Dạng toàn phương và định lý minkowski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Minh DẠNG TỒN PHƢƠNG VÀ ĐỊNH LÝ MINKOWSKI LU N V N THẠC S TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Minh DẠNG TỒN PHƢƠNG VÀ ĐỊNH LÝ MINKOWSKI Chuyên ngành: s v t uy t s Mã s : 60 46 01 04 LU N V N THẠC S TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơ x n cam đoan cơng trìn ng ên cứu r êng tô v ướng dẫn k oa ọc PGS.TS Mỵ Vinh Quang Các nộ dung ng ên cứu, k t đề t n y trung t ực v c ưa sử dụng để bảo vệ ọc vị n o Mọ g úp đỡ c o v ệc t ực ện uận văn n y tr c dẫn uận văn c ỉ rõ nguồn g c v p ép công b Học viên thực Nguyễn T ị M n LỜI CẢM ƠN Trong trìn p Hồ C đặc b ệt ọc tập v rèn uyện t Trường ọc Sư p m T n M n , c ỉ bảo v g ảng d y n ệt tìn Quý T ầy Cơ, Q T ầy Cơ k oa Tốn truyền đ t c o tô n ững k n t ức c uyên sâu, g úp tô trưởng t n ọc tập v ng ên cứu k oa ọc Tô x n gử cảm ơn c ân t n đ n Qu T ầy Cơ tận tìn g ảng d y tô su t t g an ọc t Trường Tô x n gử cảm ơn sâu sắc đ n PGS.TS Mỵ Vinh Quang, T ầy tận tìn g ảng g ả v ướng dẫn tơ su t q trìn m uận văn ặc b ệt, tô ọc ỏ n ều k n ng ệm ng ên cứu oa ọc n n ững k n t ức c uyên sâu r êng T ầy, vớ nỗ ực t ân, tô o nt n uận văn t t ng ệp mìn Tô x n p ép gử cảm ơn đ n Quý T ầy Cô Hộ đồng Bảo vệ Luận văn T c sĩ đọc, đóng góp ý k n, đưa n ững n ận xét v đán g uận văn, g úp tô o n t ện nộ dung Luận văn Tô x n gử cảm ơn đ n Qu T ầy Cơ cơng tác t p ịng Sau ọc trường đỡ tơ q trìn Cu ọc Sư p m T n p Hồ C M n , T ầy Cô g úp o n t ện uận văn cùng, tô x n k ắc g công ơn C a Mẹ, cảm ơn ngườ t ân, b n bè động v ên, g úp đỡ tơ su t q trìn m uận văn Học viên thực Nguyễn T ị M n MỤC LỤC Lờ cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một s ký hiệu MỞ ĐẦU Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhắc l i ki n thức p : 1.2 Ký hiệu Legendre 16 1.3 Ký hiệu Hilbert 17 Chƣơng DẠNG TOÀN PHƢƠNG VÀ ĐỊNH LÝ MINKOWSKI 20 2.1 ịn ng ĩa d ng to n p ương 20 2.2 Vector đẳng ướng v sở trực giao 23 2.3 ịnh lý Witt 28 2.4 Sự chuyển đổi 30 2.5 D ng to n p ương p 33 2.6 Sự phân lớp 39 2.7 D ng to n p ương trường s thực 2.8 D ng to n p ương 41 42 2.9 Áp dụng 47 2.10 Áp dụng 49 KẾT LU N 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỘT SỐ KÝ HIỆU : tập s tự n ên : tập s nguyên : tập s : tập s t ực ữu tỉ p : tập s nguyên p - adic p : trường s p - adic | | : c uẩn t ông t ường | | p : c uẩn p - adic Fp : trường t ặng dư trường F : tổng trực t p ˆ:  tổng trực t p trực