Bóng của tập hợp trên vành bul hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH BÓNG CỦA TẬP HP TRÊN VÀNH BUL HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ Mã số: 1.01.03 Người hướng dẫn: TS TRẦN HUYÊN Người thực hiện: HOÀNG CÔNG CHỨC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2004 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn, Tiến sĩ Trần Huyên, thuộc Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người thầy khả kính dành nhiều cơng sức thời gian quý báu để hướng dẫn bước đường nghiên cứu khoa học với tất niềm say mê Những kết luận văn khơng thể có khơng có tận tình tâm huyết thầy Tơi xin vơ biết ơn PGS-TS Bùi Tường Trí, PGS-TS Mỵ Vinh Quang, PGS-TS Bùi Xuân Hải tất Quý Thầy, Cơ Khoa Tốn-Tin học Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người thầy tận tình dạy dỗ truyền đạt cho tơi kiến thức toán học giá trị niềm đam mê vơ tận Tốn học Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Khoa Học Cơng Nghệ - Sau Đại Học, Khoa Tốn-Tin học Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban Giám Hiệu Trường Trung học Thực hành-ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh Q Thầy, Cơ bạn đồng nghiệp không ngừng động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi tinh thần vật chất cho tơi q trình thực luận văn Tác giả luận văn LỜI NÓI ĐẦU Dưới phát triển khoa học công nghệ thông tin, lý thuyết Combinatorics nhanh chóng quan tâm phát triển để đáp ứng yêu cầu thực tiễn Từ năm 1928, sau Sperner công bố định lý đẹp giá trị cực đại hệ đơn xích tập tập hữu hạn S, Combinatorics lại thu hút ý nhiều nhà Toán học Hàng loạt kết nghiên cứu hệ tập tập hữu hạn công bố Một toán thiết thực thú vị lý thuyết Combinatorics giải vấn đề cực trị hệ tập tập hữu hạn mà chúng thỏa mãn tính chất Nghiên cứu lớp toán này, Kruskal Katona đưa chứng minh kết quan trọng hữu ích, Định lý Kruskal-Katona giá trị nhỏ bóng tập hợp Trong q trình sử dụng mở rộng định lý trên, người ta thu nhiều kết lý thú, nhiều vấn đề nảy sinh cần giải quyết, xem xét lớp toán cực trị đánh giá độ lớn tập hợp vành Bul hữu hạn Trong luận văn này, xem xét cách cụ thể sâu sắc kết liên quan đến bóng tập hợp vành Bul hữu hạn Đồng thời, đưa kết đánh giá độ lớn bóng, mở rộng thêm kết đạt hướng nghiên cứu Luận văn gồm chương Chương I : Trình bày khái niệm tính chất quan trọng hai vành Bul hữu hạn quen thuộc vành P(S) B(n) Chương II : Các kết xác định độ lớn đoạn đầu bóng đoạn đầu xếp phần tử vành Bul thứ tự từ điển Chương III : Trình bày chứng minh Định lý kết nó, đồng thời đưa hướng mở rộng phạm vi nghiên cứu định lý quan trọng Chương IV : Các kết đánh giá đánh giá bóng tập hợp thông qua việc áp dụng Định lý bóng đoạn đầu vành Bul hữu hạn Do thời gian trình độ có hạn, luận văn khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, mong nhận thông cảm, giúp đỡ góp ý q báu Q