Về các radical của các PI đại số

1 BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHƠ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN  NINH QUANG THẮNG VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ MÀ SỐ 1.01.03 THÁNG 02 NĂM 1998 BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN  NINH QUANG THẮNG VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ MÃ SỐ 1.01.03 NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.PTS BÙI TƯỜNG TRÍ THÁNG 02 NĂM 1998 LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trước hướng dần tận tình PGS.PTS Bùi Tường Trí Khơng có hướng dần tận tình ấy, chắn khơng thể có luận án Vì vậy, tơi xin gửi tới thầy lịng kính trọng biết ơn sâu sắc Tôi xin chân thành cám ơn thầy, cô Khoa Tốn Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh người trang bị cho nhiều kiến thức phương pháp tư mà nhờ vào đố tơi hồn thành luận án Tơi xin gửi tới Phòng Nghiên Cứu Khoa Học, Ban Chủ Nhiệm Khoa l Toán Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh lời cám ơn chân thành tất điều kiện thuận lợi mà Q thày dành cho Cuối cùng, xin cho cám ơn Ban Giám Hiệu trường Đại Học Kiên Trúc Tp Hồ Chí Minh nơi tơi cơng tác tất bạn bè gần xa động viên, giúp đỡ nhiều ương suốt thời gian làm luận án Bản luận án chắn không tránh khỏi ứiiếu sót Kính mong góp ý bảo Q thầy, tất bạn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN A Các đại số, Ideal Môđun B Các đồng thức 13 CHƯƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ 14 A Các Radical đại số 14 B Các Pi – đại số 23 C Các radical đại số giao hoán 25 D Định lý KAPLANSKY - AMITSUR-LEVITZKI 27 E Các Pi – đại số thảo mãn đồng thức qui mạnh 42 F Các Radical Pi – đại số 46 LỜI KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 LỜI MỞ ĐẦU Người ta thường xét đại số vành kèm thêm điều kiện Các điều kiện thường thể "hệ thức" địi hỏi chúng ln Chẳng hạn: Đại số A thỏa mãn hệ thức [a,b] = ab - ba = ∀a,b ∈ A gọi đại số giao hoán Đại số A thỏa mãn hệ thức a = a ∀a∈ A gọi đại số Boolean Đại số A thỏa mãn hệ thức ab + ba = 0, a(bc) + b(ca) + c(ab) = ∀a,b, c ∈ A gọi đại số Lie… Trong luận án này, ta trình bày khái niệm đồng thức (Identity) đại số xét đến PI- đại số xem đại số thỏa mãn đồng thức Khi xét đến PI đại số, vấn đề quan tâm chủ yếu luận án nàv radical Chúng ta không xét đến radical Tacobson mà định nghĩa xem xét lower nil radical, Levitzki nil radical, upper nil radical Pl-đại số Với định nghĩa PI đại số đại số giao hốn chẳng qua Pl-đại số với đồng thức cụ thể Các kết đại số giao hoán phong phú dễ nhận biết, cách tiếp cận nhằm đạt kết cho PI đại số tổng quát bắt đầu với đại số giao hốn để từ tiến hành tổng qt hóa Vì PI đại số xem đại số thỏa mãn đồng thức, kết radical không từ lý thuyết đại số mà cịn phải từ việc nghiên cứu tính chất đồng thức Việc xét kỹ tính chất cùa đồng thức PI đại số cho thấy tiến hành "đa tuyến tính hóa" chúng, đưa việc xét đồng thức chuẩn tắc Sự kết hợp lý thuyết đại số với kết