Các ideal trong vành đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Minh CÁC IDEAL TRONG VÀNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Minh CÁC IDEAL TRONG VÀNH ĐA THỨC Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành với hướng dẫn giúp đỡ chân tình TS Trần Huyên, người thầy gợi cho ý tưởng đề tài mà thân chưa nghĩ đến Trong q trình làm việc, thầy đưa góp ý lời khun q báo, khơng mặt chun mơn, mà cịn cách thức làm việc, điều mà lâu thân cảm thấy nhiều thiếu sót Xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua xin gửi lời cảm ơn đến thầy khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, cảm ơn mà thầy dạy cho giảng đường sư phạm Gia đình, bạn bè nguồn động viên chỗ dựa tinh thần cho tơi lúc khó khăn Bản thân cho phải nổ lực thật nhiều để hoàn thành luận văn mong đề đáp chân tình họ Xin cảm ơn tất cả, chúc tất thật nhiều sức khỏe TP Hồ Chí Minh – Tháng năm 2015 Nguyễn Văn Minh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu LỜI NÓI ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành Ideal 1.2 Vành đa thức Chương CÁC IDEAL TRONG VÀNH ĐA THỨC 15 2.1 Ideal đơn thức – Ideal khởi đầu 15 2.2 Cơ sở Gröbner Ideal 24 2.3 Cấu trúc không gian véctơ Ideal 30 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 BẢNG KÍ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa K [ x] Vành đa thức nhiều biến K [ x1 , , xn ] f1 , , f n Ideal sinh f1 , , f n ≤lex Thứ tự từ điển ≤ glex Thứ tự từ điển phân bậc ≤ rlex Thứ tự từ điển ngược xa Đơn thức x1a1 xnan , a = (a1 , , an ) a xa Từ a x1a1 xnan , α ∈ K G(I ) Tập hợp tất đơn thức sinh tối tiểu ideal I in( f ) Từ khởi đầu đa thức f lm( f ) Đơn thức đầu đa thức f lc( f ) Hệ số đầu f in( I ) Ideal khởi đầu ideal I ⊂ Tập thực ⊆ Tập nhỏ □ Kết thúc chứng minh LỜI NÓI ĐẦU Vành đa thức lớp vành đặc biệt lí thuyết Đại số giao hốn, tường minh phần tử, khả tính tốn Ideal lại khái niệm quan trọng để nghiên cứu cấu trúc vành Vì việc nghiên cứu Các ideal vành đa thức cần thiết cho việc xem xét lớp vành đặc biệt Trong nội dung luận văn, người viết xem xét ideal vành đa thức K [ x1 , , xn ] trường K theo hai góc độ: ideal hiểu theo nghĩa thông thường vành đa thức, ideal xem không gian véctơ không gian véctơ K [ x1 , , xn ] trường K Việc xem xét đánh giá thiết phải dẫn đến việc nghiên cứu lớp ideal quan trọng vành đa thức, ideal đơn thức, cho phép xấp xỉ ideal tùy ý ideal đơn thức, nhiều trường hợp từ cấu trúc nhận thơng tin ngược trở lại ideal ban đầu Nội dung luận văn bao gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương phân làm tiết vành – ideal vành đa thức, nhằm mục đích cung cấp kiến thức phục vụ cho chương sau Định lí Hilbert sở có ý nghĩa quan trọng với ideal vành đa thức đưa chương này, đồng thời giới thiệu khái niệm thứ tự từ, giúp cho việc xếp đơn thức đa thức Chương Các ideal vành đa thức Chương nội dung luận văn, phân làm tiết 