Về các dãy hồi quy tuyến tính.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Hoàng Thanh Nghị VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒNG THANH NGHỊ VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH Chun ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOỐÁNN HHỌỌCC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Hà Huy Khối THÁI NGUN - 2008 ờ ó ý tết ồ q tế tí ột tr ữ ớ ứ trề tố ủ số ọ ề số q trọ ợ ị ĩ q ồ q ổ tế t tr số số số số s ù ó ị sử t trể ờ số s ứự ề tí t tú ị ợ ết ế ột trữ ề t trọ t ủ ý tết số ệ ớ tệ ề ý tết ồ q tế tíó ột số tí t ổ ể ủ số ũ ột sốtí t ợ t ệ rt ủ số số ụ ủ s ý tết ồ ể ớ tệ ệ tít ề ý tết ồ ồ tế tí ị ý é é số tố ụ ụ ứ s q ệ ồ q r ệ ề q ệồ q trì tr ủ q ệ ồ q tế tí ệ số rồ từ ó r ệ tổ qt trờ ợ trì tr ó ệ ộ ó ệ ộ r tr ũ trì ệ số ột số tí t ổ ể ủ số ột số tí t số ọ ủ số s trì ộtsố ết q ủ s ụ tể ị ý ề sự tồ t sốí tr s sự tr ủ số s tố í ợ t ớ sự ớ t tì ủ ờ t ớ q s ớ ọ ị t tỏ ò ết s s tớ tr trọ ọ ọ t tr ị ế tứ tề ệ t tr tờ ọ t t rt ết rờ tế ỹ tt ệ ồệ t ề ệ t ợ t tự ệ ế ọ t ủì ờ t ổ ũ ộ t tr q trì ý tết ồ ệ ị ĩ sử a b số ó r a ồ ớ b m ế m|(a b) a ồ ớ b m t ếta b(modm).ế a ồ b m t ếta b(modm). ệ ề ế a b số tì a b(modm) ỉ tồ t số k s a = b + km.ứ sử a b(modm) ó m|(a b) tứ a b = km ớsố k ó ợ ế tồ t số k s a = b + kmtì m|(a b) tứ a b(modm). ệ ề sử m ột số ệ ồ m t tí t s í t ế a ột số tìa a(modm). í t ố ứ sử a b số ó ếa b(modm) tì b a(modm). í t sử a b c số ó ếa b(modm) b c(modm) tì a c(modm)ứ ó a a(modm) ì m|(a a) sử a b(modm) tứ m|(a b) ó m|(b a) b a(modm) ế a b(modm) b c(modm) tì m|(a b) m|(b c) óm|(a c) ì (a c) = (a b) + (b c)ờ tí t tr ớ ỗ số m t ó tể tợ số t ớ ồ m số ùtộ ột ớ ồ m ỉ ú ồ ớ m ị ĩ ột ệ t ủ m ột t ợ số s ỗ số tỳ ý ề ồ m ớ úột số ủ t ợí ụ ợ số 0, 1, ., m1 ột ệ t ủ m ệ ọ ệ t é t m sử m ột số ó t ợ số m 12,m 32, ., 0, 1, .,m 32,m 12 ệ t ủ ợ ọ ệ t tệt ố é t m ị ý sử a, b, c m số m > 0 a b(modm) ó a + c b + c(modm), a c b c(modm), ac bc(modm).ứ ì a b(modm) m|(a b) (a + c) (b + c) = a b m|[(a + c) (b a)] ợ ứ tự ợ s r từ ỗ (a c) (b c) = a b ể ứ t ú ý r ac bc = c(a b) từ m|(a b) sr m|c(a b) tứ ac bc(modm). ó tể é ế ủ ù ột ồ ột số 2002 4(mod6)20022= 1001 = 2(mod6). ị ý sử a, b, c m số m > 0 ac bc(modm) d = (c, m) ó t óa b(modmd).ứ sử ac bc(modm) ó m|(ac bc) = c(a b) ótồ t số k s c(a b) = km ế d t ợcd(a b) = kmd.ìcd,md= 1 từ ó s rmd|(a b) tứ a b(modmd).í ụ 2002 2(mod5) (2, 5) = 1 t ó1001 1(mod5).ị ý s ệ q ủ ị ý ị ý ế a, b, c m số s m > 0 (c, m) = 1 ac bc(modm) ó a b(modm).ị ý ó tể ở rộ t ị ý s t t ró tể ột số é tí số ọ ố ớ ớ ồ ố ớ số ị ý ế a, b, c, d m số m > 0 a b(modm)c d(modm) ó a + c b + d(modm), a c b d(modm), ac bd(modm).ứ ì a b(modm) c d(modm) m|(a b), m|(c d). ó tồ t số k l s km = a b, lm = c dể ứ t ét r (a+c)(b+d) = km+lm = (k+l)m. ó m|[(a + c) (b + d)] tứ a + c b + d(modm)ể ứ t ú ý r (a c) (b d) = (a b) (c d) =kmlm = (kl)m ó m|[(ac)(bd)] tứ ac bd(modm).