g ao : k t t úc c ứng minh MỞ ĐẦU ịn ý M nkowsk d ng to n p ương c o t m bìn đẳng tự n ên g ữa trường s t ực C n vậy, ý t uy t s v địn p – ad c v trường s n ững địn ý đẹp v có ý ng ĩa n ất ện đ Bở vậy, c úng tô c ọn đề t “D ng to n p ương ý M nkowsk ” vớ mong mu n tìm tồn p ương, đặc b ệt địn ên ệ v ểu sâu ơn d ng d ng to n p ương trường s p – adic ý M nkowsk Mục đ c c n đề t ng ên cứu d ng to n p ương trường bất kỳ, d ng to n p ương trường s t ực, d ng to n p ương trường s p – ad c v đặc b ệt n ững địn tìm ểu c ứng m n địn ý p ức t p ý t uy t s ý M nkowsk , ện đ Luận văn gồm chương: Chƣơng 1: Các kiến thức chuẩn bị Nộ dung c n c ương n y trìn b y s k n t ức cần c o c ương sau, cụ t ể : - Một s công t ức s - Trường s p – adic ọc Chƣơng 2: Dạng toàn phƣơng định lý Minkowski C ương n y c úng tơ trìn b y s k t d ng to n p ương trường s p – ad c, trìn b y c ứng m n địn tìm tị s ứng dụng ý M nkowsk v Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhắc lại kiến thức p : 1.1.1 Định nghĩa trường Án x : F  Cho F gọ c uẩn p Acs met n u t ỏa đ ều k ện sau: i) x  0, x  F x   x  ii) xy  x y , x, y  F iii) x  y  max  x , y  , x, y  F 1.1.2 Ví dụ trường Trên F ta địn ng ĩa c uẩn sau: 1) Cho F 1, x  x  F : x   0, x  C uẩn gọ Dễ d ng k ểm tra 2) Xét F  p c uẩn tầm t ường F c uẩn p Acs met s nguyên t c địn Vớ mỗ r  * : r  p m , n m, n,  ,  m, p   1;  n, p   Ta địn ng ĩa ord p  r    Cho  s t ực t ỏa    p  : x c uẩn p Acs met  x  ord p  x  vớ qu ước    Chú ý 1) s nguyên t Án x Vớ mỗ s nguyên t p , ta có c uẩn 1 x p    p C uẩn p gọ p c uẩn p ord p  x  , x  c uẩn p  adic ay c uẩn p Rõ r ng c uẩn Acs met 2) Vớ 1, 2   0;1 , ta có | |1 ~| |2 T ật vậy, ta có: | x |1  1 ord p   ord p x log 2 1 x  2 | x |2 vớ   log 2 1    ~  1.1.3 Định lý Ostroxki Một chuẩn không tầm thường tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường tương đương với chuẩn p (với p số nguyên tố đó) Chứng minh G ả sử c uẩn K xảy a trường ợp sau: 1) n  để n  Ta c ứng m n : Lấy n0   log n0  vớ   s tự n ên n ỏ n ất t ỏa n0  G ả sử n0  n0 , n0   Ta c ứng m n : x  , x  x Lấy n   v g ả sử n  c0  c1n0   cs n0s vớ  ci  n0 , cs  Khi đó, n0s  n  n0s1 n  c0   cs n0s   n0   n0 s   n0s   n0 s   1    n0      s   n0 n    s   1   n0       s   n0  n0    s  n  c.n0 s  c.n Suy ra: k  : n k  c.n k  n  k c n Cho k   : n  n 1 n0s 1  n0s 1  n  n  n0s 1  n  n  n  n0s 1  n0s 1  n  n0    n0s 1  n   n0    n0s 1  n0   s 1  s 1   s 1  n0  c.n0    (1)      1  1  1      n0    s 1  c.n Vậy: n  c.n Suy ra: n  c.nk  n  k c n k Cho k    n  n   Từ (1) v (2) suy n  : n  n Bây g ờ, x  : x   m ,m, n  n  m m m m  x        x n n n n Vậy ~ 41 + Trường ợp n  : áp dụng trường ợp n  , ta v t f  g  X1, X , X   X 42   X n2 g có n ững đ ượng bất b n t ỏa yêu cầu.