2.1 Ideal đơn thức – Ideal khởi đầu Trình bày định nghĩa tính chất ideal đơn thức, ideal khởi đầu 2.2 Cơ sở Grưbner ideal Trình bày định nghĩa sở Gröbner loại sở Gröbner ideal, dựa vào đặc tính ban đầu sở Grưbner ideal để đánh giá đặc điểm ideal ban đầu 2.3 Cấu trúc không gian véctơ ideal Đưa hệ đa thức độc lập tuyến tính, chứng minh hệ đa thức nằm ideal sở ideal Trình bày định lí Macaulay hệ đại diện sở không gian véctơ R / I trường K - phần bù ideal I Luận văn đề cập đến vành đa thức trường Do đó, khơng nói thêm ta hiểu vành đa thức trường Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức thiết yếu phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau 1.1 Vành Ideal Một số khái niệm vành nhắc lại sơ lược qua định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1: Vành tập hợp R ≠ ∅ trang bị phép toán cộng “+”: (a, b)  a + b phép toán nhân “.”: (a, b)  a.b thỏa mãn tính chất sau: (i) Đối với phép cộng, R nhóm giao hốn (ii) Phép nhân có tính chất kết hợp, tức với a, b, c ∈ R : a.(b.c) = (a.b).c (iii) Phép nhân có tính phân phối phép cộng, tức với a, b, c ∈ R : a.(b + c) = a.b + a.c (b + c).a =b.a + c.a Phần tử không vành kí hiệu Để cho tiện thơng thường ta viết ab thay cho tích a.b R gọi vành có đơn vị chứa phần tử thỏa mãn a= 1= a a với a ∈ R Khi cần nhấn mạnh vành R ta dùng kí hiệu R ,1R để phần tử không đơn vị R R gọi vành giao hoán với a, b ∈ R , ab = ba Từ sau, nói đến vành R ta ln hiểu vành giao hốn, có đơn vị Định nghĩa 1.1.2: Cho R vành a ∈ R Phần tử a gọi (i) ước không a ≠ tồn ≠ b ∈ R cho ab = , (ii) khả nghịch (hoặc đơn vị) tồn c ∈ R cho ac = Vành R không chứa ước gọi miền nguyên Định nghĩa 1.1.3: Một tập S ⊆ R đóng phép cộng phép nhân R gọi vành chứa phần tử R thân với phép tốn cảm sinh lập thành vành Định nghĩa 1.1.4: Cho f : R → S ánh xạ hai vành Khi f gọi đồng cấu điều kiện sau thỏa mãn a, b ∈ R : (i) f (a + b)= f (a ) + f (b) (ii) f (ab) = f (a ) f (b) (iii) f (1R ) = 1S Một đồng cấu gọi đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) ánh xạ đơn ánh (tương ứng tồn ánh, song ánh) Ideal khái niệm quan trọng để nghiên cứu cấu trúc vành Nó đóng vai trị nhóm chuẩn tắc lí thuyết nhóm Định nghĩa 1.1.5: Cho R vành Tập I ≠ ∅ R gọi ideal thỏa mãn hai điều kiện: (i) Với a, b ∈ I , a + b ∈ I (ii) Với a ∈ I r ∈ R , ∈ I Nếu I ideal − a =(−1)a ∈ I với a ∈ I Do ideal nhóm nhóm cộng R , vành theo nghĩa rộng (tức không cần điều kiện chứa 1), nói chung khơng vành theo qui ước Nếu I ≠ R ta gọi ideal thực Chú ý I = R ∈ R Cho I ideal vành R Như nói I nhóm nhóm R , ta nhóm thương R / I giao hoán Trên R / I ta định nghĩa thêm phép nhân sau: (r + I )( s + I ) = (rs ) + I Định nghĩa không phụ thuộc vào phép chọn phần tử đại diện lớp kề Dễ dàng thử lại phép tốn với phép cộng nhóm thương R / I lập thành vành giao hốn có đơn vị với phần tử 0= + I phần tử đơn vị 1= + I Định nghĩa 1.1.6: Cho I ideal vành