Lời giải Con phố quen: Trong bài toán nội dụng đề cập đến hai vấn đề : * Tìm điểm M thuộc một cầu cho trước đồng thời khoảng cách từ M đến một đường thẳng cho trước đạt giá trị nhỏ nhất [r]
(1)TÀI LIỆU TOÁN THPT ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 http://www.k2pi.net Môn: TOÁN NGÀY 08-12-2012 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) x +1 có đồ thị là (C ) x −1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Viết phương trình các tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị (C ), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành điểm N cho ∆OM N vuông Câu (2 điểm) Cho hàm số y = Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: ³ ³ π´ p π´ − sin 6x − = (4 cos 4x − sin 4x) sin 2x + ¡ 4 2¢ ¡ 34 ¢ x − y = y −xy x x3 b) Giải hệ phương trình: (x, y ∈ R) + − 8y + = y4 y Z π sin 2x + cos 2x Câu (1 điểm) Tính tích phân I = π dx − sin x + cos x + p Câu (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A B 0C có đáy ABC là tam giác vuông A , AB = a, AC = a Gọi H , M là trung điểm BC ,CC Biết A cách các đỉnh A, B, C Góc tạo đường thẳng A B và mặt phẳng (A AH ) 300 Tính thể tích lăng trụ ABC A B 0C và khoảng cách hai đường thẳng A B và AM Câu (1 điểm) Cho a, b, c các số dương thoả mãn : 2a + 3b + 5ab + 3bc + 2ac + c ≤ + 5a + 8b Chứng minh rằng: 1 +p +p ≥1 p a c +1 +1 8b + PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) ¶ ¢2 ¡ + y − = Xác a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho đường tròn (C ) : x − định tọa độ các đỉnh hình vuông ABC D biết các đỉnh B và C thuộc đường tròn (C ), các đỉnh A và D thuộc trục Ox b) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Ox y z cho mặt cầu (S) : x + y + z − 2x − 4y + 6z + 13 = và các x = 1+t x −1 y −1 z +1 đường thẳng d1 : y = − t (t ∈ R), d2 : = = Gọi M là điểm thuộc mặt cầu (S) cho khoảng −1 z =3 µ cách từ M đến đường thẳng d1 đạt giá trị nhỏ Viết phương trình đường thẳng qua M , vuông góc với d và cắt d Câu 7A (1 điểm) Giải phương trình: p p 3x − x − x + + 2x.3x + 2x + = 9x B Theo chương trình nâng cao Câu 6B (2 điểm) x2 y + = và điểm I (1; −1) Một đường thẳng ∆ qua I cắt Elip hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ các điểm A, B cho độ lớn tích I A.I B đạt giá trị nhỏ a) Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho Elip có phương trình: x +1 y −1 z x y b) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Ox y z cho hai đường thẳng ∆1 : = = , ∆2 : = = 3 −1 z −1 và hai điểm A(−1; 3; 0), B (1; 1; 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng ∆1 và ∆2 M và N cho tam giác AN B vuông B và thể tích khối tứ diện AB M N ( 2 x −y =2 ¡ ¢ ¡ ¢ Câu 7B (1 điểm) Giải hệ phương trình : log16 x + y = log3 x − y + ———————————————–Hết—————————————————- (2) TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN Câu x +1 có đồ thị là (C ) x −1 Cho hàm số y = a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Viết phương trình các tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị (C ), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành điểm N cho ∆OM N vuông a) Lời giải (hungchng): −2 < ∀x ∈ D , (x − 1)2 Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1); (1; +∞) lim y = +∞; lim− y = −∞; x = là phương trình tiệm cận dọc * TXĐ D = R\{1}; x→1+ đạo hàm y = * Đồ thị x→1 lim y = 1; x→−∞ lim y = 1; x→+∞ y = là phương trình tiệm cận ngang * Bảng biến thiên x −∞ +∞ y0 − − +∞ −3 y −2 −1 −1 −∞ −2 −3 b) Lời giải (dangnamneu): ³ ´ +1 Giả sử điểm M x ; xx00 −1 ∈ (C ) Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm M là k = y (x ) = x +1 x −1 −2 (x − 1)2 x0 + = Tam giác OM N vuông ta xét ba trường hợp: x − x (x − 1) Trường hợp 1: Tam giác OM N vuông O đó M thuộc trục tung, tức M (0; −1) đó tiếp tuyến cần tìm là: −2 y= (x − 0) − ⇔ y = −2x − (0 − 1)2 Trường hợp 2: Tam giác OM N vuông N đó tiếp tuyến song song với trục tung, điều này là không thể Trường hợp 3: Tam giác OM N vuông M và −2 x0 + k.kOM = −1 ⇔ = −1 ⇔ x (x − 1)3 = (x + 1) x (x − 1) (x − 1) Đến đây để đơn giản ta đặt t = x − phương trình trở thành: · p p ¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢ t −2 = t (t + 1) = (t + 2) ⇔ t + t − 2t − = ⇔ t t − + t − t + = ⇔ ⇔ t = ± ⇔ x0 = ± 2 t +2+t = p p ¢ 1+ 2+1 ¡ −2 p p y=¡ p ¢2 x − − + · 1+ 2−1 y = −x + + 2 1+ 2−1 p p Từ đó suy hai tiếp tuyến là: ⇔ p ¢ 1− 2+1 ¡ −2 y = −x + − 2 y= p p ¢2 x − + + ¡ 1− 2−1 1− 2−1 p p Vậy tất có tiếp tuyến cần tìm là y = −2x − 1; y = −x + + 2; y = −x + − 2 Hệ số góc đường thẳng OM là: kOM = Câu 2.a Giải phương trình: Lời giải (theoanm): p ³ ³ π´ π´ p sin 2x + − sin 6x − = (4 cos 4x − sin 4x) 4 ³ ³ π´ π´ p sin 2x + − sin 6x − = (4 cos 4x − sin 4x) 4 Nhân hai vế với vào hai vế ta phương trình (sin 2x + cos 2x) − (sin 6x − cos 6x) = cos 4x − sin 4x ⇔5 sin 2x + sin 4x − (sin 6x + sin 4x) + cos 2x − cos 4x + cos 6x − cos 4x = ⇔10 sin 3x cos x − sin 5x cos x + 10 sin 3x sin x − sin 5x sin x = ⇔10 sin 3x (sin x + cos x) − sin 5x (sin x + cos x) = ⇔ (sin x + cos x) (10 sin 3x − sin 5x) = −π + kπ TH : sin 3x = sin 5x ⇔ sin 3x = (sin 5x − sin 3x) ⇔ sin 3x = 10 cos 4x sin x ⇔ sin x − sin3 x = cos 4x sin x TH : sin x + cos x = ⇔ x = http://www.k2pi.net (3) ¡ ¢ ⇔ sin x − 4si n x − cos 4x = • sin x = ⇔ x = kπ •3 − 2(1 − cos2x) − 5(2 cos2 2x − 1) = ⇔ −10 cos2 2x + cos 2x + = ⇔ −5 cos2 2x + cos 2x + = Câu 2.b ¢ ¡ ¢ ¡ x − y = y −xy x x3 (x, y ∈ R) + − 8y + = y4 y Giải hệ phương trình: Lời giải (hoanghai1195): x x ĐKXĐ: y 6= P T (1) ⇔ 2x + 3x y = 3y + 2y ⇔ 2( )3 + = 2y + 3y y y Xét hàm số f (t ) = 2t + 3t là hàm đồng biến trên R nên phương trình trên tương đương với: p + 137 y= p Thế vào phương trình (2) ta được: 4y + 5y − 8y + = ⇔ −4y + 5y + = ⇒ − 137 y= p p 162 + 10 137 162 − 10 137 x= x= p 64 p 64 Từ đó ta suy hệ có nghiệm: Hoặc: + 137 − 137 y= y= 8 x = y hay x = y y Lời giải (Con phố quen): Điều kiện : y 6= Quan sát thấy phương trình đầu tiên vế trái chứa hẳng đẳng thức : x − y = x − (y )3 = (x − y )(x + x y + y ) Mặt khác vế phải lại tách nhân tử chung : y − x y = −y (x − y ) Điều này chứng tỏ từ phương đầu tiên ta bắt nhân tử chung sau : (x − y )(2x + 2x y + 2y + 3y ) = (1) Ta xem phương trình 2x + 2x y + 2y + 3y = là phương trình bậc hai theo biến x với biệt số ∆0 = y − 2(2y + 3y ) = −(3y + 6y ) < Do đó phương trình : 2x + 2x y + 2y + 3y = vô nghiệm Từ đó (1) cho x =y Thế kết trình thứ hai hệ và thu gọn ta thu phương trình : p này vào phương p − 137 81 − 137 ⇒x= y= 32p p 4y − 5y − = ⇔ + 137 81 + 137 y= ⇒x= 32 Câu Tính tích phân Z I= π − π4 sin 2x + cos 2x dx sin x + cos x + Lời giải (nqt): π Z π sin 2x cos 2x d x+ dx = A + B − π4 + sin x + cos x − π4 + sin x + cos x * Tính A : Có sin 2x = (1 + sin 2x) − = (sin x + cos x)2 − = (sin x + cos x − 1)(sin x + cos x + 1) p R π4 π Nên A = − π (sin x + cos x − 1)dx = − *Tính B : Có cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x) p π π Đặt t = sin x + cos x + ⇒ dt = (cos x − sin x)dx Đổi cận x = − ⇒ t = 1; x = ⇒ t = + 4 p p p p Rp t −1 π Do đó B = 2+1 dt = − ln( + 1) Vậy I = 2 − − ln( + 1) t Ta có I = Z Lời giải (dan_dhv): π (cos x + sin x)2 − + cos 2x dx cos x + sin x + −π Z π4 Z π 4 (cos x + sin x + − 1)(cos x − sin x) = (sin x + cos x − 1)d x + dx cos x + sin x + − π4 − π4 ¶ Z π Z π µ 4 cos x − sin x = cos x − sin x − dx (sin x + cos x − 1) d x + cos x + sin x + − π4 − π4 Ta có: I = Z p p −π = sin x − cos x − x + sin x + cos x − ln(cos x + sin x + 1) = sin x − x − ln (cos x + sin x + 1) = 2 + − ln( + 1) Lời giải (kunkun): Z π cos x (sin x + cos x + 1) − (1 + cos x) sin 2x + cos 2x d x= dx −π sin x + cos x + − π4 sin x + cos x + Z π Z π Z π p 4 + sin x + (cos x − sin x) + cos x = cos xd x − dx = 2− dx −π −π sin x + cos x + −π sin x + cos x + 4 Z π Z π p p p ¢ ¡ (cos x − sin x) + sin x = 2− dx − d x = 2 − ln + − I −π sin x + cos x + −π sin x + cos x + 4 Z I= http://www.k2pi.net π (4) π + sin x π π d x Đặt x + π4 = t ⇒ d x = d t Đổi cận: x = −π p ¡ ¢ ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π sin x + + ¡ ¢ p p Z π Z π Z π p π + sin t − 1+ 2 sin t − cos t cos t π ⇒ I1 = dt = dt = − dt = p p p 0¡ 0 sin t + sin t + p p2 ¢sin t + π Vậy I = 2 − − ln + Xét I = Z −π π p ¢ ¡ − ln + p Câu Cho hình lăng trụ ABC A B 0C có đáy ABC là tam giác vuông A , AB = a, AC = a Gọi H , M là trung điểm BC ,CC Biết A cách các đỉnh A, B, C Góc tạo đường thẳng A B và mặt phẳng (A AH ) 300 Tính thể tích lăng trụ ABC A B 0C và khoảng cách hai đường thẳng A B và AM Lời giải (): B0 C0 A0 M B H a p a O C A p Ta có BC = AB + AC = 2a Gọi H là trung điểm cạnh huyền BC ta có H A = H B = HC = a nên A H ⊥ (ABC ) , (AH A ) = 30o Gọi O làptrung điểm AH ta có BO ⊥ AH (4AB H cạnh a ) Do đó BO ⊥ AH A , suy B A O = B Aá p a 3a =⇒ A O = mà A 0O = HO + A H nên A H = a 2 p p p a3 0 0 Thể tích lăng trụ V ABC A B C = S ABC A H = a.a 3.a = 2 BO = Câu Cho a, b, c các số dương thoả mãn : 2a + 3b + 5ab + 3bc + 2ac + c ≤ + 5a + 8b Chứng minh rằng: 1 +p ≥1 +p p a c b +1 +1 +1 Lời giải (Con phố quen): Từ điều kiện ta biến đổi: 2a + 3b + 5ab + 3bc + 2ac + c ≤ + 5a + 8b ⇐⇒ 2a + 2ab + 2ac − 6a + 3ab + 3b + 3bc − 9b + a + b + c − ≤ ⇐⇒ 2a(a + b + c − 3) + 3b(a + b + c − 3) + (a + b + c − 3) ≤ ⇐⇒ (a + b + c − 3)(2a + 3b + 1) ≤ (1) Do a, b, c > nên từ (1) ta có : a + b + c ≤ Lại có : 2a+b+c = 2a · 2b · 2c ≤ Đặt m = 2a , n = 2b , p = 2c ⇒ mnp ≤ Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có