■ 2.6.4 Hệ Số lớp tương đương dạng tồn phương có hạng n p với p  (tương ứng với p  ) (tương ứng 8) n  , (tương ứng 15) n  , (tương ứng 16) n  Khi đó, d  f  có t ể (tương ứng 8) g trị v   f  g trị 2.7 Dạng toàn phƣơng trƣờng số thực d ng to n p ương có Cho f ng n trường tập s t ực Ta b t f tương đương vớ X12   X r2  Y12   Ys2 a s nguyên  cho r  s  n ; cặp  r , s  p ụ t uộc v o r s f ; gọ ký s d ng to n p ương f Ta f xác địn n u r hay s  , ng ĩa f k ông đổ dấu, trường ợp k ác, ta có t ể f k ông xác địn (Trường ợp n y f b ểu d ễn 0) ượng bất b n   f  xác địn trường ợp  1, 1  1, ta có   f    1 s s 1 /2  1, s  0,1 mod    1, s  2,3  mod  Hơn 1, s   mod  s d  f    1   1, s  1 mod  p ; 42 Ta t d  f    f  tương đương ớp tương đương modulo , đặc b ệt, d  f    f  xác địn sa k ác ớp tương đương n  Chú ý Ta b t N ưng p ,f f '  r  f   r  f ' , d  f   d  f ' ,   f     f ' k ơng có c ều ngược 2.8 Dạng toàn phƣơng Tất d ng to n p ương xét p ần n y có ệ s v k ông suy b n 2.8.1 Định nghĩa ặt Cho f   Ta ký tập tất s nguyên t v  ệu V a1 X12   an X n2 d ng to n p ương có ng n Ta liên ệ vớ n ững ượng bất b n dướ đây: a) ịnh thức d  f   a1 an  * b) Ta vi t f v f xét v Lượng bất bi n f v ký hiệu dv  f   v  f  d  f    f  xét v ặc biệt, d  f   d  f   v  f     , a j v i j đó,  , a j   , a j  xét v v T c c o ta m ên ệ   f   vV v c) Ký hiệu  r , s  bất bi n d ng to n p ương t ực f , r s lần ượt s hệ s dương v âm f k đưa d ng tắc Các đ ượng bất b n dv  f  ,  v  f   r , s  gọ ượng bất b n địa p ương f đ 43 ịn ý dướ c o ta m d ng to n p ương trường s p  adic p v ên ệ g ữa d ng to n p ương vớ , đồng t c o t bìn đẳng g ữa v trường s t ực 2.8.2 Định lý (Hasse - Minkowski) Điều kiện cần đủ để dạng toàn phương f biểu diễn dạng f v biểu diễn với v V Chứng minh + C ều suy ển n ên + Ta c ứng m n c ều ngược Ta v t f dướ d ng f a1 X12   an X n2 ,  * Thay f bở a1 f , ta có t ể g ả sử t êm a1  Ta c a trường ợp n  2,3,4  i) Trường hợp n  : Ta có f  X12  aX 22 Vì f  b ểu d ễn nên a  Ta v t a d ng ap vp a p Do f p b ểu d ễn nên a vp  a  s c n p ương s c ẵn Từ n ững đ ều c o ta a p , s c n p ương v f b ểu d ễn ii) Trường hợp n  Ta có f  X12  aX 22  bX 32 , ta có t ể g ả sử a, b