Thầy, Cơ, bạn đồng nghiệp đọc giả Mục lục I Các khái niệm vành Bul hữu hạn I.1 Vành P(S) I.1.1 Cấu trúc vành P(S) I.1.2 Cấu trúc thứ tự P(S) I.1.3 Bóng tập hợp P(S) I.2 Vành B(n) I.2.1 Cấu trúc vành B(n) I.2.2 Cấu trúc thứ tự B(n) I.2.3 Bóng tập hợp B(n) I.3 Quan hệ vành B(n) vành P(S) II Biểu diễn k-nhị thức Bóng đoạn II.1 Một số toán mở đầu II.2 Biểu diễn k-nhị thức số II.3 Bóng đoạn đầu 2 6 7 đầu 10 11 14 23 III Định lý Bóng tập hợp mở rộng phạm vi ứng dụng III.1 Toán tử nâng Sj III.2 Định lý bóng tập hợp III.3 Một hướng mở rộng phạm vi ứng dụng Định lý 29 29 35 40 IV Vài kết đánh giá bóng đoạn đầu 46 IV.1 Các định lý phép cộng 46 IV.2 Một ước lượng lực lượng đoạn đầu thơng qua bóng 55 Chương I Các khái niệm vành Bul hữu hạn Lớp vành Bul hữu hạn có nhiều tính chất quan trọng lý thú, tính chất thể rõ hai vành Bul hữu hạn quen thuộc sau đây: Cho S tập hợp hữu hạn có n phần tử, vành Bul hữu hạn P(S) xây dựng tập tất tập tập S Cho số nguyên dương n, vành Bul hữu hạn B(n) , xây dựng tập hợp B(n) xác định sau B(n) = {(εn , εn−1 , , ε1 ) : εi = εi = với i = 1, 2, , n} Ta gọi tập S có n phần tử n-tập S, tập gồm k phần tử tập S k-tập S.Với n-tập S cho trước, dễ dàng kiểm tra vành P(S) vành B(n) đẳng cấu với Hơn nữa, vành Bul hữu hạn đẳng cấu với hai vành Vì vậy, tùy theo vấn đề cụ thể, việc xem xét chúng thực vành P(S) vành B(n) mà lựa chọn không đưa đến thay đổi kết luận chung lớp vành Bul hữu hạn Trong chương này, đưa số khái niệm liên quan đến bóng tập hợp vành Bul hữu hạn thông qua việc xem xét cấu trúc thứ tự vành P(S) vành B(n) I.1.Vành P(S) I.1 Vành P(S) Cho S tập hợp hữu hạn n phần tử, n ≥ 1, n ∈ Z, để đơn giản ta xét S = {1, 2, , n} Khi đó, P(S)={A | A ⊆ S} tập tất tập S Như vậy, số phần tử P(S) 2n Nếu khơng có nhầm lẫn, ta ký hiệu tập A = {a1 , a2 , , ak } ⊆ S A = a1 a2 ak I.1.1 Cấu trúc vành P(S) Ta xây dựng cấu trúc vành P(S) cách định nghĩa phép toán cộng (+) phép toán nhân (·) phần tử P(S) sau: Với A, B ∈ P(S) A+B =A Trong đó, A B A.B = A ∩ B B = (A \ B) ∪ (B \ A) hiệu đối xứng A B Ta dễ dàng kiểm tra tính hợp lý hai phép tốn (P(S), +, ·) vành giao hoán, phần tử đơn vị S, phần tử tập rỗng ∅ Với A ∈ P(S) ta có A2 = A.A = A ∩ A = A Do đó, (P(S), +, ·) vành Bul hữu hạn Với tập A ∈ P(S), ta gọi tập A = S − A phần bù A S Từ định nghĩa phép tốn cộng, ta có ngay: A + B = A + B với A, B ∈ P(S) I.1.2 Cấu trúc thứ tự P(S) Trước hết, ta có quan hệ thứ tự thông thường ≤ vành P(S) dựa quan hệ bao hàm tập hợp sau: Với A, B ∈ P(S) ta nói A ≤ B A ⊆ B Hiển nhiên ≤ quan hệ thứ tự phận P(S) Sau đây, xem xét quan hệ thứ tự thú vị hệ tất tập hợp có số phần tử tập S I.1.Vành P(S) Thứ tự nén hệ k-tập n-tập S Với A ∈ P(S), ta đặt |A| số phần tử tập A Khi đó, với k ∈ {0, 1, , n}, ta gọi mức thứ k P(S) tập hợp Pk (S) = {A ⊆ S : |A| = k} gồm tất k-tập n-tập S Trên Pk (S) ta xác định quan hệ thứ tự