Tứ giác AIHK là hình chữ nhật có 3 góc vuông Gọi O là giao điểm của AH và IK.. N là giao điểm AM và IK.[r]
(1)ĐỀ 17 KIỂM TRA HOC SINH GIOI TOÁN Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức: A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử b) Chứng tỏ giá trị biểu thức A chia hết cho 24 với giá trị n N Bài 2: (4 điểm) Cho biểu thức x x x x x 2006 x x 1 x2 x A= a) Tìm điều kiện x để biểu thức xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 3: (6 điểm) a) Tìm a, b, c thuộc Z biết a b2 c ab 3b 2c b) Cho hai số tự nhiên a và b đó a = b – Chứng minh b3 – a3 viết dạng tổng ba số chính phương c) Cho ( a+b+c)2 = a2 + b2 +c2 và a ; b; c là số khác Chứng minh rằng: 1 3 3 a b c abc Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K là hình chiếu H trên AB và AC, gọi M là trung điểm BC Chứng minh AM vuông góc với IK Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AC > AB ), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA, đường vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh AE = AB b) Gọi M là trung điểm BE Tính số đo góc AHM Bài 6: (1điểm ) * Cho P = n4 - 27 n2 + 121 Tim n N để P là số nguyên tố (2) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TÓAN Bài (3 điểm): Đáp án Thang điểm a) A = n + 6n + 11n + 6n = n(n3 + 6n2 + 11n + 6) = n(n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6n + 6) 0,5 điểm = n[n (n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)] 0,25 điểm = n(n + 1)(n + 5n + 6) 0,25 điểm = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 0,5 điểm b) A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 0,5 điểm Trong đó là tích số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho A 3 (1) số tự nhiên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp, số chẵn liên tiếp có số chia hết cho và số chia hết cho Nên tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho A 8 (2) 0,5 điểm và là hai số nguyên tố cùng (3) 0,5 điểm Từ (1), (2), (3) A (3.8) A 24 n N Bài (4 điểm): Đáp án ¿ x ≠ ±1 a) §iÒu kiÖn: x ≠ ¿{ ¿ x −1 ¿2 + x − x −1 ¿ b) A = x+1 ¿2 −¿ ¿ ¿ ( x x 1)( x x 1) x x x 2006 x2 x = x x x x 2006 x2 x = x 2006 x = Thang điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 1,0 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm c) Ta có A nguyên ⇔ (x + 2006) x 2006x Vậy x là ước 2006 x ≠ ±1 Bài (6 điểm): Đáp án a) (2,75 điểm)Tìm a, b, c thuộc Z biết Thang điểm a b c ab 3b 2c 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm (3) a b c ab 3b 2c 0 a ab 0,25 điểm b 3b2 3b c 2c 0 4 0,25 điểm b b a 1 c 1 0 2 2 Vế trái là tổng bình phương nên luôn 0 Vây để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì 2 b b a 1 c 1 2 2 =0 b a 0 b 0 2 c 0 Vậy a 1 b 2 c 1 0,25 điểm b) (1.25 điểm) 3 b -a =(a+2)–a 0,25 điểm = a + 6a + 12a + – a = 6a + 12a + = a2 + a2 + 4a + + 4a2 + 8a + = a2 + a2 + 4a + + 4a2 + 8a +4 = a2 + (a + 2)2 + (2a + 2)2 (ĐPCM) c 2ab + 2ac +2bc = 0,75 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 1 1 0 c3 a b a b c a b c 1 1 1 3 3 3 a b ab ab c Kết Bài (3 điểm): Đáp án Vẽ hình đúng Thang điểm 0,5 điểm (4) A K I B N O H M C 0,25 điểm Tứ giác AIHK là hình chữ nhật (có góc vuông) Gọi O là giao điểm AH và IK N là giao điểm AM và IK 0,5 điểm BC 0,5 điểm AM = MC = (Tính chất trung tuyễn ứng với cạnh huyền tam giác vuông) 0,5 điểm MAK = MCK 0,5 điểm OKA = OAK (Tính chất đường chéo hình chữ nhật) 0,25 điểm MAK + OKA = MCK + OAK 90 AM IK Bài (4 điểm): Đáp án Vẽ hình đúng a) Từ E kẻ EI BC ( I AH ) Tứ giác HDEI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật IE = HD mà HD = AH (gt) IE = AH Dể dàng chứng minh hai tam giác vuông ABH và EAI , suy AE = AB b)trong tam giác vuông cân ABE : Thang điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền nên AM = BE (1) 0,25 điểm chứng minh tương tự với tam giác vuông BDE , ta có : DM = BE (2) 0,25 điểm (5) từ (1) và (2) suy AM = DM ADM cân M gọi K là trung điểm AD MK AD tam giác vuông cân AHD thì HK AD K có đường thẳng vuông góc với AD nên MK và HK trùng , nên AHM chính là AHK Trong tam giác vuông cân AHK thì AHK = 450 AHM = 450 Bài 6: * Cho P = n4 - 27 n2 + 121 Tim n N để P là số nguyên tố = (n2 +11)2 - 49n2 (0.5đ) = ( n2 -7n + 11)(n2 +7n +11) (0.25đ) Suy n2 - 7n +10 = suy n = ; n = thu lại chọn(0.25đ) (Nếu học sinh giải theo cách khác kết đúng cho điểm tối đa ) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm (6)