đồng thức Pl-đại số việc xét chi tiết số PI- đại số cụ thể : đại số ma trận vuông trêu vành, đại số đa thức biến vành giao hoán v.v dẫn đến kết trình bày luận án Luận án chia thành hai phần: Phần I: Trình bày kiến thức Ngoài khái niệm loại đại số, ideal modun dùng đến ưong phần II, chúng tơi cịn trình bày đồng thức (identity) đại số, đa thức chuẩn tắc Một số định lý quan trọng định lý trù mật trình bày mà khơng chứng minh Các phép chứng minh tìm thấy [1] Phần II: Trong phần này, để xem xét radical Pl-đại số, chúng tơi trình bày theo sau: A Các radical đại số B Các PI-dại số C Các radical đại số giao hốn Với khái niệm PI-đại số đại số giao hoán trường hợp riêng Vì việc xem xét radical PI đại số bắt đầu với việc xét trường hợp riêng Kết chúng tối lưu tâm tới để tiến hành tổng quát hóa việc lower nil radical, Levitzki lùi radical upper nil radicaỉ đại số giao hoán trùng D Định lý Kaplansky-Amittsur-Levitzki Việc sử dụng định lý KaplanskyAmitsur-Levitzki cho phép "đa tuyến tính hóa " đồng thức PI đại số Đây phương pháp dùng tới việc tổng quát hóa kết vẻ radical đại số giao hoán cho PI đại số E Các Pl-đại số thỏa mãn đồng thức qui mạnh Việc xét radical PI đại số thỏa mãn đồng thức qui mạnh khơng tổng quát hóa bước kết đạt radical đại số giao hốn mà cịn cơng cụ để tiếp tục tổng quát hóa F Các radical PI-đại số Dựa tất kết có phần trên, cuối chứng minh PI-đại số bầt kỳ lower nil radical, Levitzki nil radical upper nil radical trùng Tuy nhiên chúng không trùng với radical Jacobson Ta có phản ví dụ cho thấy điều Bản luận văn cịn cố gắng trình bày số trường hợp PI-đại số tất radical chúng trùng CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN Chương trình bày khái niệm kết sử dụng đến luận án Nếu khơng nói khác, ta xét phạm trù đại số có đơn vị (khơng thiết giao hốn) vành giao hỗn có đơn vị K Các modun nói tới khơng nói khác ln hiểu modun trái A Các đại số, Ideal Môđun Giả sử A K-đại số Modun bất khả qui: Một A-mođun M gọi bất khả qui (ireducible) M ≠ M có hai modun M Các điều kiện sau modun M tương đương: a) M A-modun bất khả qui b) M = Ax x ∈M , x ≠ c) M≅ A/I với I ideal trái A Modun hồn tồn khả qui: Một A-modun M gọi hoàn toàn khả qui (completely reducible) M= ∑α Mα Mα A-modun bất khả qui Các điều kiện sau modun M tương đương: a) M A-modun hoàn toàn khả qui b) M tổng trực tiếp A-raodun bất qui c) Đối với modun N M tồn modun N' M cho M = N⊕N' Modun trung thành: Một A modun M gọi trung thành (faithful) a,b∈ A, a ≠b ∃x∈M cho ax ≠ bx Đại số nguyên thủy: Một đại số A gọi đại số nguyên thủy (primitive) có A-modun M bất khả qui, trung thành Đại số nửa nguyên thủy: Một đại số A gọi đại số nửa nguyên thủy (semi piimitive) hay nửa đơn (semi simple) có A-modun M hoàn toàn khả qui, trung thành Ideal nguyên thủy: Một ideal ρ đại số A gọi ideal nguyên thủy A/ ρ đại số nguyên thủy Ideal qui: Một ideal phải ρ đại số A (khơng thiết có đơn vị) gọi ideal phải qui ∃ a∈A để x-ax∈ ρ ∀x∈A Tương tự ideal trái qui Rõ ràng A đại số có đơn vị ideal qui 8.Ideal tựa qui: Phần tử a∈A (A khơng thiết có đơn vị) gọi tựa qui phải ∃a'∈A cho a+ a’ + aa’ = Một ideal phải ρ đại số A gọi ideal phải tựa qui phải ∀x∈p tựa qui phái Tương tự ideal trái tựa qui trái Khi A đại số có đơn vị, a∈A phần tử tựa qui phải từ đẳng thức a+ a + aa' = ⇒ 1+ a+ a + aa' = 1⇒ (1 + a)(l + a') = ⇒ + a khả nghịch phải Tương tự a∈ A phần tử tựa qui trái 10 Đại số lũy linh, lũy linh địa phương nil đại số: Xét đại số A (khơng thiết có đơn vị) A gọi lũy linh 3m cho A =0 A gọi lũy linh địa phương tập hữu hạn sinh đại số lũy linh A gọi nil đại số phần tử lũy linh Một ideal đại số A gọi lũy linh (lũy linh địa phương, nil ideal ) xem đại số đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số) Hiển nhiên ideal lũy linh lũy linh địa phương ideal lũy linh địa phương nil ideal Các bổ đề sau dễ thấy: Bổ đề I.1: Đại số ảnh đồng cấu đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số ) đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil dại số ) Bổ đề I.2: Nếu ρ ideal đai số A cho ρ A/ ρ ideal lũy linh (lũy linh địa phuong, nil ideal) A đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số ) Bổ đề I.3: Nếu ρ1, ρ2 ideal lũy linh( lũy linh địa phương, nil ideal ) ρ1, ρ2 Chứng minh: Đó ta có đẳng cấu (ρ1+ ρ2)/ ρ = ρ1/ ρ2 ∩ ρ2 Bổ đề 1.4: Nếu { ρ } họ nil ideal ( lũy linh địa phương) ∑ ρα Từ bổ đề 1.4 ta suy đối vơi đại số A tồn nil ideal tối đại chứa nil ideal Cũng tồn ideal lũy linh địa phương tối đại chứa ideal lũy linh địa phương Đây sở để định nghĩa upper nil radical Levitzki nil radical chương sau 10.Đại số nguyên tố: Một đại số A gọi đại số nguyên tố (prime) ideal nguyên tố A 44 Z = {x ∈ A a /( A a ) a= 0} với a2, a3,…, am ∈ Aa ta có f1(a2, a3,…, am) ∈ Z Xét A a /Z ta thấy với a2 + Z, a3 + Z,… , am + Z ∈ A a / Z aI ∈ A a ∀ I = 2,3,….,m Mà theo nên Vậy f1 đồng thức bậc m- A a / Z hiển nhiên đồng thức qui mạnh ( Do Sf1 ⊂Sf) Theo giả thiết qui nạp A a/Z lũy linh địa phương Nhưng Z2 = nên Z lũy linh Như A a /Z Z lũy linh địa phương, A a lũy linh địa phương Như vậy, trường hợp, A chứa ideal trái lũy linh địa phương I≠0 , mâu thuẫn với mệnh đề II.4 Do A = 0,nghĩa A=L(A), A lũy linh địa phương Mệnh đề II 16 chứng minh xong Mệnh đề II.17: Giả sử A đại số thỏa mãn thức qui mạnh bậc d B nil đại số A thì: ( Ở N(0) tổng ideal lũy linh A ) Chứng minh: Trước hết ta chứng minh cho trường hợp B lũy linh Với số nguyên dương n ta đinh nghĩa: Tức Khi với h ≤ 2n ta có Đồng thời ∀ j > k ta có UjUk ⊂ ABnA (**) Do B lũy linh nên tồn số nguyên dương n nhỏ cho ABnA lũy linh Rõ ràng đồng thức qui mạnh đồng thức hoàn toàn Theo giả thiết A thỏa mãn đồng thức qui mạnh 45 bậc d áp đụng bổ đề II 14.4 ta giả thiết đồng thức đa tuyến tính Hơn "hệ số" khác không đồng thức khả nghịch nên ta giả thiết đồng thức f A có dạng : (***) Nếu n > [d/2] 2n > d Khi đó, đặt h = d thay xi= ui ∈ Ui (*** ) ta d Áp dụng (*) (**) ta có (Bn-1A)dB[2 ] ⊂ABnA Do Tóm lại (ABn-1A)d+1 ⊂ ABnA