Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất.. Viết phương trình mặt phẳng ..[r]
(1)Së GD&§T THANH HO¸ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: TOÁN, Khối A, B và D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3x (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết nó song song với đường thẳng (d): 9x - y + = Câu II (2,0 điểm) 3 cos 2 x 2cos x sin x 4 0 2cos x 1) Giải phương trình: 2) Giải phương trình x2 1 x x ( x e x 1 x 1 x 2 x )dx Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân C, cạnh đáy AB 2a và góc ABC 30 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' biết khoảng a cách hai đường thẳng AB và CB ' Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = Tìm giá trị nhỏ 1 P 3 3 3 a 3b b 3c c 3a biểu thức : PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (Phần A B) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân giác 17 H ( 4;1), M ( ;12) BD Biết và BD có phương trình x y 0 Tìm tọa độ đỉnh A tam giác ABC : x 1 y z 1 và hai điểm A(1; 2; 1), 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng B (3; 1; 5) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và cắt đường thẳng cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương n biết: 2C22n 1 3.2.2C23n 1 ( 1)k k( k 1)2 k C2kn 1 2n(2 n 1)22n C22nn11 40200 B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 2 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( x 2) ( y 3) 4 và đường thẳng d: 3x y m 0 Tìm m để trên d có điểm M mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) cho góc AMB bẳng 1200 2) Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1; 1), B(1;1; 2), C ( 1; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình x y z 0 Mặt phẳng ( ) qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho IB 2 IC Viết phương trình mặt phẳng ( ) Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : (2) 2 log1 x ( xy x y 2) log 2 y ( x x 1) 6 = ( x, y R) log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4) , …………………………Hết………………………… Së GD&§T THANH HO¸ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2012-2013 TRƯỜNG THPT HẬU LỘC Môn thi: TOÁN, Khối A, B và D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Nội dung 2 (1,0 điểm) Khảo sát y x 3x m m Ý Khi m = 1, ta có y x 3x + TXĐ: D lim ( x3 x 1) x + Giới hạn: lim ( x3 x 1) Điểm 1,00 0,25 x +Sự biến thiên: y ' 3 x x x 0 y ' 0 x x 0 x 2 ; ; 2; 0; Hàm số nghịch biến trên khoảng Hàm số đồng biến trên khoảng 0,25 Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = -3 Bảng biến thiên x y + 0 + 0,25 y -3 0,25 Đồ thị: đồ thị hàm số cắt trục tung điểm (0;1) Điểm uốn I(1; 1) là tâm đối xứng (3) (1,0 điểm) Xác định m để Ta có : y’ = 3x2 - 6x Vì tiếp tuyến cần tìm song song với (d) nên có hệ số góc k = x Do đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm PT: 