+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác của góc t[r]
(1)PHßNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ch¬ng *** *** ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO THP NĂM HỌC: 2012-2013 (2) «n tËp vµo líp 10 n¨m häc 2011-2012 PhÇn 1: C¸c lo¹i bµi tËp vÒ biÓu thøc Bµi 1: Cho biÓu thøc : P= √ a+2 − +¿ √ a+3 a+ √ a −6 a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P<1 − √a Bµi 2: Cho biÓu thøc: P= − √ x : √ x +3 + √ x +2 + √ x+2 √ x +1 √ x − 3− √ x x −5 √ x+ a) Rót gän P b)Tìm giá trị a để P<0 Bµi 3: Cho biÓu thøc: P= √ x −1 − + √ x : 1− √ x −2 √ x − √ x+1 x −1 √ x +1 a) Rót gän P b) Tìm các giá trị x để P= ( )( ( ) )( Bµi 4: Cho biÓu thøc P= 1+ √ a : ( 2√ a − ) ( a+1 √ a −1 a √ a+ √ a −a −1 ) a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P<1 c) T×m gi¸ trÞ cña P nÕu a=19− √ ) (3) 1− a ¿2 ¿ √a ¿ ¿ Bµi 5: Cho biÓu thøc: P= a) Rót gän P b) XÐt dÊu cña biÓu thøc M=a.(P- ) ( √√2xx+1+1 + √√22xx+−√1x −1): (1+ √√2x+x+11 − √√22x+x −1√ x ) Bµi 6: Cho biÓu thøc: P = a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P x ¿ ( 3+ √ ) Bµi 7: Cho biÓu thøc: P= a) Rót gän P b) Tìm x để P ( x √ x+2√√xx− x − − √ x1−1 ) :( 1+ x√+1x ) ( Bµi 8: Cho biÓu thøc: P= a+1 √ a 1+ √ a3 − √ a − √ a3 a+ √a+ 1+ √ a )( ) a) Rót gän P b) XÐt dÊu cña biÓu thøc P √ 1− a Bµi 9: Cho biÓu thøc P= 1: ( x √x +2x −1 + x +√√x +1x +1 − √xx+1 −1 ) a) Rót gän P b) So s¸nh P víi Bµi 10: Cho biÓu thøc : P= √a − √a ( 1−1−a√√aa + √ a) ( 1+a ) 1+ √ a a) Rót gän P b) Tìm a để P< − √ Bµi 11: Cho biÓu thøc: P= ( √2x√+3x + √ x√−3x − 3xx−+39 ) :( 2√√xx−3−2 − 1) a) Rót gän P b) Tìm x để P< c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Bµi 12: Cho biÓu thøc: P= √ x −1 : 9− x − √ x − − √ x − ( x −3 ) ( x+ √ x − 2− √ x √ x +3 ) x−9 a) Rót gän P b) Tìm giá trị x để P<1 Bµi 13: Cho biÓu thøc : P= 15 √ x −11 + √ x −2 − √ x +3 x +2 √ x −3 1− √ x √ x+3 a) Rót gän P b) Tìm các giá trị x để P= c) Chøng minh P (4) Bµi 14: Cho biÓu thøc: √x √ x − m2 + √ x +m √ x − m x − m2 P= víi m>0 a) Rót gän P b) Tính x theo m để P=0 c) Xác định các giá trị m để x tìm đợc câu b thoả mãn điều kiện x>1 Bµi 15: Cho biÓu thøc P= a + √a − a+ √a +1 a− √ a+1 √a a) Rót gän P b) BiÕt a>1 H·y so s¸nh P víi P c) Tìm a để P=2 d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Bµi 16: Cho biÓu thøc P= √ a+1 + √ ab+ √ a −1 : √ a+1 − √ ab+ √ a +1 √ ab+1 √ ab− √ab+ √ab − a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a= 2− √ vµ b= √ −1 1+ √ c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu √ a+ √ b=4 Bµi 17: Cho biÓu thøc : P= a √ a− − a √ a+1 + √ a − √ a+1 + √ a −1 a − √a a+ √ a √ a √ a− √a+ a) Rót gän P b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P=7 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P>6 √ a −1 − √ a+1 Bµi 18: Cho biÓu thøc: P= √ a − 2 √ a √ a+ √ a −1 a) Rót gän P b) Tìm các giá trị a để P<0 c) Tìm các giá trị a để P=-2 Bµi 19: Cho biÓu thøc P= ( √ a− √ b ) +4 √ ab a √ b − b √ a √ a+ √ b √ ab a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rót gän P c) TÝnh gi¸ trÞ cña P a= √ vµ b= √ x +2 x x −1 Bµi 20: Cho biÓu thøc : P= + √ + :√ x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P>0 ∀ x Bµi 21: Cho biÓu thøc : P= √ x + x − : − √ x +2 x √ x −1 √ x −1 x+ √ x +1 a) Rót gän P b) TÝnh √ P x= 5+2 √3 ( )( ) )( ( ( )( ) ( ( Bµi 22: Cho biÓu thøc ) )( ) 3x P= 1: + − : 2+ √ x − x −2 √ x − √ x ( ) a) Rót gän P b) Tìm giá trị x để P=20 Bµi 23: Cho biÓu thøc : a) Rót gän P P= ( x−y x3 − √ y ( √ x − √ y ) + √ xy +√ : y− x √x −√ y √ x +√ y ) ) (5) b) Chøng minh P ( Bµi 24: Cho biÓu thøc P= √ ab + √ a+ √ b a √ a+ b √ b ) [( a) Rót gän P b) TÝnh P a=16 vµ b=4 √ ab a− b − : √ a − √ b a √ a− b √ b a+ √ ab+b ) P= 1+ a+ √ a −1 − a √ a − √ a+a a − √ a 1−a −a √ a √ a −1 ( Bµi 25: Cho biÓu thøc: ) a) Rót gän P √ t×m gi¸ trÞ cña a 1+ √ c) Chøng minh r»ng P> b) Cho P= Bµi 26: Cho biÓu thøc: P= ( xx−5−25√ x −1): (25x+2− x√ x −15 − √√ xx +3+5 + √√ xx −5 −3 ) a) Rót gän P b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P<1 Bµi 27: Cho biÓu thøc P= ( ( a −1 ) ( √ a− √ b ) √a 3a − + : a+ √ ab+b a √ a −b √b √ a − √ b a+2 √ ab+2 b ) a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên 1 a+1 √ a+2 Bµi 28: Cho biÓu thøc P= − : √ − a− a a √ √ √ − √ a −1 a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P> Bµi 29: Cho biÓu thøc: 1 1 √ x + y √ x + x √ y +√ y P= + + + : √ x √ y √ x+ √ y x y √ x y +√ xy3 a) Rót gän P b) Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ )( ( [( Bµi 30: Cho biÓu thøc : ) ] ) P= √ x3 − 2x 1− x x + √ x −2 √ xy −2 √ y 1− √ x √ xy −2 y a) Rót gän P b) Tìm tất các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2 Bµi 31 : 1) §¬n gi¶n biÓu thøc : P= 14 14 x 2 x x 1 x x x x 2) Cho biÓu thøc : Q= a) Rót gän biÓu thøc Q b) Tìm x để | Q | > - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên Híng dÉn : P = ] (6) a) §KX§ : x > ; x BiÓu thøc rót gän : Q = b) | Q | > - Q ⇔ x > c) x = { 2; } th× Q Z x 1 Bµi 32 : Cho biÓu thøc P = a) Rót gän biÓu thøc sau P x −1 x x x b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x = Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x BiÓu thøc rót gän : P = 1x+− 1x 2 √2 b) Víi x = th× P = - – x √ x +1 x −1 − Bµi 33 : Cho biÓu thøc : A = x−1 √ x +1 a) Rót gän biÓu thøc sau A b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x = 14 c) Tìm x để A < d) Tìm x để | A | = A Híng dÉn : a) §KX§ : x 0, x BiÓu thøc rót gän : A = b) Víi x = 14 th× A = - c) Víi x < th× A < d) Víi x > th× | A | = A √x √x− 1 a 3 a a Bµi 34 : Cho biÓu thøc : A = a) Rót gän biÓu thøc sau A b) Xác định a để biểu thức A > Híng dÉn : a) §KX§ : a > vµ a 9 BiÓu thøc rót gän : A = √a+ x x x 4x x 2003 x x 1 x2 x A= b) Víi < a < th× biÓu thøc A > Bµi 35 : Cho biÓu thøc: 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rót gän A 3) Với x Z ? để A Z ? Híng dÉn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ ± (7) b) BiÓu thøc rót gän : A = x +2003 x víi x ≠ ; x ≠ ± c) x = - 2003 ; 2003 th× A Z x x x x 1 x x 1 : x x x x x Bµi 36 : Cho biÓu thøc: A= a) Rót gän A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Híng dÉn : √ x+1 √x− a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = b) Víi < x < th× A < c) x = { ; } th× A Z x2 x x1 : x x x x 1 x Bµi 37 : Cho biÓu thøc: A = a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: < A < Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = x + √ x+1 b) Ta xÐt hai trêng hîp : +) A > ⇔ > luôn đúng với x > ; x ≠ (1) +) A < ⇔ th× x > (2) x + √ x+ x + √ x+ <2 Bµi 38 : Cho biÓu thøc: P = a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = ⇔ 2( a 3 a x+ √ x +1 )>2 a1 a 4 a a 2 Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a 4 BiÓu thøc rót gän : P = b) Ta thÊy a = §KX§ Suy P = Bµi 39 : Cho biÓu thøc: N= 1) Rót gän biÓu thøc N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 ⇔ (a x+ √ x 0; √a − a a a a a a Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a 1 BiÓu thøc rót gän : N = – a b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ Suy N = 2005 a > đúng vì theo gt 4) (8) Bµi 40 : Cho biÓu thøc P= x √ x+ 26 √ x −19 − √ x + √ x −3 x +2 √ x − √ x − √ x +3 a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P x=7 − √ c Với giá trị nào x thì P đạt giá trị nhỏ và tính giá trị nhỏ đó Híng dÉn : x+16 a ) §KX§ : x 0, x 1 BiÓu thøc rót gän : P= b) Ta thÊy x=7 − √ c) Pmin=4 x=4 §KX§ Suy Bµi 41 : Cho biÓu thøc P= √ x+3 103+3 √ P= 22 ( √2x√+3x + √√x +3x − 3xx+−93 ) :( 2√√xx−3−2 − 1) b Tìm x để P<− 12 Híng dÉn : a ) §KX§ : x 0, x 9 BiÓu thøc rót gän : P= a Rót gän P b Víi ≤ x <9 th× c Pmin= -1 x = Bµi 42: Cho A= a Rót gän A P<− a 1 a1 b TÝnh A víi a = 4 a1 a a a 1 a 15 10 15 −3 √ x+3 víi x>0 ,x 1 ( KQ : A= 4a ) x x 9 x x3 1 : x x x x Bµi 43: Cho A= a Rót gän A b x= ? Th× A < c Tìm x Z để A Z (KQ : A= 15 x 11 x 2 x x x 1 x x 3 Bµi 44: Cho A = a Rót gän A b T×m GTLN cña A c Tìm x để A = c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P x 2 x víi x 0 , x 9, x 4 x 2) víi x 0 , x 1 (9) d CMR : A (KQ: A= x2 x 1 x x x x 1 x Bµi 45: Cho A = a Rót gän A b T×m GTLN cña A Bµi 46: Cho A = a Rót gän A b CMR : A 1 x x x 1 ) víi x 0 , x 1 ( KQ : x ) víi x 0 , x 1 ( KQ : A = x 1 x x 1 x x 1 A= x x 1 ) x x 25 x : x 25 x x 15 Cho A = Bµi 47: a Rót gän A b Tìm x Z để 2 x x 3 x 3 x 5 x 5 x A Z ( KQ : A= x 3 ) a a a 6 Bµi 48: Cho A = a Rót gän A b Tìm a để A < aZ c T×m để a a 1 a 3 a A Z Bµi 49: Cho A= a Rót gän A x 2 x x x A víi x > , x 4 ( KQ : A = 3 x y x y : x y y x A = Bµi50: Cho a Rót gän A a 1 a 3) ( KQ : A = x x 7 x 2 : x x x b So s¸nh A víi víi a 0 , a 9 , a 4 x y x y ( KQ : A = ) xy víi x 0 , y 0, xy b CMR : A 0 x 9 x x xy y ) x y (10) x x x x 1 x 1 x 1 x x x x x x x1 x 1 Bµi 51 : Cho A = a Rót gän A Víi x > , x 1 x x 1 b Tìm x để A = x x 2 : x x x x Bµi 52 : Cho A = a Rót gän A b TÝnh A víi x = x ( KQ : A = x x 6 (KQ: víi x > , x 4 A = 1 1 : 1 x 1 x 1 x 1 x x Bµi 53 : Cho A= a Rót gän A ) x) víi x > , x 1 b TÝnh A víi x = x 1 x 1 xZ (KQ: x4 : x x x 1 Bµi 54 : Cho A= a Rót gän A b T×m 6 để A Z A= (KQ: x x 3) A= (KQ: x x 3x x 1 : x x x x 3 Bµi 56 : Cho A = a Rót gän A x 1 x1 víi x 0 , x 1 A Z c Tìm x để A đạt GTNN b Tìm x để A < ) víi x 0 , x 1 x 2 : x 1 x x x x x x Bµi 55: Cho A= a Rót gän A b Tìm x Z để x -2 3 a 3 ) x x x x : x x x b TÝnh A víi x = víi x 0 , x 9 ( KQ : A = Bµi 57 : Cho A = a Rót gän A 6 A= x1 x 1 ) x (KQ: víi x 0 , x 1 A= x x4 ) (11) c CMR : A 1 Bµi 58 : x 1 : x x x 1 x x Cho A = a Rót gän A b.So s¸nh A víi Bµi 59 : víi x > , x 1 (KQ: A= x1 x x 2 : x x 1 9x x 1 Cho A = a Rót gän A Víi x1 x ) x 0, x