Với rất nhiều những chuyên đề đợc đề cập đến khi dạy đại số cấp THCS nói chung và phơng trình đại số nói riêng, tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu hơn về phơng trình vô tỉ với các dạng [r]
(1)s¸ng kiÕn kinh nghiÖm ph¬ng tr×nh v« tØ c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trêng thcs phÇn thø nhÊt đặt vấn đề I - C¬ së lÝ luËn lµ: Mục tiêu giáo dục và đào tạo đã đợc nghị TƯ2 khoá VIII xác định '' Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dỡng nhân tài'' Nh song song với việc nâng cao mặt dân trí cho toàn dân , đào tạo nhân lực có tay nghề cao cho các ngành nghề thì việc '' phát và bồi dỡng nhân tài '' đợc Đảng và Nhµ níc ta rÊt quan t©m Nh các bạn đã biết Toán học là môn khoa học nói chung, nhng lại giữ vai trò chủ đạo các nhà trờng nh các ngành khoa học khác HiÖn ®Çu t s©u cho bé m«n To¸n lµ môc tiªu cña nhiÒu ngµnh gi¸o dôc cña c¸c níc trªn thÕ giíi còng nh ngµnh gi¸o dôc cña ViÖt Nam ta To¸n häc nh mét kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá mà đã sâu tìm hiểu, khai th¸c th× sÏ thÊy rÊt mª say, ham muèn kh¸m ph¸ vµ hiÓu biÕt ngµy cµng nhiÒu h¬n ë bé m«n nµy Các bậc phụ huynh nh các thầy cô giáo, các hệ học sinh luôn mơ ớc học giỏi môn này, nhiên để đạt đợc điều đó thật chẳng dễ dàng gì Hiện nay, các nhà trờng đặc biệt là nhà trờng THCS, ngoài việc dạy kiến thức b¶n cho HS th× viÖc d¹y c¸ch häc, c¸ch nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn kiÕn thøc cho c¸c em đợc chú trọng Víi mong muèn gióp c¸c em häc sinh hiÓu bµi c¬ b¶n vµ ngµy mét say mª bé m«n To¸n, b¶n th©n mçi ngêi gi¸o viªn ph¶i tù m×nh t×m nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i cho phù hợp với đối tợng học sinh và kích thích lòng ham muốn học Toán các em, từ đó tìm đợc học sinh có khiếu môn này, để có thÓ båi dìng c¸c em trë thµnh nh÷ng häc sinh giái, cã Ých cho x· héi Một vấn đề đại số khối THCS là việc nắm đợc các phơng trình sơ cấp đơn giản và cách giải phơng trình đó đối tợng là học sinh đại trà Ngoài mở rộng các phơng trình đó dạng khó hơn, phức tạp đối tợng học sinh khá - giỏi Với nhiều chuyên đề đợc đề cập đến dạy đại số cấp THCS nói chung và phơng trình đại số nói riêng, tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu phơng trình vô tỉ với các dạng nó và các phơng pháp giải, cho đối tợng là HS có nhu cầu ham muốn đợc khám phá loại phơng trình này cách sâu đại trà các em học sinh giải các phơng trình vô tỉ dạng đơn giản s¸ch gi¸o khoa To¸n (2) Sau ®©y t«i xin m¹nh d¹n tr×nh bµy nh÷ng suy nghÜ còng nh nh÷ng g× mµ t«i tìm hiểu, tham khảo đợc phơng trình vô tỉ mong các bạn cùng thầy cô đóng góp ý kiÕn cho t«i II - C¬ së thùc tiÔn Trong chơng trình Toán THCS, các bài toán phơng trình vô tỉ đợc đề cập đến nhng không nhiều, nhng nó lại có nhiều dạng và có vai trò quan trọng Các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm và vận dụng thật nhuần nhuyÔn, cã hÖ thèng mét sè kiÕn thøc kh¸c nh : ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, ph¬ng tr×nh tÝch, §KX§ cña mét sè lo¹i biÓu thøc Nã n©ng cao kh¶ n¨ng vËn dông, ph¸t triển khả t cho HS, ngoài nó còn là kiến thức đợc sử dông thi ®Çu vµo khèi PTTH díi d¹ng bµi tËp khã Trªn thùc tÕ ,víi kinh nghiÖm b¶n th©n qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i thÊy HS thêng m¾c mét sè khuyÕt ®iÓm sau gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ: - ThiÕu hoÆc sai §KX§ cña ph¬ng tr×nh (chñ yÕu lµ §KX§ cña c¨n thøc) - Chỉ giải đợc dạng phơng trình đơn giản SGK -Khi bình phơng hai vế phơng trình để làm CBH thờng các em không tìm ĐK để hai vế dơng - ë d¹ng phøc t¹p h¬n th× c¸c em cha cã ®iÒu kiÖn nghiªn cøu nªn kÜ n¨ng gi¶i hạn chế, các em thờng không có sở kiến thức để phát triển phơng pháp giải - Có ít tài liệu đề cập sâu dạng phơng trình này - Không đồng nhận thức lớp nên việc phát triển kiến thức ph¬ng tr×nh v« tØ c¸c tiÕt d¹y lµ rÊt khã Có nhiều tài liệu, chuyên đề viết phơng trình khối THCS nhng với phơng trình vô tỉ cha nhiều Để giúp các em HS nắm đúng, nắm dạng vµ ph¬ng ph¸p gi¶i tõng d¹ng, t«i m¹nh d¹n viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm ''ph¬ng tr×nh v« tØ vµ c¸c c¸ch gi¶i'' ¸p dông cho khèi THCS víi hy väng phÇn nµo th¸o gì nh÷ng khã kh¨n cho c¸c em HS gÆp d¹ng ph¬ng tr×nh