Suy ABn-1A lũy linh, mâu thuẫn với cách chọn số n Mâu d d d thuẫn chứng tỏ khơng thể có n > [d/2] Vì AB[2 ] A lũy linh Suy B [2 ] + AB [2 ] + d d d B[2 ] A + AB [2 ] A ideal lũy linh A bị chứa N(0) Suy B [2 ] ⊂ N(0) Nếu B nil ideal theo mệnh đề II 16 B ideal lũy linh địa phương Với họ phần tử bị b1b2, , b[d/2] ∈B { b1, b2 , b[d/2]} sinh ideal lũy linh C Theo chứng d d minh ta có C[2 ] ⊂ N(0).Do b1b2, , b[d/2] ∈B ta suy B[2 ] ⊂ N(0) Mệnh đề II.17 chứng minh xong Mệnh đề II.18: Nếu A đại số thỏa mãn đồng thức qui mạnh bậc d ln(A) = L(A) = Un(A) Chứng minh: 46 d Gọi U = Un(A)thì U ⊃ N(0) Đồng thời theo bổ đề II.17 ta có U [2 ] ⊂ N(0)Cho nên U/N(0) lũy linh A/N(0) Do U ⊂ N(1) Từ định nghĩa ln(A) ta có U⊂ln (A) Nhưng theo mệnh đề II.8 ln(A) ⊂ L(A) ⊂Un(A) suy điều phải chứng minh F Các Radical Pi – đại số Chúng ta chứng minh trùng lower nil radical Levitzki nil radical upper nil radical mót Pl-đại số Đó tổng quát hóa mệnh đề II 13 Dựa vào định nghĩa radical , ta chứng minh ln(A) nil ideal tối đại A Muốn ta chứng minh A/ln(A) khơng có nil ideal ≠ Nhưng A/ln(A) tích trực tiếp đại số nguyên tố cần chứng minh điều cho PI-đại số nguyên tố Nhờ định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki ta chứng minh PI-đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức chuẩn tắc cách nhúng vào đại số đa thức biến Nhưng thức chuẩn tắc qui mạnh dùng kết PI-đại số thỏa mãn đồng thức qui mạnh, ta chứng minh mệnh đề II 19 sau đây: Mệnh đề II.19: Mếu A PI- đại số ln(A) = L(A) = Un(A) Trước hết ta xét số khái niệm bổ đề sau: Nếu S vị nhóm vị nhóm nhân vành giao hốn K M K-modun ta ký hiệu MS địa phương hóa M với S Đó K -modun Vì K lại K modun nên nói đến K-modun KS Ta có đẳng cấu K-modun: MS ≅ KS ⊗KM ( Cho s-1x ⟼ s-11⊗X ) MS xem KS -modun với định nghĩa: (s1−1 k1 )(s−1 x)= (s s1 )−1 (k1x), ∀ s1−1 k1 ∈ K s , ∀ s−1 x ∈ Ms Khi đẳng cấu K modun nói xem đẳng cấu KS -modun Khi P 47 ideal nguyên tố vành K, gọi S= K\ P MS Trường hợp ký hiệu Mp Rõ ràng KP đại số địa phương Đặc biệt A K đại số As ≅KS⊗KA đại số KS Bổ đề II.19.1: Nếu f(x1 ,x2, ,xm ) đồng thức đại số A đồng thức AS xem đại số K Chứng minh Bổ đề II 19.1: Ta cần chứng minh Ta viết Khi ∀ s∈ S, ∀ai ∈ A ta có Lần lượt thay s 1, s, s2 , ., sd ta hệ phương trình: (*) (ở xj = fj(a1,a2,…,am)) Ta có : với t e = (d3 - d)/6 h(t) ∈ Z[t] Nếu ta nhân phương trình (* ) với phần phụ đại số phần tử cột j+l định thức có cách thay t s định thức nói cộng phương trình thu lại ta nhận se(1- sh(s))xj = 1-1 h(s)xj Có nghĩa với 0≤j≤d Suy s-1xj = 48 (s-11)(1-1xj) = (1-1h(s))(1-1xj) Do (s-11)j(1-1xj) = (1-1h(s))j(1-1xj) Cho nên s-1xj = 1-1h(s)jxj Vì vậy: f(s-1a1, s-1a2 ,…, s-1am) = ∑dj=0 s−j fj(a1,a2 ,…, am) = ∑dj=0 s−j xj = ∑dj=0 1−1h(s)jxj = Bổ đề II.19.1 chứng minh xong Bổ đề II.19.2: Nếu B vành giao hốn, có đơn vị g(λ ) = a0+ a1λ + + anλ n, ước đơn vị B[λ ] a0 ước đơn vị a1,a2, , an phẫn tử lũy linh B Chứng minh bổ đề II.19.2 : Vì g(λ ) = a0+ a1 λ + +anλn ước đơn vị B[λ ] nên ∃ h(λ) = b0 + b1 λ + ⋯ + bm λm ∈ B[λ] cho g(λ)h(λ) =1 Do đó: Suy a ước đơn vị Ta chứng minh với r mà ≤ r ≤ m có (an)r+1bm-r = Thật với r = đẳng thức thứ m+1 hệ Nhân đẳng thức thứ m với an ta (an)2bm-1 + anan-1bm = ⇒ (an )2 bm-1 =0 Lại nhân đẳng thức thứ m-1 với (an)2ta (an)3 bm-2 + + (an)2 an-1 bm-1 + (an)2an-2 bm = ⇒ (an)3bm-2 =0 … Từ kết với r= m ta có (an)m+1 b0 =0 ⇒ (an)m+1 b0a0 =0 ⇒ (an)m+1 =0 ⇒ an luỹ linh ⇒-anλn lũy linh B[λ] Xét g(λ) + (-anλn ) , g(λ) + (-anλn ) không ước đơn vị g(λ) + (-anλn ) thuộc một, ideal tối đại ρ B[λ] Mà -anλn lũy linh ⇒ -anλn ∈∩ideal nguyên tố B[λ] (theo Mệnh đề II.2 II.13) ⇒ - an λn∈ρ ⇒ g(λ) ∈ρ ⇒ ∈ρ (vì g(λ) ước đơn vị) Vô lý 49 Chứng tỏ g(λ) + ( -anλn ) ước đơn vi Tức a0 + a1λ + + an-1 λn-1 ước đơn vị Lặp lại chứng minh ta suy an-1 lũy linh Tiếp tục ta suy a1,a2 , an lũy linh Ta nhận thấy rằng: Nếu A đại số nguyên thủy A có modun M bất khả qui, trung thành Khi B, C ideal ≠ A CM BM modun ≠ M CM=BM=M Vì (BC)M = B(MC) = BM = M Suy BC ≠ Vậy A đại số ngun tố Chính bổ để II.19.3 sau theo mộtt nghĩa mở rộng định lý Kaplansky-Amitsur-Levtzki Bổ đề II.193: Nếu A đại số nguyên tố thỏa mãn thức hồn tồn f bậc n A thỏa mãn đồng thức chuẩn tắc S2[n/2] Chứng minh Bổ đề II 19.3: Ta gọi C tâm A xem A đại số C Nếu k ∈K k1∈ C ka = (k1)a Thay hệ số k f k1 ta đồng thức hoàn toàn f0 đại số A C Gọi S= C\ {0}, địa phương hóa A với S ký hiệu A0 Do A đại số nguyên tố nên C miền nguyên Gọi F trường thương miền nguyên C A0 F⊗K A Theo bổ đề II.19.1 f0 đồng thức A0 trường F f0 đồng thức qui mạnh Giả sử (s-1 x)(t-1a)(u-1y) t-1a ∈A0 Khi xay=0 với a∈ A Do A nguyên tố nên x = y= Vì s-1= u-1 y = Suy A0 nguyên tố Nếu A0 chứa nil ideal ≠ theo mệnh đề II.16 chứa ideal lũy linh ≠ 0, mâu thuẫn với việc A0 nguyên tố Vậy A khơng có nil ideal ≠0 Xét đại số đa thức biến A0[λ] Do A0 khơng có nil ideal ≠0 nên J(A0[λ])=0 Thật giả thiết J(A0[λ]) ≠0 Chọn phần tử ≠ J(A0[λ]) φ(λ) = a0 + a1λ + + am λm với số hệ số khác khơng Ta giả thiết am ≠ 0.Ta có [ai,φ(λ)] [ai,φ(λ)] ≠ có số hệ số khác khơng φ(λ , 50 trái với việc chọn φ(λ) Do [ai , φ[λ]= ⇒ [ai ,aj] = ∀i, j Điều cho thấy đại số B A0 sinh đại số giao hoán Theo Mệnh đề II.5 J(A0[λ]) tựa qui hai phía, mà h(λ) = λφ(λ) ∈ J(A0[λ]) nên ∃g(λ) cho h(λ) + g(λ) +h(λ)g(λ)=0 (*) ⇒ + h(λ) + g(λ) + h(λ)g(λ)=1 ⇒ [1+h(λ)] + [1+ h(λ)]g(λ)=1 ⇒ [l+h(λ)][l+g(λ)]=1 Tương tự ∃ g'(λ) cho h(λ) + g'(λ) + g'(λ)h(λ) = (**) ⇒ + h(λ) + g'(λ) + g'(λ)h(λ) = ⇒ [1+h(λ )] + g'(λ) [1 + h(λ)] =1 ⇒ [1+g'(λ)] [1 + h(λ)]= l Đồng thời, từ (*) suy g'(λ)h(λ) + g'(λ)g(λ) + g'(λ)h(λ)g(λ) = từ (**) ta suy h(λ)g(λ) + g'(λ)g(λ)+ g'(λ)g(λ)+ g'(λ)h(λ)g(λ)= 0- Từ hai đẳng thức ta có: h(λ)g(λ) = g'(λ)h(λ) Thay vào (*) (**) ta + g(λ) = h(λ) + g'(λ) ⇒ g(λ) = g'(⇒) Tóm lại ta được: Gọi thì: Nhưng gọi n bậc g(λ) Thì : Nhân + g(λ) vào bên trái hai vế đẳng thức được: Mà : Vì : 51 Suy : Vì bậc deg g(λ)= n nên từ đẳng thức ta suy hệ số g(λ) nhận từ hệ số ψ(λ) + + ψ(λ)n Có nghĩa hệ số g(λ) thuộc đại số B A0 sinh hệ số φ(λ) Tức g(λ) Áp dụng bổ đề II 19.2 ta suy a lũy linh Do aφ(λ) φ(λ)a∈ J(A0 [λ]) ∀a∈A0 aam ama lũy linh ∀a ∈A0 Suy A0 có nil ideal ≠ Mâu thuẫn Chứng tỏ J(A0[λ]) = Theo bổ đề II 14.4, ta xem f f0 đa tuyến tính Do A0 (λ) thỏa mãn đồng thức hoàn toàn bậc n Với P ideal nguyên thủy A0 [λ] A0[λ]/Plà đại số nguyên thủy trường thỏa mãn đồng thức hoàn toàn bậc n Theo định lý Kaplansky -AmitsnrLevitzki S2[n/2] đồng thức A0[λ]/P.Do φ1 ,φ2, φ2[n/2] = A0 [λ] S2[n/2] (φ1 ,φ2, ,φ2[n/2]) ∈P Do JA0[λ] = nên⋂P nguyên thủy P =0 Suy nhúng vào A0[ λ] S2[n/2] đồng thức A Bổ đề II 19.3 chứng minh xong Bổ đề II.19.4: Nếu A tích trực tiếp đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức hồn tồn A khơng có nil ideal ≠ Chứng minh Bổ đề II.19.4: Ta cần chứng minh cho trường hợp A đại số nguyên tố Khi theo bổ đề II 19.3 A thỏa mãn đồng thức chuẩn tác dĩ nhiên đông thức qui mạnh Nếu A chứa nil ideal ≠ theo Mệnh đề II.16 A chứa ideal lũy linh ≠ trái với việc A đại số nguyên tố Bổ đề II 19.4 chứng minh xong Áp dụng bổ đề nêu trên, ta chứng minh Mệnh đề II.19: Giả sử A PI -đại số Gọi N = ln(A), theo Mệnh đề II.2 A/N tích trực tiếp đại số nguyên tố Mặt khác, A PI-đại số nên A/N thỏa mãn đồng thức hoàn toàn Do vậy, theo bổ đề II 19.4 A/N khơng có nil ideal ≠ Giả sử P nil ideal 52 A, P⊃ N ⇒ P/N nil ideal A/N ⇒ P/N = ⇒ P = N Do vậy, N nil ideal tối đại A Tức ln(A) = N = Un(A) Từ Mệnh đề II.8, ta suy ln(A) = L(A) = Un(A) Mệnh đề II 19 chứng minh xong Bổ đề II 19.3 bổ đề ấp đụng để chứng minh trùng lower nil radical, Levitzki nil radical upper nil radical PI đại số Không cịn cho ta điểu kiện cần đủ để đại số PI-đại số hệ đây: m Hệ II.19.5: A mót PI-đại số A thỏa mãn đồng thức S2n với n m Chứng minh Hệ II.19.5: Giả sử A PI đại số Khi tồn đồng thức f A cho SfA = A(ở Sf = {α 1, α , , αr } ) Gọi d bậc f đặt n=[d/2] Xét A2n = AxAx….xA ( Tích 2n lần A ) Gọi A' = ∏ Aα Aα = A∀α ∈A2n Theo Mệnh đề II.11, tồn ai∈A để: Giả sử ãj ∈ ∏ Aα phần tử mà thành phần aj∈A Thế ∑ αj ãj Do A' ∏ Aα PI-đại số Gọi N' = ln(A') = Un(A') theo mệnh đề II.2 A'/N' tích trực tiếp đại số nguyên tố thỏa mãn f f đồng mức hoàn toàn tất đại số nguyên tố Áp dụng bổ đề II.19.3 ta suy S2n đồng thức A/N' Gọi âj ∈A' phần tử mà thành phần thứ α= (a1, a2, .,a2n ) ∈ A2n aj S2n (â1, ……, â2n )∈ N' Do đó, N' = Un(A') nil ideal A' ∃ m cho [S2n (â1, .,â2n )]m = Từ suy [S2n (â1, .,â2n )]m = Cho α chạy khắp tập số 53 A2n ta suy [S2n (a1,…… , a2n )]m =0∀a1,…… , a2n∈ A Có nghĩa đồng thức A m Ngược lại S2n ( với n, m ) đồng thức A đồng thức hồn tồn ảnh đồng cấu khác khơng A Cho nên A PI đại số Từ suy đại số PI-đại số PI-đại số Như vơi PI-đại số ln(A) = L(A) = Un(A)⊂ J(A) Vấn để đặt liệu với PI-đại số lower nil radical, Levitzki nil radical, upper nil radical có trùng hay không với radical Jacobson ? Trong mệnh đề II.17, II 18, II 19 ta đưa số trường hợp PI-đai số tất radical trùng phần cuối luận văn ta đưa mót phản ví dụ PI-đại số mà lower nil radical, Levitzki nil radical