A=5 b Tìm x để c Tìm x để A < ( KQ : A = x x x1) x x x x 1 x x x 1 Bµi 60 : Cho A = víi x 0 , x 1 a Rót gän A b CMR nÕu < x < th× A > c TÝnh A x =3+2 d T×m GTLN cña A (KQ: A = x (1 x ) ) Bµi 61 : Cho A = x2 x x1 : x x x x 1 x víi x 0 , x 1 a Rót gän A b CMR nÕu x 0 , x 1 th× A > , (KQ: Bµi 62 : Cho A = 1 x x : x 1 x x A= x x 1 ) víi x > , x 1, x 4 a Rót gän b Tìm x để A = x 1 x x x : x x 1 x1 x Bµi 63 : Cho A = a Rót gän A b TÝnh A x= 0,36 víi x 0 , x 1 (12) c T×m xZ để A Z x x 3 x 2 x 2 : 1 x x x x x Bµi 64 : Cho A= a Rót gän A b Tìm x Z để A Z víi x 0 , x 9 , x 4 x x 1 ) c Tìm x để A < (KQ: A = PhÇn 2: C¸c bµi tËp vÒ hÖ ph¬ng tr×nh bËc 2: Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh : m √2 x − ( √2 −1 )2= √ − x +m a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m=√ 2+1 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3 − √ c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh : (x lµ Èn ) ( m− ) x − mx +m− 2=0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=√ Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt c) TÝnh x 21+ x 22 theo m Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh : (x lµ Èn ) x −2 ( m+1 ) x +m −4=0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Chøng minh biÓu thøc M= x ( − x ) +x ( − x ) kh«ng phô thuéc vµo m Bài 4: Tìm m để phơng trình : a) x − x +2 ( m− )=0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b) x +2 x+ m−1=0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt c) ( m2+1 ) x −2 ( m+1 ) x +2 m−1=0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh : x − ( a− ) x −a 2+ a −2=0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm tr¸I dÊu víi mäi a b) Gọi hai nghiệm phơng trình là x1 và x2 Tìm giá trị a để x 21+ x 22 đạt giá trị nhỏ nhÊt Bµi 6: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hÖ thøc: + = b c CMR Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh sau ph¶i cã nghiÖm x 2+ bx +c=0 x +cx +b=0 Bµi 7:Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung: x − ( m+2 ) x+12=0(1) x − ( m −2 ) x +36=0(2) Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh : 2 x −2 mx+m − 2=0 a) Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt b) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m, t×m nghiÖm d¬ng lín nhÊt cña ph¬ng tr×nh Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai tham sè m : x + x +m+ 1=0 a) Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm b) T×m m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1vµ x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2 x 1+ x 2=10 Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh (13) x −2 ( m− ) x +2 m− 5=0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Bµi 11: Cho ph¬ng tr×nh x −2 ( m+1 ) x +2 m+ 10=0 (víi m lµ tham sè ) a) Gi¶i vµ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x ; x ; h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x ; x mµ kh«ng phô thuéc vµo m c) Tìm giá trị m để 10 x1 x 2+ x 21 + x 22 đạt giá trị nhỏ Bµi 12: Cho ph¬ng tr×nh ( m− ) x − mx+m+1=0 víi m lµ tham sè a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt ∀ m≠ b) Xác định giá trị m dể phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiªm cña ph¬ng tr×nh c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x ; x thoả mãn hệ thức: x1 x2 + + =0 x2 x1 Bµi 13: A) Cho ph¬ng tr×nh : (m lµ tham sè) a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x ; x víi mäi m ; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã) cña ph¬ng tr×nh vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng b) §Æt A=x 21 + x 22 − x1 x Chøng minh A=m2 −8 m+8 Tìm m để A=8 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng c) T×m m cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng hai lÇn nghiÖm B) Cho ph¬ng tr×nh x − mx +m− 1=0 x −2 mx+2 m −1=0 a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x ; x víi mäi m b) §Æt A= 2(x 21+ x22 )− x x2 CMR A= m2 −18 m+9 T×m m cho A=27 c)T×m m cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b»ng hai nghiÖm Bµi 14: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh a x + bx+ c=0 cã nghiÖm ph©n biÖt x ; x §Æt S n=x n1 + x n2 nguyªn d¬ng) a) CMR a S n+2 + bSn+1 +cSn=0 5 1+ √5 1− √5 b) ¸p dông TÝnh gi¸ trÞ cña : A= + ( )( (n ) Bµi 15: Cho f(x) = x2 - (m+2).x + 6m+1 a) CMR ph¬ng tr×nh f(x) = cã nghiÖm víi mäi m b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện m để phơng trình nghiÖm lín h¬n Bµi 16: Cho ph¬ng tr×nh : f(x) = cã x −2 ( m+1 ) x +m − m+5=0 a) Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm b) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng c) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối và trái dÊu (14) d) Gäi x ; x lµ hai nghiÖm nÕu cã cña ph¬ng tr×nh TÝnh x 21+ x 22 theo m Bµi 17: Cho ph¬ng tr×nh x − x √ 3+8=0 cã hai nghiÖm lµ x ; x Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = Bµi 18: Cho ph¬ng tr×nh x21 +10 x x 2+6 x22 x x 32 +5 x31 x x x − ( m+2 ) x+ m+1=0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m= b) Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x ; x là hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để : x 1(1 −2 x 2)+ x (1− x )=m Bµi 19: Cho ph¬ng tr×nh (1) (n , m lµ tham sè) Cho n=0 CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m Tìm m và n để hai nghiệm x ; x phơng trình (1) thoả mãn hệ : x + mx+n −3=0 x1 − x 2=1 x 21 − x 22=7 { Bµi 20: Cho ph¬ng tr×nh: ( k lµ tham sè) a) CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k b) Gäi x ; x lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh T×m gi¸ trÞ cña k cho x −2 ( k −2 ) x − k − 5=0 2 x 1+ x 2=18 Bµi 21: Cho ph¬ng tr×nh ( m−1 ) x − mx+ 4=0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) m=1 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) m bÊt k× c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm m Bµi 22:Cho ph¬ng tr×nh : x − ( m− ) x+ m2 −3 m=0 a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x , x thoả mãn 1< x 1< x <6 Bài tập hàm số bËc nhÊt Bµi 23: 1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành Hớng dẫn : 1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt : ¿ 2=a+ b − 4=−a+ b ¿{ ¿ ⇔ a=3 b=−1 ¿{ Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x – 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hoành điểm có hoành độ b»ng Bµi 24 Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số trên và các đồ thị các hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy (15) Híng dÉn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + ⇔ m – < ⇔ m < 2) Do đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ Suy : x= ; y = Thay x= ; y = vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = 3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – là nghiệm hệ pt : ⇔ (x;y) = (1;1) ¿ y=− x+2 y=2 x − ¿{ ¿ Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + và y = 2x – đồng quy cần : (x;y) = (1;1) lµ nghiÖm cña pt : y = (m – 2)x + m + Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = − B µi 25: Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m Híng dÉn : 1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m – = - ⇔ m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + Ta đợc : m = -3 Vậy với m = -3 thì đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn qua là M(x0 ;y0) Ta có y0 = (m – 1)x0 + m + ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + = ⇔ Vậy với m thì đồ thị luôn qua điểm cố định (1;2) ¿ x =1 y 0=2 ¿{ ¿ Bµ26 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB 2) Tìm các giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Híng dÉn : 1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt : ¿ 1=a+ b −1=2a+ b ¿{ ¿ ⇔ a=−2 b=3 ¿{ Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 2) Để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua ®iÓm C(0 ; 2) ta cÇn : ¿ m − m=−2 m2 − 2m+2=2 ¿{ ¿ ⇔ m = Vậy m = thì đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2) (16) Bµi 27 : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = Híng dÉn : 1) m = 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn qua là M(x0 ;y0) Ta có y0 = (2m – 1)x0 + m - ⇔ (2x0 + 1)m - x0 - y0 - = ⇔ Vậy với m thì đồ thị luôn qua điểm cố định ( − ; − ) 2 Chủ đề : Phơng trình – bất phơng trình bậc ần HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt Èn A kiÕn thøc cÇn nhí : Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax + b = Ph¬ng ph¸p gi¶i : + NÕu a ≠ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt : x = ¿ −1 x0 = −5 y 0= ¿{ ¿ −a b + NÕu a = vµ b ≠ ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm + NÕu a = vµ b = ⇒ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn : ¿ ax + by = c a'x + b'y =c' ¿{ ¿ Ph¬ng ph¸p gi¶i : Sö dông mét c¸c c¸ch sau : +) Ph¬ng ph¸p thÕ : Tõ mét hai ph¬ng tr×nh rót mét Èn theo Èn , thÕ vµo ph¬ng trình thứ ta đợc phơng trình bậc ẩn +) Phơng pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số ẩn nào đó (làm cho ẩn nào đó hệ có hệ số đối nhau) - Trừ cộng vế với vế để khử ẩn đó - Gi¶i mét Èn, suy Èn thø hai B VÝ dô minh häa : VÝ dô : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y : x x a) + =2 §S : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - S = { } x-1 x +2 b) 2x3 - =2 x + x +1 Gi¶i : §KX§ : x 3+ x +1 ≠ (*) 2x - Khi đó : = ⇔ 2x = - x + x +1 ⇔ x = −3 (17) Víi ⇔ x = − thay vµo (* ) ta cã ( − )3 + − + ≠ 2 −3 VËy x = lµ nghiÖm VÝ dô : Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m : (m – 2)x + m2 – = (1) + NÕu m th× (1) ⇔ x = - (m + 2) + NÕu m = th× (1) v« nghiÖm VÝ dô : T×m m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên (2m – 3)x + 2m2 + m - = Gi¶i : Ta cã : víi m Z th× 2m – , v©y ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = - (m + 2) 2m - để pt có nghiệm nguyên thì ⋮ 2m – Giải ta đợc m = 2, m = VÝ dô : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh : 7x + 4y = 23 Gi¶i : a) Ta cã : 7x + 4y = 23 ⇔ y = 23 - 7x = – 2x + x − 4 V× y Z ⇒ x – ⋮ Giải ta đợc x = và y = Ph¬ng tr×nh bËc hai định lý viet và ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ Để biện luận có nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1) đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp a)Nếu a= đó ta tìm vài giá trị nào đó m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên có thể : - Có nghiệm - vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a Lập biệt số Δ = b2 – 4ac Δ / = b/2 – ac * Δ < ( Δ / < ) thì phương trình (1) vô nghiệm / * Δ =0( Δ b = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = - a b❑ (hoặc x1,2 = - a ) * Δ >0( Δ / > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: − b −√ Δ − b+ √ Δ x = ; x = (hoặc x1 = 2a − b❑ − √ Δ❑ a ; x2 = 2a − b❑+ √ Δ❑ a ) Định lý Viét Nếu x1 , x2 là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a b S = x + x2 = - a c p = x1x2 = a 0) thì (18) Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cña ph¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gọi x1 ,x2 là các nghiệm ph¬ng tr×nh Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: x1 vµ x2 tr¸i dÊu( x1 < < x2 ) ⇔ p < ¿ Δ≥0 Hai nghiÖm cïng d¬ng( x1 > vµ x2 > ) ⇔ p>0 S> ¿{{ ¿ ¿ Δ≥0 p>0 Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < vµ x2 < 0) ⇔ S< ¿{{ ¿ Mét nghiÖm b»ng vµ nghiÖm d¬ng( x2 > x1 = 0) ⇔ Mét nghiÖm b»ng vµ nghiÖm ©m (x1 < x2 = 0) ⇔ ¿ Δ> p=0 S> ¿{{ ¿ ¿ Δ> p=0 S< ¿{{ ¿ 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)TÝnh nhÈm nghiÖm XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = (a 0) NÕu a + b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = , x2 = c a NÕu a – b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - c a NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ Δ ≥ th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = m , x2 = n hoÆc x1 = n , x2 = m b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm x1 ,x2 cña nã C¸ch lµm : - LËp tæng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2 - Ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ : x2 – S x + p = c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 *) 1 x1 + x2 = + = x1 x2 x1 x2 S p (19) *) x1 x2 x1 + x2 = + = x2 x1 x1 x2 2 S −2 p p *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 *) x + x −2 a 1 S − 2a + = = x −a x2 −a (x − a)( x2 −a) p − aS+a2 (Chó ý : c¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót tõ ®iÒu kiÖn cho tríc ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Δ≥ ) d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trớc Tìm nghiÖm thø C¸ch gi¶i: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc đã cho có nghiệm: Δ≥ (hoÆc Δ❑ ≥ ) (*) - Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị tham sè - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*) để kết luận +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ≥ (hoÆc Δ❑ ≥ ) mµ ta thay lu«n x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị tham số - Sau đó thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình và gi¶i ph¬ng tr×nh Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có Δ < thì kết luận không có giá trị nào tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho tríc §ª t×m nghiÖm thø ta cã c¸ch lµm +) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh cách tr×nh bÇy ë trªn) +) Cách :Thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tổng nghiệm tìm đợc nghiÖm thø +) Cách 3: thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiÖm thø B Bµi tËp ¸p dông Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = Gi¶i ❑ 2 Ta cã Δ = (m + 1) – 2m + 10 = m – + Nếu Δ❑ > ⇔ m2 – > ⇔ m < - m > Phơng trình đã cho có nghiÖm ph©n biÖt: x1 = m + - √ m2 −9 x2 = m + + √ m2 −9 + NÕu Δ❑ = ⇔ m = ± - Víi m =3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = - Víi m = -3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = -2 ❑ + NÕu Δ < ⇔ -3 < m < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt kuËn: Víi m = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = Víi m = - th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = -2 Víi m < - hoÆc m > th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1 = m + - √ m2 −9 x2 = m + + Víi -3< m < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm √ m2 −9 Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – = (20) Híng dÉn Nếu m – = ⇔ m = thì phơng trình đã cho có dạng - 6x – = ⇔ x=2 * NÕu m – ⇔ m Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số Δ❑ = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - NÕu Δ❑ = ⇔ 9m – 18 = ⇔ m = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp ❑ x1 = x2 = - b = =-2 a −3 - NÕu Δ❑ > ⇔ m >2 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,2 = m± √ m −2 m −3 - NÕu Δ❑ < ⇔ m < Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt luËn: Víi m = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = - Víi m = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = -2 Víi m > vµ m ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1,2 = m± √m −2 m −3 Víi m < ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt a) 2x2 + 2007x – 2009 = b) 17x2 + 221x + 204 = c) x2 + ( √ 3− √ )x - √ 15 = d) x2 –(3 - √ )x - √ = Gi¶i a) 2x + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) = VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = , x2 = c = − 2009 a b) 17x + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -1 , x2 = - c =− 204 = - 12 a 17 c) x2 + ( √ 3− √ )x - √ 15 = cã: ac = - √ 15 < Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -( √ 3− √ ) = - √ + √ x1x2 = - √ 15 = (- √ ) √ VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1 = - √ , x2= √ (hoÆc x1 = √ , x2 = - √ ) d ) x –(3 - √ )x - √ = cã : ac = - √ < Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có ¿ x1 + x = - √ x x = - √ 7= 3( -2 √ 7) ¿{ ¿ VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = , x2 = - √ Bµi : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸nh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè) (21) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = Híng dÉn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + = Suy : x1 = HoÆc x2 = m+1 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*) * m- = ⇔ m = (*) trë thµnh – 4x – = ⇔ x = - *m–3 ⇔ m (*) ⇔ x 1=−1 ¿ m− x 2= m −3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Bµi 5: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cña ph¬ng tr×nh : x2 – 3x – = a) TÝnh: A = x12 + x22 B = |x − x 2| C= 1 + x −1 x − D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) b) lËp ph¬ng tr×nh bËc cã c¸c nghiÖm lµ x −1 vµ x −1 Gi¶i ; Ph¬ng tr×nh b©c hai x2 – 3x – = cã tÝch ac = - < , suy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x − x 2| = √ S − p=√37 +C= 1 + x −1 x − = (x1 + x 2) −2 S −2 = =− ( x −1)( x − 1) p − S +1 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - b)Ta cã : 1 + =− (theo c©u a) x −1 x − 1 = =− p= ( x −1)( x − 1) p − S +1 1 VËy vµ lµ nghiÖm cña h¬ng tr×nh : x −1 x −1 X2 – SX + p = ⇔ X2 + X - = ⇔ 9X2 + X - = 9 S= Bµi : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè) Chøng minh ph¬ng tr×nh (1 ) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 là nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > (22) Gi¶i Ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã: k+ ) Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 = 5(k2 – k + 25 36 ) = 5(k 25 )+ 36 5 + > víi mäi gi¸ trÞ cña k VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu ⇔ p < k+ + )<0 ⇔ - k2 + k – < ⇔ - ( k2 – -(k - )2 - < luôn đúng với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt tr¸i dÊu víi mäi k Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi k Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k – x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) = (k – 1)[(2k - )2 + 87 ] ⇔ Do đó x13 + x23 > ⇔ ⇔ 16 (k – 1)[(2k ) + 87 ] > 16 k – > ( v× (2k ) + 87 16 > víi mäi k) VËy k > lµ gi¸ trÞ cÇn t×m ⇔ k>1 Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m lµ tham sè) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5 Chøng minh r»ng pt (1) lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt víi mäi m Tìm m để |x − x 2| đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 là hao nghiệm phơng trình (1) nói phÇn 2.) Gi¶i Víi m = - ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2 + 8x – = vµ cã nghiÖm lµ x1 = , x2 = Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + = m2 + 2.m + + 19 = (m + )2 + 19 > víi mäi m 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + 19 ] => |x − x 2| 19 m+ ¿2+ =2 ¿ √¿ √ 19 = √ 19 Vậy |x − x 2| đạt giá trị nhỏ √ 19 m + = ⇔ m = - m = - Bµi : Cho ph¬ng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m lµ tham sè) (23) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = - 2) Chứng minh phơng trình đã cho có nghiệm với m 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm Gi¶i: 1) Thay m = - vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = , x2= 2) + Nếu: m + = => m = - đó phơng trình đã cho trở thành; 5x – = ⇔ x = + NÕu : m + => m - Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biÖt sè : Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = m− 1+5 = 2(m+2) 2(m− 3) m− x2 = m− 1− = = m+4 =1 m+4 2(m+2) 2( m+2) m+2 Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với m 3)Theo c©u ta cã m - thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gÊp lÇn nghiÖm ta sÐt trêng hîp Trờng hợp : 3x1 = x2 ⇔ = m−3 giải ta đợc m = - (đã giải câu 1) m+2 1= m−3 m+2 11 Trêng hîp 2: x1 = 3x2 ⇔ ⇔ m + = 3m – ⇔ m = ®iÒu kiÖn m - 2) Kiểm tra lại: Thay m = 11 vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + = ph¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm x1 = , x2 = = (tho¶ m·n ®Çu bµi) 15 Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Gi¶i 1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = ⇔ x = + NÕu m Δ❑ Δ❑ LËp biÖt sè Δ❑ = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m =-m+4 < ⇔ - m + < ⇔ m > : (1) v« nghiÖm = ⇔ - m + = ⇔ m = : (1) cã nghiÖm kÐp ❑ x1 = x2 = - b = m−2 = − = a m 2 > ⇔ - m + > ⇔ m < 4: (1) cã nghiÖm ph©n biÖt x1 = m−2 − √ − m+ ; x2 = m−2+ √ − m+ m m VËy : m > : ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm m = : ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp x = Δ❑ (tho¶ m·n (24) m < : ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = m−2 − √ − m+ m ; x2 = m−2+ √ − m+ m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = c m−3 (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu ⇔ <0 ⇔ a m ¿ m− 3>0 ¿ m> m<0 m<0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m −3< m<3 ⇔ ⇔ ¿ ¿ m>0 m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m>3 Trêng hîp m<0 kh«ng tho¶ m·n ¿{ ¿ Trêng hîp ¿ m<3 m>0 ¿{ ¿ ⇔ m <0 0<m<3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm ⇔ m (*) (ở câu a đã có) - Thay x = vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã : 9m – 6(m – 2) + m -3 = ⇔ 4m = -9 ⇔ m = - Δ❑ - §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m = tho¶ m·n *) C¸ch 2: Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ❑ mà thay x = vào (1) để tìm đợc m = 9 Sau đó thay m = vào phơng trình (1) : 4 - x2 – 2(- - 2)x - - = ⇔ -9x2 +34x – 21 = 4 x 1=3 ¿ x 2= ❑ cã Δ = 289 – 189 = 100 > => ¿ ¿ ¿ ¿ VËy víi m = th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x= *)§Ó t×m nghiÖm thø ,ta cã c¸ch lµm (25) Cách 1: Thay m = - vào phơng trình đã cho giải phơng trình để tìm đợc x2 = (Nh phần trên đã làm) C¸ch 2: Thay m = - vµo c«ng thøc tÝnh tæng nghiÖm: 9 2(− −2) 2( m−2) 34 = = x1 + x2 = m −9 x2 = 34 - x1 = 34 - = 9 C¸ch 3: Thay m = - vµo c«ng trøc tÝnh tÝch hai nghiÖm x1 x2 = − −3 m−3 21 = = m 9 − => x2 = 21 : x1 = 21 9 :3= Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2kx + – 5k = (1) víi k lµ tham sè 1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10 Gi¶i ❑ 1.Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp ⇔ = ⇔ k2 – (2 – 5k) = Δ ⇔ k2 + 5k – = ( cã Δ = 25 + = 33 > ) k1 = − − √ 33 ; k2 = − 5+ √ 33 2 VËy cã gi¸ trÞ k1 = − − √ 33 hoÆc k2 = − 5+ √ 33 th× ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp 2.Cã c¸ch gi¶i Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm: ⇔ k2 + 5k – (*) Δ❑ 2 Ta cã x1 + x2 = (x1 + x2) – 2x1x2 Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 Víi ®iÒu kiÖn(*) , ¸p dông hÖ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - b =¿ - 2k vµ x1x2 = – 5k a VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – = (Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = - Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k – + k1 = => Δ❑ = + – = > ; tho¶ m·n + k2 = - => Δ❑ = 49 − 35 −2= 49 −70 −8 =− 29 4 VËy k = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m kh«ng tho¶ m·n C¸ch : Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ❑ C¸ch gi¶i lµ: Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = - (cách tìm nh trên) Thay lÇn lît k1 , k2 vµo ph¬ng tr×nh (1) (26) + Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 = + Víi k2 = - (1) => x2- 7x + 39 = (cã Δ = 49 -78 = - 29 < ) Ph¬ng tr×nh v« 2 nghiÖm VËy k = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi tËp vÒ pt bËc hai Bµi : Cho ph¬ng tr×nh : x – 6x + = 0, gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh: 1) x12 + x22 2) x1 x1 x x x12 x 22 x1x x x1 x 3) Bµi : Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 – 5x + = x2 x2 x2 x2 TÝnh x1 x x2 x1 (víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh) Bµi : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 1) Tìm các giá trị m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm phơng trình) Bµi : Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 2m – = 1) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu 3) Gọi hai nghiệm phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8 Bµi : Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 5x1 + x2 = Baøi : Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4x + = (1) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) 2) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) TÝnh B = x13 + x23 Bµi : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè) a) Xác định m để phơng trình có nghiệm là Tìm nghiệm còn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 Bµi : Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2mx + m – = (*) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = 2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt Bµi Cho ph¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0 Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Bµi 10: Ph¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 đó ta có = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m Δ, ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0) víi m 1/2 pt cßn cã nghiÖm x= m−m+1 = m−1 m− 1 pt cã nghiÖm kho¶ng (-1,0)=> -1< <0 m− (27) ¿ ¿ 2m +1> >0 m− m− => =>m<0 m−1<0 m− 1<0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ VËy Pt cã nghiÖm kho¶ng (-1,0) vµ chØ m<0 PhÇn 3: HÖ ph¬ng tr×nh: Bài53: Tìm giá trị m để hệ phơng trình ; ( m+1 ) x − y=m+1 x+ ( m−1 ) y=2 { Cã nghiÖm nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x+y nhá nhÊt Bài 54: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị x −| y|=2 | y +1|=x −1 a) |x|+1= y b) c) x y { {2 y −5=x + =1 4 Bµi 55: Cho hÖ ph¬ng tr×nh : x+ by=− bx − ay=− a)Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a=|b| { y =3 x −12 { b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm : * (1;-2) * ( √ 2− 1; √ ) *§Ó hÖ cã v« sè nghiÖm Bµi 56:Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m: − y=2 m {mx x − my=6+ m Bµi 57: Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ ph¬ng tr×nh : {axx +ay=1 ·+ y=2 a) Cã mét nghiÖm nhÊt b) V« nghiÖm Bµi 58 :Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: x + xy+ y =19 x − xy + y=− { Bµi 59*: T×m m cho hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: |x − 1|+| y −2|=1 { Bµi 60 :Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh: { ( x − y )2 +m ( x − y −1 ) − x + y=0 x − xy+3 y 2=13 x − xy −2 y 2=−6 Bµi 61*: Cho a vµ b tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh : a +2 b − b+3=0 2 a + a b − 2b=0 { Bµi 61:Cho hÖ ph¬ng tr×nh : {(a+a 1)x+x −y=ay =3 .TÝnh a2 +b (28) a) Gi¶i hÖ ph¬ng r×nh a=- √ b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0 Phần 4: Hàm số và đồ thị ¿ ¿ ¿ Bµi 62: Cho hµm sè y= (m-2)x+n (d) Tìm giá trị m và n để đồ thị (d) hàm số : a) §i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;-4) b) Cắt trục tung điểm cótung độ 1- √ và cắt trục hoành điểm có hoành độ b»ng 2+ √ c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0 d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1 Bµi 63: Cho hµm sè : y=2 x (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm trên đồ thị các điểm cách hai trục toạ độ c) Xét số giao điểm (P) với đờng thẳng (d) y=mx− theo m d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P) Bài 64 : Cho (P) y=x và đờng thẳng (d) y=2 x+ m 1.Xác định m để hai đờng đó : a) Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm b) Cắt hai điểm phân biệt A và B , điểm có hoành độ x=-1 Tìm hoành độ điểm còn lại Tìm toạ độ A và B 2.Trong trêng hîp tæng qu¸t , gi¶ sö (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N Tìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo m và tìm quỹ tích điểm I m thay đổi Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2(m− 1) x +(m −2) y =2 a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y=x hai điểm phân biệt A và B b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi Bµi 66: Cho (P) y=− x2 a) Tìm tập hợp các điểm M cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với vµ tiÕp xóc víi (P) b) Tìm trên (P) các điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ √ Bài 67: Cho đờng thẳng (d) y= x − a) VÏ (d) b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành (d) và hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) Bµi 68: Cho hµm sè y=|x −1| (d) a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị (d) b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phơng trình |x − 1|=m Bài 69: Với giá trị nào m thì hai đờng thẳng : (d) y=(m− 1) x+ (d') y=3 x − a) Song song víi b) C¾t c) Vu«ng gãc víi Bài 70: Tìm giá trị a để ba đờng thẳng : (d 1) y=2 x − (d2 ) y =x+ (d ) y=a x −12 đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ Bài 71: CMR m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn qua điểm cố định (29) Bài 72: Cho (P) y= x và đờng thẳng (d) y=a.x+b Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi 73: Cho hµm sè y=|x −1|+|x +2| a) Vẽ đồ thị hàn số trên b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm phơng trình |x − 1|+|x +2|=m Bài 74: Cho (P) y=x và đờng thẳng (d) y=2x+m a) VÏ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Bµi 75: Cho (P) y=− x vµ (d) y=x+m a) VÏ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A và B c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) điẻm có tung độ -4 d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và qua giao điểm (d') và (P) Bµi 76: Cho hµm sè y=x (P) vµ hµm sè y=x+m (d) a) T×m m cho (P) vµ (d) c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k× ¸p dông: T×m m cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng √ Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d ) y=-2(x+1) a) §iÓm A cã thuéc ( d ) ? V× ? b) Tìm a để hàm số y=a x (P) qua A c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d ) qua A và vuông góc với ( d ) d) Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ ( d ) ; C lµ giao ®iÓm cña ( d ) víi trôc tung T×m toạ độ B và C Tính diện tích tam giác ABC Bài 78: Cho (P) y= x và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lợt lµ -2 vµ a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) c) Tìm điểm M trên cung AB (P) tơng ứng hoành độ x ∈ [ − 2; ] cho tam giác MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt Bµi 79: Cho (P) y=− x vµ ®iÓm M (1;-2) a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M và có hệ số góc là m b) CMR (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A và B m thay đổi c) Gọi x A ; x B lần lợt là hoành độ A và B Xác định m để x 2A x B + x A x 2B đạt giá trị nhỏ và tính giá trị đó d) Gäi A' vµ B' lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña A vµ B trªn trôc hoµnh vµ S lµ diÖn tÝch tø gi¸c AA'B'B *TÝnh S theo m *Xác định m để S= (8+ m2 √ m2 +m+2) Bµi 80: Cho hµm sè y=x (P) a) VÏ (P) b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và Viết phơng trình đờng th¼ng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y=− x (30) và đờng thẳng (d) y=mx− 2m −1 a) VÏ (P) b) Tìm m cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ (d) luôn qua điểm cố định Bài 82: Cho (P) y=− x và điểm I(0;-2) Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m a) VÏ (P) CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B ∀ m∈ R b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bài 83: Cho (P) y= x và đờng thẳng (d) qua điểm I( ; ) có hệ số góc là m a) VÏ (P) vµ viÕt ph¬ng tr×nh (d) b) T×m m cho (d) tiÕp xóc (P) c) T×m m cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt Bài 84: Cho (P) y= x và đờng thẳng (d) y=− x + 2 a) VÏ (P) vµ (d) b) Tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đó đờng tiếp tuyến (P) song song với (d) Bµi 85: Cho (P) y=x a) VÏ (P) b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và Viết phơng trình đờng th¼ng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bµi 86: Cho (P) y=2 x a) VÏ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 Xác định các giá trị m và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB Bài 87: Xác định giá trị m để hai đờng thẳng có phơng trình (d1 ) x + y=m (d 2)mx+ y=1 c¾t t¹i mét ®iÓm trªn (P) y=− x PhÇn 5: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh chuyển động Bài 88: Hai tỉnh A và B cách 180 km Cùng lúc , ôtô từ A đến B và xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ôtô hết , còn từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết trên đờng AB hai xe chạy với vận tốc không đổi Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B lại ngợc dòng từ bến B bến A tất c¶ giê TÝnh vËn tèc cña ca n« níc yªn lÆng ,biÕt r»ng qu·ng s«ng AB dµi 30 km vµ vËn tèc dßng níc lµ km/h Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở A Thêi gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc giê 20 phót TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ km/h Bài 91: Một ngời chuyển động trên quãng đờng gồm đoạn đờng và đoạn đờng dốc Vận tốc trên đoạn đờng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h Biết đoạn đờng dốc ngắn đoạn đờng là 110km và thời gian để ngời đó quãng đờng là 30 phút Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã (31) Bài 92: Một xe tải và xe cùng khởi hành từ A đến B Xe tảI với vận tốc 30 Km/h , xe với vận tốc 45 Km/h Sau đợc quãng đờng AB , xe tăng vận tốc thêm Km/h trên quãng đờng còn lại Tính quãng đờng AB biết xe đến B sớm h¬n xe t¶i 2giê 20 phót Bài 93: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 Km với vận tốc xác định Khi từ B A ngời đó đờng khác dài trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn vận tốc lóc ®i Km/h TÝnh vËn tèc lóc ®i , biÕt r»ng thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i lµ giê 30 phót Bµi 94:Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B c¸ch 85 Km ®i ngîc chiÒu Sau 1h40’ th× gÆp TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« , biÕt r»ng vËn tèc ca n« ®i xu«i lín h¬n vËn tèc ca n« ®i ngîc 9Km/h vµ vËn tèc dßng níc lµ Km/h Bài 95: Hai địa điểm A,B cách 56 Km Lúc 6h45phút ngời xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h Sau đó ngời xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến giê hä gÆp vµ chç gÆp c¸ch A bao nhiªu Km ? Bài 96: Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h Sau đó thời gian, ngời xe máy xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và không có gì thay đổi thì đuổi kịp ngời xe máy B Nhng sau đợc nửa quãng đờng AB , ngời xe đạp giảm bớt vận tốc Km/h nên hai ngòi gặp C cách B 10 Km Tính quãng đờng AB Bài 97: Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h Khi đến B ngời đó nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình là 24 Km/h Tính quãng đờng AB biết r»ng thêi gian c¶ ®i lÉn vÒ lµ giê 50 phót Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó ng ợc từ B vÒ A Thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc lµ 40 phót TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A và B biết vận tốc dòng nớc là Km/h và vận tốc riêng ca nô là không đổi Bài 99: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h Lúc đầu ô tô với vận tốc đó , còn 60 Km thì đợc nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đờng còn lại Do đó ô tô đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng lúc và chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết hai ca nô đến B cùng lóc Bài 101: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50 Km Sau đó 30 phút , ngời xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe , biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp Bµi 102: Mét ca n« ch¹y trªn s«ng giê , xu«i dßng 108 Km vµ ngîc dßng 63 Km Một lần khác , ca nô đó chạy giờ, xuôi dòng 81 Km và ngợc dòng 84 Km Tính vËn tèc dßng níc ch¶y vµ vËn tèc riªng ( thùc ) cña ca n« Bµi103: Mét tÇu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 Km , c¶ ®i vµ vÒ mÊt giê 20 phót TÝnh vËn tèc cña tÇu níc yªn lÆng , biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ Km/h Bài 104: Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau đó 20 phút ca nô ch¹y tõ bÕn s«ng A ®uæi theo vµ gÆp chiÕc thuyÒn t¹i mét ®iÓm c¸ch bÕn A 20 Km Hái vËn tèc cña thuyÒn , biÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 Km/h (32) Bài 105: Một ôtô chuyển động với vận tốc đã định để hết quãng đ ờng dài 120 Km thời gian đã định Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ phút nên để đến nơi đúng , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h trên nửa quãng đờng còn lại Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng Bài 106: Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 Km thời gian quy định Sau đợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải t¨ng vËn tèc thªm Km/h TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cña «t« Bài107: Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian đã định Khi còn cách B 30 Km , ngời đó nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc , nhng tăng vận tốc thêm Km/h thì tới đích sớm nửa Tính vận tốc xe đạp tren quãng đờng đã lúc đầu N¨ng xuÊt Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm công việc thì làm xong Nếu đội làm mình để làm xong công việc , thì đội thứ cần thời gian ít so với đội thứ hai là Hỏi đội làm mình xong công việc bao lâu? Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nhng cải tiến kỹ thuật nên ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy đó đã hoàn thành kế hoạch đã định 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kÕ ho¹ch Bài 110: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá , nhng đã vợt mức đợc tuần nên đã hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch đã định Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trứoc làm việc đội xe đó đợc bổ xung thêm xe nên xe chở ít so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiªu xe ? BiÕt r»ng sè hµng chë trªn tÊt c¶ c¸c xe cã khèi lîng b»ng Bµi 112: Hai tæ s¶n xuÊt cïng nhËn chung mét møc kho¸n NÕu lµm chung giê tæ và tổ thì hoàn thành đợc mức khoán Nếu để tổ làm riêng thì tổ này lµm xong møc kho¸n th× mçi tæ ph¶i lµm bao l©u ? Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung 12 hoàn thành xong công việc đã định Họ làm chung với thì tổ thứ đợc điều làm việc khác , tổ thứ hai làm nèt c«ng viÖc cßn l¹i 10 giê Hái tæ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc Bµi 114: Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt làm và ngời thứ hai làm thì họ làm đợc 25% côngviệc Hỏi ngời làm công việc đó thì xong ThÓ tÝch Bài 115: Hai vòi nớc cùng chảy vào cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể 50 phót NÕu ch¶y riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ giê Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Bµi 116: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ kh«ng cã níc vµ ch¶y ®Çy bÓ mÊt giê 48 phót NÕu ch¶y riªng , vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê 30 phót Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bÓ bao l©u ? (33) Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định thì phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn , bơm đợc 15 m3 Do so với quy định , bể chứa đợc b¬m ®Çy tríc 48 phót TÝnh thÓ tÝch bÓ chøa Bµi upload.123doc.net: NÕu hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau giê 30 phót sÏ ®Çy bÓ NÕu më vßi thø nhÊt 15 phót råi kho¸ l¹i vµ më vßi thø hai chảy tiếp 20 phút thì đợc bể Hỏi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể ? Bµi 119: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau giê 55 phót sÏ ®Çy bÓ NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ bao l©u ? Gi¶I bµi to¸n b»ng c¸ch lËp pt Bài1 : Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ A đến B cách 300 km Ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc mçi xe « t« Bài 12 : Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km trên quãng đờng còn lại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB Bµi : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau giê 48 phót th× ®Çy Nðu ch¶y cïng mét thêi gian nh thì lợng nớc vòi II 2/3 lơng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riªng th× sau bao l©u ®Çy bÓ Bài : Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu Bài : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ôtô thø hai 2h TÝnh vËn tèc cña mçi «t«? Bài : Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc tất 80 cây Biết số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là ; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ cây Tính số học sinh nam và số häc sinh n÷ cña tæ Bài : Khoảng cách hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở là 10 Biết vận tốc lúc kÐm vËn tèc lóc ®i lµ km/h TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t« Bµi : Mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 300m NÕu gi¶m chiÒu réng 3m, t¨ng chiÒu dµi thªm 5m thì ta đợc hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi cña h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu Bài : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, cùng lúc đó từ A bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A là km Tính vận tốc thực ca nô Bµi : Kho¶ng c¸ch gi÷a hai tØnh A vµ B lµ 108 km Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc ®i tõ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút TÝnh vËn tèc mçi xe Bµi 10 : Theo kÕ ho¹ch, mét tæ c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt 360 s¶n phÈm §Õn lµm viÖc, phải điều công nhân làm việc khác nên công nhân còn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết suất lao động c«ng nh©n lµ nh Bài 11: Ba bình có thể tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình thì bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc 1/2 thể tích nó, bình thứ đầy nớc thì bình thứ đợc 1/3 thể tích nó Tìm thể tích bình (34) Bài 11 : Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h , ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến thì họ gặp nhau, chç gÆp c¸ch A bao nhiªu km Bài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở A Thời gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc lµ 40' TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B BiÕt vËn tèc ca n« kh«ng đổi, vận tốc dòng nớc là 3km/h Bài 13 : Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp Bài 14 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng và số ghế hàng NÕu sè hµng t¨ng thªm vµ sè ghÕ ë mçi hµng t¨ng thªm th× phßng cã 400 ghÕ Hái cã bao nhiªu hµng, mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ? Bµi 15 : Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm và ngời thứ làm thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm mình công việc đó giời thì xong? Bài 16 : Hai vật chuyển động trên đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát cùng núc từ cùng điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì giây lại gặp Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhauthì sau 10 giây lại gặp nhua TÝnh vËn tèc cña mçi vËt Bài 17 : Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ vợt 20% Do đó cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm Bµi 18 : Mét khèi líp tæ chøc ®i tham quan b»ng « t« Mçi xe chë 22 h/s th× cßn thõa 01 h/s Nếu bớt 01 ôtô thì có thể xếp các h/s trên các ôtô còn lại Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô, bao nhiªu h/s Mçi xe chë kh«ng qu¸ 32 h/s Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian đã định và dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm đợc tất là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trớc ngày Tính số chi tiết máy dự định sản xuất Bµi 20: Mét ca n« xu«i dßng 42km råi ngîc dßng trë l¹i lµ 20km m¸t tæng céng 5giê BiÕt vËn tèc cña dßng ch¶y lµ 2km/h T×m vËn tèc cña ca n« lóc dßng níc yªn lÆng Bài 21: Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có bao nhiêu xe? Bài 22: Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai 100phút Tính vận tốc ô tô biết quãng đờng AB dài 240km Bµi 23: NÕu më c¶ hai vßi níc ch¶y vµo mÖt bÓ c¹n th× sau giê 55phót bÓ ®Çy bÓ NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ? Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc số cây sân trờng Nếu lấy cây tổ chuyển cho tổ thì số cây trồng đợc hai tổ Nếu lấy 10 cây tổ chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc tổ hai gấp đôi số cây cña tæ mét (35) Hỏi tổ trồng đợc bao nhiêu cây? Bµi 25: Hai « t« A vµ B khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh c¸ch 150km, ®i ngîc chiÒu vµ gÆp sau giê T×m vËn tèc cña mçi « t«, biÕt r»ng nÕu vËn tèc cña « t« A t¨ng thªm 5km/h vµ vËn tèc « t« B gi¶m 5km/h th× vËn tèc cña « t« A b»ng lÇn vËn tèc cña « t« B Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã đã b¸n cho nhµ níc BiÕt r»ng lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø nhÊt b¸n cho nhµ níc nhiÒu h¬n hai lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø hai b¸n lµ 280 tÊn PhÇn : H×nh häc PhÇn : h×nh häc ph¼ng A lý thuyÕt: I.§êng trßn: 1,§Þnh nghÜa: Tập hợp các điểm cách điểm cho trớc khoảng cách R > không đổi gọi là đờng tròn t©m b¸n kÝnh R KÝ hiÖu : ( ; R) 2, Vị trí tơng đối: * Của điểm với đờng tròn : xÐt (0 ; R ) vµ ®iÓm M bÊt k× vị trí tơng đối HÖ thøc M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc OM = R ( O ; R) M n»m ( O ; R ) OM < R * Của đờng thẳng với đờng tròn : xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a ) vị trí tơng đối Sè ®iÓm chung HÖ thøc a c¾t ( O ; R ) d<R a tiÕp xóc ( O ; R ) d=R a vµ ( O ; R ) kh«ng giao d>R * Của hai đờng tròn : xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ ) vị trí tơng đối Sè ®iÓm chung HÖ thøc Hai đờng tròn cắt R – r < d < R- r Hai đờng tròn tiếp xúc : (36) + tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc : d=R+r d=R–r Haiđờng tròn không giao : +hai đờng tròn ngoài : +đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ : d>R+r d < R -r Tiếp tuyến đờng tròn : a §Þnh nghÜa : đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến đờng tròn nó có điểm chung với đờng đó b, TÝnh chÊt : + Tính chất : Nếu đờng thẳng là tiếp tuyến đờng tròn thì nó vuông góc với b¸n kÝnh ®I qua tiÕp ®iÓm + Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm thì giao điểm này cách hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác góc tạo bëi hai tiÕp tuyÕn c, C¸ch chøng minh : Cách : chứng minh đờng thẳng đó có điểm chung với đờng tròn đó Cách : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính đờng tròn đó điểm và điểm đó thuộc đờng tròn Quan hệ đờng kính và dây cung : * §Þnh lÝ : §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy thµnh hai phÇn b»ng * §Þnh lÝ : §êng kÝnh ®I qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y cung Êy Quan hệ dây cung và khoảng cách đến tâm : * Định lí : Trong đờng tròn hai dây cung và chúng cách tâm * Định lí : Trong hai dây cung không đờng tròn, dây cung lớn và chØ nã gÇn t©m h¬n II Góc đờng tròn: 1, Các loại góc đờng tròn: - Gãc ë t©m - Gãc néi tiÕp - Góc có đỉnh bên hay bên ngoài đờng tròn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung 2, Mèi quan hÖ gi÷a cung vµ d©y cung: * Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung b»ng c¨ng hai d©y b»ng (37) b, §¶o l¹i, hai d©y b»ng tr¬ng hai cung b»ng * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n b, D©y lín h¬n tr¬ng cung lín h¬n 3, Tø gi¸c néi tiÕp: a, §Þnh nghÜa: Tứ giác nội tiếp đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đờng tròn Đơng tròn đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b, C¸ch chøng minh : * Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác cùng thuộc đờng tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 * Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới cùng góc B Bµi tËp: Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC lÇn lît t¹i E vµ F a CM: tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt b CM: tø gi¸c EFCB néi tiÕp c §êng th¼ng qua A vu«ng gãc víi EF c¾t BC t¹i I Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña BC d CMR: NÕu S ABC = S AEHF th× tam gi¸c ABC vu«ng c©n Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác góc  cắt (O) M Nèi OM c¾t BC t¹i I Chøng minh tam gi¸c BMC c©n Chøng minh: gãc BMA < gãc AMC Chøng minh: ¿❑ gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC §êng cao AH vµ BP cña tam gi¸c ABC c¾t t¹i Q Chøng minh OH // AH Trªn AH lÊy ®iÓm D cho AD = MO Tø gi¸c OMDA lµ h×nh g×? Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH OM kÐo dµi c¾t (O) t¹i N VÏ OE vu«ng gãc víi NC Chøng minh OE= MB Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE Chøng minh c¸c tø gi¸c ABHP vµ QPCH néi tiÕp 10.Tõ C vÏ tiÕp tuyÕn cña (O) c¾t BM kÐo dµi t¹i K Chøng minh CM lµ ph©n gi¸c cña gãc BCK 11 So s¸nh c¸c gãc KMC vµ KCB víi gãc A 12.Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M 13.13.Chøng minh gãc S = gãc EOI – gãc MOC 14.Chøng minh gãc SBC = gãc NCM 15.Chøng minh gãc ABF = gãc AON (38) 16.Tõ A kÎ AF // BC, F thuéc (O) Chøng minh BF = CA Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tù t¹i D, E Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC Chøng minh gãc IDE = gãc IAE Chøng minh : AE EC = BE EI Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp (O) §êng cao AH cña tam gi¸c ABC c¾t (O) t¹i D , AO kÐo dµi c¾t (O) t¹i E a Chøng minh tø gi¸c BDEC lµ h×nh thang c©n b Gäi M lµ ®iÓm ch×nh gi÷a cña cung DE, OM c¾t BC t¹i I Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña BC c TÝnh b¸n kÝnh cña (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N cho các cung AM, MN, NB b»ng Gäi P lµ giao ®iÓm cña AM vµ BN, H lµ giao ®iÓm cña AN víi BM CMR: a Tø gi¸c AMNB lµ h×nh thang c©n b PH ┴ AB Từ đó suy P, H, O thẳng hàng c ON là tiếp tuyến đờng tròn đơnngf kính PH Bµi 6: Cho (O, R) , d©y cung AB < 2R Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AB KÎ hai d©y MC, MD lÇn lît c¾t AB t¹i E vµ F CMR: a Tam giác MAE và MCA đồng dạng b ME MC = MF MD c Tø gi¸c CEFD néi tiÕp d Khi AB=R √ thì tam giác OAM Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC F a Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? b Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp c Chøng minh AE AB = AF AC d Chømg minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (I) e Gọi Ax là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E a Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp b TÝnh gãc AHE (39) c Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng d Chøng minh AD = AE e Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đờng nào? Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E là giao ®iÓm cña AB vµ CD, F lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC Chøng minh r»ng: a EF ┴ AC b DA DF = DC DE c Tø gi¸c BDFE néi tiÕp Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K và A nằm cùng phía BC ) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) C cắt OK I a Chøng minh IA lµ tiÕp tuyÕn cña (O) b Chøng minh CK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACI c Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm TÝnh OI, CI Bµi 11: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña AB VÏ vÒ cïng phÝa víi AB c¸c tia Ax, By cïng vu«ng gãc víi AB C¸c ®iÓm M, N theo thø tù di chuyÓn trªn Ax vµ By cho gãc MON = 900 Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN Chøng minh r»ng : a AB lµ tiÕp tuyÕn cña (I ; IO) b MO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AMN c MN là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính AB d Khi c¸c ®iÓm M, N di chuyÓn trªn Ax, By th× tÝch AM BN kh«ng dæi Bài 12: Cho (O;R) và (O’; r)tiếp xúc ngoài A Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC t¹i M a Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M b Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên? c Xác định tâm đờng tròn qua ba điểm O, O’ , M d Chứng minh BC là tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O’, M Bµi 13: Cho (O) vµ (O’)tiÕp xócngoµi t¹i A §êng th¼ng ¤’ c¾t (O) vµ (O’) theo thø tù t¹u B vµ C ( khác A ) Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M lµ giao ®iÓm cña BD vµ CE Chøng minh r»ng : a Gãc DME lµ gãc vu«ng b MA là tiếp tuyến chung hai đờng tròn c MD MB = ME MC Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M là trung điểm cña BC a Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp b Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng (40) c d KÎ tiÕp tuyÕn Ax víi (O) Chøng minh Ax // DE Chứng minh góc BAC = 600 thì tam giác DME là tam giác Bµi 15: Cho (O) vµ ®iÓm A n»m bªn ngoµi (O) VÏ c¸c tiÕp tuyÕn AB vµ AC , c¸t tuyÕn ADE Gäi H lµ trung ®iÓm cña DE a Chøng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp b Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BHA c Gäi I lµ giao ®iÓm cña BC vµ DE Chøng minh : AB2 = AI AH d BH c¾t (O) t¹i K Chøng minh AE // CK Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D là hai điểm di động trên hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N a Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng b Tø gi¸c MNDC néi tiÕp c Chứng minh AC AM = AD AN và tích này không đổi C, D di động Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đờng tròn D, các tia AD vµ BC c¾t t¹i E a Chøng minh tam gi¸c ABE c©n t¹i B b C¸c d©y AC vµ BD c¾t t¹i K Chøng minh EK ┴ AB c Tia BD c¾t tia Ax t¹i F Chøng minh tø gi¸c AKEF lµ h×nh thoi Bài 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tiÕp tuyÕn t¹i B vµ D c¾t t¹i T a Chøng minh r»ng OT // AB b Chøng minh ba ®iÓm O, C, T th¼ng hµng c TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch tam gi¸c TBD theo R d TÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi hai c¹nh TB, TD vµ cung BCD theo R Bài 19: Hai đờngtròn (O) và (O’) có bán kính R và R’ ( R > R’) tiếp xúc ngoài C Gọi AC và BC là hai đờng kính qua C (O) và (O’) DE là dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O’) là F a Tø gi¸c AEBD lµ h×nh g×? b Chøng minh r»ng ba ®iÓm B, E, F th¼ng hµng c Chøng minh tø gi¸c MDBF néi tiÕp d DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui e Chøng minh MF= DE vµ MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đờng tròn tâm O’ đờng kính BC Gọi M là trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC c¾t (O’) t¹i I (41) a.Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? t¹i sao? b.Chøng minh BI // AD c.Chøng minh ba ®iÓm I, B, E th¼ng hµng vµ MD = MI d.Xác định và giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O’) Bài 21: Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN đờng tròn đó Gọi I là trung điểm dây MN a Chứng minh điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên đờng tròn b Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì ? Tại sao? Tính diện tích hình tròn và độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O) Bµi 22: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O) Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BC t¹i D, c¾t (O) t¹i E Tiếp tuyến đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M a Chøng minh MA = MD b Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm IA với (O).Chứng minh E, O, F th¼ng hµng Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S a Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB b Gọi E là giao điểm BC với (O) Chứng minh các đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui c Chøng minh DM lµ ph©n gi¸c cña gãc ADE d Chứng minh M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bµi 24: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A a Nªu c¸ch dùng (O) qua A vµ tiÕp xóc víi BC t¹i B Nªu c¸ch dùng (O’) qua tiÕp xóc víi BC t¹i C b Hai đờng tròn (O) và (O’) vị trí tơng đối nào? c Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC Chøng minh AM lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (O’) d Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC và các bán kính (O) , (O’) Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB Gọi M là điểm di động trên cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N a Chứng minh tích AM AN không đổi b VÏ CD ┴ AM Chøng minh c¸c tø gi¸c MNOB vµ AODC néi tiÕp c Xác định vị trí điểm M trên cung BC để tam giác COD cân D Bµi 26: Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp (O), H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC, M lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A a Xác định vị trí M để tứ giác BHCM là hình bình hành b Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng M qua AB và AC Chứng minh ba điểm N H , E th¼ng hµng (42) c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn Bµi 27: Cho (O,R) vµ (O’,r) tiÕp xóc ngoµi t¹i M ( R > r ) §êng th¼ng OO’ c¾t (O) t¹i C, c¾t (O’) D Tiếp tuyến chung ngoài AB ( A ∈(O) , B ∈(O ') ) cắt đòng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung hai đờng tròn M cắt AB I Chøng minh c¸c tam gi¸c OIO’ vµ AMB lµ c¸c tam gi¸c vu«ng Chøng minh AB=2 √ R r Tia AM c¾t (O’) t¹i A’, tia BM c¾t (O) t¹i B’ Chøng minh ba ®iÓm A, O, B’ vµ A’ , O’ , B th¼ng hµng vµ CD2 = BB’2 + AA’2 Gọi N và N’ lần lợt là giao điểm AM với OI và BM với O’I Tính độ dài các đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R vµ r Bài 28: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm trên đờng tròn Tiếp tuyÕn Cx cña (O) c¾t tia AB t¹i I Ph©n gi¸c gãc CIA c¾t OC t¹i O’ a Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB b Gäi D,E theo thø tù lµ giao ®iÓm thø hai cña CA, CB víi (O’) Chøng minh D, O’, E th¼ng hµng c Tìm vị trí C cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC Bài 29: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C và D là hai điểm di động trên nửa đờng tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt E và F ( F nằm B vµ E ) a Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng b Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp c Khi D và C di động trên nửa đờng tròn , chứng tỏ : AC AE = AD AF = const Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB và CD vuông góc