2 3/2 c4 L (2.23) u = v Bây giả sử ngoại lực f ∈ L∞ (0, ∞; H) thoả mãn f (t) → f∞ H t → ∞, (2.27) f∞ ∈ H Định lí 2.4.2 Giả sử f ∈ L∞ (0, ∞; H) thoả mãn (2.27) u nghiệm toán (2.3)-(2.4) với u0 ∈ D(A) Giả sử 3/2 216c41 c4 λ1 L2 Gr4 , N > max α4 d20 c21 8c31 |f∞ |3/2 |f | + |f |3 ∞ 3/4 3/2 ∞ ν ν λ1 ν λ1 3/2 (2.28) 3/2 c4 L3 , với j = 1, , N , u(xj , t) → ξj t → ∞, (2.29) ξj vectơ R3 Khi tồn nghiệm u∞ toán (2.21) với f thay f∞ thoả mãn u∞ (xj ) = ξj , j = 1, , N t → ∞, nghiệm u(t) hội tụ đến nghiệm dừng u∞ theo chuẩn D(A) chuẩn hội tụ 2.5 Các tham số xác định nodes trường hợp nghiệm tuần hoàn Cố định hàm γ : R → H tuần hồn theo chu kì T Giả sử γ ∈ L∞ (0, T ; H) Khi nghiệm tuần hồn hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ba chiều hàm φ : R → V tuần hồn theo chu kì T , φ(t + T ) = φ(t), ∀t, (2.32) Chương ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI BẰNG HỮU HẠN THAM SỐ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT Trong chương chúng tơi nghiên cứu ổn định nghiệm dừng hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt điều khiển phản hồi hữu hạn chiều, phương pháp Azouani Titi đưa năm 2014 Sự thiết kế điều khiển phản hồi dựa số hữu hạn tham số xác định bậc tự do, chẳng hạn số xác định tham số hữu hạn modes, nodes hay phần tử thể tích Nội dung chương viết dựa báo [CT2] Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 3.1 Đặt toán Cho Ω = (0, L)d , L > hình hộp Rd , d ∈ {2, 3} Xét hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt   ut − α2 ∆ut − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f  ∇ · u = Ω × (0, ∞), (3.1) Ω × (0, ∞), với điều kiện biên tuần hoàn u(x, t) = u(x + Lei , t), x ∈ Ω, t > 0, 10 (3.2) {ei } sở tắc Rd điều kiện ban đầu u(x, 0) = u0 , x ∈ Ω (3.3) Ta có hệ Navier-Stokes-Voigt viết dạng hàm sau d (u + α2 Au) + νAu + B(u, u) = f dt (3.4) Trong chương này, sử dụng điều khiển phản hồi hữu hạn chiều để ổn định hoá nghiệm dừng hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt trường hợp điều kiện biên tuần hoàn Ở đây, lươc đồ điều khiển phản hồi sử dụng hữu hạn quan sát điều khiển, chẳng hạn số hữu hạn tham số xác định modes, nodes phần tử thể tích 3.2 Kiến thức chuẩn bị Sau số ước lượng dạng ba tuyến tính b(u, v, w) sử dụng chứng minh mục sau   |u|1/2 ∥u∥1/2 ∥v∥ |w|1/2 ∥w∥1/2 |b(u, v, w)| ≤ c0  ∥u∥∥v∥|w|1/2 ∥w∥1/2 d = 2, ∀u, v, w ∈ V, (3.5) d = 3, |b(u, v, w)|   |u|1/2 ∥u∥1/2 ∥v∥1/2 |Av|1/2 |w| d = 2, ≤ c0 ∀u ∈ V, v ∈ D(A), w ∈ H  ∥u∥∥v∥1/2 |Av|1/2 |w| d = 3, (3.6) Ta có |b(u, v, w)| ≤ c0 ∥u∥∥v∥|w|1/2 ∥w∥1/2 ∀u, v, w ∈ V, (3.7)  c0    1/4 c0 = λ   c d = 2, (3.8) d = 3, với c0 cho (3.5) Định lí 3.2.1 Với f ∈ H bất kì, tồn nghiệm dừng u∗ toán (3.1)(3.2)-(3.3) thoả mãn |f |2 , ν λ1 (3.9) 2 54c40 |f |6 |f | + 10 , ν2 ν λ1 (3.10) ∥u∗ ∥2 ≤ |Au∗ |2 ≤ 11 c0 cho (3.8) Hơn nữa, f thoả mãn ν> c0 |f | 3/4 , (3.11) νλ1 nghiệm u∗ ổn định mũ toàn cục, tức là, với nghiệm u tốn (3.1)-(3.2)-(3.3), ta có |u(t) − u∗ |2 + α2 ∥u(t) − u∗ ∥2 ≤ |u0 − u∗ | + α2 ∥u0 − u∗ ∥2 e−λt , với t > 0, λ ∈ 3.3 0, 2d−1 ν− c0 |f | 3/4 νλ1 Ổn định hoá nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt tốn tử nội suy điều khiển phản hồi Từ Định lí 3.2.1, ta thấy nghiệm dừng u∗ khơng ổn định điều kiện (3.11) khơng cịn đúng, tức là, ν≤ c0 |f | 3/4 νλ1 Mục đích mục sử dụng tham số hữu hạn modes, nodes phần tử thể tích để thiết kế điều khiển phản hồi ổn định hoá nghiệm dừng u∗ Xét hệ phương trình sau với tốn tử nội suy Ih điều khiển:    ∂t (u − α2 ∆u) − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f − µIh (u − u∗ ), x ∈ Ω, t > 0,       ∇ · u = 0, x ∈ Ω, t > 0, x ∈ Ω, t > 0,    u(x, t) = u(x + Lei , t),      u(x, 0) = u0 , x ∈ Ω Với phép chiếu P , ta viết lại hệ sau:    d (u + α2 Au) + νAu + B(u, u) = P f − µP (Ih (u − u∗ )), dt  u(0) = u0 (3.12) Sau ta xét hai trường hợp Ih 3.3.1 Điều khiển phản hồi hữu hạn phần tử thể tích phép chiếu Fourier modes toán tử nội suy Xét ánh xạ tuyến tính Ih : V → H toán tử nội suy xấp xỉ đồng với sai số có bậc h thoả mãn |φ − Ih (φ)|2 ≤ c21 h2 ∥φ∥2 , 12 với φ ∈ V, (3.13) với c1 > số dương Sau hai ví dụ toán tử nội suy Ih thoả mãn (3.13) ❼ Phần tử thể tích hữu hạn Chia miền Ω thành Ωk , k = 1, , N , Ωk hộp thứ √ k với cạnh L/ d N , thể tích Ωk |Ωk | = Ld /N Kí hiệu 1Ωk hàm đặc trưng Ωk Toán tử nội suy Ih có dạng sau N Ih (φ) = φk 1Ωk (x), k=1 φk trung bình địa phương φ Ωk định nghĩa sau |Ωk | φk = φdx Ωk ❼ Phép chiếu lên Fourier modes toán tử nội suy Xét toán tử Ih phép chiếu L 2πh lên Fourier modes, đến cấp |k| thoả mãn |k| ≤ định nghĩa sau φk wk (x), Ih (φ) = L |k|≤⌊ 2πh ⌋ với φ = φk wk (x), k∈Zd \{0} wk (x) = exp Ld 2πi k · x , ∀k ∈ Zd \ {0} φk = (φ, wk ) Ld Định lí 3.3.1 Cho d ∈ {2, 3} Cho trước f ∈ H u∗ Định lí 3.2.1 Lấy µ h tham số dương thoả mãn µc21 h2 ≤ ν µ ≥ 54c40 |f |4 , ν λ21 lấy Ih thoả mãn (3.13) Khi với u0 ∈ V , tồn nghiệm u toán (3.12) thoả mãn với T > 0, u ∈ C([0, T ]; V ), du ∈ L2 (0, T ; V ), dt (3.14) với t > 0, |u(t) − u∗ |2 + α2 ∥u(t) − u∗ ∥2 ≤ |u0 − u∗ |2 + α2 ∥u0 − u∗ ∥2 e− 3.3.2 νd0 t (3.15) Điều khiển phản hồi hữu hạn nút quan sát Trong mục chúng tơi xét hệ phương trình (3.12) với tốn tử nội suy Ih : D(A) → H thoả mãn |φ − Ih (φ)|2 ≤ c22 h2 ∥φ∥2 + c22 h4 |Aφ|2 với φ ∈ D(A) 13 (3.30) Sau ví dụ tốn tử Ih : N Ih (φ) = φ(xk )1Ωk (x), k=1 với điểm tuỳ ý xk ∈ Ωk , k = 1, , N Ωk , 1Ωk xét giống Mục 3.3.1 Định lí 3.3.2 Cho d = Cho trước f ∈ H u∗ Định lí 3.2.1 Lấy µ h tham số dương thoả mãn 2µ max{c2 , c22 }h2 ≤ ν µ ≥ 108c40 |f |4 4c20 |f |2 + ν λ31 ν λ1 2+ 54c40 |f |4 , ν λ31 (3.31) lấy Ih thoả mãn (3.30) Khi với u0 ∈ D(A), nghiệm u hệ phương trình (3.12) thoả mãn với T > 0, u ∈ C([0, T ]; D(A)) du ∈ L2 (0, T ; D(A)), dt (3.32) với t > 0, ∥u(t) − u∗ ∥2 + α2 |A(u(t) − u∗ )|2 ≤ ∥u0 − u∗ ∥2 + α2 |A(u0 − u∗ )|2 e− νd0 t (3.33) Chú ý 3.3.3 Trong trường hợp d = 3, ta khơng có đánh giá b(z, z, Az) = trường hợp d = 2, tốn ổn định hố cịn câu hỏi mở trường hợp số chiều 14 Chương DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỆ NAVIER-STOKES-VOIGT CHIỀU KHÔNG THUẦN NHẤT Trong chương này, nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt chiều trường hợp điều kiện biên không Đầu tiên chứng minh tồn nghiệm yếu toàn cục hệ Sau chúng tơi chứng minh hệ động lực sinh nghiệm yếu có tập hút tồn cục hữu hạn chiều đưa số chiều fractal tập hút tồn cục Tiếp theo chúng tơi nghiên cứu tồn tính ổn định nghiệm dừng hệ Cuối cùng, chứng tỏ tồn toán tử mà phép chiếu nghiệm lên khơng gian hữu hạn chiều tốn tử thoả mãn bất đẳng thức phù hợp dáng điệu tiệm cận nghiệm hoàn toàn xác định Nội dung chương viết dựa cơng trình [CT3] Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 4.1 Đặt toán Cho Ω miền bị chặn R3 với biên ∂Ω thuộc lớp C Xét hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt chiều   ut − α2 ∆ut − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f  ∇ · u = Ω × (0, ∞), (4.1) Ω × (0, ∞), với điều kiện biên Dirichlet khơng u(x, t) = φ(x), x ∈ ∂Ω, t > 0, 15 (4.2) điều kiện ban đầu u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω (4.3) Giả sử ❼ f = f (x) ngoại lực ❼ φ = φ(x) hàm vectơ định nghĩa ∂Ω thoả mãn số điều kiện Ở giả sử φ cho sau: φ = curl ζ, ζ = (ζ1 , ζ2 , ζ3 ) ∈ H3 (Ω), curl toán tử định nghĩa sau curl ζ = (∂x2 ζ3 − ∂x3 ζ2 , ∂x3 ζ1 − ∂x1 ζ3 , ∂x1 ζ2 − ∂x2 ζ1 ), với ζ = (ζ1 , ζ2 , ζ3 ) ❼ Tham số α ∈ (0, 1] đặc trưng cho tính đàn hồi hệ Chú ý 4.1.1 Đối với tốn này, chúng tơi xét hàm φ có dạng để sử dụng kết Temam thác triển hàm cho biên φ thành hàm ψ xác định miền Ω thoả mãn số điều kiện cần thiết (có thể xem Bổ đề 4.3.2 sau) Việc xét hàm φ thiết yếu toán Trong chương này, sử dụng phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin để chứng minh tồn nghiệm yếu hệ phương trình (4.1)-(4.2)-(4.3) Sau chứng minh tồn tập hút tồn cục chứng tỏ tập hút có số chiều fractal hữu hạn Sau chúng tơi đưa điều kiện đủ ổn định mũ nghiệm yếu hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt với điều kiện biên không Cuối chứng tỏ tồn toán tử chiếu thoả mãn số bất đẳng thức dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Navier-Stokes-Voigt chiều hoàn toàn xác định 4.2 Kiến thức chuẩn bị Xét không gian hàm sau H = u ∈ L2 (Ω) : ∇ · u = , V = {u ∈ H10 (Ω) : ∇ · u = 0}, 16 với tích vơ hướng chuẩn H kí hiệu (·, ·) | · |, V kí hiệu ((·, ·)) ∥ · ∥ Kí hiệu P phép chiếu trực giao Helmholtz-Leray từ L2 (Ω) lên H Toán tử Stokes A định nghĩa A = −P ∆, D(A) = H2 (Ω) ∩ V Đặt B(u, v) = P ((u · ∇)v) Từ toán tử song tuyến tính B(·, ·) ta định nghĩa dạng ba tuyến tính b(u, v, w) = ⟨B(u, v)w⟩, dạng ba tuyến tính thoả mãn số ước lượng 4.3 Sự tồn nghiệm yếu Định nghĩa 4.3.1 Cho f ∈ L2 (Ω) Một hàm u gọi nghiệm yếu toán (4.1)(4.2)-(4.3) khoảng (0, T ) điều kiện sau thoả mãn    u ∈ C([0, T ]; H1 (Ω)), du/dt ∈ L2 (0, T ; H1 (Ω)),      d    (u(t) + α2 Au(t)) + νAu(t) + B(u(t), u(t)) = f H−1 (Ω),    dt ∇ · u = Ω × (0, T ),       u(t) = φ ∂Ω,       u(0) = u0 Bổ đề 4.3.2 Cho Ω miền bị chặn R3 với biên ∂Ω thuộc lớp C cho φ = curl ζ, ζ = (ζ1 , ζ2 , ζ3 ) ∈ H3 (Ω), hàm định nghĩa ∂Ω Khi tồn hàm ψ ∈ H2 (Ω) thoả mãn ∇ · ψ = 0, (4.11) ψ = φ ∂Ω, |b(v, ψ, v)| ≤ ν ∥v∥2 , ∀v ∈ V (4.12) Định lí 4.3.3 Cho f ∈ L2 (Ω), u0 ∈ H1 (Ω), ∇ · u0 = Ω, u0 = φ ∂Ω Khi tồn nghiệm yếu u hệ phương trình (4.1)-(4.2)-(4.3) khoảng (0, T ) Hơn nữa, với t > 0, ánh xạ u0 → u(t) liên tục H1 (Ω) Chú ý 4.3.4 Cho ψ ∈ H2 (Ω) hàm cố định thoả mãn điều kiện (4.11)-(4.12) Từ chứng minh Định lí 4.3.3 ta thấy z ∈ C([0, T ]; V ) nghiệm yếu toán   zt + α2 Azt + νAz + B(z, z) + B(z, ψ) + B(ψ, z) = fˆ, (4.21)  z(0) = z0 , 17 z0 = u0 − ψ ∈ V fˆ = f + ν∆ψ − (ψ · ∇)ψ u := ψ + z ∈ C([0, T ]; H1 (Ω)) nghiệm yếu toán với điều kiện ban đầu u0 Do đó, tồn tập hút toàn cục Aα V nửa nhóm liên tục sinh nghiệm yếu z tốn (4.21) ψ + Aα := {ψ + z : z ∈ Aα } tập hút toàn cục H1 (Ω) nửa nhóm liên tục sinh