3- Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.. 4- Góc ngoài của tam giác lớn hơn 1 góc trong không kề với nó.[r]
(1)Chuyên đề CHỨNG MINH TAM GiÁC $1 TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁC Kiến thức cần nhớ : 1- Tổng góc tam giác 180 độ 2- Trong tam gíác vuông góc nhọ phụ 3- Mỗi góc ngoài tam giác tổng hai góc không kề với nó 4- Góc ngoài tam giác lớn góc không kề với nó BAÌ a/ Chứng minh tổng góc tam giác 180 độ?(Bằng cách khác SGK) b/ Chứng minh tổng các góc ngoài tam giác 360 độ ? c/ Chứng minh góc ngoài tam giác tổng hai góc không kề ? BÀI 2: a/ Tính tổng các góc đỉnh ngôi năm cạnh ? b/ Cho Δ ABC : AC >AB Vẽ phân giác AD ( D BC ) Chứng minh : Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ? HD Sử dụng định lý góc ngoài tam giác BÀI Cho Δ ABC có góc A = α Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt O a/ Tính góc BOC theo α ? b/ Vẽ phân giác ngoài B và C cẳt I Tính góc BIC theo α ? A E O D 1 B 2 C 3 α α Hướng dẫn : Tổng quát : Ô = 90 ❑0 + và góc I = 90 ❑0 - ^ = 20 BÀI : Tính các góc và ngoài tam giác ABC Biết ^A − ^B= B^ − C ❑0 HD : => Â = B^ + 20 ❑0 , ^ ^ B ^ − 200 => \{ ^ ^ C ^ =3 B C= A+ B+ ❑ , ^ A1 ^ => B̂ = 60 ❑0 , Â = 80 ❑0 ; C ^ = 140 ❑0 =100 ❑0 ; C = 40 ❑0 & = 180 ^ = 120 ❑0 , B (2) BÀI : Vẽ thêm và dùng định lý góc ngoài Chứng minh : AÔ B = ^A + ^B a A O b B $2 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC Tam giác TH C-C-C TH C-G-C TH G-C-G $ Tam giác vuông Cạnh huyền + Cạnh góc vuông Hai cạnh góc vuông Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT : Tam giác Δ Cân ĐỀU VUÔNG Δ Δ vuông cân Định A,B,C không nghĩa thẳng hàng ABC: ^ =18 Quan Â+ B^ + C hệ ❑0 =A + B ^1> ^ C A các ^ ^ C1 > B góc ^ ^ =C B ^ = B 180 Aˆ AB = AC ABC : AB=BC=AC Δ ^ ^ ^ =C=¿ A= B 60 ❑0 Δ ABC: ^ A = 90 ❑ Δ ABC: ^ A=90 ^ = 90 ^ +C B ❑0 ^ ^ +C B ❑0 AB=AC = 45 Â=180 ❑ − ^B Quan cạnh< Tổng hệ và > Hiệu các 2cạnh còn lại cạnh BC AB=AC AB=BC=AC 2 ❑ =AB + AC BC > AB BC > AC AB=AC= √c BC= c √ BÀI : Cho tam giác ABC có Â = 80 độ , B^ = 60 độ Hai tia phân giác góc B và C cắt I Vẽ tia phân giác ngoài đỉnh B cắt tia CI D Chứng minh góc BDC = góc C ? A BDC HD: Tính góc C = 40 độ Tính góc BDC = 180 ❑0 –(90 +30) = 40độ =>gócC =góc (3) I B C ^ BÀI : Cho tam giác ABC có góc A = B^ và B^ = C a/ Tính góc A ;B ; C ? b/ Gọi E giao điểm đường thẳng AB với tia phân giác góc ngoài đỉnh C Tính góc AEC ? B ^ => góc C = 18 HD : a/Qui góc C =>góc A+B+C =10 C ❑ => B^ = 54 độ; Â = 108 độ b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ => AC E = 81 độ và ❑ Â = B+ C =54+18 =72 độ=>gócE =180– A (81+72)= 27 độ C E BÀI : Cho tam giác ABC có các góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ? HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ => Tamgiác ABC vuông A BÀI : Cho tam giác ABC có chu vi 21 cm Độ dài canh là số lẻ liên tiếp và AB < BC < CA Tim độ dài cạnh tam giác PQR Biết Δ ABC=Δ PQR A HD : Gọi độ dài cạnh AB = 2n + ,BC= 2n +3 và CA = 2n +5 Ta có AB+BC+AC= 6n = 12 => n= =>AB= PQ= ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm B C (4) BÀI 10: Cho góc xÔy Trên tia O x lấy A , B và trên Oy lấy C,D cho OA=OC ; AB = CD Chứng minh : a/ Δ ABC=ΔCDA ∧ b/ Δ ABD= Δ CDB ? D C HD : Δ ABC=ΔCDA (cgc)∧ Δ CDB=Δ ABD(cgc) A B BÀI 11 : Cho tam giác ABC.Biết AB = cm , BC = cm và CA = cm Gọi đường thẳng qua A và song song với BC là a Đường qua B song song với CA là b và đường thẳng qua C và song song vơi AB là c Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c ; a và