M bên (O) Từ A vẽ đờng thẳng vuông góc với BC H, cắt CD E F là điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD t¹i K Chøng minh r»ng: a Gãc MAH = gãc MCB b Tam gi¸c ADE c©n c Tø gi¸c AHBK néi tiÕp Bµi 31 Cho ®o¹n th¼ng AB vµ C lµ mét ®iÓm n»m gi÷a A vµ B Ngêi ta kÎ trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB hai tia Ax vµ By vu«ng gãc víi AB Trªn tia Ax lÊy mét ®iÓm I Tia Cz vu«ng góc với tia CI C và cắt By K Đờng tròn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh: a Tø gi¸c CPKB néi tiÕp b AI.BK=AC.CB c APB vu«ng d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lín nhÊt Bµi 32 Cho (O) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi (O) Tõ A kÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC vµ c¸t tuyÕn AMN víi (O) (B, C, M, N cïng thuéc (O); AM<AN) Gäi E lµ trung ®iÓm cña d©y MN, I lµ giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O) a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên đờng tròn b Chøng minh gãc AOC=gãc BIC c Chøng minh BI//MN d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn (43) Bài 33 Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD=HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD (EAD) a Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp b Chứng minh AB là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c Chøng minh CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE d Tính diện tích hình giới hạn các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH đờng tròn nãi trªn biÕt AC=6cm; gãc ACB = 30o Bài 34 Cho (O) có đờng kính BC Gọi A là điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC) D lµ ®iÓm thuéc b¸n kÝnh OC §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC ë E, c¾t tia BA ë F a Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiÕp b Gäi M lµ trung ®iÓm cña EF Chøng minh: gãc AME=2 gãc ACB c Chøng minh AM lµ tiÕp tuyÕn cña (O) d TÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®o¹n th¼ng BC, BA vµ cung nhá AC cña (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o Bài 35 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M và tiếp xúc với AB N Đờng tròn này cắt MA, MB lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm thø hai C, D a Chøng minh CD//AB b Chứng minh MN là tia phân giác góc AMB và đờng thẳng MN qua điểm K cố định c Chứng minh tích KM.KN cố định d Gọi giao điểm các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ có thể đợc Bài 36 Cho đờng tròn đờng kính AB, các điểm C, D trên đờng tròn cho C, D không nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC Gọi các điểm chính các cung AC, AD lÇn lît lµ M, N Giao ®iÓm cña MN víi AC, AD lÇn lît lµ H, I Giao ®iÓm cña MD víi CN lµ K a CM: NKD vµ MAK c©n b CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH//AD c So s¸nh c¸c gãc CAK víi gãc DAK d Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND Bài 37 Cho (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với điểm A và tiếp tuyến chung Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C và cắt Ax điểm M Kẻ các đờng kính BO1D, CO2E a Chøng minh M lµ trung ®iÓm BC b Chøng minh O1MO2 vu«ng c Chøng minh B, A, E th¼ng hµng; C, A, D th¼ng hµng d Gọi I là trung điểm DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xóc víi d PhÇn 2: H×nh häc kh«ng gian A.Lý thuyÕt: I Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ h×nh häc kh«ng gian: Các vị trí tơng đối: a.Vị trí tơng đối hai đờng thẳng: * a // b a , b (P), a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung * a c¾t b a , b (P), a vµ b cã mét ®iÓm chung * a vµ b chÐo a vµ b kh«ng cïng thuéc mét mÆt ph¼ng b Vị trí tơng đối đờng thẳng a và mặt phẳng (P): * a // (P) a vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung * a c¾t (P) a vµ (P) cã mét ®iÓm chung (44) * a (P) a vµ (P) cã v« sè ®iÓm chung c Vị trí tơng đối hai mặt phẳng (P) và (Q): * (P) // (Q) kh«ng cã ®iÓm chung * (P) (Q) = a có đờng thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến hai mặt phẳng) * (P) (Q) Mét sè c¸ch chøng minh: a Chứng minh hai đờng thẳng song song: C1: a vµ b cïng thuéc mét mÆt ph¼ng a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung C2: a // c vµ b // c ( P) //(Q) } C3 : (P)∩(R)=a ⇒ a // b (Q)∩(R)=b b.Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng: a // b ⇒ a // (P) b ⊂( P) } c.Chøng minh hai mÆt ph¼ng song song: a , b ⊂(Q) ,aXb ⇒( P) // (Q) a // ( P), b //(P) } d.Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc: a ⊥( P) ⇒ a ⊥ b b ⊂(P) } e.Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng: a⊥b,a⊥c ⇒ a ⊥(P) bXc , b ⊂( P) , c ⊂(P) } g.Chøng minh hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc: a ⊥(P) ⇒( P) ⊥(Q) a ⊂(Q) } II Mét sè h×nh kh«ng gian: H×nh trô: H×nh l¨ng trô: Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy Sxq = P h với P: chu vi đáy V = B.h = R2.h h: chiÒu cao V=B.h h : chiÒu cao B: diện tích đáy H×nh chãp: H×nh nãn: (45) S xq = P d V= B.h với d: đờng cao mặt bên S xq= P d=πR l 1 V = B h= πR2 h 3 d: đờng sinh; h: chiều cao H×nh nãn côt: H×nh chãp côt: S xq = ( P+ P ' ) d=π ( R+r ) d π h ( 2 V = ( B+ B ' + √ B B' ) h= R +r + R r ) 3 S xq= ( P+ P ' ) d 1( V = B+ B '+ √ B B' ) h H×nh cÇu: S=4 πR2 V = πR3 B Bµi tËp: Bµi 1: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ®iÓm S n»m ngoµi mp(ABCD) Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SA, SD Tø gi¸c MNCB lµ h×nh g×? Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD, CD LÊy ®iÓm E AB, F BC cho: AE= AB; CF= CB 4 a Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH b Gäi I lµ giao ®iÓm cña EG vµ (BCD) CMR: F, H, I th¼ng hµng Bài 3: CMR: Nếu mặt phẳng song song với đờng thẳng a mp(Q) mà (P) và (Q) cắt th× giao tuyÕn cña chóng song song víi a Bµi 4: Cho hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) c¾t theo giao tuyÕn d Mét mÆt ph¼ng thø ba (R) c¾t (P) , (Q) theo thø tù lµ c¸c giao tuyÕn a vµ b CMR: a Nếu a x d = M thì a, b, d đồng qui b Nếu a // d thì a, b, d đôi song song Bµi 5: Cho tø diÖn S.ABC, ®iÓm D SA cho SD= SA, E ∈ AB cho BE= BA Gäi 4 M lµ trung ®iÓm cña SC, I lµ giao ®iÓm cña DM vµ AC, N lµ giao ®iÓm cña IE vµ BC CMR: a SB // (IDE) b N lµ trung ®iÓm cña BC Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Một đờng thẳng d (ABC) A Trên d lÊy ®iÓm S bÊt kú a Chøng minh BC SH b Kẻ AI là đờng cao tam giác SAH Chứng minh AI (SBC) c Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm TÝnh BC, SH råi tÝnh S xq, Stp, V cña h×nh chãp S ABC (46) Bài 7: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM, điểm I AM cho IA = 2.IM Qua I vẽ đờng thẳng d vuông góc với mp(ABC), trên d lấy điểm S a Chøng minh SA = SB = SC b Gọi IH là đờng cao tam giác SIM CMR: IH (SBC) c TÝnh Sxq vµ V cña h×nh chãp S ABC biÕt AB=3 √ cm ; SA = cm Bµi 8: Cho tø diÖn S ABC §iÓm E SA, F AB cho SE= SA ; BF= BA Gäi G, H 3 theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SC, BC CMR: a EF // GH b EG, FH, AC đồng qui Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Một đờng thẳng d vuông góc vãi mp(ABC) t¹i B, trªn d lÊy ®iÓm S cho SA = 10 cm a CMR: SB AC b TÝnh SB, BC, SC c CM: Tam gi¸c SAC vu«ng d TÝnh Stp , V Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh cm Trên đờng thẳng d vuông góc với mp(ABCD) A lÊy ®iÓm S cho SA = cm CMR: a (SAB) (SAD) b SC BD c C¸c tam gi¸c SBC vµ SDC vu«ng d Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy là hình thoi Biét đờng cao AA’ = cm, các đờng chéo AC’ = 15 cm , DB’ = cm a TÝnh AB? b TÝnh Sxq, V cña h×nh l¨ng trô ABCD A’B’C’D’ c TÝnh Sxq, V cña h×nh chãp B’ ABCD Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AA’ = cm , góc BAB’ = 45 TÝnh Sxq vµ V Bµi 13: H×nh hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AD = cm, AB = cm, BD’ = 13 cm TÝnh S xq vµ V ? Bµi 14: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm a CM: C¸c tø gi¸c ACC’A’, BDD’B’ lµ h×nh ch÷ nhËt b CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2 c TÝnh Stp , V ? Bµi 15: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 30 TÝnh Stp vµ V ? Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD A’B’C’D’ có độ dài cạnh là cm a Tính đờng chéo BD’ b TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’ ABD c TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’.BC’D (47) Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đờng cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa đợc bao nhiêu lít nớc ? ( biết dm3 = lít ) Bµi 18: Mét mÆt ph¼ng qua trôc OO’ cña mét h×nh trô, phÇn mÆt ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi h×nh trô ( còn gọi là thiết diện) là hình chữ nhật có diện tích 72 cm Tính bán kính đáy, đờng cao hình trụ biết đờng kính đáy nửa chiều cao Bµi 19: Mét h×nh trô cã thiÕt diÖn qua trôc lµ mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi cm, chiÒu réng cm Tính Sxq và V hình trụ đó Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm a TÝnh Sxq cña h×nh nãn b TÝnh V cña h×nh nãn c Gäi CD lµ d©y cung cña (O; OB)vu«ng gãc víi OB CMR: CD (AOB) Bài 21: Cho tam giác ABC vuông A quay vòng quanh AB Tính bán kính đáy, đờng cao hình nón tạo thành Từ đó tính Sxq , và V hình nón biết BC = cm, góc ACB = 600 Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác cạnh cm Tính S xq và V Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, các bán kính đáy là 10 cm và 15 cm a TÝnh Sxq cña h×nh nãn côt b Tính V hình nón sinh hình nón cụt đó Bµi 24: Mét h×nh thang ABCD cã gãc A vµ gãc D =90 0, AB = BC = a , gãc C = 600 TÝnh Stp cña h×nh t¹o thµnh quay h×nh thang vu«ng mét vßng xung quanh: a C¹nh AD b Cạnh DC (48)