upper nil radical không trùng với radical Jacobson Mệnh đề II.20: Nếu K vành giao hốn có đơn vị đại số đa thức biến A = K[ λ] ta có ln(A) = L(A) = Un(A) = J(A) Chứng minh: Giả sử φ ∈J(A),φ = a0 +…… + a n λn Nếu 1- φ khơng ước đơn vị xét họ tất ideal A chứa 1-φ áp dụng bổ đề Zorn ta suy 1-φ thuộc ideal tối đại P Nhưng J(A) = ∩ ideal tối đại φ ∈J(A) nên φ ∈P Do l ∈P ⇒ p = A vơ lý Vậy 1-φ ước đơn vi Theo bổ đề II 16.5 1- a0 ước đơn vi K a1, a2, an lũy linh Mặt khác với ψ =λ , J(A) ideal ψ φ ∈ J(A) Chứng minh tương tự - ψ φ ta suy - ψ φ ước đơn vị Tức 1- a0λ- a1λ2 - -anλn+1 ước đơn vị Lại áp dụng bổ đề II.16.5 ta suy ra a0 lũy linh Tóm lại tất hệ số φ lũy linh φ lũy linh Theo bổ đề II.13.1 φ ∈Un(A) Do ln(A) = L(A) = Un(A) = J(A) 54 Mệnh đề :II.21: Nếu A đại số giao hoán cho ideal khơng chứa ln(A) có phần tử lũy đẳng ≠ thì: ln(A) = L(A) = Un(A) = J(A) Chứng minh: Giả sử X∈J(A) Nếu X∉ ln(A) tồn ideal nguyên tố P cho x ∈P Xét ideal (x) (x) ⊄ ln(A).Theo giả thiết (x) có phần tử lũy đẳng ≠ Vậy ∃a∈A cho (ax)2 = ax ≠ Suy ax(l- ax) = Nếu 1-ax khơng phải ước đơn vị xét họ tất ideal chứa 1- ax áp dụng bổ đề Zorn ta suy 1- ax∈ p với P ideal tối đại Nhưng x∈J(A) ⇒ ax∈J(A)⇒ ax∈P Do ∈P ⇒ P = A vô lý Vậy 1-ax ước đơn vị ⇒ ∃y∈A cho (1- ax)y=l Từ đẳng Thức ax(l - ax) = ⇒ ax(l -ax)y = ⇒ ax - vô lý Như ∀x∈J(A) ta suy x∈ln(A) Cho nên ln(A) = L(A) = Un(A) = J(A) Mệnh đề II.21 chứng minh xong Để tất radical PI-đại số trùng điều kiện đại số đố giao hốn khơng phải điều kiện bắt buộc Có PI-đại số khơng giao hốn có tính chất Sau ta xét trường hợp vây Ta xét đại số M2(K) ma trận vuông cấp vành K Theo định lý Amitsur Levitzki ( Mệnh đề II.15) M2(K) PI-đại số PI-đại số khơng giao hốn Ta gọi: x y ) ∈ M2(K)/x,y∈J(K)} 0 I2 = {X = ( 0 I1 = {X = ( ) ∈ M2(K)/x,y∈J(K)} x y x Với X = ( y ) ∈ I1 phần tử Vì x ∈ J(K) nên ∃x’ ∈ K Để x + x’ + xx’ = Gọi X’ = (x′ 0) ta có W = X + X’ + XX’ = (0 y) ∈ I W2 = 0 gọi Z=-W ta có W+Z+WZ =0 ⇒ X+X'+XX'+Z+(X+X'+XX')Z=0 ⇒ X+(X'+Z + X'Z) +X(X'+Z+X'Z) =0 ⇒ X tựa qui phải Như chứng minh X∈ I1, 55 tựa qui phải Vì I1 tựa qui phải Theo mệnh đề II I1 ⊂ J(M2(K)) Tương tự I2 ⊂J(M2(K)) Suy M2(J(K)) ⊂ J(M (K)) Ngược lại, J(M2(K)) ideal nên b có dạng M2(P) P ideal K Giả sử b∈P, xét B = ( ) ∈ M2(P) = b J(M2(K)) nên B tựa qui phải Suy b tựa qui phải Vì P tựa qui phải K Do P ⊂ J(K) Suy M2(P) ⊂ M 2(J(K)) Tức J(M2(K)) ⊂ M2(J(K)) Tóm lại J(M2(K)) = M2(J(K)) Ta xét trường hợp đặc biệt K vành nửa nguyên thủy (tức J(K) = ) Khi J(M2(K)) = Mà ln(M2(K)) = L(M2(K)) = Un(M2(K)) ⊂ J(M2(K)) Cho nên suy ln(M2(K)) = L(M2(K)) = Un(M2(K)) = J(M2(K)) Như Chúng ta đạt mệnh đề II 19, PI đại số ta có lower radical, Levitzki radical, upper radical trùng Ở trên, ta đưa số trường hợp khơng lower radical, Levitzki radicaỊ upper radical trùng mà chúng trùng vơi radical Jacobson Sau ta đưa ví dụ PI-đại số mà radical Jacobson khơng trùng với radical m Ta xét đại số A=:{ x/ x ∈ Q, x = n , n lẻ} đại số số n hữu tỷ Q xem đại số vành số nguyên Đây