Một số tính chất số học của số Lucas
3.2 Về bình phương trong dãy Lucas
3.2.1 Định nghĩa. Cho P, Q là các số nguyên khác không. Dãy Lucas được định nghĩa: U0 = 0, U1 = 1, Un = P Un−1 −QUn−2(n ≥2).
3.2.2 Định lý. Cho P và Q là các số nguyên khác không, nguyên tố cùng nhau sao cho nếuQ = 1 thìP 6= ±1,±2(nghĩa là P, Q xác định dãy Lucas không suy biến) thì với n = 2,3, ...,7, Un(P, Q) là bình phương với vô hạn cặp (P, Q).
Chứng minh. Với n = 2, ta có U2 = P U1 − QU0 = P. Vậy U2 là chính phương khi và chỉ khi P là số chính phương.
Với n = 3, ta có U3 = P U2 −QU1 = P2 −Q. Vậy U3 là chính phương khi và chỉ khi P2 −Qlà chính phương.
Với n = 4,ta có U4 = P U3−QU2 = P(P2−Q)−P Q = P(P2 −2Q).
Vậy U4 là chính phương khi và chỉ khi P(P2 −2Q) = α2. đặt P = δa2 thì
Q = 1 2(a
4 −δb2) (với ab lẻ), đặt P = 2δa2 thì Q = 2a4 − δb2, (với b lẻ). Vậy U4 là chính phương với vô hạn cặp (P, Q).
Vớin= 5ta cóU5 = P U4−QU3 = P(P(P2−2Q))−Q(P2−Q) =P4−
3P2Q+Q2.Vậy U5 là chính phương khi và chỉ khiP4−3P2Q+Q2 = α2.
đặt x = Q
P2 ta có
1−3x+ x2 = α2.
Tham số hoá bậc 2 cho ta
Q
P2 = (5λ
2 + 6λà+à2) 4λà ,
ở đây không mất đi tính tổng quát, (λ, à) = 1, λ > 0và à 6≡ 0(mod 5). Giả sử (λ, à) = (a2,±b2), ta được
(P, Q) = (2ab,5a4 + 6a2b2 +b4),
hoặc
(P, Q) = (2ab,−5a4 + 6a2b2 −b4)
nếu a và b là chẵn lẻ đối nhau, và
(P, Q) = (ab,1 4(5a 4 + 6a2b2 +b4), hoặc (P, Q) = (ab,1 4(−5a4 + 6a2b2 −b4)
nếu cả a vàb cùng lẻ.
Vậy U5 là chính phương với vô hạn cặp (P, Q).
Với n = 6 ta có
U6 = P U5 −QU4 = P(P2(P2 −2Q)−Q(P2 −Q))−QP(P2 −2Q) =
P((P2 −2Q)(P2 −Q)−Q(P2 −Q)) = P(P2 −Q)(P2 −3Q).
Vậy U6 là chính phương khi và chỉ khi
P(P2 −Q)(P2 −3Q) =α2.
điều này dẫn đến một trong bảy trường hợp:
P = a2, P2 −Q = b2 với −2a4 + 3b2 = α2 P = a2, P2 −Q = −2b2 với a4 + 3b2 = α2 P = −a2, P2 −Q = 2b2 với a4 −3b2 = α2 và P = 3a2, P2 −Q= δb2 với −6 δ a4 +b2 = α2, (δ = ±1,±2). Với n = 7 ta có U7 = P U6 −QU5 = P(P(P2 −Q)(P2 −3Q))−Q(P4 −3P2Q+Q2) = P6 −5P4Q+ 6P2Q2 −Q3.
Vậy U7 là chính phương khi và chỉ khi
P6 −5P4Q+ 6P2Q2 −Q3 = α2.
điều này tương đương
1 + 5x+ 6x2 +x3 = α2
với x = −Q P2 .
Đường cong eliptic này có hạng bằng 1, với phần tử sinh P0 = (−1,1), và độ xoắn tầm thường. Các dãy U7 = α2 được tham số hoá bằng các phép nhân của P0 trên đường cong eliptic nói trên, tương ứng với
Kết luận
Luận văn đã trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản về lý thuyết đồng dư, các khái niệm và tính chất về các quan hệ hồi quy, dãy số Fibonacci. Trong phần cuối, luận văn đã đưa ra được một số kết quả gần đây về các số chính phương trong dãy Lucas, đó là các định lý sau:
Cho P và Q là các số nguyên khác không, nguyên tố cùng nhau sao cho nếu Q = 1 thì P 6= ±1,±2 (nghĩa là P, Q xác định dãy Lucas không suy biến) thì vớin = 2,3, ...,7, Un(P, Q) là bình phương với vô hạn cặp (P, Q). và định lý:
nlà số giả nguyên tố Lucas không chính phương khi và chỉ khi nlà số lẻ, hợp số, không chính phương và với mọi p|nhoặc:
(a) n ≡ 1(mod k(p)
hoặc
(b) n ≡ 1