c ; a và b Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP ? A HD : Chứng minh Δ ABC=ΔCNA (gcg); Δ ABC=Δ BAP= Δ MCB =>Các cạnh tam giác MNP dài gấp đôi các cạnh tương ứng tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ; NP = 2BC = 10 cm và NP =2CA = 8cm B C M BÀI 12 : Gọi M trung điểm cạnh BC tam giác ABC , kẻ BH AM và CK AM Chứng minh : a/ BH // CK A b/ M trung điểm HK c/ HC // BK ? H H D : a/ BH // CK vì cùng vuông góc với AM B M C b/ Δ BHM =ΔCKM => MH=MK c/ Δ HCM =ΔKBM =>gocHCB=gocKBC=> HC // BK BÀI 13 : Cho tam giác LMN có góc nhọn Người ta vẽ phía ngoài tam giác ba tam giác LMA ; MNB và NLC Chứng minh : LB = MC = NA ? (5) HD : Δ AMN=Δ LMB(cgc)=> NA=BL => LB = MC = Δ ALN= ΔMLC(cgc)=> NA=CM NA L A M N B BÀI 14: Cho tamgiác ABC có Â = 90 độ ; B^ = 60 độ Phân giác góc B;góc C cắt tai I và AI cắt BC M a/ Chứng minh góc BMC là góc tù ? b/ Tính góc BIC ? A HD:a/ Góc I ❑1 > góc A ❑1 Góc ngoài tam giác BIM Góc I ❑2 > góc A ❑2 góc ngoài tam giác CIM góc I > góc A = 90 độ = > góc BIC là góc tù C b/ => góc BIC = 180 – 45 = 135 độ M B BÀI 15 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 độ Tia phân giác góc A cắt BC D Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ? ^ ^ ^ = ^ D 1= ^B + ^ A1 ; ^ D 2=C+ A => D1 − ^ D2= ^B − C A HD : => Ta có ^ 20 ❑0 D 1+ ^ D2 D1 =100 ❑0 , Mà ^ = 180 độ => ^ ^ D = 80 ❑0 B D C BÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và AB ( D khác phía C AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và AC ( E khác phía B AC ) Chứng minh : a/ DC = BE ? b/ DC BE ? E HD : a/ Δ ADC=Δ ABE(gcg) => DE = BE D b/ Gọi H là giao điểm AB với CD và K là giao A điểm DC với BE Δ ADH∧ ΔKBH=gocDAH=BKH=900 (6) B C ^ Tia phân giác góc B cắt AC D BÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = C Trên tia đối BD lấy điểm E cho BE = AC Trên tia đối CB lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh : AE = AK ? HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK A => Δ ABE=Δ KCA( cgc) D B C => AE = AK K E BÀI 18 : Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho KM = KC Trên tia đối EB lấy điểm N cho EN = EB Chứng minh A là trung điểm MN ? HD: Δ AKM=ΔBKC(cgc)=> gocKAM=gocKBC=> AM // BC Δ AEN= Δ CEB => AN=BC ∧ AN // BC M A K B N Mà AM//BC;AN//BC=>M;A;N thẳng hàng (1) AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2) Từ (1) &(2) => A là trung điểm MN E C (7) BÀI 19 : Cho tam giác ABC Vẽ phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông A là Δ ADB ; Δ ACE có AB = AD ; AC = AE Kẻ EH vuông góc BC ; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH Chứng minh a/ DM = AH N E b/ MN qua trung điểm DE D M A B HD : a/ => Δ ADM=Δ BAH => DM=AH H C b/ => tương tự câu a => EN=AH =>DM=EN Chứng minh DM//EN và gọi O giao điểm MN và DE => ΔDMO= ΔENO(gcg) => OD=OE BÀI 20 : Cho tam giác ABC gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC Vẽ điểm F cho E là trung điểm DF Chứng minh : A a/ DB = CF ^ b/ Δ BDC=ΔFC \{ D D E B c/ DE // BC & DE = BC F C HD: a/ => Δ AED=Δ CEF (cgc)=> AD=CF=> BD=CF b/ => Δ DBC=Δ FCD (cgc) 1 c/ => ΔBDC=ΔFCD => BC=DF => DE= DF => DE= BC BÀI 21 : Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D ; E cho AD = BE Qua D và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự M và N Chứng minh DM + EN = BC ? A HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC K.Tacó EN//BK EB//NK nên chứng minh NK=EB;EN=BK AD= NK ( vì cùng EB ) Chứng minh Δ ADM=ΔNKC(cgc )=> DM=KC => E N B F C BÀI 22 : Cho tam giác ABC