Gọi b là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE tại E, biết b cắt đường trung trực của đoạn thẳng EG tại điểm K.. Chứng minh rằng KG là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ta[r]
(1)KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình x 3y 7 a x 3y 5 b x² – x – 12 = Câu (1,5 điểm) Cho Parabol (P): y = –x² a Vẽ (P) b Tìm giá trị m để đường thẳng y = –x + m tiếp xúc với (P) Câu (1,5 điểm) Cho phương trình x² – mx + m – = a Giải phương trình m = b Tìm giá trị m để phương trình đã cho có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó Câu (1,5 điểm) 1 15 5 a Rút gọn biểu thức A = b Một xe lửa cần vận chuyển lượng hàng Nếu xếp toa 15 hàng thì còn thừa lại Nếu xếp toa 16 thì có thể chở thêm Tính số toa xe lửa và số hàng phải chở Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không qua tâm O Lấy điểm A trên cung lớn BC khác B, C Ba đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt điểm H a Chứng minh các tứ giác HDBF, BCEF nội tiếp đường tròn b Chứng minh DA là phân giác góc EDF c Gọi K là điểm đối xứng A qua tâm O Chứng minh HK qua trung điểm đoạn BC d Giả sử góc BAC = 60° Chứng minh tam giác AHO là tam giác cân (2) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT MÔN TOÁN MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2,0 điểm) a Giải phương trình |x + 1| + |x + 2| = 3x b Giải phương trình x² – 3x + = Câu (2,0 điểm) x x x x 1 x1 ( ) x x x 1 Cho biểu thức A = x x a Với điều kiện nào x thì A xác định Rút gọn biểu thức A b Với giá trị nguyên nào a thì A có giá trị nguyên Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị m để các đường thẳng d1: y = – x; d2: y = x – m – và d3: y = – x + đồng quy Câu (1,5 điểm) Cho phương trình x² – 2x – 3m² = 0, với m là tham số a Giải phương trình m = b Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2| = Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C trên nửa đường tròn không trùng A, B Gọi H là hình chiếu vuông góc C trên AB Lấy điểm D trên cung BC không trùng với B, C Hai đường thẳng AD và CH cắt E a Chứng minh tứ giác BHED nội tiếp đường tròn b Chứng minh AC² = AE.AD c Vẽ đường tròn (O') qua D và tiếp xúc với AB B Đường tròn (O') cắt CB điểm thứ hai F Chứng minh FE//AB (3) TUYỂN SINH LỚP 10 THPT MÔN TOÁN Thời gian làm bài 120 phút Câu (3,0 điểm) Cho phương trình x² – 2(m + 2)x + m + = a Giải phương trình m = b Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm trái dấu c Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1(1 – 2x2) + x2(1 – 2x1) = m² Câu (2,0 điểm) Mẹ bạn Xuân ngân hàng để đổi triệu đồng thành các tờ tiền 50 000 đồng và 20 000 đồng để lì xì diệp tết Nếu mẹ bạn Xuân đổi 70 tờ tiền thì số tờ loại là bao nhiêu? Câu (1,0 điểm) Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = x² và y = 2x + phép toán Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (O) có dây BC cố định Gọi A là điểm chính cung nhỏ BC Lấy điểm M trên cung nhỏ AC khác A và C Kẻ tia Bx vuông góc với tia MA I và cắt tia CM D a Chứng minh MA là tia phân giác góc BMD b Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và góc BDC có số đo không đổi c Tia DA cắt tia BC E và cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F, chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF d Chứng minh AE.AF không đổi M di động (4) ĐÁP SỐ Câu a góc AMD = góc ACM + góc CAM = (1/2)(số đo cung AM + số đo cung MC) = (1/2) số đo cung AC Ta lại có góc BMA = (1/2) số đo cung AB = (1/2) số đo cung AC → góc BMA = góc AMD → đpcm b Chứng minh A nằm trên trung trực BD và BC → đpcm Mặt khác góc BDC = 90° – góc AMD = không đổi vì góc AMD = (1/2) số đo cung AC c Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBEF Chứng minh góc BFE = góc ABC và góc KBE = 90° – (1/2)góc BKE = 90° – góc BFE Suy đpcm d ABE đồng dạng với AFB nên AE.AF = AB² (5) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x² – (2m – 1)x + 2m – = 0, với m là tham số Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x24 + x14 = 17 Câu (2,0 điểm) x y y x 48 x x y y 72 a Giải hệ phương trình 3 b Cho x = 2 2 Tính giá trị biểu thức P = x³ – 6x Câu (2,5 điểm) a Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng d: y = ax + b Tìm a, b cho d tiếp xúc với (P) A(–1; 1) b Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 6x + y + 2xy – ≥ 4x² + y² Câu (2,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), từ điểm M ngoài đường tròn, MO > 2R, vẽ hai tiếp tuyến MA và MB tới (O; R) với các tiếp điểm A, B Kẻ AH vuông góc với MB H Đường thẳng AH cắt (O; R) điểm thứ hai N Đường tròn đường kính NA cắt AB, AM các điểm I, K khác A a Chứng minh tứ giác NHBI nội tiếp đường tròn b Chứng minh ΔNHI và ΔNIK đồng dạng c Gọi C là giao điểm NB và HI; gọi D là giao điểm NA và KI Đường thẳng MA và CD cắt E Chứng minh CI = EA Câu (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2(x² + y²) = xy + Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức P = xy (6) ĐÁP SỐ Câu m = Câu a {(4; 16), (16; 4)} b P = Câu a a = –2 và b = –1 b (x; y) = (1; 1) (1; 2) Câu c Chứng minh góc ANI = góc HBI và IH//MA Suy IAK và HIB cân Chứng minh NCD và NIK đồng dạng → góc NDC = NKI = NAI → CD//AB Câu Gợi ý x² + y² ≥ 2xy → + xy = 2(x² + y²) ≥ 4xy → xy ≤ 1/3 Mặt khác 5xy + = 2(x + y)² ≥ → xy ≥ –1/5 (7) KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) a Giải phương trình (x – 1)(x – 3)(x + 1) (x + 3) = 105 x y2 y y x x b Giải hệ phương trình Câu (2,0 điểm) a Cho phương trình x² + 4x – m = 0, m là tham số Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1, x2 thỏa x14 x 42 mãn đạt giá trị lớn b Tìm giá trị m để hai đường thẳng d: y = 3x + và d’: y = (m² – 2m)x + 2m song song Câu (1,0 điểm) Quãng đường AB = 150 km Một ô tô từ A đến B, tiếp 50 km để đến C với vận tốc tăng thêm 15 km/h so với vận tốc từ A đến B Biết tổng thời gian từ A đến C trên là 10 phút Tính vận tốc từ A đến B ô tô Câu (2,0 điểm) 1 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c = 1 2 Chứng minh 8a 8b 8c ≥ Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Vẽ AH vuông góc với BC H Gọi P, Q là các chân đường vuông góc hạ từ H đến AB, AC Hai đường thẳng PQ và BC cắt M Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) K khác A Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP a Chứng minh các tứ giác APHQ, BPQC nội tiếp đường tròn b Chứng minh MP.MQ = MB.MC = MK.MA c Chứng minh AKPQ nội tiếp đường tròn d Chứng minh I, H, K thẳng hàng (8) ĐÁP SỐ Câu a x = ±4 b (x; y) = (2; 2) Câu a m = –4 b m = –1 Câu 45 km/h Câu Gợi ý Chứng minh bất đẳng thức 4a²/(8a² + 1) ≤ a/(a + 1) Câu d Gợi ý: Gọi J là trung điểm AH, vẽ đường kính AD đường tròn (O) Chứng minh HK và HI cùng vuông góc với AK (9) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (3,0 điểm) a Giải phương trình x4 – 2x³ + x = 2x 2x x 2y 4x 0 4x 4xy y 2y 0 b Giải hệ phương trình c Tìm số nguyên tố n cho A = 12n² + là số chính phương Câu (2,0 điểm) a Tìm các số tự nhiên x, y cho 2x.x² = 9y² + 6y + 16 b Cho các số thực a, b, c đôi khác và khác thỏa mãn a³ + b³ + c³ = 3abc Tính giá trị biểu ab2 bc2 ca 2 2 2 c2 a b2 thức P = a b c b c a Câu (2,0 điểm) 2a 2b 2c 2 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = Chứng minh a b b c c a ≥ Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có trực tâm H Gọi M là trung điểm cạnh BC Các đường cao