nghiệm yếu u tốn (4.1)-(4.2)-(4.3) Chính từ lí trên, từ cần nghiên cứu tồn tại, số chiều fractal hữu hạn tập hút toàn cục Aα nửa nhóm Sα (t) : V → V z0 → z(t) sinh nghiệm yếu z tốn (4.21) Từ chúng tơi thu kết tương ứng tập hút ψ + Aα nửa nhóm liên tục sinh nghiệm yếu u toán (4.1)-(4.2)-(4.3) 4.4 Sự tồn tập hút tồn cục Trong mục này, chúng tơi nghiên cứu tồn tính quy tập hút tồn cục Aα nửa nhóm Sα (t) sinh nghiệm yếu z toán (4.21) 4.4.1 Sự tồn tập hấp thụ Đầu tiên chứng tỏ quỹ đạo tập bị chặn cho trước đến tập hấp thụ bị chặn B1α , B1α = z ∈ V : |z|2 + α2 ∥z∥2 ≤ 4(1 + λ1 α2 )|fˆ|2 , ν λ21 với fˆ = f + ν∆ψ − (ψ · ∇)ψ Mệnh đề 4.4.1 Tập B1α tập hấp thụ bị chặn Sα (t) 4.4.2 Tính compact tiệm cận Bây chúng tơi chứng minh tính compact tiệm cận nửa nhóm Sα (t) Bước 1: (Tách nghiệm) Ta có sup sup |Sα (t)z0 |2 + α2 ∥Sα (t)z0 ∥2 ≤ M12 , (4.25) t≥0 z0 ∈B1α M1 = 4(1 + λ1 α2 )|fˆ|2 ν λ21 18 1/2 (4.26) Với z0 ∈ B1α , ta tách nghiệm thành hai phần sau Sα (t)z0 = Lα (t)z0 + Kα (t)z0 , Lα (t) nửa nhóm sinh tốn sau   vt + α2 Avt + νAv + B(z, v) + B(ψ, v) = 0, (4.27)  v(0) = z0 , w(t) = Kα (t)z0 nghiệm toán   wt + α2 Awt + νAw + B(z, w) + B(z, ψ) + B(ψ, w) = fˆ, (4.28)  w(0) = 0, fˆ = f + ν∆ψ − (ψ · ∇)ψ Bước 2: (Sự suy giảm theo cấp độ mũ toán tử nghiệm Lα (t)) Nhân vơ hướng hai vế phương trình thứ hệ (4.27) với v, ta 1d (|v|2 + α2 ∥v∥2 ) + ν∥v∥2 + b(z, v, v) + b(ψ, v, v) = dt Do d 2νλ1 (|v|2 + α2 ∥v∥2 ) + (|v|2 + α2 ∥v∥2 ) ≤ dt + λ1 α Áp đụng bổ đề Gronwall suy − |v|2 + α2 ∥v∥2 ≤ (|z0 |2 + α2 ∥z0 ∥2 )e 2νλ1 t 1+λ1 α2 , với t ≥ (4.29) Bước 3: (Chứng minh Kα (t)u0 thuộc tập compact V ) Tiếp theo, chứng minh với t cố định, Kα (t)u0 thuộc tập compact V , điều kiện ban đầu z0 thuộc tập hấp thụ B1α Bổ đề 4.4.2 Với α ∈ (0, 1] z0 ∈ B1α , ta có sup (∥w∥2 + α2 |Aw|2 ) ≤ rα , t≥0 rα = + λ1 α2 νλ1 ˆ 2cM14 M12 4c2 (M12 + M12 ) |f | + + ∥ψ∥H2 (Ω) ∥ψ∥1 , ν α6 ν να2 với M1 cho (4.26) 2(1 + λ1 α2 )|fˆ|2 c2 M12 ∥ψ∥21 (1 + λ1 α2 ) + M1 = 3/2 ν λ21 λ1 ν α2 19 1/2 Kí hiệu B2α (rα ) = z ∈ H2 (Ω) : ∥z∥2 + α2 |Az|2 ≤ rα ∩ B1α Định lí 4.4.3 Tập B2α (rα ) tập hút mũ compact Sα (t) distV (Sα (t)B1α , B2α (rα )) ≤ M e − νλ1 t 2(1+λ1 α2 ) , distV nửa khoảng cách Hausdorff V ; M = sup ∥z0 ∥ z0 ∈B1α Định lí 4.4.4 Cho α ∈ (0, 1] Khi tồn tập hút tồn cục Aα V nửa nhóm Sα (t) sinh nghiệm yếu toán (4.21) Hơn nữa, Aα ⊂ B2α (rα ), bị chặn H2 (Ω) 4.5 Ước lượng số chiều fractal tập hút tồn cục Chúng tơi ước lượng số chiều fractal V tập hút toàn cục Aα Định lí 4.5.1 Với α ∈ (0, 1], tập hút tồn cục Aα có số chiều fractal hữu hạn V Cụ thể, dimV Aα ≤ + λ1 α2 ˆ + |f | λ1 ν λ41 c α3 3/2 , (4.31) c > số fˆ = f + ν∆ψ − (ψ · ∇)ψ 4.6 Sự tồn ổn định mũ nghiệm dừng Định nghĩa 4.6.1 Giả sử f ∈ L2 (Ω) Một hàm u∗ gọi nghiệm dừng yếu toán (4.1)-(4.2)-(4.3) u∗ ∈ H1 (Ω), ∇ · u∗ = 0, u∗ = φ ∂Ω thoả mãn νAu∗ + B(u∗ , u∗ ) = f H−1 (Ω) (4.38) Định lí 4.6.2 Cho f ∈ L2 (Ω) Khi đó, tồn nghiệm u∗ tốn (4.38) thoả mãn ∥u∗ ∥1 ≤ 1/2 3νλ1 |fˆ| + ∥ψ∥1 , (4.39) fˆ = f + ν∆ψ − (ψ · ∇)ψ ψ ∈ H2 (Ω) hàm cố định thoả mãn điều kiện (4.11)-(4.12) Hơn nữa, điều kiện sau thoả mãn ν> 4c c 3νλ1 λ1 |fˆ| + 5/4 20 3/4 ∥ψ∥1 , với nghiệm u(t) toán (4.1)-(4.2)-(4.3), bất đẳng thức sau với t>0 |u(t) − u∗ |2 + α2 ∥u(t) − u∗ ∥2 ≤ (|u0 − u∗ |2 + α2 ∥u0 − u∗ ∥2 )× × exp − 2λ1 + λ1 α ν− 4c 5/4 3νλ1 |fˆ| − c 3/4 λ1 ∥ψ∥1 t , (4.40) tức nghiệm dừng u∗ ổn định mũ toàn cục 4.7 Phép chiếu xác định phiếm hàm xác định nghiệm yếu Định nghĩa 4.7.1 Cho u, v ∈ L∞ (0, ∞; H1 (Ω)) tương ứng hai nghiệm yếu hai hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt sau    ut − α2 ∆ut − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f Ω × (0, T ),       ∇ · u = Ω × (0, T ), (4.43)    u = φ ∂Ω,      u(0) = u ,    vt − α2 ∆vt − ν∆v + (v · ∇)v + ∇p = g Ω × (0, T ),       ∇ · v = Ω × (0, T ), (4.44)    v = φ ∂Ω,      v(0) = v , f, g hai ngoại lực L∞ (0, ∞; L2 (Ω)) thoả mãn lim |f (t) − g(t)| = t→∞ Toán tử chiếu RN : H1 (Ω) → VN ⊂ L2 (Ω), N = dim(VN ) < ∞, gọi phép chiếu xác định nghiệm yếu hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt chiều lim |RN (u(t) − v(t))| = 0, t→∞ (4.45) dẫn đến lim (|u(t) − v(t)|2 + α2 ∥u(t) − v(t)∥2 ) = t→∞ N Cho {ϕi }N i=1 sở VN cho {li }i=1 tập hàm tuyến tính bị chặn từ L2 (Ω) Ta xây dựng tốn tử chiếu sau N RN (u) := li (u)ϕi i=1 21 Giả sử lim |li (u(t) − v(t))| = 0, i = 1, , N, t→∞ dẫn đến (4.45) ta nói tập {li }N i=1 tập phiếm hàm xác định Ta thấy sở {ϕi }N i=1 không yêu cầu divergence-free không không gian H (Ω) Hơn nữa, Định nghĩa 4.7.1 bao hàm khái niệm tham số xác định nodes, modes phần tử N thể tích từ việc chọn trường hợp riêng cho tập {ϕi }N i=1 {li }i=1 Sau chúng tơi kí hiệu số Grashof tổng qt Gr0 trường hợp ba chiều sau Gr0 = 5/4 ν λ1 lim sup|fˆ(t)|, (4.46) t→∞ fˆ = f + ν∆ψ − (ψ · ∇)ψ, fˆ ∈ L∞ (0, ∞; L2 (Ω)) Định lí 4.7.2 Cho u, v ∈ L∞ (0, ∞; H1 (Ω)) tương ứng hai nghiệm yếu hai hệ phương trình (4.43) (4.44), f (t), g(t) hai hàm ngoại