Công thức quy net và một vài ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH LÂM HỮU PHƯỚC CƠNG THỨC QUY NET VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS TRẦN HUYÊN TP HỒ CHÍ MINH - 2008 cho qua cua LỜI CẢM ƠN Tri thức vốn quý loài người Càng lên cao, vai trị cơng sức người thầy quan trọng Luận văn hoàn tất nhờ tổng hợp nhiều kiến thức từ mơn suốt khóa học, mà đó, nhờ quý thầy tận tình hướng dẫn em nắm bắt Nhân em xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy giảng dạy em khóa học Đặc biệt, hướng dẫn tận tình thầy hướng dẫn luận văn giúp đỡ em nhiều việc hoàn thiện kiến thức, hoàn thành luận văn hướng dẫn bước chập chững đường nghiên cứu khoa học Em xin gửi lời cảm ơn thật sâu sắc đến thầy Ngoài ra, em xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy phản biện đọc luận văn em giúp em hiểu sâu sắc vấn đề Xin chân thành cảm ơn cho qua cua MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như ta biết, Đại Số Đồng Điều phần Tôpô Đại Số, chuyên ngành xuất từ việc đưa cấu trúc đại số vào để tìm hiểu sâu sắc khơng gian tơpơ Trong đó, tri thức phức kì dị đóng vai trị quan trọng Việc tính đồng điều kì dị có ứng dụng cụ thể Tôpô Đại Số, chẳng hạn việc xác định tính sai đồng phơi đồng luân không gian Tôpô hay làm rõ kết đó, Xuất phát từ tính chất tương đương đồng luân tích tenxơ hai phức kì dị hai khơng gian tơpơ phức kì dị khơng gian tơpơ tích (định lý Eilengberg – Zilber), ta có đẳng cấu đồng điều hai phức Từ đó, tính đồng điều tích tenxơ hai phức thơng qua đồng điều phức thành phần ta tính đồng điều kì dị khơng gian tích thơng qua đồng điều kì dị khơng gian thành phần Điều giải định lý cụng thc Quy net (Kă unneth) Cho nờn, vic hiu rõ cơng thức Quy net có vai trị hỗ trợ việc tìm hiểu sâu Đại Số Đồng Điều Tơpơ Đại Số Đó lý chọn đề tài Mục đích Tìm hiểu rõ công thức Quy net cho thấy vài ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phạm trù phức, tích tenxơ phức, phức kì dị vấn đề có liên quan Ý nghĩa khoa học thực tiễn Làm rõ số vấn đề công thức Quy net, bên cạnh đó, cho thấy vài ứng dụng nó, đặc biệt việc tính đồng điều kì dị Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Phức đồng điều Các định nghĩa • Cho R vành tùy ý, phức dây chuyền K R môđun họ {Kn , ∂n } gồm R−môđun Kn R−đồng cấu ∂n : Kn → Kn−1 cho theo tất số nguyên n, −∞ < n < ∞, ∂n ◦ ∂n+1 = Điều kiện sau tương đương với đòi hỏi Ker ∂n ⊃ Im ∂n+1 Như vậy, phức K dãy vô tận hai đầu: K : ···o Kn−1 o ∂n Kn o ∂n+1 Kn+1 o ··· đó, tích hai đồng cấu liên tiếp • Chu trình n chiều phức K phần tử môđun Cn (K) = Ker ∂n • Phần tử bờ (hay biên) n chiều phức K phần tử thuộc môđun ∂n+1 Kn+1 • Đồng điều H(K) họ môđun Hn (K) = Ker ∂n Im ∂n+1 Đẳng thức Hn (K) = có nghĩa dãy K khớp Kn • Nếu K K phức biến đổi dây chuyền f : K → K họ đồng cấu môđun {fn : Kn → Kn , n ∈ Z} cho ∂n fn = fn−1 ∂n với n f∗ = Hn (f ) : Hn (K) −→ Hn (K ) c + ∂Kn+1 −→ f (c) + ∂Kn+1 cảm sinh từ f đồng cấu • Đồng luân dây chuyền s hai biến đổi dây chuyền f, g : K → K họ đồng cấu môđun {sn : Kn → Kn+1 , n ∈ Z}, ∂n+1 sn + sn−1 ∂n = fn − gn Khi đó, ta viết s : f g • Ta nói biến đổi dây chuyền f : K → K tương đương dây chuyền tồn biến đổi dây chuyền h : K → K đồng luân s : hf 1.1.2 1K , t : f h 1K Một số mệnh đề thường dùng Định lý 1.1 Nếu s : f g : K → K với n ∈ Z, f∗ = g∗ : Hn (K) −→ Hn (K ) Hệ 1.1 Nếu f : K → K tương đương dây chuyền với n ∈ Z, ánh xạ Hn (f ) : Hn (K) → Hn (K ) đẳng cấu Mệnh đề 1.1 Cho K, K phức phạm trù nhóm aben, Kn nhóm aben tự ∂n = : Kn → Kn−1 Khi đó, f, g : K → K biến đổi dây chuyền với Hn (f ) = Hn (g) : Hn (K) → Hn (K ), ∀n ∈ Z 10 f g Hệ 1.2 Cho K, K phức phạm trù nhóm aben, Kn nhóm aben tự ∂n = : Kn → Kn−1 Khi đó, có f : K → K biến đổi dây chuyền cho Hn (f ) đẳng cấu với n ∈ Z hai phức K K tương đương đồng luân Mệnh đề 1.2 Nếu s : f g : K → K s : f g : K → K đồng luân dây chuyền ánh xạ sau đồng luân dây chuyền: g g : K −→ K f s+sg :f f Định lý 1.2 (dãy đồng điều khớp) Đối với dãy khớp ngắn phức E:0 / K χ / σ / M L / (χ, σ biến đổi dây chuyền, dãy khớp theo nghĩa khớp n), dãy dài nhóm đồng điều sau khớp: · · · Hn+1 (M ) En+1 /H n (K) χ∗ / σ∗ / H Hn (L) n (M ) En / Hn−1 (K) · · · đó, En : Hn (M ) → Hn−1 (K) gọi đồng cấu nối xác định sau: En (clsM m) = clsK (χ−1 ∂ L σ −1 m) 1.1.3 Phép giải Định nghĩa 1.1 Một phép giải môđun C dãy khớp dạng: / Xn ∂ / Xn−1 / / X1 ∂ / Xo ε /C / 11 tức phức (X, ε) với nhóm đồng điều Hn (X) = n > Ho (X) ∼ = C Phép giải tự Xn tự do, phép giải xạ ảnh Xn xạ ảnh Mệnh đề 1.3 (Định lý so sánh) Nếu γ : C → C đồng cấu, ε : X → C phức xạ ảnh C ε : X → C phép giải C , tồn biến đổi dây chuyền f : X → X , ε ◦ fo = γ ◦ ε hai biến đổi dây chuyền đồng luân 1.2 1.2.1 Phức kì dị đồng điều kì dị Các định nghĩa • q−đơn hình chuẩn: Cho q ≥ Một q−đơn hình chuẩn, kí hiệu: ∆q tập Rq+1 , xác định bởi: (xo , x1 , , xq ) ∈ ∆q ⇐⇒    ≤ xi ≤ q   xi = i=0 eo , e1 , , eq sở tắc Rq+1 ej ∈ ∆q gọi đỉnh thứ j ∆q Ánh xạ εjq xác định sau: εjq : ∆q−1 −→ ∆q (j = 0, 1, , q − 1) εjq (xo , , xj−1 , xj , , xq−1 ) = (xo , , xj−1 , 0, xj , , xq−1 ) X khơng gian tơpơ • q−đơn hình kì dị ánh xạ σ : ∆q → X liên tục • Sq X nhón aben tự do, sinh tập tất q−đơn hình kì dị 12 • Phức kì dị