Tài liệu Đề thi PTNK ĐHQG TPHCM P1 pptx

CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-TIN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM Copyright 2006 © www.diendantoanhoc.net MỤC LỤC Năm học 1993 – 1994 3 Năm học 1994 – 1995 6 Năm học 1995 – 1996 8 Năm học 1996 – 1997 11 Năm học 1997 – 1998 13 Năm học 1998 – 1999 16 Năm học 1999 – 2000 19 Năm học 2000 – 2001 22 Năm học 2001 – 2002 25 Năm học 2002 – 2003 28 Năm học 2003 – 2004 31 Năm học 2004 – 2005 34 Năm học 2005 – 2006 . 37 Năm học 2006 – 2007 40 Năm học 1993 – 1994 Ngày thứ nhất Bài 1 Ta nói số tự nhiên A là một số “Pitago” nếu A là tổng bình phương của hai số tự nhiên nào đó. a) Cho P và Q là hai số “Pitago”, chứng minh P.Q và 2 n P cũng là các số “Pitago”. b) Tìm các số “Pitago” M và N sao cho tổng và hiệu của chúng không phải là các số “Pitago”. Bài 2 a) Giải phương trình căn thức : 3 4 34943123x xx−= − − b) Chứng minh đẳng thức 44 49 20 6 49 20 6 3 2 ++− = Bài 3 Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa. Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C thắng D. Bài 4 Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một cô đang đọc sách. Biết thêm rằng : 1. Mỹ không sửa áo và không đọc sách. 2. Mận không viết thư và không sửa áo. 3. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo. 4. Mai không đọc sách và không sửa áo. 5. Mơ không đọc sách và không viết thư. Hãy nói chính xác mỗi cô đang làm gì. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 3 Bài 5 Giả sử là một điểm nằm bên trong tam giác đều O ABC . Các đường thẳng ,,AOBOCO cắt các cạnh đối diện của tam giác tại các điểm A 1 ,B 1 ,C 1 tương ứng. Biết rằng : 11 1 11 1 ABOCAOBCO CBOBAOAC SSS SSS ++ =++ +++ +++O Chứng minh rằng O nằm trên một đường trung tuyến của tam giác ABC. Ngày thứ hai Bài 1 Chia hai tập hợp những số tự nhiên {1,2,…,2n} thành hai tập con rời nhau A và B, mỗi tập có n phần tử. Kí hiệu các phần tử của hai tập hợp này theo thứ tự tăng : 12 1 . } { nn A aa a a − <<< < = và 12 . } { nn Bbb bb − 1 < << < = Hãy chứng minh đẳng thức : |a 1 -b 1 |+|a 2 -b 2 |+…+|a n -b n |=n 2 Bài 2 Cho một bảng kích thước 2n x 2n ô vuông. Người ta đánh dấu 3n ô bất kì của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho các ô được đánh dấu đều nằm trên n hàng hoặc n cột này. Bài 3 Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn, M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R. Hãy tính diện tích tam giác ADM. Bài 4 Một hộp đựng 52 viên bi, trong đó có 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ, 13 viên màu vàng và 13 viên màu trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó không có ít hơn 7 viên bi cùng màu. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát hơn. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 4 Bài 5 Một dãy các con số 0 và 1 có độ dài 32 được gọi là 1 xâu. Ta kí hiệu các xâu A,B,C ,… như sau : A=(a 1 ,a 2 ,…,a 32 ) B=(b 1 ,b 2 ,…,b 32 ) C=(c 1 ,c 2 ,…,c 32 ) với a i ,b i ,c i ,…= 0 hay 1; i = 1,2,…,32. Giá trị của một xâu là số các con số 1 có trong xâu ấy. Một máy tính có thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau : _ Phép dịch chuyển các phần tử của A đi k vị trí, 1 ≤ k ≤ 32 theo qui tắc : (a 1 ,a 2 ,…,a 32 ) ⇒ (a k ,a k+1 ,…,a 31 ,a 32 ,a 1 ,a 2 ,…,a k-1 ). _ Phép so sánh hai xâu A và B để được một xâu mới C theo qui tắc A&B ⇒ C, với 1 nếu (a i = 1,b i = 0) hay (a 1 = b 1 = 1) c 1 = 0 nếu (a i = 1,b i = 0) hay (a 1 = 0,b 1 = 1) Cho xâu A có giá trị bằng 16 và B là một xâu tùy ý. Chứng minh rằng, bằng cách dịch chuyển A đi k vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với B, ta sẽ được xâu C có giá trị không nhỏ hơn 16. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 5 Năm học 1994 – 1995 Ngày thứ nhất Bài 1 Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch. Dưới đây là năm khẳng định khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết : a) A và C b) B và E c) B và F d) A và F e) A và D Biết rằng có bốn khẳng định đúng một nửa và một khẳng định sai hoàn toàn. Hãy cho biết hai đội nào được thi đấu trong trận chung kết. Bài 2 a) Trên bảng có viết 1994 số : 1,2,…,1994. Cho phép xóa hai số bất kỳ trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng tổng của hai số đó (Như vậy sau mỗi lần xóa thì các số các số được viết trên bảng giảm đi 1). Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng sẽ còn lại một số lẻ. b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ? Bài 3 Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1 chia hết cho x và x+1 chia hết cho y. Bài 4 a) Cho là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất : abcd<<< f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d| b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n số thực. Bài 5 Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại I. Biết rằng ID = IE, chứng minh rằng hoặc tam giác ABC cân tại A hoặc góc . 0 60BAC∠= Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 6 Ngày thứ hai Bài 1 Giải hệ phương trình 22 22 23 42 xxyy xxyy ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 13 6 − += + −=− Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c. a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c. b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh AB : AC : BC = 3 : 4 : 5. Bài 3 Chứng minh không tồn tại một dãy tăng thực sự các số nguyên sao cho với mọi số tự nhiên n,m ta có : 123 ,,, 0:aaa≥ . a mn = a n + a m . Bài 4 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn các tính chất sau : i) x và y đều có hai chữ số ii) x = 2y iii) Một chữ số của y thì bằng tổng hai chữ số của x, còn chữ số kia thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x. Bài 5 Một tam giác đều được chia thành một số hữu hạn các tam giác con. Chứng minh rằng sẽ có ít nhất một tam giác con có cả ba góc đều nhỏ hơn 120 0 . Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 7 Năm học 1995 – 1996 Ngày thứ nhất Bài 1 Trong một kì thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời “có” hay “không” cho mỗi câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi : a) Câu số 1 và câu số 5 cần trả lời trái ngược nhau. b) Câu số 2 và câu số 4 cần trả lời giống nhau. c) Nếu câu số 4 trả lời “có” thì câu số 5 cần trả lời “không”. d) Số câu được trả lời “không” ít hơn số câu trả lời “có” thì một thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi. Bài 2 Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao cho AE CF BEDF = . Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD. Bài 3 Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số A abcd= thỏa điều kiện : i) 2 (2abd b d a=+−) ii) A + 72 là một số chính phương Bài 4 a) Chứng minh với mọi giá trị thực của x ta luôn có : 242 36125109xx x x 5+ ++ − +≥ b) Giải phương trình : 242 36125109342 2 x xxx x+++ − +=−−x Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh A,B cố định và C thay đổi trên nửa đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 8 giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh AC, BC, AB. Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D. a) Chứng minh rằng bốn điểm B, D, Q, R nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At thì PQ luôn đi qua một điểm cố định. Ngày thứ hai Bài 1 Cho số tự nhiên n . Chứng minh rằng : 1> a) Nếu n lẻ thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành một dãy sao cho với mọi kn≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết cho n. b) Nếu n thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành một dãy sao cho với mọi kn≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết cho n. Bài 2 Giải và biện luận hệ phương trình sau : 1 2 xyz m xy xyz yz xyz zx ⎧ = ⎪ + ⎪ ⎪ = ⎨ + ⎪ ⎪ = ⎪ + ⎩ trong đó x, y, z là các ẩn số và m là tham số thực. Bài 3 Cho là các số thực dương. Gọi A là các số lớn nhất trong các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức : 1 2 1995 , , .,aa a 2 1 2 1995 1 1995 1 ( 2 . 1995 ) ( . ) 2 Aa a a a a+++ > ++ Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 9 Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD. a) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp xúc ngoài nhau thì ta luôn có AB + CD ≤ AD + BC b) Chứng minh rằng, nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp xúc ngoài với nhau và hai đường tròn đường kính AD và BC cũng tiếp xúc ngoài với nhau thì tứ giác ABCD phải là hình thoi. Bài 5 a) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của hình vuông sao cho : 135 180AOB≤∠ ≤ oo b) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình đa giác đều n cạnh . Chứng minh rằng, luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của đa giác sao cho: (5n ≥ ) 1 1 180 180AOB n ⎛⎞ −≤∠≤ ⎜⎟ ⎝⎠ oo . Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net 10 [...]... Cho hai số nguyên dương a và b Biết rằng trong bốn mệnh đề P, Q, R, S dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai : P = “a = 2b + 5” Q = “(a + 1) chia hết cho b” R = “(a + b) chia hết cho 3” S = “(a + 7b) là số nguyên tố” a) Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong bốn mệnh đề trên (có giải thích) b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề đúng còn lại Bài 3 a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho... tiếp xúc đồng thời (C1 ),(C2 ) và AB 19 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Bài 5 a) Có n đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt (n ≥ 3) Chứng minh rằng dù lịch thi đấu thế nào sắp xếp ra sao thì tại bất kỳ thời điểm nào ta cũng tìm ra được hai đội bóng có số trận đã đấu là bằng nhau b) Giả sử n = 3 và ba đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt Điều khẳng định của câu a) còn đúng khônng... hoặc 1) thỏa : (*) Bất kỳ hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều không trùng nhau a) Chứng minh n ≤ 36 b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số an+1 tùy ý (0 hay 1) thì tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp a1, a2, a3, a4 và an-3, an-2, an-1, an trùng nhau 15 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Năm học 1998 – 1999 Ngày thứ nhất Bài... M di động trên đoạn BC, hãy tìm qũy tích điểm I Bài 5 Một giải bóng đá có n đội tham dự Các đội thi đấu vòng tròn một lượt Trong mỗi trận, đội thắng được 2 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua được 0 điểm Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó 16 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Khi kết thúc giải, đội vô địch được 8 điểm, đội xếp thứ nhì được... sự của mỗi đội, biết rằng trong việc sắp thứ hạng, khi hai đội bằng nhau, đội nào có hiệu số bàn thắng thua lớn hôn sẽ được xếp trên và trên thực tế cả bốn đội bóng đều có hiệu số bàn thắng thua khác nhau 11 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net Ngày thứ hai Bài 1 Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình x 2 + px + 1 = 0 ; c,d là hai nghiệm của phương trình y 2 + qy + 1 = 0 Chứng... và pqr ≤ 2 17 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net a) Chứng minh rằng nếu : x+ y 2 b) Chứng minh rằng : px + qy + rz ≥ 8xyz x ≤ y ≤ z thì px + qy + rz ≥ Bài 5 a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2,…, 8 thành 1 dãy a1, a2,…, a8 sao cho với 2 số ai, aj bất kỳ (i < j) thì mọi số trong dãy a + aj nằm giữa ai và aj đều khác i 2 b) Hãy chứng minh rằng với N số nguyên... ngoài với nhau tại điểm D Từ một điểm A bất kỳ nằm trên đường tròn thứ nhất kẻ tiếp tuyến của đường tròn thứ nhất cắt đường 13 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net tròn thứ hai tại hai điểm B và C Chứng minh rằng điểm A cách đều các đường thẳng BD và CD Bài 5 Số nguyên A được tạo thành bằng các chữ viết liền nhau các số nguyên dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : A =... và một điểm P nằm trong tam giác a) Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của tam giác PBC, PCA và PAB 2 Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của S12 + S2 + S32 b) Gọi P1, P2, P3 lần lượt là các điểm đối xứng của P qua BC, CA và AB Đường thẳng đi qua P1 và song song BC cắt AB và AC tại B1 và C1 Đường thẳng đi qua P2 và song song CA cắt BC và BA tại C2 và A2 Đường thẳng đi qua P3 và song song AB cắt CA và BC... AI b) Chứng minh rằng : Tam giác ABC cân tại A ⇔ C tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC Bài 4 Chứng minh rằng, có thể chia các số 1,2,…,3N (N ≥ 2) thành ba nhóm N số mà tổng các số chứa trong mỗi nhóm đều bằng nhau Bài 5 Trong giải Euro’96, sau vòng đấu loại, ở một bảng có kết quả như sau : A nhất, B nhì, C ba, D tư Các nhà quan sát nhận xét rằng nếu tính theo luật cũ là thắng 2 điểm (chứ không phải... nước Ý và Anh gâp đôi số người đã i) đi được cả hai nước Pháp và Ý Còn số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý lại gấp đôi số người đã đi được cả hai nước Anh và Pháp 14 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net ii) Số người đi Ý (mà không đi Anh, Pháp) hơn số người chỉ đi Anh (mà không đi Pháp, Ý) là một người và bằng với số người đã đi Pháp a) Hãy tìm số người chỉ đi đúng một nước