Để C m cắt d tại đúng hai điểm phân biệt thì phương trình 1 phải có đúng hai nghiệm phân biệt nghĩa là phương trình 2 phải có đúng một nghiệm dương.. Vậy để phương trình 2 có đúng một n[r]
(1)http://www.k2pi.net pi ne t ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TÀI LIỆU TOÁN THPT Môn: TOÁN NGÀY 29-12-2012 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x − (m + 1) x + 2m − có đồ thị (C m ), ; m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) m = b) Tìm tất các giá trị m để đường q thẳng d : y = −1 cắt đồ thị (C m ) đúng hai điểm phân biệt A, B , ¡ p ¢ cho tam giác I AB có diện tích 2 − với I (2; 3) Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: cos( x (cos 2x − 19) = −3 (8 + sin 2x) p− (1 + sin x) (7 ¡p− cos 2x) p ¢ 2y − 3x + y (x − 2) = x − − y − q ¡ ¢ ¡ ¢ p p y + y x y − x + = y + − 5x + Câu (1 điểm) Câu (1 điểm) Tính tích phân e Z I= (x, y ∈ R) x ln x + x ln2 x + 3(x + 1) dx x(x + ln x) .k2 b) Giải hệ phương trình: Cho hình chóp tứ giác S.ABC D Biết cạnh bên hợp với mặt đáy (ABC D) góc 60o và mặt p a Gọi E là điểm đối xứng D qua trung điểm S A , M là trung điểm AE , N là trung điểm BC Chứng minh M N vuông góc với B D Tính thể tích khối chóp S.ABC D và khoảng cách hai đường thẳng M N và AC theo a p Câu (1 điểm) Cho các số thực x, y, z thuộc khoảng (1; 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x y2 y z2 zx P= + + 4y z − z x 4z x − x y 4x y − y z ww w cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC D có bán kính PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox y cho tam giác ABC với A (3; 5), B (1; 2), C (6; 3) Gọi ∆ là đường thẳng qua A cắt BC cho tổng khoảng cách từ hai điểm B,C đến ∆ là lớn Hãy lập phương trình đường thẳng d qua điểm p E (−1; 1) đồng thời cắt hai đường thẳng ∆ và d : x − y + 14 = hai điểm H , K cho 3H K = I H 10 với I là giao điểm ∆ và d1 b) Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z cho hai điểm A (3; 0; 0) , M (−3; 2; 1) Gọi (α) ¡ ¢ là mặt phẳng chứa AM và cắt hai trục tọa độ O y,Oz hai điểm B,C đồng thời tạo với mặt phẳng β : x + 2y + 2z − = góc 20 x y z Lập phương trình đường thẳng ∆ đối xứng với đường thẳng d : = = qua mặt 21 −3 −2 phẳng (α) biết zC < Câu 7A (1 điểm) :// ϕ có giá trị cos ϕ = Cho số phức có phần thực âm thỏa điều kiệnµ z + 2z ¶ − 16i = 8z Hãy tính mô-đun số phức: ω = z2 + 1 −8 z + + 17 z2 z B Theo chương trình nâng cao htt p Câu 6B (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y cho cho đường tròn (C ) : x + y − 2x − 6y − = và hai điểm B (5; 3) , C (1; −1) Tìm tọa các đỉnh A, D hình bình hành ABC D biết A thuộc đường tròn (C ) và trực tâm H tam giác ABC thuộc đường thẳng d : x + 2y + = và hoành độ điểm H bé hơn b) Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z cho hai điểm A (1; 2; 3) , B (4; −1; 3) và đường tròn (C ) là đường tròn x y z −6 = = cắt đường tròn (C ) hai điểm −2 p M , N cho M N = Lập phương trình mặt cầu (S) , tìm tọa độ điểm C thuộc mặt cầu (S) và mặt phẳng (P ) : 2x + y + 3z − 22 = cho tam giác ABC cân C lớn nằm mặt cầu (S) có tâm I (1; −1; −2) và đường thẳng ∆ : x − 2x + m có đồ thị là (Hm ) Tìm m để tiếp tuyến điểm M có hoành độ x +1 −2 thuộc (Hm ) cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B cho tam giác I AB có I A = 4I B với I là giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị (Hm ) Câu 7B (1 điểm) Cho hàm số y = ———————————————–Hết—————————————————- (2) pi ne t TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN Câu Cho hàm số y = x − (m + 1) x + 2m − có đồ thị (C m ), ; m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) m = b) Tìm tất các giá trị m đểq đường thẳng d : y = −1 cắt đồ thị (C m ) đúng hai điểm phân biệt A, B , cho ¡ p ¢ tam giác I AB có diện tích 2 − với I (2; 3) a) Lời giải (hungchng): m = hàm số y = x − 6x + có tập xác định : D = R; · ¡ ¢ x =0 p Đạo hàm y = 4x x − , y = ⇐⇒ x =± p p Hàm số đồng biến trên (− 3; 0), (p 3; +∞) p; Hàm số nghịch biến trên (−∞; − 3), (0; 3) lim y = +∞; lim y = +∞; * Đồ thị * x→+∞ * Bảng biến thiên x p − −∞ y0 − + +∞ p 0 − +∞ + +∞ y −6 −6 ww w Điểm cực đại (0; 3) p, p Điểm cực tiểu (− 3; −6), ( 3; −6) .k2 x→−∞ b) Lời giải (Con phố quen): Phương trình hoành độ giao điểm (C m ) và d : x − 2(m + 1)x + 2m − = −1 ⇔ x − 2(m + 1)x + 2m = (1) Đặt t = x ≥ Khi đó phương trình (1) trở thành: t − 2(m + 1)t + 2m = (2) Để (C m ) cắt d đúng hai điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có đúng hai nghiệm phân biệt nghĩa là phương trình (2) phải có đúng nghiệm dương Mặt khác phương trình (2) có biệt số ∆0 = m + > , ∀m nên phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt Vậy để phương trình (2) có đúng nghiệm dương thì phương trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu Điều đó tương thích với điều kiện : ac < ⇔ m < p p Khi đó phương hai có hai nghiệm : t = m + 1¡− m + 1¢ < 0¡< t = m¢ + + m + p p p Từ đó tọa độ giao điểm A, B (C m ) và d là : A − t ; −1 , B t ; −1 ⇒ AB = t |3 + 1| = Ta có: Kẻ I H ⊥d ⇒ I H = d(I ,d ) = p p ¢ p ¡ S ∆I AB = I H · AB ⇔ 4AB = S ⇔ 16AB = S ⇔ 16t = 16 − 2 ⇔ m + = − 2 − m p p ¢ p ¡ p p ¡ ¡ ¢2 ¢ ⇒ m + = − 2 − m ⇔ − 2 m = 2 − ⇔ m = −2 p Đối chiếu điều kiện và kiểm tra lại ta thấy giá trị cần tìm bài toán là :m = −2 Câu 2.a :// Giải phương trình: cos x (cos 2x − 19) − (1 + sin x) (7 − cos 2x) = −3 (8 + sin 2x) Lời giải (thiencuong_96): P T ⇔ cos x(2 cos2 x − 20) + (1 + sin x)(cos 2x − 7) + 24 + sin 2x = htt p ⇔2 cos3 x − 20 cos x + cos 2x − + sin x(cos 2x − 7) + 24 + sin 2x = ⇔2 cos3 x + cos2 x − 20 cos x + 16 + sin x(2 cos2 x + cos x − 8) = ⇔2(cos x − 1)(cos x − 2)(cos x + 4) + sin x(cos x − 1)(cos x + 4) = Nên cos x = hay cos x = −4 (Loại) hay cos x + sin x = (Loại) Vậy x = k2π, k ∈ Z Lời giải (xuannambka): P T ⇔ cos x(cos 2x − 19) − (1 + sin x)(7 − cos 2x) + 3(8 + sin 2x) = ⇔ − sin x + sin 2x + cos 2x cos x − 19 cos x + cos 2x − cos 2x + sin x cos 2x + 17 = ⇔(cos 2x cos x + sin x cos 2x − cos 2x) + (−7 sin x − cos x + 14) + sin 2x + cos 2x + − 12 cos x = ⇔ cos 2x(cos x + sin x − 2) − 7(sin x + cos x − 2) + cos x(sin x + cos x − 2) = ⇔ − 2(1 − cos x)(sin x + cos x − 2)(cos x + 4) = ⇔ cos x = ⇔ x = k2π http://www.k2pi.net (3) Câu 2.b Giải hệ phương trình: Lời giải (giangmanh): ĐK: x ≥ 2; y ≥ 0; x y − x + ≥ p ¡p p ¢ 2y − 3x + y (x − 2) = x − − y − q ¡ ¢ ¡ ¢ p p y + y x y − x + = y + − 5x + (1) (x, y ∈ R) pi ne t ( (2) ³p ´ p (1) ⇔3 (x − 2) − y (x − 2) − 2y + x − + y = ³p ´ p ´³ p p ⇔ x −2− y x −2+2 y +4 = p p ⇔ x −2 = y ⇒ x −2 = y ⇒ x = y +2 Thay vào (2) ta có : p q ¡ ¢ Vậy x; y = (2; 0) Câu Tính tích phân e Z I= .k2 p y + y + 3y + 5y + 16 − 2y − = ! p q y p p =0 ⇔ y + y2 + y + − y + p 5y + 16 + à ! p y y2 + p ⇔ y 1+2p =0 p +p 5y + 16 + y2 + y + + y p ⇔ y =0⇒y =0⇒x =2 y +2 à x ln x + x ln2 x + 3(x + 1) dx x(x + ln x) Lời giải (dan_dhv): ¯e Z e x+1 Z e ¯ x ln x + x ln2 x x x ln x dx + ln(x + ln x)¯¯ dx + dx = x(x + ln x) 1 x + ln x 1 ( ¯ Z Z u = e ¯e e u = ln x x x ln x dx = x ln x ¯¯ − ta Đặt ⇒ x dx 2 v =x v = x 2¯ ¯e ¯e ¯ ¯ 1 2 ¯¯e e2 ¯ Khi đó I = x ln x ¯ − x ¯ + ln(x + ln x)¯¯ = + ln(e + 1) + 4 1 Câu Z e ww w Ta có: I = Cho hình chóp tứ giác S.ABC Dp Biết cạnh bên hợp với mặt đáy (ABC D) góc 60o và mặt cầu ngoại a Gọi E là điểm đối xứng D qua trung điểm S A , M là trung điểm AE , N là trung điểm BC Chứng minh M N vuông góc với B D Tính thể tích khối chóp S.ABC D và khoảng cách hai đường thẳng M N và AC theo a tiếp hình chóp S.ABC D có bán kính htt p :// Lời giải (thiencuong_96): Gọi P là trung điểm S A Do S.ABC D là hình chóp tứ giác nên các cạnh và đáy là hình vuông Gọi O là giao điểm hai điểm chéo Vậy SO ⊥ (ABC D) Trong mặt phẳng (S AO) dựng