Đề thi vào lớp 10 môn toán năm 2020 có đáp án sở GDĐT hà nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x  2x   3 x  y  5  x  y 2) Giải hệ phương trình    x  y  3  Câu (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A   27    x x  x   : 2) Cho biểu thức B   (với x  , x  )   x  x  x  x  Rút gọn biểu thức B Tìm tất giá trị x để biểu thức B nhận giá trị âm Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol  P  có phương trình y  x2 đường thẳng d  có phương trình y  x  m ( m tham số) 1) Tìm m để đường thẳng ( d ) qua điểm M 2; 3 2) Tìm điều kiện m để parabol  P  cắt đường thẳng d  hai điểm phân biệt Gọi A x1 ; y1 , B  x2 ; y2  hai giao điểm parabol  P  đường thẳng d , xác định m để 1  x1 x2   2 y1  y2   16 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn (O; R ) Hai đường cao BE , CF tam giác ABC cắt H Đường thẳng AH cắt BC D cắt đường tròn (O; R ) điểm thứ hai M 1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp  2) Chứng minh BC tia phân giác EBM 3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF Chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE 4) Khi hai điểm B, C cố định điểm A di động đường tròn (O; R ) thỏa mãn điều kiện tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh OA  EF Xác định vị trí điểm A để tổng DE  EF  FD đạt giá trị lớn Câu (0,5 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh 1 1    a 2 b 3 b 2 c 3 c 2 a 3 HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Cán coi thi thứ nhất: Cán coi thi thứ hai: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Lưu ý: - Các cách giải khác đáp án cho điểm tương ứng theo biểu điểm - Tổng điểm tồn khơng làm trịn Câu Ý Nội dung 1) Giải phương trình x − x − = Phương trình cho có a − b + c = Suy phương trình có hai nghiệm x = −1 x = (1,0đ) Điểm 0,5 0,5  3 x  y  5  x  y 2) Giải hệ phương trình    x  y  3  Câu (2,0đ) (1,0đ) −15 3 x + y + 15 = x + y x + 8y = ⇔ ⇔ −3 −3 x + y = x + y = −15 x + 8y = ⇔ 6 y = −12 −15 x + 8y = ⇔  y = −2 −15  x − 16 = x = ⇔ ⇔  y = −2  y = −2 0,25 0,25 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; −2 ) 0,25 1) Rút gọn biểu thức A = − 27 + − (1,0đ) ( A = −3 + ) −1 0,5 0,5 =2 − 3 + − =−1 Câu (2,0đ)  x x  x −1 2) Cho biểu thức = B  −  :  x +1 x + x  x −1 Rút gọn biểu thức B Tìm tất giá trị x   x x x −1  x   := = B − −   x +1 x x +1  x −1  x +1   (1,0đ) (  = ) x 1 x 1 : x  x 1 x −1 x +1 ( )( x −1 ) x +1 = x −1 (với x > , x ≠ ) để biểu thức B nhận giá trị âm  x −1 : x +  x − x −1 0,25 0,25 0,25 B < ⇔ x − < ⇔ x < ⇒ x < Kết hợp điều kiện, ta có  x  0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) có phương trình y = x Câu (1,5đ) (0,5đ) đường thẳng ( d ) có phương trình = y x + m ( m tham số) 1) Tìm m để đường thẳng ( d ) qua điểm M ( −2;3) Vì đường thẳng ( d ) qua điểm M ( −2;3) suy = ( −2 ) + m 0,25 Trang 1/4 ⇔ =−4 + m ⇔ m =7 0,25 2) Tìm điều kiện m để parabol ( P ) cắt đường thẳng ( d ) hai điểm phân biệt Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) hai giao điểm parabol ( P ) đường thẳng ( d ) , xác định m để (1 − x1 x2 ) + ( y1 + y2 ) = 16 Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: x = x + m ⇔ x − x − m = (1) 0,25 Parabol ( P ) cắt đường thẳng ( d ) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) (1,0đ) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ∆′ = + 2m , ∆′ > ⇔ + 2m > ⇔ m > − (*)  x1 + x2 =  Khi theo định lý Vi-et ta có  m x x = −  2 (1 − x1 x2 ) + ( y1 + y2 ) = 16 ⇔ (1 − x1 