SX, phức dây chuyền nhóm aben có hạng tử thứ n Sn X đồng cấu bờ xác định sau: ∂n : Sn X −→ Sn−1 X n σ −→ (−1)j σεjn j=0 • HX = H(SX) gọi đồng điều kì dị (tuyệt đối) khơng gian tôpô X Nếu A không gian X H(X, A) = H(S(X, A)) gọi đồng điều tương đối không gian tôpô X mod A • Cho X, Y hai khơng gian tơpơ Nếu f : X → Y ánh xạ liên tục Sf : SX → SY trở thành biến đổi dây chuyền, không sợ nhầm lẫn ta viết f : SX → SY • Trường hợp P điểm, ánh xạ liên tục γ X : X → P cảm sinh đồng cấu đồng điều: γ∗X : HX → HP Khi đó, ta gọi Ker γ∗X ⊂ HX nhóm đồng điều dẫn xuất X kí hiệu: HX 1.2.2 Một số mệnh đề Mệnh đề 1.4 Cho X không gian tơpơ, ta có: Hq (X) = Hq X, q = Ho (X) = Z ⊕ Ho (X) Mệnh đề 1.5 X tập lồi Rn , η : SX → (Z, 0) tương đương đồng luân, đặc biệt HX = 13 Mệnh đề 1.6 Cho S n mặt cầu không gian Euclide, S n = {x ∈ Rn+1 , x = 1} Khi đó, ta có:   k = n n Hk (S ) =  Z k = n 1.3 1.3.1 Tích tenxơ mơđun Định nghĩa • Tích tenxơ hai mơđun: Cho XR R Y môđun phải môđun trái vành hệ tử R Tích tenxơ mơđun X Y nhóm aben đó, kí hiệu X ⊗R Y , cho có ánh xạ song tuyến tính τ : X × Y → X ⊗R Y mà ánh xạ song tuyến tính ϕ : X × Y → G (với G nhóm aben), ln tồn đồng cấu f : X ⊗R Y → G thỏa mãn ϕ = f ◦ τ (τ gọi ánh xạ tenxơ) • Tích tenxơ hai đồng cấu: Cho f : XR → XR đồng cấu R−môđun phải, g : R Y → R Y đồng cấu R−mơđun trái Ta định nghĩa tích tenxơ hai đồng cấu f g, kí hiệu: f ⊗ g đồng cấu nhóm aben từ X ⊗ X vào Y ⊗ Y cho ta có: (f ⊗ g)(x ⊗ y) = f (x) ⊗ g(y), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y • R−mơđun phải A gọi môđun dẹt phải hàm tử (A ⊗ −) hàm tử khớp Khái niệm dẹt trái R−môđun trái 53 phức tự L biến đổi dây chuyền g : L → L Ta có biểu đồ giao hốn sau: / H(K ) ⊗ H(L ) f∗ ⊗g∗ / p / (f ⊗g)∗  p / H(K) ⊗ H(L) β / H(K ⊗ L ) Tor(f∗ ,g∗ )  β H(K ⊗ L) / / Tor(H(K ), H(L )) /  Tor(H(K), H(L)) Do cách chọn f, g, ta có ánh xạ cột hai bên biểu đồ đẳng cấu, dòng khớp nên theo bổ đề ngắn, cột đẳng cấu Từ đó, dịng dãy khớp chẻ nên dịng dãy khớp chẻ Ta có ví dụ trường hợp này: Ví dụ 3.1 Ta xét phức K : · · · o xác định sau: p1 p2 , Với phần tử q1 q đó: Q⊕Qo ∂n Q⊕Qo ∂n+1 Q⊕Qo với ∂n ∈ Q⊕Q, p1 , q1 , p2 , q2 ∈ Z; (p1 , q1 ) = 1, (p2 , q2 ) = 1, Trường hợp n chẵn – Nếu q1 lẻ, ∂n p1 p2 , q q2 = – Nếu q1 = 2k , với k ∈ N∗ ∂n p1 ,0 q1 p1 p2 , q q2 = (0, 0) – Nếu q1 = q1 2k với k ∈ N∗ (q1 , 2k ) = tồn t, s ∈ Z cho t.q1 + s.2k = 1, từ đó, ta p1 tq1 + p1 s2k = p1 Khi đó, p1 s p1 p2 , = ,0 ta đặt ∂n q1 q q1 54 Trường hợp n lẻ – Nếu q2 lẻ, ∂n p1 p2 , q q2 = 0, – Nếu q2 = 2k , với k ∈ N∗ ∂n p2 q2 p1 p2 , q q2 = (0, 0) – Nếu q2 = q2 2k , với k ∈ N∗ (q2 , 2k ) = tồn t, s ∈ Z cho t.q2 + s.2k = 1, từ đó, ta p2 tq2 + p2 s2k = p2 Khi p2 s p1 p2 , = 0, đó, ta đặt ∂n q1 q2 q2 Dễ thấy K phức thỏa yêu cầu giả thiết định lý 3.2 Từ đó, với phức nhóm aben L bất kỳ, ta có dãy khớp chẻ: +∞ / / Hq (Q ⊕ Q) ⊗ Hn−q (L) Hn [(Q ⊕ Q) ⊗ L] q=−∞  +∞ 0o Tor[Hq (Q ⊕ Q), Hn−1−q (L)] q=−∞ Mặt khác, ta đặt H = p : ∃k ∈ N∗ , q = 2k , dễ thấy q Hq (Q ⊕ Q) = H ⊕ H, ∀q Từ đó, ta có đẳng cấu: ∞ Hn [(Q ⊕ Q) ⊗ L] ∼ = ∞ (H ⊕ H) ⊗ Hq (L) q=−∞ Tor(H ⊕ H, Hq (L)) q=−∞ 55 3.2 Một vài ứng dụng công thức Quy net 3.2.1 Định lý hệ tử phổ dụng Xét phức nhóm aben K Nếu Kn tự G nhóm aben tùy ý Khi đó, theo định lý hệ tử phổ dụng (Thm III 4.1)[5] ta có dãy khớp / / Ext(Hn−1 (K), G) / H n (K, G) /0 Hom(Hn (K), G) Áp dụng định lý 3.2 cho trường hợp đặc biệt với phức L có A chiều thứ chiều lại (xem nhóm aben A phức tầm thường), ta có kết sau: Định lý 3.3 Nếu K phức nhóm aben khơng xoắn A nhóm aben Khi đó, với chiều thứ n có dãy khớp chẻ sau: / Hn (K) ⊗ A p / Hn (K ⊗ A) / Tor(Hn−1 (K), A) /0 (3.7) Hệ 3.6 Nếu K K phức nhóm aben khơng xoắn f : K → K biến đổi dây chuyền cho f∗ : Hn (K) → Hn (K ) đẳng cấu với n Khi đó, (f ⊗ 1)∗ : Hn (K ⊗ A) −→ Hn (K ⊗ A) đẳng cấu với nhóm aben A n Chứng minh Ta xét biểu đồ giao hoán sau: / 0 / Hn (K) ⊗ A  p f∗ ⊗1 Hn (K ) ⊗ A p / / / Hn (K ⊗ A)  (f ⊗1)∗ Hn (K ⊗ A) / / / Tor(Hn−1 (K), A)  Tor(f∗ ,1) Tor(Hn−1 (K ), A) 56 Theo định lý (3.3) dịng biểu đồ khớp Mặt khác, từ giả thiết f ta suy cột bên đẳng cấu Theo bổ đề ngắn, ta suy cột đẳng cấu 3.2.2 Luật kết hợp hàm tử Tor Mệnh đề 3.7 Cho A, B, C nhóm aben Khi đó, ta có: Tor(A, Tor(B, C)) ∼ = Tor(Tor(A, B), C) (3.8) Chứng minh Trước hết, ta biết ln tồn nhóm aben tự Ko , Lo , Mo , nhóm tương ứng chúng K1 , L1 , M1 cho: A∼ = Ko /K1 B∼ = Lo /L1 C∼ = Mo /M1 Hiển nhiên, K1 , L1 , M1 nhóm aben tự Khi đó, ta có phức tự sau: K : ···o 0o Ko o ∂1K K1 o ···o 0o Lo o ∂1L L1 o M : ···o 0o Mo o ∂1M L: M1 o 0o 0o 0o số trùng với số chiều hạng tử phức, ∂1K , ∂1L , ∂1M phép nhúng 57 Đối với phức trên, ta dễ nhận thấy điều sau đây:   A n = Hn (K) =  n =   B n = Hn (L) =  n = (3.9)   C n = Hn (M ) =  n = Đương nhiên phức K, L, M thỏa mãn yêu cầu định lý công thức Quy net phức nhóm aben Đầu tiên, ta áp dụng công thức Quy net phức L ⊗ M (trong trường hợp n = 1) Ta có: / [Ho (L) ⊗ H1 (M )] ⊕ [H1 (L) ⊗ Ho (M )] 0o / H1 (L ⊗ M )  Tor(Ho (L), Ho (M )) Từ đó, kết hợp với (3.9) ta được: H1 (L ⊗ M ) ∼ = Tor(B, C) (3.10) H1 (K ⊗ L) ∼ = Tor(A, B) (3.11) Tương tự, ta có: 58 Bây giờ, ta xem xét cụ thể phức L ⊗ M K ⊗ L Ta có: L ⊗ M : ···0o ∂11 Lo ⊗ M o o (Lo ⊗ M1 ) ⊕O (L1 ⊗ Mo ) ∂21 