đường trung trực qua P cắt SO I Nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Và ta có góc cạnh bên và đáy là S AO = 60o ⇒ sin 60o = http://www.k2pi.net SO ⇒ S A = p SO SA 3 (4) p Cho các số thực x, y, z thuộc khoảng (1; 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= y z2 zx x y2 + + 4y z − z x 4z x − x y 4x y − y z .k2 Câu pi ne t p SP 6a SI SA SI S A2 6SI Mà có 4SP I v 4SO A ⇒ = ⇒ = ⇔ = SI ⇔ SO = = SO S A 2SO S A 2SO p p 6a a Thì S A = 2a, AO = p ⇒ AB = a Khi SO = 2 Chứng minh M N vuông AC Có M P k = C N (Do k = AD) Nên C N M P là hình bình hành, đó M N kC P nên M N k(S AC ) Mà B D vuông (S AC ) nên M pN vuông B D + VS.ABC D = SO.S ABC D = a (đvtt) + Còn khoảng cách (M N ; AC ) Vì có M N kC P nên M N k(S AC ) ⇒ d (M N ; AC ) = d (N ; (S ACp)) Có B N ∩ (S AC ) = C d (B ; (S AC )) 2a d (B ; (S AC )) BO ⇒ = ⇒ d (N ; (S AC )) = = = d (N ; (S AC )) 2 ww w Lời giải (ledinhmanqb): Phân tích: P có dạng hoán vị vòng quanh biến P lại có dạng nên dễ khiến người ta nảy ý tưởng đặt x = az, y = bz chẳng hạn Còn cái điều kiện có thể đẩy ý tưởng người làm có nên dồn biến xét hàm Nhưng dồn biến nào bây giờ? Thật khó xử Muốn dùng Cauchy-Schwarz sợ cái mẫu nó có dương hay không? Vậy, cái điều kiện giả thiết có mục đích gì đây? Chả cần biết dấu đẳng thứcptại giá trị nào biến Chỉ biết đó x = y = z là đủ và P = Bài giải: Với điều kiện x, y, z ∈ (1; 2) ta có các biểu thức 4y z − z x > 0, 4z x − x y > 0, 4x y − y z > Do đó, theo Cauchy-Schwarz ta có P≥ (x y + y z + zx)2 ¡X 2 ¢ 4x y z(x + y + z) − x y Mặt khác, ta có hai BĐT quen thuộc sau đây (khi thi nhớ CM lại nhé): a2 + b2 + c ≥ (a + b + c)2 ≥ ab + bc + c a với a, b, c > Bằng cách đặt a = x y, b = y z, c = zx ta được: 3x y z(x + y + z) ≤ (x y + y z + zx)2 x y + y z + z x ≥ (x y + y z + zx) Từ đó suy (x y + y z + zx)2 (x y + y z + zx)2 (x y + y z + zx)2 − 3 = :// P≥ p Vậy, P = ⇐⇒ x = y = z ∈ (1; 2) Câu 6A.a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox y cho tam giác ABC với A (3; 5), B (1; 2), C (6; 3) Gọi ∆ là đường thẳng qua A cắt BC cho tổng khoảng cách từ hai điểm B,C đến ∆ là lớn Hãy lập phương trình đường thẳng d quapđiểm E (−1; 1) đồng thời cắt hai đường thẳng ∆ và d1 : x − y + 14 = hai điểm H , K cho 3H K = I H 10 với I là giao điểm ∆ và d1 htt p Lời giải (Con phố quen):: Bằng phương pháp dựng hình cộng hưởng với việc tham số hóa đưa giải tích −→ −→ −→ −→ Ta có : B A = (2; 3), BC = (5; 1) ⇒ B A · BC = · + · = 13 > Do đó : cos B > ⇒ Bb nhọn −−→ −→ −−→ −→ Có : C A = (−3; 2), C B = (−5; −1) ⇒ C A · C B = 