nµy vµ lµ cuèn tài liệu có thể dùng để tham khảo các bạn đồng nghiệp Với kinh nghiệm cßn rÊt h¹n chÕ vµ thêi gian nghiªn cøu cha nhiÒu, s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy sÏ không tránh khỏi thiếu sót Do tôi mong nhận đợc đóng góp ý kiến thật chân tình các bạn đồng nghiệp và bạn đọc để sáng kiến này có thể đợc áp dụng rộng rãi hơn, góp phần thúc đẩy chất lợng học tập các em HS iii - nhiÖm vô nghiªn cøu: - Nghiên cứu khái niệm phơng trình ẩn, khái quát và cách giải phơng trình đó - Kü n¨ng gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, ph¬ng tr×nh chøa hÖ sè ba ch÷, ph¬ng tr×nh chøa dÊu giá trị tuyệt đối, phơng trình tích, phơng trình thơng, phơng trình bậc cao (3) - Kü n¨ng gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc 1, bËc 2, ph¬ng tr×nh v« tØ - Lµm c¸c bµi tËp minh ho¹ - Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i vµ c¸c d¹ng bµi tËp thêng gÆp iv - §èi tîng nghiªn cøu: - Häc sinh líp trêng THCS - Häc sinh thi häc sinh giái cña trêng vµ cña huyÖn v- ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: - Tìm đọc các tài liệu tham khảo và nghiên cứu kĩ SGK kÐm -Dạy và trắc nghiệm trên ba đối tợng học sinh: Khá, giỏi - trung bình - yếu, - §a bµn luËn theo tæ, nhãm chuyªn m«n, cïng thùc hiÖn - Tham khảo các trờng bạn, ý kiến đóng góp các thầy cô dạy lâu năm có nhiÒu kinh nghiÖm - Dù giê, kiÓm tra chÊt lîng häc sinh -D¹y thùc nghiÖm mét tiÕt trªn líp cña trêng vi - Ph¹m vi nghiªn cøu vµ thêi gian nghiªn cøu: - Giới thiệu nghiên cứu phơng trình vô tỉ chơng trình đại số lớp (Trờng THCS) - Lµm tr¾c nghiÖm th¸ng häc kú I - Kinh nghiÖm cña b¶n th©n qu¸ tr×nh d¹y häc vi - ®iÒu tra c¬ b¶n: * Tổng số học sinh khối 9: - 78 học sinh/2 lớp - đại trà tham dù thi HSG huyÖn * Ph©n lo¹i: - học sinh đội tuyển Toán giỏi trờng chuẩn bị - Kh¸, giái: 20 häc sinh - Trung b×nh: 45 häc sinh - YÕu , KÐm: 13 häc sinh * Chuẩn bị sách giáo khoa và các bài tập 78/78 học sinh có đủ phÇn thø hai (4) giải vấn đề i - KiÕn thøc cÇn sö dông Để giải tốt các vấn đề phơng trình vô tỉ thì HS cần nắm sè kiÕn thøc c¬ b¶n sau: + Kh¸i niÖm vÒ ph¬ng tr×nh, nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, §KX§ cña ph¬ng tr×nh + Các định nghĩa, định lý biến đổi hai phơng trình tơng đơng + Cách giải các loại phơng trình nh: Phơng trình bậc ẩn, phơng trình tích, phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình chứa ẩn mẫu, ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè + Tính chất bắc cầu bất đẳng thức số Häc sinh n¾m ch¾c: + §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh v« tØ + C¸c bµi gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ nãi chung + C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¨n thøc + C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ + C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ, c¸ch gi¶i tõng d¹ng + Nh÷ng sai lÇm thêng gÆp gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ II - Mét sè kh¸i niÖm - Kh¸i niÖm vÒ ph¬ng tr×nh mét Èn: a - Khái niệm: cho A(x), B(x) là hai biểu thức chứa biến x, đó A(x) = B(x) gọi là phơng trình ẩn Trong đó: + x đợc gọi là ẩn + A(x), B(x) gäi lµ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh + Qu¸ tr×nh t×m x gäi lµ gi¶i ph¬ng tr×nh + Giá trị tìm đợc x gọi là nghiệm phơng trình + : TËp hîp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh + Tập xác định: Tập xác định phơng trình (thờng viết tắt là TXĐ) b - Tập xác định phơng trình: Là tập giá trị biến làm cho mäi biÓu thøc ph¬ng tr×nh cã nghÜa c - Các khái niệm hai phơng trình tơng đơng: + Lµ hai ph¬ng tr×nh cã cïng mét tËp hîp nghiÖm HoÆc : NghiÖm cña ph¬ng tr×nh nµy còng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vµ ngîc l¹i Ph¬ng tr×nh v« tØ: a) §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh v« tØ lµ ph¬ng tr×nh chøa Èn ë díi dÊu c¨n VÝ dô: - -3 √ x2 +1 -2x + = (5) b) C¸c bíc gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ (d¹ng chung): + Tìm tập xác định phơng trình + Biến đổi đa phơng trình dạng phơng trình đã học + Giải phơng trình vừa tìm đợc + So sánh kết với tập xác định và kết luận C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¨n thøc + Mét sè ©m kh«ng cã c¨n thøc bËc ch½n v× ®iÒu kiÖn cña Èn lµ biÓu thøc chøa dÊu c¨n bËc