Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên.. Bài 9: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàn[r]
(1)SỐ NGUYÊN TỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa: * Số nguyên tố là số tự nhiên lớn 1, có hai ước là và chính nó * Hợp số là số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước Tính chất: * Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q * Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít thừa số tích abc chia hết cho số nguyên tố p * Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p Cách nhận biết số nguyên tố: a) Chia số đó cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn - Nếu có phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố - Nếu chia lúc số thương nhỏ số chia mà các phép chia còn số dư thì số đó là số nguyên tố b) Một số có ước số lớn thì số đó không phải là số nguyên tố Phân tích số thừa số nguyên tố: * Phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố là viết số đó dạng tích các thừa số nguyên tố - Dạng phân tích thừa số nguyên tố số nguyên tố là chính số đó - Mọi hợp số phân tích thừa số nguyên tố: A a b .c Víi a, b, c lµ nh÷ng sè nguyªn tè, , , , N vµ , , , 1 Số các ước số và tổng các ước số số: Gi¶ sö A a b .c Víi a, b, c lµ nh÷ng sè nguyªn tè, , , , N vµ , , , 1 thì: a Sè c¸c íc sè cña A lµ: (+1)(+1) (+1) b Tæng c¸c íc sè cña A lµ: a +1 b1 c 1 a b c (2) Số nguyên tố cùng nhau: * Hai số nguyên tố cùng là hai số có ƯCLN - Hai số a và b nguyên tố cùng ƯCLN (a, b) = và ngược lại - Các số a, b, c nguyên tố cùng ƯCLN (a, b, c) = và ngược lại - Các số a, b, c đôi nguyên tố cùng thì: ƯCLN (a, b) = ƯCLN (b, c) = ƯCLN (c, a) =1 và ngược lại II CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố là số chẵn hay số lẻ Hướng dẫn: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ Do đó tổng 25 số nguyên tố là số chẵn Ví dụ 2: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số nguyên tố đó Hướng dẫn: Vì tổng số nguyên tố 1012, nên số nguyên tố đó tồn ít số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn là và là số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố đó là Ví dụ 3: Tổng số nguyên tố có thể 2003 hay không? Vì sao? Hướng dẫn: Vì tổng số nguyên tố 2003, nên số nguyên tố đó tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn là Do đó số nguyên tố còn lại là 2001 Do 2001 chia hết cho và 2001 > Suy 2001 không phải là số nguyên tố Ví dụ 4: Tìm số nguyên tố p, cho p + và p + là các số nguyên tố (3) Hướng dẫn: * Giả sử p là số nguyên tố: - Nếu p = thì p + = và p + = không phải là số nguyên tố - Nếu p thì số nguyên tố p có dạng: 3k, 3k + 1, 3k + với k N* +) Nếu p = 3k p = p + = và p + = là các số nguyên tố +) Nếu p = 3k +1 thì p + = 3k + = 3(k + 1) p + và p + > Do đó p + là hợp số +) Nếu p = 3k + thì p + = 3k + = 3(k + 2) p + và p + > Do đó p + là hợp số Vậy với p = thì p + và p + là các số nguyên tố Ví dụ 5: Cho p và p + là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + là hợp số Hướng dẫn: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k N* - Nếu p = 3k + thì p + = 3k + = 3(k + 2) p + và p + > Do đó p + là hợp số (Trái với đề bài p T + là số nguyên tố) - Nếu p = 3k + thì p + = 3k + = 3(k + 3) p + và p + > Do đó p + là hợp số Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + thì p + là hợp số Ví dụ 6: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n – Hướng dẫn: Mỗi số tự nhiên n chia cho có thể có các số dư: 0; 1; 2; Do đó số tự nhiên n có thể viết dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + với k N* - Nếu n = 4k n 4 n là hợp số (4) - Nếu n = 4k + n 2 n là hợp số Vậy số nguyên tố lớn có dạng 4k + 4k – Hay số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n – với n N* Ví dụ 7: Tìm số nguyên tố, biết số đó tổng hai số nguyên tố và hiệu hai số nguyên tố Hướng dẫn: Gi¶ sö a, b, c, d, e lµ c¸c sè nguyªn tè vµ d > e Theo bµi ra: a = b + c = d - e (*) Tõ (*) a > a lµ sè nguyªn tè lÎ b + c vµ d - e lµ sè lÎ Do b, d lµ c¸c sè nguyªn tè b, d lµ sè lÎ c, e lµ sè ch½n c = e = (do c, e lµ c¸c sè nguyªn tè) a = b + = d - d = b + VËy ta cÇn t×m sè nguyªn tè b cho b + vµ b + còng lµ c¸c