ể ứ t t acbd = acbc+bcbd = c(ab)+b(cd) =ckm + blm tứ m|(ac bd) ó ac bd(modm). ị ý sử r1, r2, ., rm ệ ủ t m a số (a, m) = 1 óar1+ b, ar2+ b, ., arm+ bũ ột ệ t ủ mứ rớ t t ỉ r r tr số ar1+ b, ar2+ b, ., arm+ b ó số ồ m t ếarj+ b ark+ b(modm)tìarj ark(modm). (a, m) = 1 t ị ý t órj rk(modm). ì rj rk(modm) ế j = k t s r j = k t ợ số tr ồ m số ồ m số ó t ệ t ủ mị ý s t r ồ ợ t ế ế ợ ù ột ỹ từ ị ý sử a, b, k, m số ồ tờ k > 0,m > 0, a b(modm) óak bk(modm).ứ a b(modm) t ó m|(a b) ìak bk= (a b)(ak1+ ak2b + . + abk2+ bk1) (a b)|(ak bk) m|(ak bk) tứ ak bk(modm)r trờ ợ số a, b ồ ề số t ó tể ết ợ t ị ý s ị ý sử a b(modm1), a b(modm2), ., a b(modmk),tr ó a, b, m1, ., mk số m1, m2, ., mk> 0. óa b(mod[m1 .mk])tr ó [m1 .mk] ộ ỏ t ủ m1, ., mkứ ì a b(modm1), a b(modm2), ., a b(modmk), tó m1|(a b), m2|(a b), ., mk|(a b) ừ ó s r r[m1, m2, ., mk]|(a b),tứ a b(mod[m1 .mk]). ệ q sử a b(modm1), a b(modm2), ., a b(modmk),tr ó a, b m1, m2, ., mk số tố ù từ óa b(modm1 .mk).ứ m1, m2, ., mk số tố ù từ t ó[m1m2 .mk] = m1m2 .mk. ó ệ q ợ s trự tế từ ị ý ồ tế tíột ồ ax b(modm),tr ó x ột số ết ợ ọ ồ tế tí ộtế sẽ t r ệ ứ ồ t ttự ệ ứ trì ệ ếrớ t t ét r ế x = x0 ột ệ ủ ồ ax b(modm) ế x1 x0(modm) tì ax1 ax0 b(modm) x1ũ ột ệ ế ột tử ủ ột ớ ồ m ó ột ệ tì ọ tử ủ ớ ó ũ ệ ìtế ó tể t ỏ tr m ớ ồ ó ớ ệ ột t ó ệ ồ m ị ý sử a, b, m số m > 0 (a, m) = d ếd |b tì ồ ax b(modm) ệ ế d|b tì ax b(modm) óú d ệ ồ mứ ố x ệ ủ ồ ax b(modm) ế ỉ ế tồ t số y s ax my = b ì d = (a, m) d|b ế d |b tì ồ ét tồ t ệ [...]... 16 Chương 2 Các quan hệ hồi quy 2.1 Quan hệ hồi quy tổng quát 2.1.1 Định nghĩa giá trị Quan hệ hồi quy bậc k là một công thức cho phép tính f (n + k) qua các giá trị f (n), f (n + 1), , f (n + k 1) Ví dụ: f (n + 2) = n2 f (n + 1) f (n) + f (n 1) là quan hệ hồi quy bậc ba, f (n + 1) = f (n) + f (n 1) là quan hệ hồi quy bậc hai 2.1.2 Chú ý (1) Đối với quan hệ hồi quy bậc k , nếu cho các giá trị f... trị của a, b Hồi quy tuyến tính hệ số hằng 2.2.1 Định nghĩa Quan hệ hồi quy tuyến tính bậc k với hệ số hằng là quan hệ có dạng f (n + k) = a1 f (n + k 1) + a2 f (n + k 2) + + ak f (n), trong đó a1 , a2 , , ak là các hằng số nào đó (không phụ thuộc n) Trước tiên ta xét trường hợp đơn giản: các quan hệ hồi quy tuyến tính với hệ số hằng f (n + 2) = a1 f (n + 1) + a2 f (n) 2.2.2 Bổ đề dãy Nếu (3) f1... phần tử sinh và độ xoắn tầm thường Các dãy nhân của P0 = (1, 1), U7 = 2 được tham số hoá bằng các phép P0 trên đường cong eliptic nói trên, tương ứng với (P, Q) = (1, 1), (1, 5), (2, 1), (5, 21), (1, 104), (21, 545), (52, 415), 33 Kết luận Luận văn đã trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản về lý thuyết đồng dư, các khái niệm và tính chất về các quan hệ hồi quy, dãy số Fibonacci Trong phần cuối,... các giá trị f (1), , f (k) thì các giá trị còn lại hoàn toàn được xác định Chẳng hạn trong quan hệ (1), nếu ta cho f (1) = f (2) = 1 thì ta nhận được dãy số nổi tiếng gọi là các số Fibonacci 2.1.3 Định nghĩa Một dãy f (n) thỏa mãn một quan hệ hồi