n ững s nguyên t ỏa v p  a  v p  b  oặc vớ mọ p V G ả sử a  b Ta c ứng m n qu n p t eo m  a  b - N u m  , ta có f  X12  X 22  X 32 44 Trường ợp f  X12  X 22  X 32 n ững trường ợp cịn o f  k ông b ểu d ễn 0; , f b ểu d ễn - Bây g ờ, g ả sử m  ng ĩa b  v v t b dướ d ng b   p1 pk , pi , i  1, k s nguyên t p ân b ệt Lấy p c ứng m n a ều n y s c n p ương modu o p a   mod p  Ngược k ad c; t eo g ả t pi ; ta  x, y, z    t, tồn t có t ể g ả sử  x, y, z   p ,a k ả ng ịc p - cho z  ax  by  ta nguyên t ủy Ta có z  ax2   mod p  Do đó, n u x   mod p  z   mod p  , by c a y   mod p  trá vớ g ả t t c o p ; v p  b   nên t  x, y, z  nguyên t ủy Do ta có x   mod p  , đ ều n y c ỉ a đồng dư vớ s c n p ương module b Tồn t s nguyên t , b ' cho t  a  bb ' v ta c ọn t cho t  mở rộng k  a b ểu d ễn k k b Công t ức bb '  t  a cho ta bb ' k  v c ỉk oặc v c uẩn ; ta có t ể k t uận f đ ều n y vớ f '  X12  aX 22  b ' X 32 Nói riêng, f ' b ểu d ễn mỗ b'  v N ưng ta có: t2  a b    b b  b Ta v t b ' dướ d ng b "u vớ b ", u s nguyên v b " t ỏa v p  b "  hay v p  b "  1, p V ; ta có b "  b T eo g ả t s nguyên t qu n p, 45 ta có d ng f "  X12  aX 22  b " X 23 tương đương vớ f ' , nên d ng n y b ểu d ễn v f b ểu d ễn Trường hợp n  iii) Ta v t f  aX12  bX 22   cX 32  dX 42  Lấy v V Vì f v b ểu d ễn 0, xv  t eo ệ 2.4.5 mện đề 2.4.3, tồn t * v b ểu d ễn bở aX12  bX 22 cX 32  dX 42 ; t eo p ần ) ệ 2.5.6, đ ều n y tương đương vớ  xv , ab v   a, b v Vì  a, b    c, d  v vV vV v  xv , cd v   c, d v vớ mọ v V  1, t eo địn  x, ab v   a, b v  x, cd v   c, d v D ng aX12  bX 22  xZ b ểu d ễn vớ mọ Do x b ểu d ễn trong x ý 1.3.7 tồn t * cho vớ mọ v V v b ểu d ễn bở aX12  bX 22 cX 32  dX 42 ; từ ta suy f b ểu d ễn Trường hợp n  : iv) Ta qu n p t eo n Ta v t f dướ d ng f hg vớ h  a1 X12  a2 X 22 , g    a3 X 32   an X n2  Cho S i  ; xiv  v tập V c ứa  , 2, v s p cho v p    vớ tập ữu n Lấy v  S Vì f v b ểu d ễn 0, tồn t , i  1, , n cho h  x1v , x2v   av  g  x3v , , x4v  N ưng bìn p ương Qv* đề 1.3.8, tồn t x1, x2  tập mở ( ệ 1.1.14) Áp dụng bổ c o, n u a  h  x1, x2  , ta có a / av  *2 v vớ mọ v  S Bây g ta xét f1  aZ  g N u v  S , g b ểu d ễn av g b ểu d ễn a a / av  *2 v ; f1 b ểu d ễn v v , N u 46 k ả ng ịc v - ad c; dv  g  k ả v  S , ệ s a3 , , an g ng ịc v  adic; v  nên ta có  v  g   Vậy tất trường ợp ta t f1 b ểu d ễn t t qu n p ta có f1 b ểu d ễn h b ểu d ễn a , f b ểu d ễn 0, nên địn v ; ng f1 n  1, t eo g ả , ng ĩa g b ểu d ễn a ; ý c ứng m n ■ 