p p m2 + + m = (1 + m)(1 − m + m ) ≤ Xây dựng các bất đẳng thức tương tự, ta VT ≥ m2 + + n2 + + p2 + Vậy ta cần phảỉ chứng minh 2 2 2 2 p2 m + + ≥ tức là + n + ≥1 2 2 m +2 n +2 p +2 1+ 1+ 1+ m n p 1 1 Tiếp tục đăt :t = , u = , v = Với điều kiện mnp ≤ ⇒ t uv ≥ Khi đó ta cần chứng minh : m n p 2t 2u 2v + + ≥1 + 2t + 2u + 2v http://www.k2pi.net (5) Tới đây ta khai triển và rút gọn ta thu 4(ut + v t + uv) + 16uv t ≥ (∗) Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM ta có : p 1 4(ut + v t + ut ) + 16uv t ≥ 12 t u v + 16uv t = 12 · + 16 · =1 16 64 Vậy (∗) chứng minh Dấu đẳng thức xảy t = u = v = hay m = n = p = hay a = b = c = µ Câu 6A.a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho đường tròn (C ) : x − ¶2 ¡ ¢2 + y −1 = .Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABC D biết các đỉnh B và C thuộc đường tròn (C ), các đỉnh A và D thuộc trục Ox Lời giải (thiencuong_96): XXXXXXXXXXXXXXXXXX Câu 6A.b Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Ox y z cho mặt cầu (S) : x + y + z − 2x − 4y + 6z + 13 = và các đường thẳng d1 : x = 1+t x −1 y −1 z +1 y = − t (t ∈ R), d : = = Gọi M là điểm thuộc mặt cầu (S) cho khoảng −1 z =3 cách từ M đến đường thẳng d1 đạt giá trị nhỏ Viết phương trình đường thẳng qua M , vuông góc với d1 và cắt d2 Lời giải (Con phố quen): Trong bài toán nội dụng đề cập đến hai vấn đề : * Tìm điểm M thuộc cầu cho trước đồng thời khoảng cách từ M đến đường thẳng cho trước đạt giá trị nhỏ và lớn * Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cho trước đồng thời vuông góc với đường thẳng a và cắt đường thẳng b Tiếp đến, phố quen đưa các hướng giải cho vấn đề Vấn đề : Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) đồng thời khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ có giá trị nhỏ và lớn Giải vấn đề : - Bước : Gọi H là hình chiếu tâm I mặt cầu lên ∆ Xác định tọa độ điểm H - Bước : Viết phương trình đường thẳng qua I H Và tìm giao điểm M1 , M2 I H và mặt cầu (S) - Bước : Tính I H và so sánh I H và bán kính R mặt cầu (S) Khi đó : I H > R Thì M Hmin = {M H , M H } , M HMax = Max {M H , M H } I H = R Thì M Hmin = M trùng H , M Hmax M trùng với điểm đối xứng H qua I I H < R Thì M Hmin = lúc đó M trùng với hai điểm A, B với A, B là giao điểm ∆ và mặt cầu (S), M Hmax = max {M H , M H } Vấn đề : Viết phương trình đường thẳng d qua M , vuông góc với d1 và cắt d2 Giải vấn đề : Bài toán có nhiều cách giải Ở đây hướng giải gọn nhẹ sau : −−→ −→ → Giả sử d cắt d2 B Suy tọa độ điểm B Tính M B Do d1 ⊥d nên AB · − a1 = Tinh điểm B Từ đó viết phương trình M B Bây ta cụ thể vào bài toán: Tìm điểm M Đối với mặt cầu (S) ta có tâm I (1; 2; −3) và bán kính R = −→ Gọi H là hình chiếu vuông góc I lên d1 Suy H (1 + t , − t , 3) ⇒ I H = (t ; −t ; 6) −→ → Do I H ⊥d1 nên I H · −a d1 = ⇒ t − (−t ) = ⇔ t = ⇒ H (1; 2; 3) ⇒ I H = > R x = Ta có phương trình I H : y = Tọa độ hai điểm M , M I H và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình: z = + 6u x = y = ⇒ (1 − 1)2 + (2 − 2)2 + (3 + 6u + 3)2 = ⇔ (1 + u)2 = ⇔u=− ∨ u=− 36 6 z = + 6u 2 (x − 1) + (y − 2) + (z − 3) = Khi đó ta