15 − = 13 > Do đó : cosC > ⇒ Cb nhọn Kẻ B P ⊥∆, CQ⊥∆ Khi đó ta có : d(B,∆) = B P, d(C ,∆) = CQ Gọi D là giao điểm ∆ và BC đó ta có : B P +CQ ≤ B D + DC = BC Do đó : max(B P +CQ) = BC Dấu đẳng thức xảy ∆⊥BC −→ − Vậy ∆ là đường thẳng qua A và ⊥BC nên có → n ∆ = BC = (5; 1) Do đó phương trình đường thẳng ∆ là : 5(x − 3) + 1(y − 5) = ⇔ 5x + y − 20 = Vì I là giao điểm ∆ và d1 nên tọa ( độ điểm I là nghiệm(của hệ phương trình : 5x + y − 20 = x − y + 14 = ⇔ x =1 y = 15 Vậy I (1; 15) http://www.k2pi.net (5) p −−→ −−→ pi ne t Xét điểm M (4; 0) ∈ ∆,p N (a, a + 14) ∈ d1 thỏa 3M N = I M 10 Ta có : M N = (a − 4, a + 14), I M = (3; −15) Nên từ : 3M N = I M 10 · £ ¤ ⇔ · (a − 4)2 + (a + 14)2 = 10 · 234 ⇔ 18a + 180a − 432 = ⇔ p a =2 a = −12 MN HK = ⇒ HK ∥ MN IH IM −−→ − Do đó đường thẳng d cần tìm qua E và song song với M N Nên : → a d = M N = (4 − a; −a − 14) x +1 y −1 −−→ Trường hợp : a = ⇒ M N = (2; −16) Lúc đó phương trình d : = ⇔ 8x + y + = −16 x +1 y −1 −−→ Trường hợp : a = −12 ⇒ M N = (16; −2) Lúc đó phương trình d : = ⇔ x + 8y − = 16 −2 :// ww w .k2 Mặt khác từ giả thiết ta có : 3H K = I H 10 nên ta có : htt p Lời giải (Con phố quen):: Sử dụng dựng hình và đại số hóa bài toán dạng tọa độ các giao điểm −→ −→ −→ −→ Ta có : B A = (2; 3), BC = (5; 1) ⇒ B A · BC = · + · = 13 > Do đó : cos B > ⇒ Bb nhọn −−→ −→ −−→ −→ Có : C A = (−3; 2), C B = (−5; −1) ⇒ C A · C B = 15 − = 13 > Do đó : cosC > ⇒ Cb nhọn Kẻ B P ⊥∆, CQ⊥∆ Khi đó ta có : d(B,∆) = B P, d(C ,∆) = CQ Gọi D là giao điểm ∆ và BC đó ta có : B P +CQ ≤ B D + DC = BC Do đó : max(B P +CQ) = BC Dấu đẳng thức xảy ∆⊥BC −→ − Vậy ∆ là đường thẳng qua A và ⊥BC nên có → n ∆ = BC = (5; 1) Do đó phương trình đường thẳng ∆ là : 5(x − 3) + 1(y − 5) = ⇔ 5x + y − 20 = Vì I là giao điểm ∆ và d1 nên tọa ( độ điểm I là nghiệm(của hệ phương trình : 5x + y − 20 = x =1 Vậy I (1; 15) y = 15 − Gọi d là đường thẳng qua E và có véc tơ pháp tuyến là → n = (a, b) Khi đó phương trình đường thẳng : d : a(x − 1) + b(y − 15) = (a + b 6= 0) Vì H là giao điểm d và ∆ nên tọa độ điểmH là nghiệm hệ phương trình : ( x = 19b + a µ ¶ a(x − 1) + b(y − 15) = 19b + a 5(5a − b) 5b − a (a = 5b) Vậy H ; ⇔ 5b − a a − 5b 5x + y − 20 = y = 5(5a − b) a − 5b http://www.k2pi.net x − y + 14 = ⇔ (6) −13b − a x = b+a ⇔ x − y + 14 = y = 13b + a) a +b p Từ điều kiện bài toán : 3H K = I H 10 ⇔ 9H K = 10I H ( a(x − 1) + b(y − 15) = pi ne t Lại có K là giao điểm d và d1 nên tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình : µ (a 6= −b) Vậy K ¶ −13b − a 13b + a) ; b+a a +b a = −7b 