2.8.3 Hệ Cho a  * Điều kiện cần đủ để f biểu diễn a biểu diễn a v Chứng minh ý 2.7.2 vớ d ng aZ  f ■ Ta áp dụng địn 2.8.4 Hệ (Meyer) Một dạng toàn phương hạng  biểu diễn khơng xác định (nghĩa biểu diễn ) Chứng minh T ật vậy, t eo địn p ý 2.5.5, d ng n b ễu d ễn mỗ ■ 2.8.5 Hệ Cho n hạng f Giả sử n  (tương ứng n  d  f   ) Nếu f biểu diễn với v trừ nhiều Qv0 đó, f biểu diễn Chứng minh G ả sử n  T eo địn c ỉk ý 2.5.5, f b ểu d ễn ta có *v  1, d  f  v   v  f  N ưng ọ t ỏa công t ức t c địn Cụ t ể :   f    1; d  f    vV v vV ý 1.3.6 v 47 Từ ta có, n u *v *v vớ mọ v trừ n ều n ất vớ mọ v ; t eo địn v0 V ý 2.8.2, f b ểu d ễn Trong trường ợp n  d  f   ta c ứng m n tương tự, đẳng t ức *v t ay t  1, 1v   v  f  ■ bở 2.9 Áp dụng Sau đây, ta đưa s ứng dụng địn ý M nkowsk 2.9.1 Định lý Cho f f ' dạng toàn phương đủ để chúng tương đương Khi đó, điều kiện cần chúng tương đương v Chứng minh + ều k ện cần ển n ên + Ta c ứng m n đ ều k ện đủ qu n p t eo Trường ợp n  ng n f f ' dễ d ng suy G ả sử đ ều k ện đủ đ n n  1, ta c ứng m n đ ều k ện đủ đ n n Ta t ấy, tồn t bở f ' Do ta có f g g ' f v a * b ểu d ễn bở f v b ểu d ễn aZ  g f ' aZ  g ' T eo địn vớ mọ v V T eo g ả t t qu n p ta có g ý 2.4.7, ta có g ' f ' ■ 2.9.2 Hệ Cho f f ' hai dạng toàn phương đương Khi f f ' tương d  f   d  f  ,  r , s    r, s   v  f    v  f ' với v V Trong r , s số hệ số dương hệ số âm f đưa dạng tắc ; r ', s ' số hệ số dương hệ số âm f ' đưa dạng tắc 2.9.3 Chú ý 48 d ng to n p ương Cho f d  d  f  ,  v   v  f  , r , s ần ượt k đưa d ng c n tắc K (1)  v  vớ ng f , k s ệ s dương v ệu ệ s âm f đó, c úng t ỏa đ ều k ện dướ t v V ầu ,n  vV  1, v (2)  v  n u n  oặc n  d v 1 , (3) r , s  r  s  n , (4) d   1 , (5)     1 s s s 1 /2 C ều ngược c ú ý 2.9.4 Mệnh đề Cho d ,  v vV  r , s  xác định thỏa điều kiện từ 1 đến   Khi tồn dạng tồn phương có hạng n với lượng bất biến d ,  v vV  r , s  Chứng minh Trường ợp n  ển n ên G ả sử n  Lấy v V Do t n k ông suy b n ký xv  vớ đ ều k ện (2), ta có tồn t vớ đ ều k ện (1), tồn t địn ý 1.3.7) K x cho  xv , d v   v K t ợp cho  x, d v   v vớ mọ v V (theo d ng xX  xdY t ỏa đ ều k ện tập v V cho  d , 1v   v G ả sử n  ặt ữu * * v n N u v  , c ọn * v / *2 v * v / *2 v , v tập p ần tử cv k ác vớ ản dv d n óm n y Sử dụng bổ đề 1.3.7, ta t tồn t mỗ ệu H bert c * m ản cv Do ta c ỉ cần xét d ng g có cho d  g   cd ,  v  g    c, d v  v vớ mọ v V ng 49 D ng f  cZ  g t ỏa đ ều k ện Khi n  , ta qu n p t eo n Trước qu n p, ta có d ng g có  r  1, s  ; d t ta g ả sử r  Dùng g ả t t ng n  có ượng bất b n d ,  v vV ng X  g t ỏa K r  , ta dùng d ng h có ượng bất b n d ,  v  1, d v  0, n  1 ; d ng  X  h t ỏa đ ều k ện.