có Â = 60 ❑0 Các tia phân giác góc B,góc C cắt I và cắt AC ; AB theo thứ tự D ; E Chứng minh : ID = IE ? A HD : ^ ^ + C 120 B = =60 => B^ 1+ C^ 1= 2 ^ ΔBIC :=> B I C=120 => \{ I^ 1= ^I =600 (8) E I IK phân giác B I^ C => \{ I^ 1= ^I 2=600 D Δ BIE=Δ BIK (gcg)=> IE=IK ΔCDI= ΔCIK(gcg)=> ID=IK =>ID=IE B C BÀI 23 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt E Các tia phân giác ^ E∧DB ^E AC cắt K Chứng minh : ^ C= BK B^ A C+B ^ DC ? K D A HD: Gọi K là giao điểm CK&BE H là giao điểm BK&DE ^1 Δ KGB ∧ Δ AGC=> \{ ^ K + ^B1= ^ A+ C Xét (1) ^ ^ ^ ^ ΔKHC ∧ Δ DHB=> \{ K + C = D + B Xét (2) 2 H G E K= ^ A+ ^ D Từ (1) &(2) => ^ C => ^ ^ A+ D ^ K= B BÀI 24 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vuông góc AB và lấy D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy AE = AC Chứng minh : a/ H E AM = AD b/ AM DE HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo đoạn thẳng gấp đôi AM cách trên tia đối MA lấy MK = MA và chứng minh DE = AK - Xét Δ ABK ∧ Δ DAE: AD=AB(gt); AE=BK (¿ AC) vi \{ ^ A Và D ^A E+ ^A=180 0( ¿¿ 1+ ^A 2=1800 ) (1) ¿ ^ B ^ 1=B+ ^ C ^ => A B ^ K +^ ^ C ^ +^ B+ A= B+ A=180 (vibu \{ ^ A ) (2) Vậy : ^ K =D ^ AB A E => Δ ABK= ΔDAE => AK=DE => AM= B M C DE b/ Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta có ^ H =900 B^ A K +D ^ A H=90 => \{ ^ D+ D ^ A H =900 => A D (9) BÀi 25 Miền góc nhọn xÔy vẽ Oz cho xÔz = yÔz Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vuông góc O x cắt Oz B Trên tia Bz lấy D cho BD = OA Chứng minh tam gíc AOD cân ? HD : Để chứng minh AO = AD ta vẽ DE = OB Ta thấy : A ^ E=O B ^ H=900 − α => A ^ ^E A^ E B=90 − α ∧ A B E B= A B => Δ AOB=Δ ADE(cgc) => AO=AD => Δ AOD cân E D B O H BÀI 26 : Cho góc xÔy = 120 ❑0 Oy là tia phân giác xÔz ; Ot là tia phân giác góc xÔy M là điểm miềm góc yOz Vẽ MA vuông góc O x,Vẽ MB vuông góc Oy,Vẽ MC vuông góc Ot Chứng minh MC = MA – MB ? y z M B H HĐ: Gọi E , I là giao điểm MC với Oy;O x => Δ EOI => OC = OK Vẽ EH MA ; EK ⊥ OI dễ dàng chứng minh MH = MB ; EK = OC MA-MB = MA – MH = HA = EK = OC E t C O x (10) A K BÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có Â = 100 độ Tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC = BD + AD 0 ^ D1= ^B2 + C=20 +40 A HD : Ta có ^ trên cạnh BC lấy các điểm K , E cho ^ K=600 ∧ B ^ BD D E=80 => Δ BDA=Δ BDK (gcg)=>DA =DK (1) Chứng minh tam gíac DKE cân D =>DK = DE (2) Và chứng minh tamgiác DEC cân E=>DE=EC (3) Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD B K E C BÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường cao BD ,CE Trên tia đối BD lấy điểm I Trên tia đối CE lấy điểm K cho BI = AC , CK = AB Chứng minh Δ AIK vuông cân ? HD : Ch/minh A B Δ ABI=Δ KCA(cgc) AI=AK Góc AIK=90 độ (vì góc E = góc K (cmt) Suy : tam giác AIK vuông cân C BÀI 29:Cho góc xÔy = 90 độ Lấy điểm A trên O x và điểm B trên Oy Rồi lấy điểm E trên tia đối O x và điểm F trên tia Oy cho OE =OB và O F = OA a/ Chứng minh AB = E F và AB EF b/ Gọi M,N là trung điểm AB, E F Chứng minh tam giác OMN vuông cân ? HD : a/ Δ OAB= ΔO ß E(2 cgv )=> AB= E F & AB ⊥ E F b/ ΔOMB=Δ ONE(cgc)=> OM=ON ∧gocM OM=90do => y OMN vuông cân B F (11) N M E O A x BÀI30: Cho tam giác ABC, Trên cạnh AB,AC lấy điểm M và N cho AM = CN Gọi O là giao điểm CM và BN Chứn ninh : A a/ CM = B N b/ Số đo góc BOC không đổi M và N di động trên AB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN ^ 1= B ^1 M HD: a/ Δ ACM=Δ CBN (cgc) =>CM=BN ∧ C b/ ^ ^ 1+ C ^ )=1800 −600 =1200 Δ BOCcoB \{ OC=180 −( B N O B C (12)