1296 · (a + 7b)2 · (a + b ) 1040 · (a + 7b)2 b = 8a = ⇔ (a + 7b) (8a − b)(a − 8b) = ⇔ ⇔ (a − 5b)2 · (a + b)2 (a − 5b)2 a = 8b Trường hợp 1: a = −7b chọn a = 7, b = −1 ⇒ d : 7x − y − = (loại vì d , d1 , ∆ đồng quy I ) Trường hợp : a = 8b chọn a = 8, b = ⇒ d : 8x + y + = Trường hợp : b = 8a chọn a = 1, b = ⇒ d : x + 8y − = Tóm lại ta có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán : 8x + y + = x + 8y − = Câu 6A.b Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z cho hai điểm A (3; 0; 0) , M (−3; 2; 1) ¡.Gọi ¢ (α) là mặt phẳng chứa AM và cắt hai trục tọa độ O y,Oz hai điểm B,C đồng thời tạo với mặt phẳng β : x + 2y + 2z − = góc ϕ (α) biết zC < 20 x y z Lập phương trình đường thẳng ∆ đối xứng với đường thẳng d : = = qua mặt phẳng 21 −3 −2 .k2 có giá trị cos ϕ = Lời giải (giangmanh): −−→ Gọi − n→ α = (a; b; c) là VTPT (α) Ta có AM = (−6; 2; 1) −−→ − → Do A, M ∈ (α) nên AM vuông góc với n α nên −6a + 2b + c = ⇒ c = 6a − 2b 20 21 · |a + 2b + 2c| |a + 2b + (6a − 2b)| 20 20 53a = 22b = ⇒ p ⇒p ⇒ 6159a − 7052ab + 1804b = ⇒ = 3a = 2b 2 a + b + c 21 a + b + (6a − 2b) +)53a = 22b Chọn a = 22 ⇒ b = 53; c = 26 ⇒ (α) : 22x + 53y + 26z − 66 = cắt Oz C có zC = 66 26 > ⇒ Loại +)3a = 2b Chọn a = ⇒ b = 3; c = ⇒ (α) : 2x + 3y + 6z − = cắt Oz C có zC = < 23 Thoả mãn Vậy (α) : 2x + 3y + 6z − = Ta thấy d và (α) song song với mà d và ∆ đối xứng qua (α) nên (∆) có VTCP − u→ ∆ = (−3; −2; 2) Ta thấy O (0; 0; 0) ∈ (d ) Gọi H là điểm đối¡ xứng¢với O qua (α) ⇒ H ∈ (∆) Gọi K là giao điểm OH với (α) và H x; y;z Ta có ( 2x + 3y + 6z = 12 K ∈ (α) 24 36 72 ⇒x= ;y= ;z= −−→ −→ ⇒ x y z = = 49 49 49 OH //n α 24 − 3t x = µ ¶ 49 24 36 72 36 → − Khi đó (∆) qua H ; ; có VTCP u = (−3; −2; 2) ⇒ (∆) y = − 2t 49 49 49 49 72 z = + 2t 49 Ta có góc (α) và β là ϕ có cos ϕ = Câu 7A :// ww w ¡ ¢ Cho số phức có phần thực âm thỏa điều kiện z 3µ+ 2z −¶16i = 8z Hãy tính mô-đun số phức: ω = z2 + 1 −8 z + + 17 z2 z htt p Lời giải (giangmanh): Đặt z = a + bi (a, b ∈ R; a < 0) ¡ ¢ ¡ ¢ GT ⇔ (a = bi )3 + (a − bi ) − 16i = (a + bi ) ⇔ a − 3ab − 6a + 3a b − b − 10b − 16 i = ( ¡ ¢ ¡ ¢ a a − 3b − = ⇔ ⇒ + 3b b − b − 10b − 16 = ⇔ b + b − = ⇒ b = ⇒ a = −3 3a b − b − 10b − 16 = 1 33 =− + i Vậy z = −3 + i Ta có : z + = −3 + i − z − i 10 10 µ ¶ µ ¶2 µ ¶µ ¶ 1 1 Nên ω = z + − z + + 17 = z + − − = z + − z + − z z z z¶ µ z¶ µ 63 83 1287 657 ⇒ω= − + i − + = − i 10 10 10 10 25 50 sµ ¶ µ ¶ 657 9p 1287 Vậy |ω| = + = 3485 25 50 10 (a < 0) http://www.k2pi.net (7) pi ne t Câu 6B.