tam giác ABC là AD, BE, CF Các tiếp tuyến với (O) B, C cắt S Gọi X, Y là giao điểm đường thẳng EF với các đường thẳng BS, AO Chứng minh a MX vuông góc với BF b Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng c EF/FY = BC/CD (10) ĐÁP SỐ Câu a S = {0; 1; 2; –1} b (x; y) = (2; 2) c n = Câu a (x; y) = (2; 0) b P = Câu Gợi ý 2a²/(a + b²) = 2a4/(a³ + a²b²) ≥ 4a4/(a4 + a² + 2a²b²) Câu (11) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (3,0 điểm) a Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + m² = Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn (x1 – m)² + x2 = m + 2 b Giải phương trình sau (x + 1) 2(x 4) = x² – x – c Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn (x2017 – 1)² = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) Câu (2,0 điểm) Cho hai số dương a, b thỏa mãn a + b = ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 (1 a )(1 b ) a 2a b 2b P= Câu (1,5 điểm) Tìm các số nguyên a để phương trình x² + 2ax – 4a + 13 = có nghiệm nguyên Tìm nghiệm nguyên phương trình đó Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB = 2R Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC H Gọi K là hình chiếu H trên AB a Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn b Chứng minh góc ACM = ACK c Trên đoạn BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM vuông cân C d Gọi d là tiếp tuyến (O) điểm A; cho P là điểm nằm trên d cho hai điểm P, C nằm cùng nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MB = MA.R Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK (12) ĐÁP SỐ Câu (3,0 điểm) a m = 0; 1/2 b x = –1 c (1; 0), (1; –1), (1; –2), (1; –3) Câu (2,0 điểm) Câu (1,5 điểm) Câu (3,5 điểm) a Ta có góc HCB = 90° (chắn nửa đường tròn) và góc HKB = 90° => góc HCB + góc HKB = 180° nên tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn b Ta có góc ACM = góc ABM (do cùng chắn cung AM) và góc ACK = góc HCK = góc HBK (vì cùng chắn cung HK) Vậy góc ACM = góc ACK c Vì OC vuông góc với AB nên C là điểm chính cung AB Suy AC = BC và sđ cung AC = sđ cung BC = 90° Xét tam giác MAC và EBC có MA = EB (gt), AC = CB (cmt) và góc MAC = góc MBC vì cùng chắn cung MC Suy ΔMAC = ΔEBC (c – g – c) → CM = CE Do đó tam giác MCE cân C (1) Ta lại có góc CMB = 45° (vì chắn cung CB) Suy góc CEM = góc CMB = 45° (tính chất tam giác MCE cân C) Mặt khác góc CME + CEM + MCE = 180° Nên góc MCE = 90° (2) Từ (1) và (2) suy tam giác MCE là tam giác vuông cân C (đpcm) d Gọi S là giao điểm BM và đường thẳng d; N là giao điểm BP và HK ΔPAM và ΔOBM đồng dạng → AP/PM = OB/OM = → PA = PM (3) Vì góc AMB = 90° nên góc AMS = 90° → góc PAM + PSM = 90° và góc PMA + PMS = 90° Suy góc PMS = PSM Do đó PS = PM (4) Từ (3) và (4) suy PA = PS hay P là trung điểm AS Vì HK // AS (cùng vuông góc với AB) nên NK/PA = BN/BP = HN/PS mà PA = PS (cmt) suy NK = NH hay BP qua trung điểm N HK (13) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (3,0 điểm) Giải phương trình 3 a x x = b x³ + = 2x Câu (1,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình 3x² = y² + 2xy + Câu (1,5 điểm) Tìm các cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn p + q = 2(p – q)² Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định, M là điểm thuộc (O) khác A và B Các tiếp tuyến (O) A và M cắt C Đường thẳng d vuông góc với AC C cắt tia OM D Gọi E là trung điểm OC Dựng DH vuông góc với BC H a Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn b Chứng minh OE.HC = OH.CD c Gọi K là trung điểm OA Chứng minh tứ giác KEHO nội tiếp đường tròn và ba điểm K, H, D thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c là số dương thỏa mãn: a² + b² + c² = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 c2 2 P = bc(b c) ca(c a) ab(a b) (14) ĐÁP SỐ Câu Câu (x; y) = (2; 1), (–2; –1), (–2; 5), (–5; 2) Câu (3; 5) (5; 3) Câu a CD // AB vì cùng vuông góc với AC → góc DCO = góc COA mà góc COA = góc COM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) → góc DCO = góc COM → tam giác COD cân D → DE vuông góc với OC → góc CED = góc CHD = 90° Vậy CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CD b Ta có góc EDH = góc ECH góc DEH = góc DCH = góc CBO ΔDHE và ΔCOB đồng dạng → HE/HD = OB/OC = OA/OC mà tam giác OAC đồng dạng với OED → OA/OC = OE/OD = OE/CD Do đó HE/HD = OE/CD góc HEO = góc HDC (vì CDHE nội tiếp) Nên ΔEHO đồng dạng với ΔDHC → góc OE/CD = HO/HC → OE.HC = OH.CD c ΔEHO đồng dạng với ΔDHC → góc EHO = góc DHC = 90° mà EK là đường trung bình ΔOAC → EK // AC → EK vuông góc với AB → góc EKO = 90° Nên tứ góc EKO + góc EHO = 180° Tứ giác EHOK nội tiếp đường tròn Khi đó góc EHK = góc EOK vì cùng chắn cung EK đường tròn ngoại tiếp tứ giác mà góc EOK = góc ECD mặt khác: góc ECD + góc DHE = 180° → góc EHK + góc EHD = 180° Vậy ba điểm D, H, K thẳng hàng a b c (ab bc ca) Câu Chứng minh P ≥ b c c a a b ≥ 3/2 – (a² + b² + c²)/4 = 3/2 Dấu “=” xảy a = b = c = (15) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2,0 điểm) ( x x 3x x 1 ): x 3 x x x 3 Rút gọn biểu thức P = Câu (1,5 điểm) Cho các đường thẳng (d1): y = 3x + 1, (d2): y = –x – và (d3): y = 9x + m – a Tìm tọa độ giao điểm (d1) và (d2) b Tìm các giá trị m để các đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy Câu (1,5 điểm) Cho phương trình x² – mx + m – = (m là tham số) a Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với m b Tìm giá trị m để hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1² + x2² = c Đặt A = x1² + x2² – 6x1x2 Tìm giá trị nhỏ A Câu (1,5 điểm) Một xe máy dự định quãng đường dài 60 km thời gian định Trên thực tế, xe máy nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định là 10 km/h, và nửa quãng đường còn lại với vận tốc thấp vận tốc dự định là km/h xe máy đã đến đúng thời gian đã định Tính thời gian xe máy dự định quãng đường trên Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn cho MA < MB Vẽ điểm N đối xứng với A qua M BN cắt đường tròn C Gọi E là giao điểm AC và BM a Chứng minh bốn điểm E, M, N, C cùng nằm trên đường tròn b Chứng minh NE vuông góc với AB c Lấy điểm F đối xứng với E qua M Chứng minh FN là tiếp tuyến đường tròn (B; BA) (16) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 120 phút Câu (2,0 điểm) ( x1 x 1 2)( x ) x 2 x x Rút gọn biểu thức A = Câu (2,0 điểm) Quảng đường AB dài 156 km Một người xe máy tử A, người xe đạp từ B Hai xe xuất phát cùng lúc và sau gặp Biết vận tốc người xe máy nhanh vận tốc người xe đạp là 28 km/h Tìm vận tốc xe Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: x² – 2(m – 1)x + m² – = (với m là tham số) a Giải phương trình m = b Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1² + x2² = 16 Câu (4,0 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O Vẽ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O (C nằm M và D), OM cắt AB và (O) H và I a Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn b Chứng minh MC.MD = MA² c Chứng minh OH.OM + MC.MD = MO² d Chứng minh CI là tia phân giác góc MCH (17) ĐÁP SỐ Câu (2,0 điểm) Vận tốc xe đạp là 12 km/h và vận tốc xe máy là 12 + 28 = 40 (km/h) Câu (2,0 điểm) a x1 = 1, x2 = b m = 0, m = –4 Câu (4,0 điểm) d Từ MH.OM = MA², MC.MD = MA² → MH.OM = MC.MD hay MH/MD = MC/MO (*) Nên ΔMHC và ΔMDO đồng dạng → MC/HC = MO/MD = MOA/OA (1) Ta lại có góc MAI = góc IAH → AI là phân giác góc MAH Theo tính chất đường phân giác