ch½n lµ mét sè kh«ng ©m + Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế phơng trình đảm bảo nhận đợc phơng trình tơng đơng + √ A = A (víi mäi biÓu thøc A) iii - c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n vµ c¸ch gi¶i: - D¹ng = g (x) (1) Đây là dạng đơn giản phơng trình vô tỉ Sơ đồ cách giải: = g (x) g(x) (2) f(x) = [g(x)] (3) Giải phơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x −5 = x - (1) Gi¶i x −7 ≥ (2) x − ¿2 (3) ¿ ¿ ¿{ ( x −5)=¿ Ph¬ng tr×nh (1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (3) : x - = x2 -14x + 49 x2 -15x + 54 = (x - 6)(x - 9) = => x = hoÆc x = §èi chiÕu víi §K (2) ta thÊy x = tho¶ m·n Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là : x = VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1) √ x+5 = - x Gi¶i 1- x 0 x (2) x + = (1 - x)2 x2 - 3x - = (3) Gi¶i ph¬ng tr×nh (3) : (x + 1)(x - 4) = => x = -1 hoÆc x = §èi chiÕu víi §K (2) ta thÊy x = -1 tho¶ m·n VËy x = -1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) - D¹ng + = g(x) (1) Sơ đồ cách giải -T×m ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph¬ng tr×nh: f(x) g(x) (2) h(x) Ph¬ng tr×nh (1) (6) Víi ®iÒu kiÖn (2) hai vÕ cña ph¬ng tr×nh kh«ng ©m nªn ta b×nh ph¬ng hai vÕ, ta cã: √ f (x ) g ( x) = ¿ ¿ g(x)2 - (x) - h(x) ¿ (3) Ph¬ng tr×nh (3) cã d¹ng (1) nªn cã ®iÒu kiÖn míi: ¿ g(x)2 - f(x) - h(x) ¿ (4) ¿ Bình phơng hai vế phơng trình (3) đợc phơng trình đã biết cách giải §èi chiÕu nghiÖm víi ®iÒu kiÖn (2) vµ ®iÒu kiÖn (4) råi kÕt luËn VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i √ x+3 + √ 1− x = (1) x+30 x-3 -3 x (*) 1-x0 x Víi ®iÒu kiÖn (*) ph¬ng tr×nh cã hai vÕ kh«ng ©m nªn b×nh ph¬ng hai vÕ ta cã: x + + - x + √ x+3 √ 1− x = <=> √ x+3 √ 1− x = => x = hoÆc x = -3 Cả nghiệm thoả mãn ĐK (*) Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là : x = -3 x = VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+3 = - √ x −2 <=> √ x+3 + √ x −2 = (1) Gi¶i §iÒu kiÖn : x + < => x -3 <=> x (*) x- 2 x Víi ®iÒu kiÖn (*) b×nh ph¬ng c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) ta cã : 2x + + √ x+3 √ x −2 = 25 √ x+3 √ x −2 = 24 - 2x <=> = 12 - x (2) √ x+3 √ x −2 Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x x 12 (**) B×nh ph¬ng hai vÕ cña (2) ta cã: (x + 3)(x - 2) = (12 - x)2 x2 + x - = 144 - 24x + x2 25 x = 150 x = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) vµ (**) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = - D¹ng + = (1) D¹ng chØ kh¸c d¹ng ë vÕ ph¶i lµ nªn c¸ch gi¶i t¬ng tù nh d¹ng VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+1 = √ 12− x + √ x −7 (1) Gi¶i §iÒu kiÖn x+10 12 - x x 12(*) x-70 Víi ®iÒu kiÖn (*) ph¬ng tr×nh (1) cã hai vÕ kh«ng ©m nªn ta b×nh ph¬ng hai vế, ta đợc : ( √ x+1 )2 = ( √ 12− x + √ x −7 )2 < x + = 12 - x + x - + √ 12− x √ x −7 √ 12− x √ x −7 = x - (2) §iÒu kiÖn cã nghÜa: (7) Víi (*) th× hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2) kh«ng ©m ta b×nh ph¬ng hai vÕ cña (2) ta đợc: Ph¬ng tr×nh (2) < (- x2 + 19x - 84) = x2 - 8x + 16 5x2 - 84x + 352 = (3) ' Ta cã : = 1764 - 1760 = > = Phơng trình (3) có hai nghiệm: x1 = 8,8 ; x2 = thoả mãn ĐK (*) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x1 = 8,8 ; x2 = VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) √ x −1 - √ x −2 = √ x −1 Gi¶i §iÒu kiÖn: 5x - 3x - x <=> x <=> x (*) x-10 x 1 Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng : √ x −1 = √ x −2 + √ x −1 Víi §K (*) b×nh ph¬ng vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) ta cã : 5x - = x - + 3x - + √ x −2 √ x −1 <=> x + = √ x −2 √ x −1 Với x hai vế phơng trình này không âm , bình phơng vế phơng trình ta đợc: (x + 2)2 = 4.