đại số giao hoán ln(A) - L(A) - Un(A) trùng với lùi radical cứa A Do ln(A) = L(A) = Un(A) = Gọi ρ = { x/ x = m n ∈ A, m chẵn, n lẻ } Đây ideal tối đại A Cho nên J(A) = ρ Vậy ln(A) - L(A) = Un(A) ≠ J(A) Sau mót ví du PI-đại số khơng giao hốn mà lower radical, Levitzki radical, upper radical khơng trùng với radical Jacobson Xem vành K= { x/ x ∈Q, x = m n , n lẻ } xét đại số M2(K) 56 Ta biết với vành K (M2(K)) = M2(J(K)) Cho nên trường hợp ta có J(M(K)) :M2(ρ ) với p { x/ x= m n ∈ A, m chẵn, n lẻ } Nhưng dễ dàng thấy M2( ρ) nil ideal upper, nil radical M2(K) Như radical Jacobson cùa M2(K) khơng trùng với upper nil radical 57 LỜI KẾT LUẬN Đối với PI-đại số có đơn vị vành giao hốn có đơn vị lower nil radical, Levitzki nil radical upper nil radical trùng Kết nói tổng quát Tuy nhiên vấn đề khơng đơn giản cần tiếp tục giải Đó chẳng hạn là: 1.Nếu xét PI-đại số xem đại số khơng có đơn vị vành giao hốn có đơn vị radical chúng ? 2.Nếu xét PI-đại số xem đại số khơng có đơn vị vành khơng giao hốn, khơng có đơn vị radical chúng ? Cũng luận án này, biết đối vơi PI-đại số có đơn vị vành giao hốn có đơn vị lower nil radical, Levitzky nil radical upper nil radical trùng khơng thiết trùng với radical Jacobson Ngồi trường hợp nêu (mà tất Các radical trùng ) cần tìm trường hợp khác tổng quát hơn, đẹp mắt Ngồi ra, PI-đại số khơng phải có vấn đề nghiên cứu radical chúng Chúng ta cần phải xét khía cạnh khác chẳng hạn xét lớp PI-đại số chung tập đống thức Chúng ta cần phải xem xét tính chất phạm trù PI-đại số vv Những vẩn đề phác qua chắn phần tất cần nghiên cứu xung quanh vấn đề PI-đại số Trong phạm vi thời gian sức lực mình, tơi cịn chưa giải Nhưng tơi tin vấn đề hấp dẫn hứa hẹn kết khả quan Chắc chắn tơi cịn tiếp tục bước đường tìm tịi cịn chưa giải Một lần xin gửi tới người thầy - PTS Bùi Tường Trí lịng biết ơn sâu sắc Xin cám ơn tất q thày tất bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên nhiều thời gian làm luận án NINH QUANG THĂNG HẾT 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N.JACOBSON LECTURE NOTES IN MATHEMATICS.441 PI - ALGEBRAS AN INTRODUCTION SPRINGER - VERLAG - BERLIN - HEIDELBERG - NEWY0RK 1975 [2] N.JAC0BS0N STRUCTURE OF RING A.M.S.1968 [3] I.N.HERSTEIN NON COMMUTATIVE RING A.M.S 1968 [4] M.F.ATIYAH, I.G.MACDONALD INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY MASSACHUSETTS 1969 ... CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN A Các đại số, Ideal Môđun B Các đồng thức 13 CHƯƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ 14 A Các Radical đại số 14 B Các Pi – đại số. .. trình bày theo sau: A Các radical đại số B Các PI- dại số C Các radical đại số giao hốn Với khái niệm PI- đại số đại số giao hốn trường hợp riêng Vì việc xem xét radical PI đại số bắt đầu với việc... " đồng thức PI đại số Đây phương pháp dùng tới việc tổng quát hóa kết vẻ radical đại số giao hoán cho PI đại số E Các Pl -đại số thỏa mãn đồng thức qui mạnh Việc xét radical PI đại số thỏa mãn