3x2 - 6x = x 3 Với x = -1, ta có y(-1) = -3 Khi đó tiếp tuyến có PT là : y = 9x + ( loại và song song với (d)) Với x = 3, ta có y(3) = Khi đó tiếp tuyến có PT là : y = 9x - 26 Vậy tiếp tuyến cần tìm là : y = 9x - 26 II 3 cos 2 x 2cos x sin x 4 0 2cos x Giải phương trình: 2cos x 0 x k 2 ĐK: 3 cos 2 x 2cos x sin x 0 4 Với điều kiện đó phương trình 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 1 cos 2 x sin x sin x 0 2 2 sin 2x sin 4x sin 2x 0 2 sin 2x cos 4x sin 2x 0 0,25 sin 2x 2sin 2x sin 2x 0 sin 2x sin 2x 0 0,25 sin 2x 1 sin 2x (loại) sin 2x 1 x k So điều kiện phương trình có nghiệm x x2 5 k2 (k ) 1 x 1 x Giải phương trình ĐK: x 1 Đặt u x , v x , u, v 0 u v 2 uv u v 2 uv Hệ trở thành: 1 uv 2uv u v 2uv u v 2 Ta có: 2 x 0,25 1,00 0,25 0,25 u v u v u v uv u v uv u 1 u v 2 2 u v v 1 Suy : 2 2 2 0,25 (4) x Thay vào ta có nghiệm PT là : Tính tích phân x3 ( x e ( x e III 0,25 1,00 x )dx 1 x 1 x x e dx dx 0,25 x x 0 Đặt I = Ta có I = 1 t 1 1 x3 I1 x e dx I1 e dt et e 0,25 30 3 Ta tính Đặt t = x3 ta có x I dx 0,25 4 x Ta tính Đặt t = x x t dx 4t dt 1 t4 I 4 dx 4 (t )dt 4( ) 1 t 1 t 0 Khi đó 0,25 e Vậy I = I1+ I2 1,00 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M, N là trung điểm AB và A'B' Tam giác CAB cân C suy AB CM Mặt khác AB 0,25 CC ' AB (CMNC ') A ' B ' (CMNC ') Kẻ MH CN ( H CN ) MH (CMNC ') MH A ' B ' MH (CA ' B ') mp (CA ' B ') chứa CB ' và song song với AB nên x3 4 2 x )dx x3 d ( AB, CB ') d ( AB, (CA ' B ')) d (M , (CA ' B ')) MH BMC CM BM tan 300 IV 0,25 a a Tam giác vuông Tam giác vuông 1 CMN 2 MN a 2 MH MC MN a a MN a a3 VABC A ' B 'C ' S ABC MN 2a .a 3 Từ đó 0,25 A' C' N B' 0,25 H C A M B V Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1,00 (5) áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 1 1 1 (x y z) 33 xyz 9 x y z xyz xyz x y z (*) áp dụng (*) ta có 1 P 3 3 3 3 a 3b b 3c c 3a a 3b b 3c c 3a áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có a 3b 1 a 3b 3 b 3c 1 b 3c 1.1 b 3c 3 c 3a 1 c 3a 1.1 c 3a 3 0,25 a 3b 1.1 0,25 1 a 3b b 3c c 3a a b c 3 3 Suy Do đó P 3 a b c a b c 4 a 3b b 3c c 3a 1 Dấu = xảy Vậy P đạt giá trị nhỏ a b c 1 / VI.a Tìm tọa độ đỉnh A tam giác ABC Đt qua H và BD có pt x y 0 BD I I (0;5) Giả sử AB H ' Tam giác BHH ' có BI là phân giác và là đường cao nên BHH ' cân I là trung điểm HH ' H '(4;9) u H ' M ;3 nên có pt là x y 29 0 AB qua H’ và có vtcp 5 x y 29 B (6; 1) x y Tọa độ B là nghiệm hệ M là trung điểm AB 4 A ; 25 5 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và cắt đường thẳng cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ Gọi d là đt qua A và cắt M M ( 2t;3t; t ) AM ( 2t ;3t 2; t ), AB (2; 3; 4) Gọi H là hình chiếu B trên d Khi đó d ( B, d ) BH BA Vậy d ( B, d ) lớn BA H A Điều này xảy AM AB AM AB 0 2( 2t ) 3(3t 2) 4t 0 t 2 M (3;6; 3) Pt d là x y z 1 1 u 2;3; 1 