■ 2.10 Áp dụng Trong p ần n y, ta b ểu d ễn s nguyên dương dướ d ng tổng s c n p ương v s tam g ác 2.10.1 Định nghĩa Cho n p số nguyên dương Ta nói n tổng p số dạng X12  X 22   X n2 , phương n biểu diễn vành nghĩa tồn số nguyên n1 , , n p cho n  n12  n22   n2p 2.10.2 Định lý (Gauss) Điều kiện cần đủ để số nguyên dương tổng số phương khơng có dạng 4a 8b  1 với a, b ể c ứng m n địn ý 2.10.2, ta cần c ứng m n bổ đề dướ 2.10.3 Bổ đề Điều kiện cần đủ để a biểu diễn dạng f  X12  X 22  X 32 a  a khơng số phương Chứng minh T eo ệ 2.8.3 địn v tất p ý 2.8.2, a b ểu d ễn bở f Trong trường ợp cho ta a  Trong trường ợp k ác, ượng bất b n d p  f   p  f  N u p  , ta có  1, d  f    1, 1 p p p 1  p  f  50 T eo ệ địn ý 2.5.5, ta có a b ểu d ễn bở f p N u p  2, ta có  1, d2  f  2  1    f  ; t eo ệ đó, ta có a b ểu d ễn bở f a k ông ng ĩa k v c ỉk s c n p ương a khác 1 *2 / , ■ Bây g ờ, ta cần c uyển từ b ểu d ễn trong * t n b ểu d ễn ều n y c ứng m n bở bổ đề dướ đây: 2.10.4 Bổ đề p Cho f  X    aij X i X j dạng toàn phương xác định dương, ma i , j 1 trận  aij  đối xứng hệ số nguyên Ta thêm giả thiết đây: (H) Với x   x1, , xn   Nếu n f p tồn y  biểu diễn f p cho f  x  y   n biểu diễn Chứng minh N u x   x1 , x2 , , x p  y   y1 , y2 , , y p  ệu x y t c vô ướng Lấy n a x y ij i j p ần tử p , ta ký Ta có x.x  f  x  s nguyên b ểu d ễn bở f t  cho t 2n  x.x vớ x  p Tồn t s nguyên C ọn x t cho t n ỏ n ất; ta cần c ứng m n t  T eo g ả t t (H), tồn t y p cho x  y  z vớ z.z  t N u z.z  ta có z  x có ệ s ngun Vì t n n ỏ n ất t , t ta suy t  Bây g ta g ả sử z.z  v đặt 51 a  y y  n b   nt  x y  t '  at  b x '  ax  by Ta có a, b, t '  , và: x '.x '  a x.x  2abx y  b y y  a 2t n  ab  2nt  b   b  n  a   n  a 2t  2abt  b   t '2 n Hơn nữa: tt '  at  bt  t y y  nt  2nt  2tx y  t y y  2tx y  x.x   ty  x  ty  x   t z.z Do t '  tz.z ;  z.z  , ta có  t '  t Mâu t uẫn vớ t n n ỏ n ất t v từ bổ đề c ứng m n Chứng minh định lý 2.10.2 Trước t, ta c ứng m n mọ s c n p ương * có d ng 4a 1  8b  a  * * :a  2k.u vớ k  ; u  a   2l.v  vớ l  ;v  Vì u địn * * G ả sử a s c n p ương Do đó, k  2l u  v s c n p ương * nên u   8b; b  (t eo n ận xét ý 1.10.12) Vậy a  2k.u  4l.1  8b  ; b  ,l  Do đó, đ ều k ện n k ơng có d ng 4a 8b  1 tương đương vớ n k ông s c n p ương trong bở d ng f  