quy nào đó được gọi là một nghiệm của quan hệ đó Nếu quan hệ hồi quy bậc k thì k giá trị ban đầu của dãy có thể lấy tùy ý, các giá trị tiếp theo hoàn toàn... của quan hệ hồi quy, ta có thể sử dụng công thức ei = cos + isin Ví dụ: xét quan hệ hồi quy f (n + 2) = f (n + 1) f (n) Phương trình đặc trưng tương ứng là r2 r + 1 = 0 Phương trình này có các nghiệm phức 1i 3 1+i 3 , r2 = , r1 = 2 2 hay là r1 = ei 3 , r2 = ei 3 Như vậy, nghiệm (thực) tổng quát của quan hệ hồi quy đang xét là f (n) = C1 cos n n + C2 sin 3 3 22 2.3 Dãy Fibonacci Các số Fibonacci... rs+1 + + Ck rk 21 2.2.8 Ví dụ Xét quan hệ hồi quy f (n + 4) = 5f (n + 3) 6f (n + 2) 4f (n + 1) + 8f (n) Phương trình đặc trưng có dạng: r4 5r3 + 6r2 + 4r 8 = 0 Các nghiệm của phương trình là r1 = 2, r2 = 2, r3 = 2, r4 = 1 Nghiệm tổng quát của quan hệ hồi quy đang xét sẽ là f (n) = 2n1 (C1 + C2 n + C3 n2 ) + C4 (1)n1 2.2.9 Chú ý Trong các lý luận trên đây, các nghiệm của phương trình đặc trưng có... giá trị tiếp theo hoàn toàn được xác định Một nghiệm của quan hệ hồi quy bậc nó phụ thuộc k được gọi là nghiệm tổng quát nếu k hằng số tùy ý C1 , , Ck Ví dụ: Xét quan hệ hồi quy f (n + 2) = 5f (n + 1) 6f (n) 17 (2) Dễ dàng chứng minh được f (n) = C1 2n + C2 3n là nghiệm của quan hệ hồi quy đang xét (2) Nghiệm tùy ý được xác định qua các giá trị f (1), f (2) Chẳng hạn nếu đặt f (1) = a, f (2) = b ta... Fibonacci Các số Fibonacci là nghiệm của một quan hệ hồi quy đơn giản, nhưng có vai trò quan trọng trong toán học Ta sẽ nghiên cứu một số tính chất quan trọng của các số Fibonacci Trong toàn bộ mục này ta ký hiệu Fibonacci thứ F (n) là số n 2.3.1 Định nghĩa Số Fibonacci là số Fn định nghĩa bởi: F1 = F2 = 1; với n = 3, 4, các số Fn xác định bởi quan hệ hồi quy sau đây: Fn = Fn2 + Fn1 Phương trình đặc trưng... trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm bội 2.2.7 Nhận xét Đối với quan hệ hồi quy tuyến tính hệ số hằng cấp ta cũng có kết quả hoàn toàn tương tự Xét quan hệ hồi quy cấp k tùy ý, k dạng f (n + k) = a1 f (n + k 1) + + ak f (n) phương trình đặc trưng tương ứng: rk = a1 rk1 + + ak Nếu r1 , r2 , , rk là các nghiệm khác nhau của phương trình đặc trưng, thì nghiệm tổng quát sẽ là n1 n1 f (n)... Tương tự, n (modp) có nghĩa là 3.2 Ln = n + n + 1(modp) Về bình phương trong dãy Lucas 3.2.1 Định nghĩa định nghĩa: Cho P, Q là các số nguyên khác không Dãy Lucas được U0 = 0, U1 = 1, Un = P Un1 QUn2 (n 2) 31 3.2.2 Định lý Cho nhau sao cho nếu P và là các số nguyên khác không, nguyên tố cùng Q = 1 thì P = 1, 2 (nghĩa là P, Q xác định dãy Lucas không suy biến) thì với cặp Q n = 2, 3, , 7, Un (P, . HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Hoàng Thanh Nghị VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2008 ĐẠI. HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒNG THANH NGHỊ VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH Chun ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05