lực L∞ (0, ∞; L2 (Ω)) thoả mãn lim |f (t) − g(t)| = t→∞ Nếu tồn toán tử chiếu RN : H1 (Ω) → VN , N = dim(VN ), thoả mãn lim |RN (u(t) − v(t))| = 0, t→∞ với θ > có |u − RN u| ≤ C1 N −θ ∥u∥1 , (4.47) với C1 số dương N thoả mãn ∞>N > √ 1/2 24 6c2 C1 (1 + λ1 α2 )λ1 Gr02 α2 θ lim (|u(t) − v(t)|2 + α2 ∥u(t) − v(t)∥2 ) = t→∞ 22 , (4.48) KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Kết luận Trong luận án này, nghiên cứu dáng diệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt theo ba hướng tiếp cận: tập hút tồn cục, nodes xác định, ổn định hoá nghiệm điều khiển phản hồi hữu hạn chiều Các kết đạt bao gồm: Đưa số nodes xác định nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt chiều với điều kiện biên tuần hoàn Chứng minh tính ổn định nghiệm dừng hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt chiều với điều kiện biên tuần hồn điều khiển phản hồi hữu hạn chiều Chứng minh tồn nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt chiều với điều kiện biên Dirichlet không thông qua nghiên cứu tồn tập hút toàn cục hữu hạn chiều tồn phép chiếu xác định Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Đa tạp quán tính xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt chiều Bài tốn đồng hố liệu hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt chiều 23 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [CT1] V.M Toi and N.T Ngan (2020), Upper bounds on the number of determining nodes for 3D Navier-Stokes-Voigt equations, Ann Pol Math 125, no 1, 83-99 [CT2] N.T Ngan and V.M Toi (2020), Feedback control of Navier-Stokes-Voigt equations by finite determining parameters, Acta Math Vietnam 45 (2020), no 4, 917-930 [CT3] C.T Anh and N.T Ngan (2020), Asymptotic behavior of three-dimensional non-homogeneous Navier-Stokes-Voigt equations, submitted to Acta Applicandae Mathematicae ... number of determining nodes for 3D Navier- Stokes- Voigt equations, Ann Pol Math 125, no 1, 83-99 [CT2] N.T Ngan and V.M Toi (2020), Feedback control of Navier- Stokes- Voigt equations by finite. .. trình Navier- Stokes- Voigt xét mơ hình quy hố hệ Navier- Stokes mơ hình α-mơ hình học chất lỏng Năm 2006, hệ phương trình Navier- Stokes- Voigt Cao, Luansin Titi xét hệ chỉnh hoá hệ Navier- Stokes. .. no 4, 917-930 [CT3] C.T Anh and N.T Ngan (2020), Asymptotic behavior of three -dimensional non-homogeneous Navier- Stokes- Voigt equations, submitted to Acta Applicandae Mathematicae