sè nguyªn tè Ví dụ 8: Tìm tất các số nguyên tố x, y cho: x2 – 6y2 = Hướng dẫn: Ta cã: x y 1 x 6 y ( x 1)( x 1) 6 y Do y 2 ( x 1)( x 1)2 Mµ x - + x + = 2x x - vµ x + cã cïng tÝnh ch½n lÎ x - vµ x + lµ hai sè ch½n liªn tiÕp ( x 1)( x 1)8 y 8 3y 4 y 2 y 2 y 2 x 5 Ví dụ 9: Cho p và p + là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + 6 Hướng dẫn: - Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k N* + Nếu p = 3k + thì p + = 3k + = 3(k + 1) p + và p + > đó p + là hợp số (Trái với đề bài p + là số nguyên tố) + Nếu p = 3k + thì p + = 3k + = 3(k + 1) (1) p là số nguyên tố và p > p lẻ k lẻ k + chẵn k + 2 (2) (5) - Từ (1) và (2) p + 6 III BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho các số sau là số nguyên tố: a) p + và p + 10 e) p + 10 và p + 20 b) p + 10 và p + 14 f) p + 14 và p + 20 c) p + 2và p + g) p + và p + 14 d) p + và p + 10 h) p + và p + 10 Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho các số sau là số nguyên tố: a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14 b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24 f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32 g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16 Bài 3: a) Cho p và p + là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + là hợp số b) Cho p và 2p + là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + là hợp số c) Cho p và 10p + là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 5p + là hợp số c) Cho p và p + là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + là hợp số d) Cho p và 4p + là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + là hợp số e) Cho p và 5p + là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 10p + là hợp số f) Cho p và 8p + là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - là hợp số g) Cho p và 8p - là các số nguyên tố (p > 3) (6) Chứng minh rằng: 8p + là hợp số h) Cho p và 8p2 - là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 + là hợp số i) Cho p và 8p2 + là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - là hợp số Bài 4: Chứng minh a) Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn thì p2 – q2 24 b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k N*) là các số nguyên tố lớn thì k Bài 5: a) Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r là hợp số Tìm số dư r b) Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r Tìm số dư r biết r không là số nguyên tố Bài 6: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3, đó số sau lớn số trước là d đơn vị Chứng minh d chia hết cho Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta số là lập phương số tự nhiên Bài 9: Tìm số tự nhiên có chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục và số đó viết dạng tích số nguyên tố liên tiếp Bài 10: Tìm số nguyên tố lẻ liên tiếp là các số nguyên tố Bài 11: Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p + q2 + r2 là số nguyên tố Bài 12: Tìm tất các ba số nguyên tố a, b, c cho a.b.c < a.b + b.c + c.a Bài 13: Tìm số nguyên tố p, q, r cho pq + qp = r Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + = z Bài 15: Tìm số nguyên tố abcd cho ab , ac lµ c¸c sè nguyªn tè vµ b cd b c (7) Bài 16: Cho các số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) là các số nguyên tố Chứng minh số p, q, r có ít hai số Bài 17: Tìm tất các số nguyên tố x, y cho: a) x2 – 12y2 = d) 3x2 + = 19y2 b) 5x2 – 11y2 = e) 7x2 – 3y2 = c) 13x2 – y2 = g) x2 = 8y + Bài 18: Tìm số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Bài 19: Chứng minh điều kiện cần và đủ để p và 8p + là các số nguyên tố là p = Bài 20: Chứng minh a2 – b2 là số nguyên tố thì a2 – b2 = a + b Bài 21: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 6n + 6n – Bài 22: Chứng minh tổng bình phương số nguyên tố lớn không thể là số nguyên tố Bài 23: Cho số tự nhiên n 2 Gọi p1, p2, , pn là số nguyên tố cho pn n + Đặt A = p1.p2 pn Chứng minh dãy số các số tự nhiên liên tiếp: A + 2, A + 3, , A + (n + 1) Không chứa số nguyên tố nào Bài 24: Chứng minh p là số nguyên tố thì 2.3.4 (p – 3)(p – 2) - p Bài 25: Chứng minh p là số nguyên tố thì 2.3.4 (p – 2)(p – 1) + p (8)