(x - 1)(3x - 2) x2 + 4x + = 12x2 - 20x + = <=> 11x2 - 24x + = <=> (x - 2)(11x - 2) = <=> x = hoÆc x = 11 Theo §K (*) th× ph¬ng tr×nh chØ cã nghiÖm x = VËy x = lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh - D¹ng 4: + =+ (1) Sơ đồ lời giải: §iÒu kiÖn: f(x) 0; h(x) 0, g(x) 0; k(x) B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã: f(x) + h(x) + = g(x) + k(x) + - = phơng trình trở dạng đến đây ta giải tơng tự dạng VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+1 + √ x+10 = √ x+2 + √ x+5 (1) Gi¶i §iÒu kiÖn: x+1 x -1 x + 10 <=> x -10 <=> x -1 (*) x+2 x -2 x+5 x -5 B×nh ph¬ng vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) ta cã : x + + x +10 + √ x+1 √ x+10 = x + + x + + √ x+2 √ x+5 <=> + √ x+1 √ x+10 = √ x+2 √ x+5 (8) Víi §K : x -1 c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh lµ kh«ng ©m tiÕp tôc b×nh ph¬ng ta cã : + (x + 1)(x + 10) + √ x+1 √ x+10 = (x + 2)(x + 5) <=> + x2 + 11x + 10 + √ x+1 √ x+10 = x2 + 7x + 10 <=> -x - = √ x+1 √ x+10 (2) Ph¬ng tr×nh (2) cã §K: x -1 (**) Tõ (*) vµ (**) ta cã x = -1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh - D¹ng + + n = g(x) (1) Sơ đồ cách giải §iÒu kiÖn: f(x); h(x) §Æt t= + (t 0) => t2 = f(x) +h(x) +2 từ đó ta giải tiếp => =( t2 - f(x) h(x)):2 VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) √ x+1 + √ 3− x - √ x+1 √ 3− x = Gi¶i §iÒu kiÖn : x + 3-x <=> -1 x (*) §Æt t = √ x+1 + √ 3− x ( t > 0) , ta cã : t2 = x + + 3- x+ √ x+1 √ 3− x => √ x+1 √ 3− x = t2 - (**) Khi đó phơng trình (1) có dạng: 2t - ( t 4)=4 t2 -2t = t ( t - 2) = (2) Ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm lµ t1 = 0; t2 = NghiÖm t = tho¶ m·n §K : t > Khi t = theo (**), ta cã : √ x+1 √ 3− x = 22 - <=> √ x+1 √ 3− x = = > x = -1 hoÆc x = Cả nghiệm này thoả mãn ĐK (*) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = -1 vµ x = 6.D¹ng √ x+a2 − b+2 a √ x −b + √ x+ a2 − b −2 a √ x −b = cx + m (1) C¸ch gi¶i §iÒu kiÖn: x - b <=> x b (*) §Æt: t = √ x −b ( t 0) => t = x - b <=> t2+ b = x Thay x vµo ph¬ng tr×nh díi dÊu c¨n ta cã : t2 + a2 ± 2at = (t ± a)2 Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng : |t+ a| + |t − a| = c.(t2+ b) + m (2) Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) b»ng c¸ch xÐt trêng hîp : t a vµ t a ta cã ph¬ng tr×nh lµ : ct2- 2t + bc + m = (3) Vµ : ct2- 2a + bc + m = (4) ta đợc nghiệm t và đối chiếu với ĐK: t để nhận nghiệm từ đó suy : x = t2+ b lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) (9) VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+6 √ x − + √ x −6 √ x − = x +23 (1) Gi¶i §K: x - <=> x (*) Đặt: t = √ x − => x = t + Khi đó phơng trình (1) có dạng: 6.( √(t +3) <=> + t −3 ¿ ) = t2 + +23 <=> 6.( |t+ 3| + ¿ √¿ |t − 3| ) = t2+ 32 t2- 12t + 32 = (t 3) (2) t2- = (0 t 3) (3) Giải phơng trình (2) ta đợc nghiệm phơng trình là t = t = +Nếu t = => x = 82 + = 73 +NÕu t = => x = 42 + = 25 Giải phơng trình (3) ta đợc nghiệm phơng trình là : t = =>x = 22+ = 13 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x = 73 ; x = 25 ; x = 13 iv - c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ Không phải phơng trình vô tỉ nào có thể đa đợc dạng trên đó ngời giáo viên cần cung cấp cho học sinh thêm các phơng pháp gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ - Ph¬ng ph¸p luü thõa §Ó lµm mÊt c¨n bËc n th× ta n©ng c¶ hai vÕ lªn luü thõa n NÕu ch½n th× chØ thực đợc hai vế phơng trình là không âm VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x + √ x −1 = (1) Gi¶i Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng : √ x −1 = - x (2) §iÒu kiÖn : x x (*) x7 Víi ®iÒu kiÖn (*) th× ph¬ng tr×nh (2) cã hai vÕ kh«ng ©m nªn ta b×nh ph¬ng hai vÕ ph¬ng tr×nh (2), ta cã : x - = 49 - 14 x + x2 <=> x2 - 15x + 50 = Ph¬ng tr×nh cã: = 25 > = nªn cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ : x1 = 10; x2 = Ta thÊy x = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) vËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) √ x −1 - √ x −1 = √ x −2 Gi¶i §iÒu kiÖn: x (*) ChuyÓn vÕ ph¬ng tr×nh (1), ta cã : √ x −1 = √ x −1 + √ x −2 Bình phơng vế phơng trình ta đợc: x - = 5x - + 3x - + √ x −1 √ x −2 - 7x = √ x −1 √ x −2 (2) (10) Ph¬ng tr×nh (2) cã §K: Khi đó phơng trình (2) 2-7x0 x (**) (2 - 7x)2 = (15x2 - 13x + 2) - 28x + 49x2 = 60x2 - 52x + 11x2 - 24x + = Ta cã : Δ' = 100 > nªn ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt : x1 = 11 ; x2 = tho¶ m·n §K (**) KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) ta thÊy c¶ gi¸ trÞ x1= 11 cña ph¬ng tr×nh VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm: x1 = 11 ; x2 = là nghiệm ; x2 = 2 - Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) √ x2 +2 x+1 + √ x2 −6 x +9 = Gi¶i Ph¬ng tr×nh (1) x +1 ¿2 ¿ x − 3¿ ¿ ¿ ¿ √¿ ⇔|x +1|+|x −3|=4 (2) §Ó lo¹i bá dÊu GTT§ ta ph¶i xÐt dÊu cña biÓu thøc bªn dÊu GTT§ ,ta cã c¸c trêng hîp sau : 1) ¿ x +1 ≥ x − 3≥ ⇔ ¿ x ≥− x≥3 ⇔ x≥3 ¿{ ¿ (*) PT (2) cã d¹ng x + + x - = x = tho¶ m·n (*) 2) ¿ x +1<0 x − 3>0 ⇔ ¿ x <− x >3 ¿{ ¿ (kh«ng x¶y ra) (11) 3) ¿ x+1> x − 3<0 ⇔ ¿ x>− x <3 ⇔ − 1< x <3 ¿{ ¿ (**) PT (2) cã d¹ng x + + - x = 0x = PT nµy cã v« sè nghiÖm tho¶ m·n (**) 4) ¿ x +1≤ x − 3<0 ⇔ ¿ x ≤ −1 x <3 ⇔ x ≤−1 ¿{ ¿ (***) Ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng: - x - - x + = - 2x = x = -1, tho¶ m·n §K (***) Kết hợp nghiệm phơng trình đã cho có nghiệm -1 x ≤ VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+3+ √ x − + √ x+8 − √ x −1=5 (1) Gi¶i §iÒu kiÖn: x Ph¬ng tr×nh (1) √ x −1+ √ x −1+ + √ x −1 −2 √ x − 1+ = √ x − 1+2 ¿2 ¿ √ x −1 −3 ¿2 ¿ ¿ ¿ √¿ √ x −1 +2 + |√ x −1 −3| = (do x ) |√ x −1 −3|=3 − √ x − V× VT lu«n kh«ng ©m nªn ta cã: - √ x −1 ≥ ⇔ √ x −1 ≤ 3⇔ ≤ x −1 ≤9 ⇔ ≤ x ≤10 Kết hợp ĐK ta thấy 1≤ x ≤ 10 là nghiệm phơng trình đã cho VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+2 √ x −1+ √ x − √ x −1=2 (1) Gi¶i §iÒu kiÖn: x Ta biến đổi phơng trình (1)về dạng: √ x −1+2 √ x −1+1+ √ x − 1− √ x − 1+ 1=2 (12) √ x − 1+1¿ ¿ √ x −1 −1 ¿2 ¿ ¿ ¿ √¿ |√ x −1+1|+|√ x −1 −1|=2 |√ x −1+1|+|1− √ x −1|=2 Còng lËp luËn t¬ng tù nh trªn ta cã: ( √ x −1+1)( √ x −1 −1)≥ Víi ®iÒu kiÖn x ta lu«n cã: √ x −1 + > vµ √ x −1 - x2 x- VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x - Phơng pháp đặt ẩn phụ VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x −2+ √2 x −5+ √ x +2+3 √ x −5=7 √2 (1) Gi¶i §iÒu kiÖn: x 5/2 Biến đổi phơng trình (1) : √ 2(x − 2+ √2 x − 5)+ √2( x +2+3 √ x −5)=14 (2) §Æt : √ x −5 = y 2x - = y2 2x = y2+5 Ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng: √ y 2+2 y +1+ √ y 2+ y+ 9=14 y +1¿ ¿ √¿ d¹ng : 2 y +3 ¿ ¿ √¿ + <=> y+ 1 + y + 3 = 14 y nªn ph¬ng tr×nh cã y+ + y + = 14 <=> 2y +4 = 14 <=> 2y = 10 <=> y = (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn y 0) VËy √ x −5 = Với điều kiện : x 5/2 , vế phơng trình không âm bình phơng vế ta cã: 2x - = 25 <=> x = 30 x = 15 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x ) KÕt luËn: Ph¬ng tr×nh cho chØ cã mét nghiÖm x = 15 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh x2 + √ x2 −3 x+ = 3x + (1) Gi¶i <=> √ x2 −3 x+ = x2 - 3x + + √ x2 −3 x+ - 12 = Ph¬ng tr×nh (1) x2 - 3x - + (2) §iÒu kiÖn: x R §Æt √ x2 −3 x+ = t (t0) => x2 - 3x + = t2 Ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng : t2 + t - 12 = (*) (13) = 49 > = VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: t1 = ; t2 = - V× t nªn t = tho¶ m·n Theo (*) ta cã : x2 - 3x +5 = x2 - 3x - = <=> (x+1)(x-4) = VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: x = -1 ; x= VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x2 - 3x + 2) = √ x3 +8 (1) Gi¶i §Æt a = x2 - 2x + b=x+2 a - b = x2 - 3x + Do x3 + = (x2 -2x +4)(x+2) => x3 + = a.b Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng : (a - b) = a-b= (2) Ta thấy b vì b = thì x = - đó (1) không thoả mãn Chia hai vÕ cña (2) cho b ta cã : √ §Æt: a b a a −1= b b √ a a − −1 b b √ = Y (Y 0) ta cã ph¬ng tr×nh: Y2 - Y - = <=> 2Y2 - 3Y - = (3) Ph¬ng tr×nh (3) ta cã: −3 ¿ - 4.2(-2) = + 16 = 25 > => √ Δ = Δ=¿ Ph¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm Y1 = - < (kh«ng tho¶ m·n) Y2 = (tho¶ m·n) Theo cách đặt ta có: √ a = => a = 4b b x2 -2x + = 4(x + 2) x2 - 6x - = (4) Gi¶i ph¬ng tr×nh (4) ta cã: x1 = + x2 = VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x1,2 = - Ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh: VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh x2 - x -1000 √ 1+ 8000 x = 1000 Gi¶i Đặt: √ 1+ 8000 x +1 = 2y Kết hợp với (1) ta đợc hệ: (1) x2 - x= 2000 y =0 (14) y - y= 2000 x (2) Tõ hÖ (2) suy : (x- y) ( x+ y-1+ 2000 ) = (3) Tõ hÖ (2) dÔ thÊy : 2001 (x +y) = x2 + y2 > => x + y + 1999 > Vậy từ (3) ta có y = x Thay vào (1) ta đợc : x2 - x = 2000x x2 - 2001x = x(x - 2001) = x = (lo¹i) hoÆc x = 2001 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = 2001 - Phơng pháp dùng bất đẳng thức: Phơng pháp dùng bất đẳng thức đợc dùng nhiều dạng khác a) - Chứng tỏ tập giá trị hai vế rời Khi đó ph ơng trình là vô nghiÖm: VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x −2 − √ x +2=8 Gi¶i §iÒu kiÖn: x Víi ®iÒu kiÖn nµy th× vÕ ph¶i lu«n lín h¬n vÕ tr¸i nªn ph¬ng tr×nh lµ v« nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x2 +1+√ x 2+2=2 (1) Gi¶i ¿ V× √ x 2+ 1≥ √ x2 +2 ≥ √2>1 ¿{ ¿ VËy VT lµ: √ x2 +1+√ x 2+2 > , cßn VP = Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x −1 − √ x −1=√ x −2 Gi¶i §iÒu kiÖn: x Với điều kiện này thì x < 5x đó √ x −1< √ x −1 ⇔ √ x −1− √ x −1 <0 VT luôn âm còn VP không âm nên phơng trình đã cho vô nghiệm b ) Sử dụng tích đối nghịch hai vế VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x −3+ √ − x = x2 - 8x + 18 (1) (15) Gi¶i §iÒu kiÖn: x (*) Ta cã vÕ ph¶i x2 - x + 18 = (x - 4)2 + x Vế trái sử dụng bất đẳng thức: (a2 + b2) (a + b)2 Ta cã: ( √ x −3+ √ − x )2 (x - + - x) = < √ x −3+ √5 − x DÊu b»ng x¶y vµ chØ c¶ hai vÕ cã gi¸ trÞ b»ng VËy (1) x2 - 8x + 18 = (2) √ x −3+ √5 − x = Gi¶i ph¬ng tr×nh (2): (3) x2 - 8x + 16 = (x - 4)2= x = Thay x = vào (3) thoả mãn,đồng thời x = thoả mãn điều kiện (*) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ x = VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x +6 x +7+ √ x2 +10 x+ 14 = - x - x2 Gi¶i Ta viÕt ph¬ng tr×nh díi d¹ng: x+ 1¿2 + ¿ x +1¿ 2+ ¿ 5¿ 3¿ √¿ - (x + 1)2 V× 3(x + 1)2 vµ 5(x + 1)2 nªn x+ 1¿ + ¿ =2 3¿ √¿ x+1¿2 +9 ¿ 5¿ √¿ VT =3 Cßn VP lµ - (x + 1)2 Vậy đẳng thức xảy vế (x+1)2= <=> x= -1 KÕt luËn: NghiÖm cña ph¬ng tr×nh cho lµ x = - c - Sử dụng tính đơn điệu hàm số: VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) √ x+1+ √ x +8 = Gi¶i Ta thÊy x = lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) NÕu x < th× √ x+1 < 3; √ x+8 < (16) VËy vÕ tr¸i nhá h¬n x < kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) NÕu x > th× √ x+1 > 3; √ x+8 > VËy vÕ tr¸i lín h¬n x > kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) VËy x = lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) √3 x −2+ √ x +1 = Gi¶i Ta thấy x = nghiệm đúng phơng trình Víi x > th× √3 x −2>1 ; √ x+1>2 nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n Víi - x < th× √3 x −2<1 ; √ x+1<2 nªn vÕ tr¸i (1) nhá h¬n VËy x = lµ nghiÖm nhÊt cña ph¬ng tr×nh (1) a + b ≥3 b a VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh √3 x +1+ √3 x=1 (1) Gi¶i Ta sÏ chøng tá x = lµ nghiÖm nhÊt cña ph¬ng tr×nh Thật x = là nghiệm đúng phơng trình (1) Víi x > th× √3 x +1 > 1; √3 x > nªn VT cña (1) lín h¬n Víi x < th× √3 x +1 < 1; √3 x < nªn VT cña (1) nhá h¬n VËy x= lµ nghiÖm nhÊt cña ph¬ng tr×nh (1) d - Sử dụng điều kiện xảy dấu "=" bất đẳng thức không chặt VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh x x −2 +√ =2 x √3 x − (1) Gi¶i §iÒu kiÖn : x > (*) a b + ≥3 Ta có bất đẳng thức Côsi với a, b > Dấu "=" xảy và b a a = b Víi ®iÒu kiÖn (*) th× (1) x = √ x −2 x2 - 3x + = <=> (x-1)(x-2) = x = hoÆc x = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = hoÆc e Sö dông tÝnh chÊt cña luü thõa bËc ch½n, cña c¨n bËc hai VÝ dô : T×m x, y, z R ph¬ng tr×nh x + y + z + = √ x −2 + √ y − + √ z −5 (1) Gi¶i Ta sö dông tÝnh chÊt : An(x) + Bn(x) + Cn(x) + ∀ x (n 2, n ch½n, n N) (17) ThËt vËy,ph¬ng tr×nh (1) <=> (x- - √ x −2 + 1) + (y - - √ y − + 4) + (z-5 - √ z −5 + 9) = <=> ( √ x −2 - 1)2 +( √ y − - 2)2 + ( √ z −5 -3)2 = (2) V× A2(x) ∀ x nªn ph¬ng tr×nh (2) ⇔ √ x-2 − 1=0 √ y − 3− 2=0 √ z −5 − 3=0 ¿{{ ⇔ x − 2=1 y − 3=4 z −5=9 ⇔ ¿ x =3 y =7 z=14 ¿ {{ VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm (x;y;z) = (3;7;14) - Ph¬ng tr×nh v« tØ cã biÖn luËn: Ví dụ 1: Tìm giá trị m để phơng trình sau có nghiệm (1) √ x −5+ √9 − x = m Gi¶i §KX§ : x ≤ §iÒu kiÖn cÇn Gi¶ sö a lµ nghiÖm nhÊt cña (1) Khi đó ta có : √ a −5+ √ − a = m (2) √ (14 − a)− 5+√ −(14 −a) = m (3) (3) chøng tá 14 - a còng lµ nghiÖm cña (1) §Ó (1) cã nghiÖm nhÊt ph¶i cã a = 14 - a a = Khi đó m = + = Điều kiện đủ Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x −5+ √ − x = (4) C¸ch Bình phơng vế (4) và rút gọn ta đợc + √( x − 5)(9 − x) =(2)2 <=> √ − x 2+14 x − 45 = <=> − x +14 x − 45 =4 (x - 7)2 = x = (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn - x ) C¸ch §Æt √ x −5 = y, √ − x = z ta ®i gi¶i hÖ y+z=2 y2 + z2 = y=z= x=7 y, z iv - mét sè sai lÇm gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ: (18) Thêng häc sinh hay m¾c ph¶i sai lÇm gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ mµ c¨n lµ bËc ch½n lµ: - Quªn kh«ng t×m §KX§ gi¶i - Không đặt điều kiện ta biến đổi tơng đơng: Khi biến