X12  X 22  X 32 v t eo bổ đề 2.10.3, n b ểu d ễn 52 Bây g ờ, ta c ỉ cần k ểm tra d ng f  X12  X 22  X 32 t ỏa đ ều k ện  H  bổ đề 2.10.4 Dễ d  y1, y2 , y3   ng k ểm tra, n u  x1, x2 , x3   cho xi  yi  vớ mọ i ; ta có , ta c ọn  x  y  i i   2.10.5 Hệ Mọi số nguyên dương tổng số phương Chứng minh Cho n c a s nguyên dương Ta v t n dướ d ng 4a m , m không t c o N u m  1,2,3,5,6  mod8 , m v n tổng s c n p ương, tổng s c n p ương Trong trường ợp k ác: m  1  mod8 m  p ương; trường ợp n y, m tổng s c n tổng s c n p ương, v n tổng s c n p ương.■ 2.10.6 Hệ Mọi số nguyên dương tổng số tam giác (Một số gọi số tam giác có dạng m  m  1 với m ) Chứng minh Lấy n s nguyên dương Áp dụng địn ý c o 8n  , ta t tồn t s nguyên x1 , x2 , x3 cho x12  x22  x32  8n  Ta có x12  x22  x32   mod8 N ưng s c n p ương c n p ương n y c ỉ xi s nguyên Ta có / c ỉ k s /8 mỗ 0, v 4; tổng s ng tử ều ẻ, v ta có t ể v t c úng dướ d ng 2mi  vớ mi 53 mi  mi  1       2mi  1     8n   3  n ■   i 1 i 1  54 KẾT LU N Trong uận văn n y, c úng tơ trìn b y k đầy đủ d ng to n p ương trường bất kỳ, d ng to n p ương trường s t ực trường s p  ad c địn ý p ức t p v ý ng ĩa ý t uy t s ặc b ệt, c úng tô c ứng m n địn ý M nkowsk , ện đ M nkowsk c o t bìn đẳng tự n ên g ữa trường s trường s t ực ịn ý p  adic , từ đó, c úng tơ tìm tị k n ều ứng dụng ay 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO Jean Pierre Serre (1973), A Course in Arithmetic, Springer-Verlag Z.I Borevich and I.R Shafarevich (1967), Number Theory, Academic Press Neal Koblitz (1977), p – adic Numbers, p – adic Analysis, and Zeta – Functions in Mathematics 58, Springer, Verlag T.Y.Lam (1973), The algebraic theory of quadratic forms, New York, Berjamin Milnor and D Husemoller (1973), Symmetric Billinear Forms, Springer Verlag W.S Cassels (1978), Rational Quadratic Forms, Academic Press A.M.Robert (2000), A Course of p – Adic Analysis, New York, Springer ... tôpô v ) v trù 20 Chƣơng DẠNG TOÀN PHƢƠNG VÀ ĐỊNH LÝ MINKOWSKI 2.1 Định nghĩa dạng toàn phƣơng 2.1.1 Định nghĩa Cho V module vành giao hoán A Hàm số Q : V  A gọi dạng toàn phương V nếu: 1) Q  ax... Hilbert 17 Chƣơng DẠNG TOÀN PHƢƠNG VÀ ĐỊNH LÝ MINKOWSKI 20 2.1 ịn ng ĩa d ng to n p ương 20 2.2 Vector đẳng ướng v sở trực giao 23 2.3 ịnh lý Witt 28 2.4 Sự... ta có “địn ý g ản ước” dướ đây: 2.4.7 Định lý Cho f  g  h f '  g ' h ' dạng toàn phương khơng suy biến Khi f f ' g g ' h h ' 2.4.8 Hệ Nếu f dạng tồn phương khơng suy biến, f g1   gm 