có : M1 (1; 2; −2), M2 (1; 2; −4) Từ đó ta có : M1 H = 5; M2 H = Do I H > R nên M Hmin = {M1 H , M2 H } = Từ đó ta có M trùng với điểm M1 hay M (1; 2; −2) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với d1 và cắt d2 −−→ Giả sử d cắt d2 B nên ta có B (1 − v; + 2v; −1 + v) Ta có M B =µ(−v; −1 + 2v;¶ + v) 1 −−→ ⇒ M B = − ; − ; − = (1; −1; −2) 3 3 − Do đó đường thẳng d qua M và nhận véc tơ → u = (1; −1; −2) làm véc tơ phương −−→ − Do d ⊥d1 nên ta có : M B · → a d1 = ⇒ −3v + = ⇔ v = http://www.k2pi.net (6) nên ta có phương trình :d : Câu 7A x −1 y −2 z +2 = = −1 −2 Giải phương trình: p p 3x − x − x + + 2x.3x + 2x + = 9x Lời giải½(dangnamneu): Điều kiện: 3x − x ≥ x ≥ −1 x − 2x − = 3x − 2x − 1 = (3x − 2x − 1) (3x + 1) ⇔ x Biến đổi phương trình dạng: p p +1 = p p 3x − x + x + 3x − x + x + p ¢ ¡p Xét phương trình: 3x + = p ⇔ 3x − x + x + (3x + 1) = p 3x − x + x + p p p ¡p ¢ ¡p ¢ ³¡p ¢2 ¡p ¢2 ´ ¡p ¢3 Đế ý là: = 3x − x + x + (3x + 1) = 3x − x + x + 3x − x + x + < 3x − x + x + p p <1 ⇒ 3x − x + x + > ⇒ p p 3x − x + x + Mặt khác 3x + > nên phương trình này vô nghiệm Xét phương trình: 3x − 2x − = 0, là dạng phương trình mũ hay ³ gặp ´ Ta xét hàm số f (x) = 3x − 2x − ta có f (x) = 3x ln − = ⇔ x = log3 ln Lập bảng biến thiên hàm số suy phương trình có nghiệm thì tối đa là nghiệm Mặt khác nhận thấy x = 0; x = thỏa mãn Nên đó là hai nghiệm phương trình trên Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0; x = x2 y + = và điểm I (1; −1) Một đường thẳng ∆ qua I cắt Elip hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ các điểm A, B cho độ lớn tích I A.I B đạt giá trị nhỏ Câu 6B.a Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho Elip có phương trình: Lời giải (dangnamneu): Gọi I , A , B là hình chiếu I , A, B xuống trục hoành, đó theo tính chất hình chiếu ta suy I A.I B ≥ I A I B , dấu xảy và AB song song với trục hoành Tương tự hạ hình chiếu xuống trục tung, lập luận tương tự suy AB song song với trục tung Nhưng hai trường hợp này có trường hợp thỏa mãn bài toán Nhưng để ý I (1; −1) nằm Elip 12 (−1)2 + −1 < nên các hình chiếu trên nằm trục lớn trục bé Elip, để ý là trục lớn có độ dài lớn nên đường thẳng AB cần tìm song song với trục bé, ´tức ³song với trục tung q q song ³ ´ Do AB song song với trục tung và qua I (1; −1) nên có phương trình là: x = ⇒ A 1; − , B 1; q ´ q ´ ³ q ´ ³ q ´ ³ ³ Vậy hai điểm cần tìm là A 1; − 72 , B 1; 72 A 1; 72 , B 1; − 72 Câu 6B.b Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Ox y z cho hai đường thẳng ∆1 : x +1 y −1 z x = = , ∆2 : = 3 y z −1 = và hai điểm A(−1; 3; 0), B (1; 1; 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng ∆1 và ∆2 M và −1 N cho tam giác AN B vuông B và thể tích khối tứ diện AB M N Lời giải (): XXXXXXXXXXXXXXXXXX ( Câu 7B Giải hệ phương trình : x2 − y = ¡ ¢ ¡ ¢ log16 x + y = log3 x − y + Lời giải (hoanghai1195): ½ x+y >0 x−y >0 ½ x+y =a Đặt x−y =b ĐKXĐ: P T (1) ⇐⇒ ab = =⇒ a = b Thế vào phương trình (2); ta được: ¢ log3 log2 a 1¡ log3 − log3 a + ⇐⇒ log2 a = +2− =⇒ log2 a = ⇐⇒ a = =⇒ b = 4 log 23 x= Từ đó suy hệ có nghiệm: y= 2 log2 a = http://www.k2pi.net (7)