x2 ) + ( x1 + m + x2 + m ) = 16 0,25 2  m ⇔ (1 − x1 x2 ) + ( x1 + x2 ) + 4m = 16 ⇔ 1 +  + + 4m = 16 2  m2 m2 + 5m + = 16 ⇔ m + 20m − 44 = ⇔ 1+ m + + + 4m = 16 ⇔ 4 m = Đối chiếu điều kiện (*) , ta có m = ⇔  m = −22 0,25 0,25 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O; R ) Hai đường cao BE , CF tam giác ABC cắt H Đường thẳng AH cắt BC D cắt đường tròn (O; R ) điểm thứ hai M 1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp Câu (4,0đ) (1,0đ) (Học sinh không vẽ hình ý khơng chấm điểm ý đó) Ta có  AEH = 90o (vì BE đường cao) Ta có  AFH = 90o (vì CF đường cao) 0,25 0,25 Trang 2/4 Suy  AEH +  AFH = 180o Vậy tứ giác AEHF nội tiếp (tứ giác có tổng góc đối 180o )  2) Chứng minh BC tia phân giác EBM (1,0đ)  = MBC  (2 góc nội tiếp chắn cung) Ta có MAC Vì H trực tâm ∆ABC ⇒ AD ⊥ BC  = EBC  (hai góc phụ với  Lại có MAC ACB ) =  ⇒ MBC EBC (1,0đ) (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  0,25 ⇒ BC tia phân giác EBM 3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF Chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE Gọi K trung điểm BC suy K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 0,25 BCE  = Tam giác IAE cân I ⇒ IAE IEA 0,25 =  Tam giác KCE cân K ⇒ KEC KCE  + DCA =  + KEC = 0,25 Mà DAC 90o ⇒ IEA 90o = ⇒ IEK 90o 0,25 Suy IE tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE 4) Khi hai điểm B, C cố định điểm A di động đường tròn (O; R ) thỏa mãn điều kiện tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh OA  EF Xác định vị trí điểm A để tổng DE  EF  FD đạt giá trị lớn Do tứ giác BCEF nội tiếp (2 đỉnh E,F nhìn cạnh BC 1góc  ) vuông) nên  AFE =  ACB (cùng bù với BFE Vẽ tiếp tuyến Ax đường tròn (O; R) = Ta có Ax ⊥ OA xAB ACB (cùng chắn cung  AB ) =  ⇒ xAB AFE ⇒ Ax / / EF ⇒ EF ⊥ OA 1 ⇒ S AOE + S AOF = OA.EF = R.EF 2 1 Chứng minh tương tự S BOF + S BOD = SCOD + SCOE = R.DE R.DF 2 R.( DE + EF + FD) 1 ⇒ BC AD = R.( DE + EF + FD) 2 0,25 0,25 ⇒ S= ABC 0,25 Trang 3/4 BC BC AD ≤ AK R R BC BC  BC  Mà AK ≤ AO + OK ⇒ AK ≤  R + R2 −  R R   BC  BC  ⇒ DE + EF + FD ≤  R + R2 −  không đổi R   Dấu “=” xảy ba điểm A, O, K thẳng hàng hay A điểm  cung lớn BC ⇒ DE + EF + FD = 0,25 Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn abc = Chứng minh 1 1 + + ≤ a +2 b +3 b +2 c +3 c +2 a +3 Đặt = x = a,y  x, y , z > BĐT cần cm có dạng c ⇒  xyz = 1 1 + + ≤ x + y + y + 2z + z + 2x + = b, z Ta có: x + y + = ( x + y ) + ( y + 1) + ≥ xy + y + (Áp dụng BĐT Cô si) 1 1 ⇔ ≤ ≤ x + y + xy + y + x + y + xy + y + 1 ≤ Tương tự ta có y + z + yz + z + 0,25 ⇔ Câu (0,5đ) 1 ≤ z + x + zx + x + Ta có  1 1 1 1 ≤  + + + +  x + y + y + z + z + x +  xy + y + yz + z + zx + x +  Mặt khác: 1 + + xy + y + yz + z + zx + x + 1 1 = + + xy + y + 1 + + 1 + x + x xy y 0,25 xy y + + =1 xy + y + y + + xy + xy + y 1 1 Do + + ≤ x + y + y + 2z + z + 2x + 1 1 Hay + + ≤ a +2 b +3 b +2 c +3 c +2 a +3 Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c =1 -Hết = Trang 4/4 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Lưu ý: - Các cách giải khác đáp án cho điểm tương ứng theo biểu... < ⇔ x < ⇒ x < Kết hợp điều kiện, ta có  x  0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) có phương trình y = x Câu (1,5đ) (0,5đ) đường thẳng ( d ) có phương trình = y x + m ( m tham số)... khơng chấm điểm ý đó) Ta có  AEH = 90o (vì BE đường cao) Ta có  AFH = 90o (vì CF đường cao) 0,25 0,25 Trang 2/4 Suy  AEH +  AFH = 180o Vậy tứ giác AEHF nội tiếp (tứ giác có tổng góc đối 180o