SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x 2x 3 x y 5 x y 2) Giải hệ phương trình x y 3 Câu (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A 27 x x x : 2) Cho biểu thức B (với x , x ) x x x x Rút gọn biểu thức B Tìm tất giá trị x để biểu thức B nhận giá trị âm Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol P có phương trình y x2 đường thẳng d có phương trình y x m ( m tham số) 1) Tìm m để đường thẳng ( d ) qua điểm M 2; 3 2) Tìm điều kiện m để parabol P cắt đường thẳng d hai điểm phân biệt Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 hai giao điểm parabol P đường thẳng d , xác định m để 1 x1 x2 2 y1 y2 16 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn (O; R ) Hai đường cao BE , CF tam giác ABC cắt H Đường thẳng AH cắt BC D cắt đường tròn (O; R ) điểm thứ hai M 1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp 2) Chứng minh BC tia phân giác EBM 3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF Chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE 4) Khi hai điểm B, C cố định điểm A di động đường tròn (O; R ) thỏa mãn điều kiện tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh OA EF Xác định vị trí điểm A để tổng DE EF FD đạt giá trị lớn Câu (0,5 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc Chứng minh 1 1 a 2 b 3 b 2 c 3 c 2 a 3 HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Cán coi thi thứ nhất: Cán coi thi thứ hai: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Lưu ý: - Các cách giải khác đáp án cho điểm tương ứng theo biểu điểm - Tổng điểm tồn khơng làm trịn Câu Ý Nội dung 1) Giải phương trình x − x − = Phương trình cho có a − b + c = Suy phương trình có hai nghiệm x = −1 x = (1,0đ) Điểm 0,5 0,5 3 x y 5 x y 2) Giải hệ phương trình x y 3 Câu (2,0đ) (1,0đ) −15 3 x + y + 15 = x + y x + 8y = ⇔ ⇔ −3 −3 x + y = x + y = −15 x + 8y = ⇔ 6 y = −12 −15 x + 8y = ⇔ y = −2 −15 x − 16 = x = ⇔ ⇔ y = −2 y = −2 0,25 0,25 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; −2 ) 0,25 1) Rút gọn biểu thức A = − 27 + − (1,0đ) ( A = −3 + ) −1 0,5 0,5 =2 − 3 + − =−1 Câu (2,0đ) x x x −1 2) Cho biểu thức = B − : x +1 x + x x −1 Rút gọn biểu thức B Tìm tất giá trị x x x x −1 x := = B − − x +1 x x +1 x −1 x +1 (1,0đ) ( = ) x 1 x 1 : x x 1 x −1 x +1 ( )( x −1 ) x +1 = x −1 (với x > , x ≠ ) để biểu thức B nhận giá trị âm x −1 : x + x − x −1 0,25 0,25 0,25 B < ⇔ x − < ⇔ x < ⇒ x < Kết hợp điều kiện, ta có x 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) có phương trình y = x Câu (1,5đ) (0,5đ) đường thẳng ( d ) có phương trình = y x + m ( m tham số) 1) Tìm m để đường thẳng ( d ) qua điểm M ( −2;3) Vì đường thẳng ( d ) qua điểm M ( −2;3) suy = ( −2 ) + m 0,25 Trang 1/4 ⇔ =−4 + m ⇔ m =7 0,25 2) Tìm điều kiện m để parabol ( P ) cắt đường thẳng ( d ) hai điểm phân biệt Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) hai giao điểm parabol ( P ) đường thẳng ( d ) , xác định m để (1 − x1 x2 ) + ( y1 + y2 ) = 16 Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: x = x + m ⇔ x − x − m = (1) 0,25 Parabol ( P ) cắt đường thẳng ( d ) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) (1,0đ) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ∆′ = + 2m , ∆′ > ⇔ + 2m > ⇔ m > − (*) x1 + x2 = Khi theo định lý Vi-et ta có m x x = − 2 (1 − x1 x2 ) + ( y1 + y2 ) = 16 ⇔ (1 − x1 x2 ) + ( x1 + m + x2 + m ) = 