tam giác: MI/IH = MA/AH (2) Hai tam giác MHA và MAO đồng dạng → MO/OA = MA/AH (3) Từ (1), (2), (3) suy MC/CH = MI/IH → CI là tia phân giác góc MCH (18) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) a Tìm tất các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x4 + x² – y² – y + 20 = b Giải phương trình sau (x – 2)4 + (x – 3)4 = Câu (1,5 điểm) Một Ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 105 km tổng thời gian là Cũng ca nô đó xuôi dòng 54 km và ngược dòng 42 km thì tổng thời gian là Tính vận tốc ca nô nước yên tĩnh và vận tốc dòng nước Câu (2,0 điểm) x y 1 y x 1 a Giải hệ phương trình b Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: y = mx + n và parabol (P): y = 2x² Tìm m, n cho d tiếp xúc với (P) và song song với đường thẳng Δ biết Δ cắt (P) hai điểm M, N có hoành độ là và Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh AB = 12cm, AC = 15cm và BC = 18cm Tính độ dài đường phân giác AD tam giác ABC Câu (2,0 điểm) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với góc ABC = 30°, góc ACB = 15° Gọi M, N, P, I là trung điểm cạnh BC, CA, AB và OC a Tính góc PON và chứng minh ba điểm A, M, I thẳng hàng b Chứng minh P là trực tâm tam giác OMN Câu (1,5 điểm) a Cho a, b, c, d là các số thực phân biệt Biết a, b là hai nghiệm phương trình x² + mx + = và c, d là hai nghiệm phương trình x² + nx + = Chứng minh (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (m – n)² b Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c 2 2 a b2 P = b c c a (19) ĐÁP SỐ Câu (2,0 điểm) a (±3; 10), (±3; –11), (0; 4), (0; –5) b x = 2; Câu (1,5 điểm) 24 km/h và km/h Câu (2,0 điểm) a {(3; 3)} b m = 6; n = –9/2 Câu (1,0 điểm) AD = 10 cm Câu (2,0 điểm) Câu (1,5 điểm) b b² + c² = – a²; gợi ý: chứng minh a²(1 – a²)² ≤ 4/27 (20) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu a Giải phương trình x(x + 3) = 15 – 3x b Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị (P): y = x² và d: y = x + và vẽ chúng trên cùng hệ trục tọa độ Câu 2x 3y 11 a Giải hệ phương trình x y b Một tam giác vuông có chu vi 72 cm và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài 15 cm Tính diện tích tam giác đó Câu Cho phương trình x² – 2mx + m² – 2m – = 0, với m là tham số a Giải phương trình m = b Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có H là trục tâm Trên cung nhỏ BC lấy điểm M Gọi N, I, K là hình chiếu vuông góc M trên BC, CA, AB Chứng minh a các điểm K, N, I thẳng hàng b AB/MK + AC/MI = BC/MN c NK qua trung điểm HM Câu Tìm tất giá trị x cho x² + x + là số chính phương (21) ĐÁP SỐ Câu a x = b {–1; 2} Câu a x = và y = –3 b 216 cm² Câu a {–1; 3} b m = Câu a Chứng minh góc BNK = góc BMK; góc INC = góc IMC và góc BMK = góc INC → đpcm b Chứng minh AB/MK – BK/MK = CN/MN; AC/MI + IC/MI = AC/MI + NK/MK = BN/MN suy đpcm c Kéo dài MN cắt đường tròn (O) điểm thứ hai S Qua H vẽ đường thẳng // AS cắt tia MN P Chứng minh N là trung điểm đoạn PM → KN qua trung điểm HM Câu x = x = –6 (22) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2,0 điểm) Giải phương trình a x² – x – 20 = b x² – 2x – = Câu (2,0 điểm) Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx, với m là tham số a Tìm các giá trị m để (P) và (d) cắt điểm có tung độ b Tìm điều kiện giá trị m để (P) và (d) cắt điểm phân biệt Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x² – (2m – 3)x + m² – 2m – = với m là tham số a Giải phương trình m = a Tìm điều kiện giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, M là trung điểm cạnh AC Đường tròn đường kính MC cắt BC N Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC D a Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp Tìm tâm O đường tròn đó b Chứng minh DB là phân giác góc ADN c Chứng minh OM là tiếp tuyến đường tròn đường kính MC d Biết BA và CD cắt P Chứng minh các điểm P, M, N thẳng hàng (23) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (3,0 điểm) a Tìm các số tự nhiên n cho 60 + 2n – n² là số chính phương 3 xy 7x 5x 7xy b Giải hệ phương trình c Giải phương trình x² + 4x + = (x + 4) x Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x² – x + m = Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có hai phân biệt x1, x2 cho x1 < x2 < Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB Gọi H là điểm nằm A và O, từ H vẽ dây CD vuông góc với AB Hai đường thẳng BC và DA cắt M Gọi N là hình chiếu vuông góc M lên đường thẳng AB a Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp đường tròn b Chứng minh NC là tiếp tuyến đường tròn (O) c Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng NC E Chứng minh đường EB qua trung điểm đoạn thẳng CH Câu (2,0 điểm) a Cho hai số thực a, b thỏa mãn a + b – ab = –1 và a² + b² = 13 Tính giá trị biểu thức P = |a³ – b³| b Cho đa thức f(x) thỏa mãn f(x² – 1) = x4 – 3x² + với số thực x Tìm f(x² + 1) c Cho các số thực a, b, c, d cho ≤ a, b, c, d ≤ và a + b + c + d = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a² + b² + c² + d² d Tam giác ABC vuông A có AB = cm, AC = cm Các đường phân giác và phân giác ngoài góc B cắt đường thẳng AC M và N Tính diện tích tam giác BMN (24) ĐÁP SỐ Câu (3,0 điểm) a n = 6; b (1/2; 1), (1/2; –1) Câu (2,0 điểm) –2 < m < 1/4 Câu (3,0 điểm) Câu (2,0 điểm) a P = 19 d 45 cm² c x = ±3 (25) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x² có đồ thị (P); hàm số y = 3x – có đồ thị (d) a Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ b Tìm tọa độ giao điểm d và (P) phép toán Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x² – 2(m + 3)x + 2m + = 0, với m là tham số a Giải phương trình đã cho m = b Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó Câu (1,0 điểm) 3x y 1 Giải hệ phương trình x y 7 Câu (2,0 điểm) Cho khu vườn hình chữ nhật có chu vi 140 m, ba lần chiều rộng chiều dài là 10 m Tính diện tích khu vườn Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là giao điểm hai đường cao BD và CE tam giác ABC (D thuộc AC, E thuộc AB) a Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, J, I thẳng hàng c Chứng minh AI vuông góc với ED (26) ĐÁP SỐ Câu a góc BEC = góc BDC = 90° Suy BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC b IB vuông góc AB; CE vuông góc AB Suy IB // CH IC vuông góc AC; BD vuông góc AC Suy BH // IC Như tứ giác BHCI là hình bình hành J trung điểm BC → J trung điểm IH Vậy H, J, I thẳng hàng c góc ACB = góc AIB = (1/2) sđ cung AB góc ACB = góc DEA cùng bù với góc DEB tứ giác nội tiếp BCDE góc BAI + góc AIB = 90° vì ΔABI vuông B Suy góc BAI + góc AED = 90° Suy đpcm (27) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (3,0 điểm) a Giải phương trình 2x² = 5x – 180 20 36 b Rút gọn biểu thức A = c Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = –3 Câu (2,0 điểm) Cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình là y = x² và y = –2x – a Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ b Tìm tọa độ giao điểm (d) và (P) phép toán Câu (2,0 điểm) Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km Cùng lúc, xe máy khởi hành từ Quy Nhơn Bồng Sơn và xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn Quy Nhơn Sau hai xe gặp nhau, xe máy 30 phút đến Bồng Sơn Biết vận tốc hai xe không thay đổi trên suốt quãng đường và vận tốc xe máy kém vận tốc xe ô tô là 20 km/h Tính vận tốc xe Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C