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y cho cho đường tròn (C ) : x + y −2x −6y −6 = và hai điểm B (5; 3) , C (1; −1) Tìm tọa các đỉnh A, D hình bình hành ABC D biết A thuộc đường tròn (C ) và trực tâm H tam giác ABC thuộc đường thẳng d : x + 2y + = và hoành độ điểm H bé hơn Lời giải (giangmanh): Ta có (C ) có tâm I (1; 3) Ta thấy B ;C thuộc (C ) Gọi E là giao điểm AI và (C ) ⇒ B HC E là hình bình hành Gọi M là trung điểm BC ⇒ M (3; 1) ¡ ¢ Ta có H ∈ d : x + 2y + = ⇒ H (−1 − 2a; a) a > − 32 Do B HC E là hình bình hành nên M là trung điểm H E ⇒ E (7 + 2a; − a) Ta có E ∈ (C ) ⇒ (7 + 2a)2 + (2 −¡a)2 − (7 ¢ + 2a) − (2 − a) − = ⇒ 5a + 26a + 21 = ⇒ a = −1 a > − 32 ⇒ E (5; 3) A và E đối xứng qua I ⇒ A (−3; 3) Do ABC D là hình bình hành nên A và D đối xứng qua M ⇒ D (9; −1) Vậy A (−3; 3) ; D (9; −1) Câu 6B.b Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z cho hai điểm A (1; 2; 3) , B (4; −1; 3) và đường tròn (C ) là đường x y z −6 = = cắt đường tròn (C ) hai −2 p điểm M , N cho M N = Lập phương trình mặt cầu (S) , tìm tọa độ điểm C thuộc mặt cầu (S) và mặt phẳng (P ) : 2x + y + 3z − 22 = cho tam giác ABC cân C .k2 tròn lớn nằm mặt cầu (S) có tâm I (1; −1; −2) và đường thẳng ∆ : ww w Lời giải (dan_dhv): Do (C ) là đường tròn lớn nằm mặt cầu nên Tâm (C ); (S) trùng là I ~ I (1; −1; −8); Gọi E là trung điểm của¤ M N Khi đó I E = d (I ; ∆) Ta có : M (0; 0; 6) ∈ ∆; M £ Do đó d (I ; ∆) = ~ I ; u~∆ M [u~∆ ] = Khi đó R = p I E + E N = Phương trình mặt cầu là (x − 1)2 + (y + 1)2 +)z + 2)2 = 81 −→ −→ Ta có I A(0; 3; 5); I B (3; 0; 5) Nhận thấy I A = I B Tam giác ABC cân C và C thuộc mặt phẳng (Q) qua I và vuông góc AB −→ Ta có AB (1; −1;O) Phương trình (Q) là: x − y − = · 2x + y + 3z − 22 = C (1; −1; 7) (x − 1)2 + (y + 1)2 +)z + 2)2 = 81 ⇔ C (7; 5; 1) x − y −2 = :// Khi đó, tọa độ C là nghiệm hệ x − 2x + m có đồ thị là (Hm ) Tìm m để tiếp tuyến điểm M có hoành độ −2 x +1 thuộc (Hm ) cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B cho tam giác I AB có I A = 4I B với I là giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị (Hm ) Câu 7B Cho hàm số y = Lời giải (dan_dhv): x + 2x − m − ; y (−2) = −m − (x + 1)2 Phương trình tiếp tuyến (H ) M : y = (−m − 2)(x + 2) − m − −3m − 12 m +3 A, B là giao tiếp tuyến với Ox,O y nên A( ; 0); B (0; −3m − 12) Ta có: y = x − + m +2 x +1 Để tồn hai tiệm thì m 6= −3 TCĐ:x = −1; TCX : y = x − Nên I (−1; −4) scận " µ ¶ µ ¶ −3 p 2m + 10 m +5 m= 2 Ta có: I A = 4I B ⇔ + 16 = + (3m + 8) ⇔ 4(3m + 8) = ⇔ m +2 m +2 m = −3 (Loại) −3 Vậy m = htt p Ta có M (−2; −m − 8); y = http://www.k2pi.net (8)