*MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN 2 Đây là dạng toán cơ bản và có tính tổng hợp cao Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa căn thức xác định, mẫu khác không… nếu bài toán chưa cho Bước [r]
(1)Chuyên đề : Rút gọn biểu thức A NỘI DUNG *Kiến thức lý thuyết cần chú ý: Những đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2 +2AB +B2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2 A2 –B2 = (A-B )(A+B) (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3 A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2) 2.Các công thức biến đổi thức: √ A có nghĩa A≥0 √ A 2=| A| √ AB=√ A √ B ( Với A ; B ) A √A = ( Với A ; B > ) B √B √ A B=¿ A∨√ B ( Với B ) A √ B = √ A B ( Với A ; B ) A √B = - √ A B ( Với A < ; B ) √ A = √ AB B |B| C C ( A B ) A B2 A B √ ( Với AB và B ) (víi A 0, A B ) A A √B = √B B ( Với B >0 ) C A B C( A B ) A B (víi A 0, B 0, A B ) 10 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung tử và mẫu phân thức (2) Các tính chất phân thức Sử dụng các tính chất này ta có thể nhân với biểu thức liên hợp tử ( mẫu) phân thức, giản ước cho số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức dạng rút gọn * Các dạng bài tập: - Rút gọn biểu thức số - Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết rút gọn đế: + Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến; + Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với số); + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức; + Tìm giá trị nguyên biểu thức ứng với các giá trị nguyên biến * DẠNG1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ: I.Các ví dụ: + Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau: a/ √ 20− √ 45+3 √ 18+ √ 72 b/ ( √ 28− √3+ √ ¿ √ 7+ √ 84 1 d/ 2 2 2 Giải: a/ √ 20− √ 45+3 √ 18+ √ 72 = 200 : ( √ 6+ √ ) − √ 120 c/ √ 22 5− √ 32 5+3 √ 32 2+ √ 62 = √ −3 √ 5+9 √ 2+6 √ = ( 2− ) √5+(9+ 6) √ 2=15 √ 2− √ b/ ( √ 28− √3+ √ 7) √7 + √ 84 = √ 22 √ −2 √ √ 7+ √ √ 7+ √ 22 21 = −2 √ 21+7+2 √ 21 = 14+7+ ( 2− ) √ 21=21 2 c/ ( √ 6+ √ ) − √ 120 = 6+2 √ 30+5 − √ 30 = 6+5+2 √ 30 −2 √ 30=11 (3) + 1 d / 2 2 1 4 1 200 : 10 : 2 2 12 64 54 2 2 Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau: a/ b/ A 5 B 4 6 C 5 2 2 3 c/ Giải: a/ A 5 5 5 5 b/ B 3 2 1 3 3 3 2 3 5 5 3 2 2 31 31 2 2 3 31 3 c/ 5 4 6 C 3 3 3 2 1 2 3 1 1 1 1 (4) 1 3 2 4 31 1 3 2 1 3 31 1 3 3 3 1 3 + Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau: 2 a/ 1 2 2 2 b/ c/ Giải: 2 2 9 3 a/ BĐVT ta có : 2 2 1 2 1 2 8 2 9 2 9 VP Vậy đẳng thức đã chứng minh b/ BĐVT ta có : 3 2 2 3 1 2 2 42 4 1 VP 2 Vậy đẳng thức đã chứng minh 2 c/ BĐVT ta có : 5 2 5 8 22 5 22 2 5 1 3 (5) 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 4 4 8 VP 5 Vậy đẳng thức đã chứng minh + Ví dụ 4: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ và 10 b/ 2003 2005 và 2004 c/ và Giải: a/ và 10 2 2 5 Ta có: 10 10 5 5 25 Và 5 24 Vì 24 < 25 => 24 25 => 24 25 < Hay b/ 2003 2005 Ta có: và 2 2004 2003 2005 10 2004 2003 2005 2003.2005 4008 2 Và 10 2004 1 2004 1 4008 4.2004 2.2004 2004 20042 20042 20042 2004 4008 20042 4008 2004 Vì c/ Ta có: Và 2003 2005 và 2 2004 2003 2005 2004 5 3 5 Vì 75 > 45 => 52.3 32.5 75 45 75 45 75 45 20042 (6) *MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN Nhận xét biểu thức Phán đoán phân tích nhanh để đưa hướng làm cho loại toán: + Vận dụng các phép biến đổi cách hợp lý và thành thạo A2 A + Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa các số có bậc hai đúng đưa đẳng thức + Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích + triệt để sử dụng các phép biến đổi thức như: Nhân chia hai thức bậc hai, đưa thừa số vào hay ngoài dấu căn, khử mẫu thức, trục thức mẫu… II Bài tập: Thực phép tính: a/ b/ c/ 12 75 27 : 15 252 2 700 1008 3 ; 448 ; 72 20 2 Rút gọn các biểu thức sau: 2 a/ b/ 1 ; 32 6 2; 2 2 2 : 2 c/ 3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ và 2 ; b/ c/ 21 và 14 13 5; và 11 2 B 1 4.Cho A 11 96 và Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy so sánh A và B Chứng minh các đẳng thức sau: (7) 2 2 2 3 a/ b/ c/ 2 20 33 ; 10 10 10 ; 1 9 1 2 99 100 *DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ I Các ví dụ: a 1 M : a a a với a >0 và a 1 a a * Ví dụ 1: Cho biểu thức a/ Rút gọn biểu thức M b/ So sánh giá trị M với Giải: Đkxđ: a >0 và a 1 a 1 M : a a a 1 a a a/ ¿( 1 a+1 + ): √ √ a ( √ a −1 ) √a − ( √ a −1 )2 ( √ a −1 ) ( 1+ √ a )( √ a− ) 1+ √ a √ a −1 ¿ = = ( ) a+1 ( ) ( ) √a √a √a − √ √ a √ a −1 √ a+1 √ a− =1− b/ Ta có M = , vì a > => √ a>0 √a √a => Vậy M < * Ví dụ 2: Cho biểu thức P= x−3 x+ −√ √ ( √ x − 1√ x −1 − √ x −1− ) ( 2 − x √ √ √ √ x −x ) a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa b/ Rút gọn biểu thức P c/ Tính giá trị P với x=3 −2 √ Giải: ¿ √ x >0 √ x −1 ≥ a/ Biểu thức P có nghĩa và chỉ : √ 2− √ x ≠0 √ x −1 − √ ≠0 ¿{{{ ¿ >0 √a nên 1− <1 √a (8) ⇔ x> x ≥1 x ≠2 x≠3 ⇔ ¿ x≥1 x ≠2 x≠3 ¿{{{ b/ Đkxđ : x ≥ 1; x ≠2 ; x ≠ P= x−3 x+ −√ √ ( √ x − 1√ x −1 − √ x −1− ) ( √ √2 − √ x √ x − x ) ( √ x+ √ x −1 ) ( x −3 ) ( √ x −1+ √ ) x+ − − √ √ ( √ x − √ x − )( √ x + √ x −1 ) ( √ x −1 − √ ) ( √ x −1+ √ ) √ − √ x √ x ( √ 2− √ x ) x + x − ( x −3 ) ( √ x − 1+ √ ) √ x − √ x − √ ¿ √ √ − x − ( x −1 ) ( x −1 ) −2 √ x ( √2 − √ x ) x+ x −1 ( x − ) ( √ x −1+ √ ) − ( √2 − √ x ) ¿ √ √ − x − x +1 x −3 √ x (√ −√ x) −1 ( √ x − √2 ) ( − ) √ − √ x ¿ ( √ x+ √ x − 1− √ x −1 − √ ) = = ¿ [ [ ][ ] ( ) √x √x √ 2− √ x c/ Thay x=3 −2 √ 2=( √ 2− )2 vào biểu thức P= , ta có: √x √ 2− √( √2 −1 ) √ −|√2 −1| √ 2− √ 2+ ¿ =√ 2+1 P= = = |√ 2−1| √2 −1 √2 −1 √( √2 −1 )2 * Nhận xét về phương pháp giải: Theo thứ tự thực các phép tính ta phải làm các phép tính từ dấu ngoặc trước Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ thì không Tại vậy? Bởi vì quy đồng mẫu thì tính toán phức tạp Ta đã trục thức mỗi mẫu, kết nhanh chóng * Ví dụ 3: Cho biểu thức A= 2x x+1 −11 x − − x +3 − x x −9 √x ] với x ≠ ± a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A < c/ Tìm x nguyên để A nguyên Giải: a/ Đkxđ: x ≠ ± (9) 2x x +1 −11 x x x +1 −11 x − − = + − x+ 3 − x x +3 x −3 ( x+3 )( x −3 ) x −9 2 x ( x −3 ) + ( x +1 ) ( x+3 ) − ( 3− 11 x ) x −6 x + x + x + x +3 −3+11 x = ( x+3 )( x −3 ) ( x+3 )( x −3 ) x ( x +3 ) x +9 x 3x = = x −3 ( x+3 )( x − ) ( x+3 )( x −3 ) x − ( x −3 ) 3x 3x <2 ⇔ −2<0 ⇔ <0 3x x −3 x −3 x − b/ Ta có A= x − , A < tức là x −2 x +6 x +6 ⇔ <0 ⇔ <0 (∗) x −3 x −3 ¿ x +6> Dễ thấy x + > x – vì Bất phương trình (*) có nghiệm x − 3<0 ¿{ ¿ ⇔− 6< x <3 Vậy với −6< x<3 thì A < 3x 9 c/ Ta có A= x − =3+ x −3 ∈ Ζ ⇔ x −3 ∈ Ζ ⇔ x −3 ∈U (9) Mà U (9)= { ±1 ; ±3 ; ± } nên ta có: A= x – = - <= > x = ( tm đkxđ ) x – = < => x = ( tm đkxđ ) x – = - <= > x = ( tm đkxđ ) x – = < = > x = ( tm đkxđ ) x – = - <=> x = - ( tm đkxđ ) x – = <= > x = 12 ( tm đkxđ ) Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên * Ví dụ 4: Cho biểu thức x+ √ x 1+ √ x − √ x B= − với x ≥ và x ≠ √ x − x+ √ x +1 1+√ x a/ Rút gọn B; b/ Tìm x để B = Giải: Đkxđ : x ≥ và x ≠ x+ √ x 1+ √ x − √ x a/ B= − √ x − x+ √ x +1 1+ √ x x+1 − √ x ( √ x −1 ) ( √ x +1 )( x − √ x +1 ) ¿ − √x ( √ x −1 ) ( x +√ x+1 ) √ x +1 x+1 − x + √ x ¿ ( −2 √ x+ x ) ( √ x − ) ( x +√ x+1 ) x+ √ x +1 ¿ ( √ x −1 ) = √ x − ( √ x −1 ) ( x + √ x +1 ) b/ Ta có B=√ x − và B = 3, tức là √ x −1=3 ⇔ √ x=4 ⇔ x=16 )( ( ( )( [ ) ) ] ( t/m đkxđ) (10) Vậy với x = 16 thì B = * Ví dụ 5: Cho biểu thức A= [( 1 1 √ x + y √ x+ x √ y+ √ y + + + : √ x √ y √ x +√ y x y √ x y+ √ xy ] ) với x > , y > a/ Rút gọn A; b/ Biết xy = 16 Tìm các giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó Giải: Đkxđ : x > , y > 3 1 1 √ x + y √ x+ x √ y+ √ y A= + + + : a/ √ x √ y √ x +√ y x y √ x y+ √ xy x+ y x + y ( √ x + √ y )( x − √ xy+ y ) + √ xy ( √ x+ √ y ) ¿ √ √ + : √ xy √ x + √ y xy √ xy ( √ x + √ y ) x + y ( √ x +√ y ) ( x + y ) ¿ + : √ xy xy √ xy ( x + y ) ( √ x + √ y ) √ xy √ x+ √ y ¿ = xy √ x+ √ y √ xy b/ Ta có ( √ √ x − √ √ y ) ≥0 ⇔ √ x + √ y − √√ xy ≥ ⇔ √ x+ √ y ≥ √√ xy √ x+ √ y ≥ √√ xy = √√ 16 =1 ( vì xy = 16 ) Do đó A= √ xy √ xy √16 x y x y 4 xy 16 Vậy A = [( ] ) ( ( ) ) *MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN (Đây là dạng toán và có tính tổng hợp cao) Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… bài toán chưa cho) Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi thức) + Áp dụng quy tắc đổi dấu cách hợp lý để làm xuất nhân tử chung + Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội ước mẫu khác không Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện đề bài để kết luận Bước 4: Làm các câu hỏi phụ theo yêu cầu bài toán + Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương trình (11) + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện bài toán để nhận nghiệm, loại nghiệm và kết luận II Bài tập: 1 x2 A : x x 3x 27 3x Bài1: Cho biểu thức 1) Rút gọn A 2) Tìm x để A < –1 x A = 2 x Bµi 2: Cho biÓu thøc a) Rót gän biÓu thøc A; b) Tìm giá trị x để A > - x B= x 2 Bµi 3: Cho biÓu thøc a) Rót gän biÓu thøc B; b) Tìm giá trị x để A > C= x x x x x x x Bµi 5: Rót gän biÓu thøc : D= x 2 x2 x x2 ; x x x x P = x x b) ; x 1 Q= : x x x x x x ; c) a) H= d) x 2 x 4 x 1 x x 2 1 10 x : x x 2 x 2 x x x 1 x x 1 Bµi 4: Cho biÓu thøc a) Rót gän biÓu thøc C; b) Tìm giá trị x để C < x x2 (12) x3 2x x P= Q= x vµ Bµi 7: Cho c¸c biÓu thøc x 2x x 2 a) Rót gän biÓu thøc P vµ Q; b) Tìm giá trị x để P = Q Bµi 8: Cho c¸c biÓu thøc B= 1− x −3 √ x : ( x −9 ) ( x +9√−xx− − √2 −x −√ 3x − √√xx−2 +3 ) a) Rót gän biÓu thøc B b) Tìm x để B > c) Với x > ; x , Tìm giá trị lớn biểu thức B( x + 1) 3x 9x 1 P = : x x x x x Bµi 9: Cho biÓu thøc a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P; b) Tìm các số tự nhiên x để P là số tự nhiên; c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = – x 2 x 3 P = x x x Bµi 10: Cho biÓu thøc : x 2 : 2 x x x a) Rót gän biÓu thøc P; b) Tìm x để P A 2x x 1 x 10 x x x x x x víi x Chøng minh Bµi 11: Cho r»ng gi¸ trÞ cña A kh«ng phô thuéc vµo biÕn sè x Bµi 12: Cho biÓu thøc M = √ a+1 + √ ab+ √ a −1 : √ a+1 − √ ab+ √ a +1 √ ab+1 √ ab− √ ab+ √ab − a) Rót gän M vµ b= √ −1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña M nÕu a= 2− √ 1+ √ c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M nÕu √ a+ √ b=4 ( )( ) (13) (14)