là trung điểm OA, qua C kẻ dây MN vuông góc với OA C Gọi K là điểm trên cung nhỏ BM, H là giao điểm AK và MN a Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp b Chứng minh AK.AH = R² c Trên KN lấy điểm I cho KI = KM, chứng minh NI = KB (28) ĐÁP SỐ Câu Vậy vận tốc xe máy là 40 km/h Vận tốc ô tô là 60 km/h Câu a Ta có góc AKB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay góc HKB = 90°; góc HCB = 90° (gt) Tứ giác BCHK có góc HKB + góc HCB = 180° → tứ giác BCHK nội tiếp b Có ΔACH đồng dạng với ΔAKB → AC/AK = AH/AB → AK.AH = AC.AB = R² c ΔOAM có OA = OM = R suy ΔOAM cân O (1) ΔOAM có MC là đường cao đồng thời là đường trung tuyến → ΔOAM cân M (2) Từ (1) và (2) → ΔOAM là tam giác → góc MOA = 60° → góc MON = 120° → góc MKI = 60° ΔKMI là tam giác cân có góc MKI = 60° nên là tam giác → MI = MK (3) Dễ thấy ΔBMK cân B có góc MBN = (1/2) góc MON = 60° nên là tam giác → MN = MB (4) Gọi E là giao điểm AK và MI Dễ thấy góc NKB = góc NMB = MIK = 60° → góc NKB = góc MIK nên KB // MI mặt khác AK vuông góc KB (cmt) nên AK vuông góc MI E Suy góc A2 = A1 Ta có góc HAC = 90° – góc AHC, góc HME = 90° – góc MHE, góc AHC = góc MHE Suy góc HAC = góc HME mặt khác góc HAC = góc KMB → góc HME = góc KMB hay góc NMI = góc KMB (5) Từ (3), (4), (5) → ΔIMN = ΔKMB Vậy NI = KB (29) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu Cho phương trình x² – 2(m – 1)x + m² – 2m = a Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với số thực m a Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m 3x 2y 1 Câu Giải hệ phương trình 4x 5y 6 Câu Một thuyền máy từ A đến B cách 48 km trên sông có dòng nước chảy với tốc độ km/h Sau đó thuyền từ B A Tổng thời gian và là Tính vận tốc thuyền máy nước yên tĩnh Câu Cho hàm số y = x²/2 có đồ thị (P) và y = x + có đồ thị là (d) a Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ b Tìm tọa độ giao điểm (d) và (P) phép toán Câu Một đất hình chữ nhật có chu vi 198 m, diện tích 2430 m² Tính chiều dài và chiều rộng đất Câu Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E thuộc cạnh BC, với E không trùng B và E không trùng C Vẽ EF vuông góc với AE, với F thuộc CD Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC G Vẽ đường thẳng a qua A và vuông góc với AE, đường thẳng a cắt đường thẳng DE điểm H a Chứng minh AE.DE = CD.AF b Chứng minh tứ giác AEGH là tứ giác nội tiếp c Gọi b là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE E, biết b cắt đường trung trực đoạn thẳng EG điểm K Chứng minh KG là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE (30) ĐÁP SỐ Câu Chiều dài đất hình chữ nhật là 54 (m); chiều rộng đất hình chữ nhật là 99 – 54 = 45 (m) Câu a Chứng minh tứ giác AEFD nội tiếp suy góc A1 = góc D1 Nên ΔAEF đồng dạng với ΔDCE Suy AE/DC = AF/DE Vậy đpcm b Ta có: góc A2 phụ với góc A1 Ta có E1 phụ với góc D1 Mà góc A1 = góc D1 Suy góc A2 = góc E1 Suy tứ giác AEFD nội tiếp đường tròn đường kính HE Gọi I trung điểm HE → I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFD là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAHE Suy I thuộc đường trung trực EG nên IE = IG Vì K nằm trên đường trung trực EG suy KE = KG Suy ΔIEK = ΔIGK (c – c – c) Nên góc IGK = góc IEK = 90° Suy KG vuông góc IG G Vậy KG là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ΔAHE (31) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2,0 điểm) a Giải phương trình 2x² – 15x + = b Tìm a cho đồ thị hàm số y = ax – qua M(1; 5) Câu (2,0 điểm) a a 2 ( )( 1) a2 a Rút gọn biểu thức A = a a a với a > 0, a ≠ x 3y 1 b Giải hệ phương trình x y 5 Câu (1,5 điểm) Cho phương trình x² + mx + m – = (1), m là tham số a Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với giá trị m b Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình đã cho, tìm hệ thức hai nghiệm x1, x2 độc lập với m Câu (1,5 điểm) Một ô tô tải từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 30 phút thì ôtô taxi xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đến B cùng lúc với xe ô tô tải Tính độ dài quãng đường AB Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A cho OA = 3R Qua A kẻ tiếp tuyến AP và AQ đường tròn (O), với P và Q là tiếp điểm Lấy M thuộc đường tròn (O) cho PM song song với AQ Gọi N là giao điểm thứ đường thẳng AM và đường tròn (O) Tia PN cắt đường thẳng AQ K a Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp b Chứng minh KA² = KN.KP c Kẻ đường kính QS đường tròn (O) Chứng minh tia NS là tia phân giác góc PNM d Gọi G là giao điểm đường thẳng AO và PK Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R (32) ĐÁP SỐ Câu AB = 300 km Câu a Xét tứ giác APOQ có góc APO = 90°; góc AQO = 90° Suy góc APO + góc AQO = 180°, nên tứ giác APOQ nội tiếp b Chứng minh ΔAKN và ΔPKA đồng dạng → AK/PK = NK/AK → AK² = NK.KP (đpcm) c Kẻ đường kính QS đường tròn (O) Ta có AQ vuông góc QS Mà PM//AQ (gt) nên PM vuông góc QS nên QS qua điểm chính cung PM nhỏ sđ cung PS = sđ cung SM nên góc PNS = góc SNM (hai góc nội tiếp chắn cung nhau) Hay NS là tia phân giác góc PNM d Chứng minh ΔAQO vuông Q, có QG vuông góc AO Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có OQ² = OI.OA → OI = OQ²/OA = R/3 → AI = OA – OI = 8R/3 Do ΔKNQ đồng dạng ΔKQP suy KQ² = KN.KP mà AK² = NK.KP nên AK = KQ ΔAPQ có các trung tuyến AI và PK cắt G nên G là trọng tâm → AG = 2AI/3 = 16R/9 (33) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình a (x² + 4) x – 8x³ – 2x = x 2xy 4x 7y 0 2y y 2x 1 0 b Câu (2,0 điểm) a Cho các số thực a, b, c thỏa mãn (a + b + c)³ = (a + b – c)³ + (b + c – a)³ + (c + a – b)³ Tính giá trị biểu thức P = abc b Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y, x² + y² và x4 + y4 là các số nguyên Chứng minh x³ + y³ là số nguyên Câu (2,0 điểm) a bc b ca c2 ab 2 2 2 c 2a 2b ≥ a Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có a 2b 2c b 2c 2a b Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn 5x – y4 = Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Gọi AD, BE, CF là ba đường cao tam giác ABC Tia AH cắt (O) điểm thứ hai M Lấy K, L trên cạnh AB, AC cho HK//DE và HL//DF a Chứng minh tứ giác BLKC nội tiếp đường tròn b Gọi P là giao điểm thứ hai tia BE và đường tròn (O) Chứng minh ba điểm L, K, P thẳng hàng c Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng LK T Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với LK cắt AT S Chứng minh HS vuông góc với HT Câu (1,0 điểm) a Tìm tất các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn x² + y và y² + x chia hết cho x² + y² b Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x² + y² = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + y/x + x/y (34) ĐÁP SỐ Câu (2,0 điểm) a x = b S = {(1; –1), (7/2; –3/2)} Câu (2,0 điểm) a Đặt x = b + c – a; y = c + a – b; z = a + b – c → (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ <=> (y + z)[(x + y + z)² + x(x + y + z) + x²] = (y + z)(y² – yz + z²) <=> (y + z)[(y + z)² + 3x(x + y + z) – y² + yz – z²] = <=> (y + z)[(y + z)² – (y + z)² + 3x(x + y + z) + 3yz] = <=> 3(y + z)(x + z)(x + y) = <=> x + y = y + z = z + x = <=> c = b = a = Vậy P = abc = b Chứng minh xy là số nguyên → đpcm Câu (2,0 điểm) a Gợi ý: a² – bc ≥ a² – b²/2 – c²/2 b x = y = Gợi ý: y4 + = (y² – 2y + 2)(y² + 2y + 2) Chứng minh y² – 2y + và y² + 2y + nguyên tố cùng Câu (3,0 điểm) Câu (1,0 điểm) a x = y = (35)