L1 ⊗ M o K ⊗ L : ···0o Ko ⊗ L o o ∂12 0··· (Ko ⊗ L1 ) ⊕O (K1 ⊗ Lo ) ∂22 K1 ⊗ L o 0··· đó, ta nhận thấy: với m ⊗ l ∈ M1 ⊗ L1 ∂21 (m ⊗ l) = m ⊗ l − m ⊗ l = Do đó, ∂21 = 0, tương tự, ∂22 = Từ đó, suy ra: H2 (L ⊗ M ) = H2 (K ⊗ L) = (3.12) Lấy tích tenxơ hai phức K L ⊗ M , ta được: K ⊗ (L ⊗ M ) : .O 0O Ko ⊗ (Lo ⊗ Mo ) O ∂1 [Ko ⊗ (Lo ⊗ M1 )] ⊕ [Ko ⊗ (L1 ⊗ Mo )] ⊕ [K1 ⊗ (Lo ⊗ Mo )] O ∂2 [Ko ⊗ (L1 ⊗ M1 )] ⊕ [K1 ⊗ (LO o ⊗ M1 )] ⊕ [K1 ⊗ (L1 ⊗ Mo )] ∂3 K1 ⊗ (LO ⊗ M1 ) 0O 59 tương tự, ta có phức (K ⊗ L) ⊗ M sau: (K ⊗ L) ⊗ M : .O 0O (Ko ⊗ Lo ) ⊗ Mo O ∂1 [(Ko ⊗ Lo ) ⊗ M1 ] ⊕ [(Ko ⊗ L1 ) ⊗ Mo ] ⊕ [(K1 ⊗ Lo ) ⊗ Mo )] O ∂2 [(Ko ⊗ L1 ) ⊗ M1 ] ⊕ [(K1 ⊗ Lo ) ⊗ M1 ] ⊕ [(K1 ⊗ L1 ) ⊗ Mo ] O ∂3 (K1 ⊗ L1 ) ⊗ M1 O 0O Rõ ràng hạng tử chiều hai phức đẳng cấu Ta gọi fi đẳng cấu chiều thứ i từ hạng tử phức K ⊗ (L ⊗ M ) vào hạng tử phức (K ⊗ L) ⊗ M Khi đó, f = {fi }i lập thành biến đổi dây chuyền hai phức Thật vậy, ta chứng minh thông qua phần tử sinh k ⊗ (l ⊗ m) với k ∈ Ki , l ∈ Lj , ta có trường hợp sau: 60 • i=j=0: f ∂[k ⊗ (l ⊗ m)] = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) + k ⊗ (∂ L l ⊗ m + l ⊗ ∂ M m)) = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) + k ⊗ (∂ L l ⊗ m)+ k ⊗ (l ⊗ ∂ M m)) = (∂ K k ⊗ l) ⊗ m + (k ⊗ ∂ L l) ⊗ m+ (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = (∂ K k ⊗ l + k ⊗ ∂ L l) ⊗ m + (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = ∂ [(k ⊗ l) ⊗ m] = ∂ f [k ⊗ (l ⊗ m)] • i = 0, j = : f ∂[k ⊗ (l ⊗ m)] = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) + k ⊗ (∂ L l ⊗ m − l ⊗ ∂ M m)) = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) + k ⊗ (∂ L l ⊗ m)− k ⊗ (l ⊗ ∂ M m)) = (∂ K k ⊗ l) ⊗ m + (k ⊗ ∂ L l) ⊗ m− (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = (∂ K k ⊗ l + k ⊗ ∂ L l) ⊗ m − (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = ∂ [(k ⊗ l) ⊗ m] = ∂ f [k ⊗ (l ⊗ m)] 61 • i = 1, j = : f ∂[k ⊗ (l ⊗ m)] = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) − k ⊗ (∂ L l ⊗ m + l ⊗ ∂ M m)) = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) − k ⊗ (∂ L l ⊗ m)− k ⊗ (l ⊗ ∂ M m)) = (∂ K k ⊗ l) ⊗ m − (k ⊗ ∂ L l) ⊗ m− (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = (∂ K k ⊗ l − k ⊗ ∂ L l) ⊗ m − (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = ∂ [(k ⊗ l) ⊗ m] = ∂ f [k ⊗ (l ⊗ m)] • i=j=1: f ∂[k ⊗ (l ⊗ m)] = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) − k ⊗ (∂ L l ⊗ m − l ⊗ ∂ M m)) = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) − k ⊗ (∂ L l ⊗ m)+ k ⊗ (l ⊗ ∂ M m)) = (∂ K k ⊗ l) ⊗ m − (k ⊗ ∂ L l) ⊗ m+ (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = (∂ K k ⊗ l − k ⊗ ∂ L l) ⊗ m + (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = ∂ [(k ⊗ l) ⊗ m] = ∂ f [k ⊗ (l ⊗ m)] Từ đó, suy phức K ⊗ (L ⊗ M ) (K ⊗ L) ⊗ M tương đương đồng luân Bây giờ, ta áp dụng công thức Quy net phức K phức L⊗M ta áp dụng phức K ⊗ L phức M (trường hợp n = 2) 62 Cùng với việc sử dụng (3.10), (3.11) (3.12), ta tính được: H2 (K ⊗ (L ⊗ M )) ∼ = Tor(A, Tor(B, C)) H2 ((K ⊗ L) ⊗ M ) ∼ = Tor(Tor(A, B), C) Nhưng phức K ⊗ (L ⊗ M ) (K ⊗ L) ⊗ M tương đương đồng luân (chứng minh trên) nên ta có kết cần chứng minh 3.2.3 Tính đồng điều kì dị khơng gian tích Như nói đầu chương, ta tính đồng điều tích tenxơ hai phức kì dị tức ta tính đồng điều kì dị khơng gian tích Trong mục nêu lên ứng dụng cơng thức Quy net kết hợp với định lý Eilenberg – Zilber để tính đồng điều kì dị khơng gian tích thơng qua đồng điều kì dị không gian thành phần Mệnh đề 3.8 Cho hai không gian tô pô X, Y Khi đó, ta có đẳng cấu sau: Hn (X × Y ) ∼ = (Hm (X) ⊗ Hq (Y )) m+q=n Tor(Hm (X), Hq (Y )) m+q=n−1 Chứng minh Theo định lý Eilengber – Zilber S(X × Y ) tương đương đồng luân với S(X) ⊗ S(Y ), từ ta có đẳng cấu: Hn (X × Y ) ∼ = Hn (S(X) ⊗ S(Y )), ∀n (3.13) Mặt khác, theo định lý 3.2 công thức Quy net trường hợp 63 phức nhóm aben, ta có dãy khớp chẻ sau: Hm (X) ⊗ Hq (Y ) / m+q=n p  Hn (S(X) ⊗ S(Y )) Tor(Hm (X), Hq (Y )) β/ m+q=n−1 / Nghĩa ta có đẳng cấu: Hn (S(X) ⊗ S(Y )) ∼ = (Hm (X) ⊗ Hq (Y )) m+q=n Tor(Hm (X), Hq (Y )) m+q=n−1 (3.14) Từ (3.13) (3.14) ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 3.2 Tính đồng điều kì dị Hn (S m × S q ), với m, q = Giải Ta biết   k = n n Hk (S ) =  Z k = n Do đó, với trường hợp n = ta có: Hn (S n ) ∼ = Hn (S n ) ∼ =Z Ho (S n ) ∼ = Z ⊕ Ho (S n ) = Z ⊕ ∼ =Z Hk (S n ) = 0, với k = k = n Kết hợp điều mệnh đề 3.8 ta suy ∞ Hn (S × S ) ∼ = m q Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) t=0 Từ đó, để tính Hn (S m × S q ), ta có trường hợp sau: 64 TH1: m = q • Nếu n = đồng điều Hn−t (S q ) = t > nên ∞ Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = Ho (S m ) ⊗ Ho (S q ) ∼ =Z =Z⊗Z∼ t=0 Tức là, trường hợp Hn (S m × S q ) ∼ = Z • Nếu n = m = q ta có ∞ Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = [Ho (S m ) ⊗ Hn (S q )] ⊕ t=0 [Hn (S m ) ⊗ Ho (S q )] = [Ho (S m ) ⊗ Hq (S q )] ⊕ [Hm (S m ) ⊗ Ho (S q )] = Z⊕Z =⇒ Hn (S m × S q ) ∼ =Z⊕Z • Nếu n = m + q ta có: ∞ Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = [Hm (S m ) ⊗ Hq (S q )] ⊕ t=0 = Z =⇒ Hn (S m × S q ) ∼ =Z • Các trường hợp cịn lại n làm xuất hạng tử tổng trực tiếp mà hai hạng tử thành phần tích tenxơ khác khơng nên trường hợp