Một số tính chất số học của số Lucas
3.1 Đặc trưng của số giả nguyên tố Lucas không chính phương
phương
3.1.1 Định nghĩa. Số Lucas là sốLn định nghĩa bởi : 1/ L0 = 2, L1 = 1,
2/ Với n= 2,3, ... các số Ln xác định bởi quan hệ hồi quy sau
Ln = Ln−1 +Ln−2.
Phương trình đặc trưng tương ứng của quan hệ trên là
r2 −r−1 = 0.
Phương trình này có các nghiệm là:
r1 = 1 + √ 5 2 , r2 = 1−√5 2 .
Giống như dãy Fibonacci ta có công thức Binet
Ln = 1 +√ 5 2 n + 1−√5 2 n .
Theo định lý Fécma bé, với mọi số nguyên tố n ta luôn có: Ln ≡
1(modn) (1).
3.1.2 Định nghĩa. Nếu (1) thoả mãn với n là hợp số nào đó, thì n được gọi là số giả nguyên tố Lucas (viết là LPP).
ChoV là tập hợp các số LPP. Một số tính chất của số LPP đã được đề cập trong [8], [9]. Tất cả các số LPP là số lẻ (số nhỏ nhất là 705) và tất cả các số LPP đã biết là không chính phương, hoặc quadratfrei (q.f) . P.Filipponi đã chỉ ra 4438 số LPP nhỏ hơn232 (không có các phép phân tích thành nhân tử) và 1 trong 852 số LPP nhỏ hơn108 (có phép phân tích thành nhân tử), tất cả đều là số không chính phương ([10], [11]).
3.1.3 Định nghĩa. Cho số nguyênm > 1, chu kỳ của số Lucas (modm), được ký hiệu làk(m), là số nguyên dương nhỏ nhất e sao cho Lj+e ≡ Lj(modm)
với tất cả các số nguyên j.
3.1.4 Tính chất. k(m) = lcm(k(pe) : pe k m).
3.1.5 Tính chất. k(m) là chẵn với mọi m > 2; k(2) = 3, k(5) = 4.
Ta cần sử dụng hai Bổ đề sau (xem thêm trong [6]) để chứng minh Định lý 3.1.8
3.1.6 Bổ đề. k(m) là số nguyên dương nhỏ nhất e sao cho αe ≡ 1(modm), ở đây α = 1 2(1 + √ 5). 3.1.7 Bổ đề. Nếun là số lẻ và p là số nguyên tố khác 2 và 5, thì Ln ≡ 1(modp) nếu
(a) αn−1 ≡1(mod p) hoặc (b) αn+1 ≡ −1(mod p).
3.1.8 Định lý. Nếu n ∈ V, thì với tất cả số nguyên p|n
(a*) n≡ 1(mod k(p)) hoặc (b*) n≡ 1
2k(p)−1(modk(p)).
Chứng minh. Giả sử n ∈ V. Ta có Ln ≡ 1(modn) và vì vậy Ln ≡ 1(modp)
với tất cả số nguyên p|n.
Nếup 6= 5, áp dụng bổ đề 3.1.7 ta có: nếuαn−1 ≡ 1(modp), thìk(p)|n−1
raα2n+2 ≡ 1(modp). Theo bổ đề 3.1.6 thì k(p)|2n+ 2, nhưng k(p) 6 |n+ 1.
Vậy 2n+ 2 = (2s+ 1)k(p) với số nguyên s nào đó, hoặc
n= sk(p) + 1
2k(p)−1.
Suy ra
n ≡ 1
2k(p)−1(modk(p)).
Nếu 5|n, thì Ln ≡ 1(mod5) kéo theo n ≡ 1(mod4) có nghĩa là n ≡
1(modk(p). Định lý được chứng minh.
3.1.9 Định lý. n là số giả nguyên tố Lucas không chính phương khi và chỉ khi n là số lẻ, hợp số, không chính phương và với mọi p|n hoặc:
(a) n ≡ 1(mod k(p)
hoặc
(b) n ≡ 1
2k(p)−1(mod k(p)).
Chứng minh. Nếun là số giả nguyên tố Lucas không chính phương, thì nlà số lẻ, hợp số, không chính phương. Vậy theo định lý trên suy ra (a) và (b).
Ngược lại nếu n là số lẻ, hợp số, không chính phương và các điều kiện (a) và (b) thoả mãn, ta cần chỉ ra n là số giả nguyên tố Lucas không chính phương.
Nếu p|n và n ≡1(modk(p), thì Ln ≡ L1 ≡ 1(modp).
Nếup|nvàn ≡ 1
2k(p)−1(modk(p)) thìn+ 1 = 1
2rk(p) vơi số nguyênr
lẻ nào đó. Suy raα2n+2 ≡ αrk(p) ≡1(mod p)(theo bổ đề 3.1.6). Vậy αn+1 ≡ ±1(modp).Vìk(p) 6 |n+ 1,ta cóαn+1 6≡1(modp).Vậyαn+1 ≡ −1(modp), suy ra αn ≡ β(modp), ở đây β = 12(1−√5). Tương tự, βn ≡ α(modp) có nghĩa làLn = αn +βn ≡ α+β ≡ 1(modp).