Đường thẳng ∆ qua điểm N(-1; 0; -1) và có VTCP NA 2; 2;0 v NA, u 2; 2; Ta có; Mặt phẳng (P) chứa d và qua A và có VTPT v nên có pt là: -x + y + z = 0; Gọi K là hình chiếu B trên (P) BH BK Vậy d ( B, d ) nhỏ 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 (6) BK H K Lúc đó d là đường thẳng qua A và K x u y 2 z u Tìm K = (0; 2; -2) Suy d có PT là : T×m sè nguyªn d¬ng n biÕt: 0,25 1,00 2C22n1 3.2.2C23n1 ( 1)k k (k 1)2k C2kn1 n(2n 1)2 n C22nn11 40200 +1 n+1 − 1¿ k C k2 n+1 x k + −C 2n 2n +1 x * XÐt 1− x ¿2 n +1=C − C1 x+ C2 x − +¿ 2n +1 n+1 n+ ¿ (1) * Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có: k k k−1 n +1 −1 ¿ kC2 n+1 x + −(2 n+1)C2 n +1 x 1− x ¿2 n=−C12n +1+ 2C 22 n+1 x − +¿ −(2 n+1)¿ VII.a 2n 0,25 (2) Lại lấy đạo hàm hai vế (2) ta có: n −1 −1 ¿k k ( k − 1)C k2n +1 x k −2 + −2 n(2 n+1)C 22 n+1 n+1 x 1− x ¿2 n −1 =2C 22 n+1 −3 C32 n +1 x + +¿ n(2 n+1) ¿ Thay x = vào đẳng thức trên ta có: k 2n 2n 1 2n(2n 1) 2C 22n 1 3.2.2C32n 1 ( 1) k k(k 1)2 k C 2n C 2n 1 1 2n(2n 1)2 ⇔ n(2 n+1)=40200 ⇔ n2+ n− 20100=0 ⇔ n=100 Tìm m để trên d có điểm M mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) cho góc AMB bẳng 1200 Đường tròn (C) có tâm I(2;-3) và bán kính R=2 Theo giả thiết ta có tam giác 0 IAM vuông A và AMI 60 MIA 30 Phơng trình đã cho VI.b AI Suy ra: IM = cos30 Vì 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 m nên M=(1 + 4t; -1 + +3t) M d 2 m 3m m IM 4t 1 3t 25t 4 t m4 16 Ta có 0,25 16 3m m 25t 4 t m4 16 Suy ra: 3m m 25t 4 t m 0 16 * 0,25 m2 4 448 3m 100 m 4m 88m 3 16 Ta có : Để có điểm M thỏa mãn đề bài thì PT(*) có nghiệm 0,25 448 251 4m 88m 0 m 11 3 ( ) Mặt phẳng qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường 1,00 thẳng BC I cho IB 2 IC Hãy viết phương trình mặt phẳng ( ) Gọi mặt phẳng ( ) có phương trình là ax by cz d 0 với a; b; c không cùng 0,25 (7) - (1) mp ( ) qua A(1;1; 1) nên ta có : a b c d 0 mp ( ) mp ( P ) : x y z 0 nên VTPT vuông góc a 2b 2c 0 - (2) IB 2 IC khoảng cách từ B tới mp ( ) lần khoảng cách từ C tới ( ) a b 2c d a 2b 2c d 3a 3b 6c d 0 a 5b 2c 3d 0 2 a b2 c a2 b2 c Từ (1), (2), (3) ta có trường hợp sau : 1 b a a b c d 0 c a a 2b 2c 0 3a 3b 6c d 0 3 d a chọn TH1 : 0,25 (3) 0,25 a 2 b 1; c 2; d Ta có phương trình mp ( ) là x y z 0 b a a b c d 0 c a a 2b 2c 0 a 5b 2c 3d 0 3 d a chọn a 2 b 3; c 2; d TH : 0,25 Ta có phương trình mp ( ) là x y z 0 Vậy tìm mp ( ) t/m ycbt là x y z 0 x y z 0 xy x y 0, x x 1 0, y 0, x (I ) x 1, y + Điều kiện: VII.b 2log1 x [(1 x)( y 2)] 2log y (1 x) 6 (I ) =1 log1 x ( y 5) log y ( x 4) log1 x ( y 2) log 2 y (1 x) 0 (1) log1 x ( y 5) log y ( x 4) = 1(2) t 0 (t 1)2 0 t 1 log 2 y (1 x) t t Đặt thì (1) trở thành: Với t 1 ta có: x y y x (3) Thế vào (2) ta có: log1 x ( x 4) log1 x ( x 4) = log1 x x4 x4 1 1 x x x 0 x4 x4 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 (8)