cịn lại n Hn (S m × S q ) = TH2: m = q 65 • Nếu n = đồng điều Hn−t (S q ) = t > nên ∞ Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = Ho (S m ) ⊗ Ho (S q ) ∼ =Z =Z⊗Z∼ t=0 Tức là, trường hợp Hn (S m × S q ) ∼ = Z • Nếu n = m n = q  ∞      Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = Ho (S m ) ⊗ Hq (S q ) ∼ =Z t=0 ∞ Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = Hm (S m ) ⊗ Ho (S q ) ∼ =Z t=0 =⇒ Hn (S m × S q ) ∼ =Z • Nếu n = m + q ∞ Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = [Hm (S m ) ⊗ Hq (S q )] ⊕ t=0 = Z =⇒ Hn (S m ì S q ) =Z ã Tng t trên, trường hợp lại n làm xuất hạng tử tổng trực tiếp mà hai hạng tử thành phần tích tenxơ khác khơng nên trường hợp cịn lại n Hn (S m × S q ) = Tóm lại, ta có kết sau:   Z n = 0, n = m + q,       n = m n = q(m = q) m q ∼ Hn (S × S ) =   Z ⊕ Z n = m = q      lại 66 cho qua cua KẾT LUẬN Nội dung luận văn, kiến thức chuẩn bị ra, có số vấn đề làm sau: • Tìm hiểu thêm tích tenxơ hai phức • Tìm hiểu định lý Eilenberg – Zilber tương đương dây chuyền tích tenxơ hai phức kì dị hai khơng gian tơpơ phức kì dị khơng gian tơpơ tích • Tìm hiểu rõ định lý cơng thức Quy net phức mơđun phức nhóm aben • Cho thấy vài ứng dụng cơng thức Quy net, bao gồm – Công thức hệ tử phổ dụng – Chứng minh luật kết hợp hàm tử Tor – Tính đồng điều kì dị tích hai khơng gian tơpơ thơng qua đồng điều kì dị khơng gian thành phần Lấy ví dụ cụ thể áp dụng 67 cho qua cua TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Huyên, Nguyễn Trọng Khâm (1993), Giáo trình Mơđun Phạm trù, Đại học quốc gia, Thành phố Hồ Chí Minh S – T Hu (2000), Nhập môn đại số đồ điều (bản dịch), Đại học sư phạm, Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh A Dold (1972), Lectures on Algebraic Topology, Springer – Verlag, Berlin – Heidelberg – New York S – T Hu (1970), Homology Theory (a first course in algebraic topology), Holden – Day, Inc, San Francisco, London, Amsterdam S.MacLane (1963), Homology, Academic Press, New York ———— ... ∂q ⊗ (1Ln−q )∗ Ta tìm hiểu qua vài mệnh đề bổ trợ việc tìm hiểu cơng thức Quy net, sau định lý – công thức Quy net 3.1.2 Công thức Quy nét Định lý 3.1 (Công thức Quy nét) Cho KR RL phức thỏa Bn... dẫn đến Ψ(σ, τ ) = σ ⊗ τ với σ : ∆o → X, τ : ∆o → Y Chng CễNG THC QUY NET ă (KUNNETH) V MỘT VÀI ỨNG DỤNG 3.1 Công thức Quy net Theo định lý Eilenberg – Zilber chương trước tích tenxơ hai phức... lý công thức Quy net (Kă unneth) Cho nờn, vic hiu rừ v cụng thức Quy net có vai trị hỗ trợ việc tìm hiểu sâu Đại Số Đồng Điều Tơpơ Đại Số Đó lý chọn đề tài 7 Mục đích Tìm hiểu rõ cơng thức Quy