đổi ta thờng nhận đợc phơng trình có thể tơng đơng, có thể không tơng đơng Nếu biến đổi phơng trình (1) ta đợc phơng trình (2) nhng cha phơng trình (2) đã tơng đơng với phơng trình (1) nên giải, học sinh thờng quên tìm điều kiện phơng trình (2) để tơng đơng với phơng trình (1) ngộ nhận phơng trình (2) luôn tơng đơng với phơng trình (1) VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) √ x+2 − √ x −6 = Häc sinh gi¶i Ph¬ng tr×nh (1) < x + = + √ x −6 + 2x - √ x −6 = - x (3) Ta lại bình phơng hai vế phơng trình ta đợc phơng trình: 16 (2x - 6) = 16 - 8x + x2 <=> 32x - 96 = 16 - 8x + x2 <=> x2 - 40x+ 112 = Ta cã: ' = 400 - 112 = 288 > = 12 x1 = 20 + 12 ; x2 = 20 - 12 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ x = 20 12 * Sai lÇm c¸ch gi¶i lµ: + Kh«ng t×m ®iÒu kiÖn cña (1) lµ x + Khi biến đổi tơng đơng đến phơng trình (3) học sinh cha đặt điều kiện cho - x x để có thể bình phơng tiếp + Khi kÕt luËn nghiÖm lµ cha tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn nªn nghiÖm cha chÝnh x¸c VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x2 −1 − √ x+1 = x + (1) Häc sinh gi¶i §iÒu kiÖn: x2 - (x - 1) (x + 1) x-10 x1 x+10 x+10 x+10 Khi đó phơng trình (1) có dạng: √ (x +1)(x −1)− √ x +1 = x + V× x nªn √ x+1 > chia hai vÕ cho √ x+1 ta cã: √ x −1 - = √ x+1 V× víi x th× √ x −1 < √ x+1 nªn √ x −1 - < √ x+1 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm *Sai lÇm gi¶i hÖ: x2 - 0Häc sinh tëng r»ng g: AB A x+10 A B0 lời giải trên thiếu x = - và đó chính là nghiệm phơng trình: A=0 B cã nghÜa (19) B0 Nhí r»ng: A B0 vii - mét sè bµi tËp tù luyÖn: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) √ x2 −3 x+ = x - ) √ 10− x − √ x − = ) √ x −1 = x - 4) √ x2 −6 x +9 = (x - 1) 5)= ) x2 + 5x + - √ x2 +5+28 = ) √ x+1 + √ x+10 = √ x+2 + √ x+5 ) +3 √ x −16 = √ x+3 10 √ x+2 √ x −1 + √ x −2 √ x −1 = x +3 11) √ 1− x + √ x2 −3 x+ + (x - 2) √ x −1 = x−2 phÇn thø ba kÕt luËn vµ kiÕn nghÞ i - kÕt luËn Toán giải phơng trình thờng đợc nhắc đến các loại sách đọc thêm các tài liệu tham khảo đó giáo viên toán thờng vất vả việc su tầm, tuyển chọn gây đợc hứng thú học tập, lòng say mê học toán học sinh Với mong muốn có đợc tài liệu giúp học sinh dễ dàng học toán giải phơng trình vô tỉ Sau thời gian tự nghiên cứu cùng với các phơng pháp tìm đọc tµi liÖu tham kh¶o, su tÇm c¸c bµi tËp vµ kÕt hîp víi thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm " Ph¬ng tr×nh v« tØ vµ c¸c c¸ch gi¶i" Sau ¸p dông ë trêng t«i thấy sáng kiến này đã phần nào có tác dụng học sinh và giáo viên lớp trờng, nó tạo hứng thú học toán các em đặc biệt là dạng toán mà thờng ngày các em ngại Đề tài này đã cố gắng xây dựng hệ thống kiến thức từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh có thể vận dụng cách linh hoạt phơng pháp cụ thể trờng hợp định Qua đó học sinh có thể đào sâu kiến thức, tìm tòi nhiều cách giải cho bài toán Bên cạnh đó các ví dụ có thÓ gióp häc sinh cã thÓ rÌn luyÖn kü n¨ng, kü x¶o lµm quen víi c¸c d¹ng bµi tËp kh¸c nhau, c¸c lo¹i ph¬ng tr×nh v« tØ kh¸c nhau, gãp phÇn nhá bÐ sù ph¸t (20) triÓn trÝ tuÖ, tÝnh cÈn thËn, khoa häc, n¨ng lùc nhËn xÐt, ph©n tÝch, ph¸n ®o¸n tæng hợp kiến thức Tuy nhiên không phải tất các đối tợng học sinh chúng ta truyền tải các nội dung trên mà cần xác định đúng đối tợng để cung cấp kiến thức phù hợp với trình độ và quỹ thời gian học sinh Qua việc dạy chuyên đề phơng trình vô tỉ học sinh nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau trắc nghiệm học sinh tôi đã thu đợc số kÕt qu¶ díi ®©y - Häc sinh kh«ng ng¹i gÆp d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ -Lµm tèt d¹ng t×m §KX§ cña biÓu thøc cã chøa CBH -Kĩ biến đổi tốt hơn, suy luận các em chặt chẽ bớc đầu đã có s¸ng t¹o suy luËn -Kh¶ n¨ng ph©n d¹ng cña c¸c em rÊt tèt GV ®a vÝ dô - Một số học sinh giải đã trả lời thấy hứng thú giải phơng trình đặc biÖt lµ ph¬ng tr×nh v« tØ Qua việc kiểm tra đánh giá chất lợng đại trà sau lần kiểm tra tôi đã thu đợc mét sè kÕt qu¶ cô thÓ nh sau: KTra LÇn Díi ®iÓm Sè l% îng 15 19 11 14 10 - ®iÓm 7-<8 ®iÓm - 10 ®iÓm - 10 ®iÓm Sè l- % Sè l- % Sè l- % Sè l- % îng îng îng îng 50 64.5 12 15.5 1 63 81 52 66 13 17.5 2.5 67 86 53 67 13 17.5 5.5 70 90 Từ kết cụ thể trên tôi đã rút số kinh nghiệm cho thân nh đồng nghiệp giải