16 0,25 2 m ⇔ (1 − x1 x2 ) + ( x1 + x2 ) + 4m = 16 ⇔ 1 + + + 4m = 16 2 m2 m2 + 5m + = 16 ⇔ m + 20m − 44 = ⇔ 1+ m + + + 4m = 16 ⇔ 4 m = Đối chiếu điều kiện (*) , ta có m = ⇔ m = −22 0,25 0,25 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O; R ) Hai đường cao BE , CF tam giác ABC cắt H Đường thẳng AH cắt BC D cắt đường tròn (O; R ) điểm thứ hai M 1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp Câu (4,0đ) (1,0đ) (Học sinh không vẽ hình ý khơng chấm điểm ý đó) Ta có AEH = 90o (vì BE đường cao) Ta có AFH = 90o (vì CF đường cao) 0,25 0,25 Trang 2/4 Suy AEH + AFH = 180o Vậy tứ giác AEHF nội tiếp (tứ giác có tổng góc đối 180o ) 2) Chứng minh BC tia phân giác EBM (1,0đ) = MBC (2 góc nội tiếp chắn cung) Ta có MAC Vì H trực tâm ∆ABC ⇒ AD ⊥ BC = EBC (hai góc phụ với Lại có MAC ACB ) = ⇒ MBC EBC (1,0đ) (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ BC tia phân giác EBM 3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF Chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE Gọi K trung điểm BC suy K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 0,25 BCE = Tam giác IAE cân I ⇒ IAE IEA 0,25 = Tam giác KCE cân K ⇒ KEC KCE + DCA = + KEC = 0,25 Mà DAC 90o ⇒ IEA 90o = ⇒ IEK 90o 0,25 Suy IE tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE 4) Khi hai điểm B, C cố định điểm A di động đường tròn (O; R ) thỏa mãn điều kiện tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh OA EF Xác định vị trí điểm A để tổng DE EF FD đạt giá trị lớn Do tứ giác BCEF nội tiếp (2 đỉnh E,F nhìn cạnh BC 1góc ) vuông) nên AFE = ACB (cùng bù với BFE Vẽ tiếp tuyến Ax đường tròn (O; R) = Ta có Ax ⊥ OA xAB ACB (cùng chắn cung AB ) = ⇒ xAB AFE ⇒ Ax / / EF ⇒ EF ⊥ OA 1 ⇒ S AOE + S AOF = OA.EF = R.EF 2 1 Chứng minh tương tự S BOF + S BOD = SCOD + SCOE = R.DE R.DF 2 R.( DE + EF + FD) 1 ⇒ BC AD = R.( DE + EF + FD) 2 0,25 0,25 ⇒ S= ABC 0,25 Trang 3/4 BC BC AD ≤ AK R R BC BC BC Mà AK ≤ AO + OK ⇒ AK ≤ R + R2 − R R BC BC ⇒ DE + EF + FD ≤ R + R2 − không đổi R Dấu “=” xảy ba điểm A, O, K thẳng hàng hay A điểm cung lớn BC ⇒ DE + EF + FD = 0,25 Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn abc = Chứng minh 1 1 + + ≤ a +2 b +3 b +2 c +3 c +2 a +3 Đặt = x = a,y x, y , z > BĐT cần cm có dạng c ⇒ xyz = 1 1 + + ≤ x + y + y + 2z + z + 2x + = b, z Ta có: x + y + = ( x + y ) + ( y + 1) + ≥ xy + y + (Áp dụng BĐT Cô si) 1 1 ⇔ ≤ ≤ x + y + xy + y + x + y + xy + y + 1 ≤ Tương tự ta có y + z + yz + z + 0,25 ⇔ Câu (0,5đ) 1 ≤ z + x + zx + x + Ta có 1 1 1 1 ≤ + + + + x + y + y + z + z + x + xy + y + yz + z + zx + x + Mặt khác: 1 + + xy + y + yz + z + zx + x + 1 1 = + + xy + y + 1 + + 1 + x + x xy y 0,25 xy y + + =1 xy + y + y + + xy + xy + y 1 1 Do + + ≤ x + y + y + 2z + z + 2x + 1 1 Hay + + ≤ a +2 b +3 b +2 c +3 c +2 a +3 Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c =1 -Hết = Trang 4/4 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Lưu ý: - Các cách giải khác đáp án cho điểm tương ứng theo biểu... < ⇔ x < ⇒ x < Kết hợp điều kiện, ta có x 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) có phương trình y = x Câu (1,5đ) (0,5đ) đường thẳng ( d ) có phương trình = y x + m ( m tham số)... khơng chấm điểm ý đó) Ta có AEH = 90o (vì BE đường cao) Ta có AFH = 90o (vì CF đường cao) 0,25 0,25 Trang 2/4 Suy AEH + AFH = 180o Vậy tứ giác AEHF nội tiếp (tứ giác có tổng góc đối 180o