Đang tải... (xem toàn văn)
Theo chương trình nâng cao Câu VIb: 2 điểm 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=2... http://toanhocmuonmau.violet.vn Đáp án Nội dung.[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN Năm học: 2012 – 2013 Môn: Toán khối B, D lớp 10 Thời gian làm bài: 150 phút SỞ GD & ĐT BẮC GIANG Trường THPT Lạng Giang số I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = x − x − có đồ thị (P) 1) Tìm tập xác định, xét biến thiên, lập bảng biến thiên hàm số và vẽ đồ thị (P) 2) Đường thẳng d: y=m Tìm m để d cắt (P) hai điểm A, B cho tam giác OAB vuông O Câu II: (2 điểm) x2 1) Giải phương trình: = 4− x (1 + + x ) x + y = 2) Giải hệ phương trình: 3 x + y = 26 Câu III: (1 điểm) Giải bất phương trình: x − ≤ x − Câu IV: (1 điểm): Cho tam giác ABC Gọi P, Q là hai điểm thỏa mãn PB + PC = và 5QA + 2QB + QC = Tìm vị trí điểm Q và chứng minh ba điểm P, Q, A thẳng hàng Câu V: (1 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x (y + z) y (z + x) z (x + y) + + yz zx xy II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm phần phần Theo chương trình chuẩn Câu VIa: (2 điểm) Cho tam giác ABC có AM, AH là đường trung tuyến, đường cao tam giác, biết C(2;-4), M(2;0) và G(0;4) là trọng tâm tam giác 1) Tính: MA.MC 2) Tìm tọa độ điểm H Câu VIIa: (1 điểm) Cho góc x tuỳ ý, rút gọn biểu thức: A= 3(sin4x+cos4x)-2(sin6x+cos6x) Theo chương trình nâng cao Câu VIb: (2 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông A có AB=2 Tính BA.BC 2) Cho tam giác ABC có A(0;1), B(1;2) , C(5;4) Tìm toạ độ trực tâm tam giác + sin α (1 − sin α ) Câu VIIb: (1 điểm) Rút gọn biểu thức: A = 1 − với α khác 90 cos α cos α HẾT -Họ tên thí sinh: Cán coi thi không giải thích gì thêm http://toanhocmuonmau.tk (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn Đáp án Nội dung Câu I Điể m 0.25 0.25 0.25 0.25 1) +) TXĐ: R +) xét biến thiên +) lập bảng biến thiên +) vẽ đồ thị (P) 2) +) Lập đúng PTHĐGĐ (P) và d là: x − x − − m = (1) +) d cắt (P) hai điểm A, B phân biệt ⇔ pt(1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’>0 ⇔ m>-3 0.25 +) Gọi A(x1;y1), B(x2;y2) với x1, x2 là nghiệm pt(1), ta có: x1.x2=-m-2; y1=y2=m; OA =(x1;m) ; OB =(x2;m) 0.25 +) Tam giác OAB vuông O m = −1 ⇔ OA.OB = ⇔ x1.x2 + m = ⇒ − m − + m = ⇔ (tmđk) m = Vậy m=-1; m=2 là giá trị cần tìm x2 1) Phương trình: = − x (1) (1 + + x ) +) Đk: x>-1 II 0.25 0.25 +) x=0 không là nghiệm pt(1) Xét x khác không Khi đó: x2 x (1 − + x )2 = 4− x ⇔ = 4− x (1 + + x ) (1 + + x ) (1 − + x ) 0.25 0.25 ⇔ + x − + x = − x ⇔ 1+ x = x −1 x ≥ ⇔ ⇔ x = 3(tmdk ) + x = ( x − 1) Vậy x=3 là nghiệm pt (1) III IV x + y = x + y = x + y = 2) ⇔ ⇔ 3 xy = −3 x + y = 26 ( x + y ) − xy ( x + y ) = 26 x = x = −1 ⇔ y = −1 y = KL: x −1 ≥ 1) x − ≤ x − ⇔ x2 − ≥ 2 x − ≤ ( x − 1) x ≥ ⇔ x − ≥ ⇔ x = KL: x ≤ +) Tìm vị trí điểm Q: http://toanhocmuonmau.tk 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn 5QA + 2QB + QC = ⇔ 2QA + (2QA + 2QB ) + (QC + QA) = ⇔ 2QA + 4QI + 2QJ = , với I, J là trung điểm AB, AC ⇔ 4QK + 4QI = , với K là trung điểm AJ ⇔ Q là trung điểm IK 1 +) Tính được: AP = AB + AC ; AQ = AB + AC 3 Suy ra: AQ = AP nên A, P, Q thẳng hàng V Ta có : P = x x y2 y z z + + + + + y z z x x y 0.25 0.25 0.25 (*) Nhận thấy : x2 + y2 – xy ≥ xy ∀x, y ∈ ℝ Do đó : x + y ≥ xy(x + y) ∀x, y > 3 Tương tự, ta có : x y2 hay + ≥ x + y ∀x, y > y x ∀x, z > Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta được: P ≥ 2(x + y + z) = ∀x, y, z > và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z = Vì vậy, minP = 1) MC = (−4; −4); MG = (−2; 4) MA = 3MG = (−6;12); MA.MC = 24 -48=-24 2) MA = (−6;12); Suy ra: A(-4;12) VII a VIb 0.5 y2 z2 + ≥ y + z ∀y, z > z y z2 x + ≥z+x x z VIa 0.25 Gọi H(x;y), MC = (−4; −4); AH = ( x + 4; y − 12); MH = ( x − 2; y ) Vì AH vuông góc với MC và H, M, C thẳng hàng nên ta có: −4( x + 4) − 4( y − 12) = x−2 y −4 = −4 x = ⇔ Vậy H(5;3) y = A= 3 ( sin x + cos x ) − 2sin x.cos x − ( sin x + cos x ) − 3sin x.cos x ( sin x + cos x ) Rút gọn A=1 BA.BC = BA.BC.cos B 1) BA = BA.BC = BA2 = BC 2) Gọi H(x;y) là trực tâm tam giác ABC AH = ( x; y − 1); BC = (4; 2); BH = ( x − 1; y − 2); AC (5;3) Ta có AH vuông góc BC và BH vuông góc AC nên: x + 2( y − 1) = x = −8 AH BC = ⇔ ⇔ 5( x − 1) + 3( y − 2) = y = 17 BH AC = http://toanhocmuonmau.tk 0.5 0.5 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn VII b + sin α (1 − sin α ) + sin α (1 − sin α ) A= 1 − 1 − = cos α − sin α cos α + sin α = + sin α 2sin α = tan α cos α 1 + sin α Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa http://toanhocmuonmau.tk 0.5 0.5 (5)