toán phơng trình vô tỉ là: Phơng pháp giải toán phơng trình vô tỉ trên không khó học sinh khá, giỏi mà điều cần lu ý ngời giáo viªn d¹y To¸n lµ: - Cần phân dạng phơng trình vô tỉ thành dạng quen thuộc mà các em đã đợc gặp trên sở phơng pháp giải và giáo viên đa -Nh÷ng lo¹i bµi tËp giao cho häc sinh ph¶i thùc tÕ, dÔ hiÓu, gîi më gióp kÝch thÝch ãc s¸ng t¹o cña häc sinh kh«ng qu¸ cao siªu, trõu tîng - Hớng dẫn các em trớc giải toán phơng trình cần xác định rõ dạng phơng trình này và phơng pháp giải hớng dẫn học sinh phân tích bài toán, phán đoán cách giải, các bớc giải để các em đến lời giải thông minh và ngăn gọn nhất, đạt hiÖu qu¶ cao - RÌn kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ cho häc sinh th«ng qua nhiÒu d¹ng ph¬ng trình và thờng xuyên chú ý đến sai lầm học sinh thờng mắc phải giải ph¬ng tr×nh v« tØ, nhÊt lµ t×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh (21) - Trên sở làm số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao thêm lợng bài tập nhà có nội dung tơng tự mở rộng để các em đợc tự mình gi¶i c¸c lo¹i ph¬ng tr×nh v« tØ Nếu có đợc việc làm trên tôi xin tất các em học sinh không còn lúng túng, ngại ngùng giải toán phơng trình đặc biệt là phơng trình v« tØ Do thêi gian cã h¹n vµ kinh nghiÖm cßn h¹n chÕ nªn qu¸ tr×nh viÕt khã tr¸nh khái sai sãt c¸ch tr×nh bµy, còng nh hÖ thèng c¸c d¹ng bµi tËp ®a cßn h¹n chÕ, cha đầy đủ, cha khoa học Tôi mong đợc đóng góp ý kiến các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp đểôsangs kiến kinh nghiệm đợc hoàn thiện hơn; góp phần nâng cao chất lợng giảng dạy và học tập giáo viên và học sinh ®iÒu kiÖn ¸p dông Nh tôi đã trình bày trên kinh nghiệm này đợc áp dụng việc giảng dạy các chuyên đề các trờng học THCS sử dụng để bồi dỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao vốn kiến thức cho các đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, là sở vững cho các em học tốt học cấp III môn toán, đặc biệt là to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ Dạng toán giải phơng trình vô tỉ mà tôi đề cập trên có dạng đã đợc sử dụng rộng rãi song phần nào giúp học sinh lớp và giáo viên dạy toán n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc cña m×nh Sáng kiến kinh nghiệm này còn để ngỏ và còn tiếp tục khai thác nên nội dung còn sơ sài còn nhiều vấn đề cha mở rộng, sâu ii - kiÕn nghÞ Nh tôi đã viết trên, sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục tiêu đơn giản là giúp cho học sinh việc giải toán "Phơng trình vô tỉ", để học sinh cã thªm nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i cô thÓ, dÔ nhí, cã hiÖu qu¶ Qua sáng kiến kinh nghiệm cho thấy thân tôi và các bạn đồng nghiệp thấy đợc vấn đề dễ khó có hớng giải tốt nh ngời giáo viên giúp học sinh biết đơn giản hoá các vấn đề phức tạp thành đơn giản và quen thuéc h¬n (22) Sau thực tế giảng dạy tôi xin lu ý với các bạn đồng nghiệp vận dụng sáng kiÕn kinh nghiÖm trªn cÇn: - Dạy cho học sinh hiểu chắn các khái niệm phơng trình, đặc biệt là khái niệm đơn giản và quan trọng nh các phép biến đổi tơng đơng phơng trình, các đẳng thức quan trọng đặc biệt là các công thức có chứa dấu - Lựa chọn phơng pháp giải phù hợp dạng phơng trình để có lời gi¶i ng¾n gän vµ hiÖu qu¶ - Cần tạo bài toán mở rộng khác, các bài toán liên quan đến bài tập nh dạng toán tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm nhất, v« nghiÖm, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc *Từ vấn đề trên tôi có kiến nghị sau -Đối với hội đồng khoa học cấp trờng cần động viên khuyến khích GV thờng xuyên có tiết sinh hoạt chuyên môn tổ theo dạng chuyên đề vấn đề nào đó vớng mắc quá trình giảng dạy vấn đề nào đó mà GV cảm thấy hay và có nhiều ứng dụng giảng dạy đặc biệt là phơng pháp -Thêng xuyªn cã nh÷ng tiÕt d¹y tuÇn hoÆc th¸ng cña GV tæ chuyên môn để học hỏi kinh nghiệm và tạo không khí giảng dạy toàn thể GV - Với hội đồng khoa học cấp huyện cần xem xét phơng pháp mà tôi trình bày đề tài này để có nhận xét, đánh giá u điểm, nhợc điểm và có hớng đạo thời gian tới Tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này giúp học sinh giải phơng trình vô tỉ tốt hơn, đóng góp phần nào đó quá trình gi¶ng d¹y m«n To¸n ë THCS Cuèi cïng t«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! (23)