R Vành R / I gọi vành thương vành R theo ideal I Bổ đề 1.1.7: Cho I ideal vành R Khi ánh xạ f : R → R / I xác định f (r )= r + I toàn cấu vành Hơn Kerf = I Hệ 1.1.8: Cho I tập vành R Khi I ideal vành R tồn đồng cấu f từ R vào vành cho Kerf = I Định lí 1.1.9 (định lí đẳng cấu): Cho f : R → S đồng cấu vành Khi f cảm sinh đẳng cấu f : R / Kerf → Im f xác định () f= r f ( r ) ∀r ∈ R Sau lớp ideal quan trọng vành R , ideal hữu hạn sinh Bổ đề 1.1.10: Cho R vành ∅ ≠ A ⊆ R Khi tập hợp A = {r1a1 + + rn an | n ∈ }; r1 , , rn ∈ R; a1 , an ∈ A} ideal bé chứa A Vì ideal bé chứa ∅ nên ta qui ước ∅ =0 Định nghĩa 1.1.11: Cho I ideal vành R Nếu A tập hợp cho I = A A gọi tập sinh (hay hệ sinh, sở) I ta nói I ideal sinh A A gọi tập sinh tối tiểu I A tập sinh I không chứa thực tập sinh khác I Ta nói ideal hữu hạn sinh có hệ sinh hữu hạn Định lí – Định nghĩa 1.1.12: Cho R vành Các điều kiện sau tương đương: (i) Mọi tập khác rỗng ideal R có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm thức) (ii) Mọi dây chuyền tăng ideal I1 ⊆ I ⊆ ⊆ I n ⊆ I n+1 ⊆ , I k I= dừng sau hữu hạn bước, tức tồn k để = k +1 (iii) Mọi ideal R hữu hạn sinh Một vành thỏa mãn ba điều kiện gọi vành Noether Một số lớp ideal đặc biệt khác vành R 22 g = in( g ) + ∑ n j ; n j < in( g ) , mi n j từ Khi đó: (i) Ta có: m f = m.in( f ) + m∑ mi = m.in( f ) + ∑ m.mi Vì mi < in( f ) nên m.mi < m.in( f ), ∀i Vậy in(mf ) = m.in( f ) (ii) Ta có: f g = in( f ).in( g ) + ∑ n j in( f ) + ∑ mi in( g ) + ∑ mi n j Vì n j < in( g ) nên n j in( f ) < in( g ).in( f ) Tương tự, ta có mi in( g ) < in( f ).in( g ) mi n j < in( f ).in( g ) Suy ra: in( fg ) = in( f )in( g ) (iii) Khơng tính tổng quát, ta giả thiết in( f ) ≥ in( g ) Nếu in( f ) > in( g ) f += g in( f ) + in( g ) + ∑ mi + ∑ n j Ta có in( f ) > in( g ) > n j nên in( f ) > n j Theo định nghĩa từ khởi đầu lại có in( f ) > mi Vậy từ in( f ) lớn tổng không giản ước với từ khác, nên lm( f + g= ) lm( f= ) max{lm( f ), lm( g )} Nếu lm( f ) = lm( g ) lc( f ) ≠ −lc( g ) f += g (lc( f ) + lc( g ))lm( f ) + ∑ mi + ∑ n j Do lc( f ) + lc( g ) ≠ lm( f ) > mi , lm = ( f ) lm( g ) > n j nên ta lại có lm( f + g= ) lm( f= ) max{lm( f ), lm( g )} Nếu in( f ) = −in( g ) f += g ∑m + ∑n i j Như f +g= , lm( f + = g ) lm(mi ) < lm( f ) , lm( f + g= ) lm(n j ) < lm( g ) (i, j đó) Vì vậy: lm( f + g ) < max{lm( f ), lm( g )} □ Chú ý bất đẳng thức khẳng định (iii) viết dạng: in( f + g ) < max{in( f ), in( g )} , 23 lm( f ) = lm( g ) max{in( f ), in( g )} hiểu α lm( f ) với ≠ α ∈ K Khái niệm ideal khởi đầu xuất phát điểm hình thành khái niệm sở Grưbner ideal Định nghĩa 2.1.14: Cho I ideal R ≤ thứ tự từ Ideal khởi đầu I, kí hiệu in≤ ( I ) , ideal R sinh từ đầu phần từ I, nghĩa = in≤ ( I ) in≤ ( f ) | f ∈ I Cũng ta viết in( I ) thay in≤ ( I ) ≤ xác định Rõ ràng cũng= có in( I ) lm( f ) | f ∈ I , nên in( I ) ideal đơn thức Cho ≤ thứ tự từ I, J hai ideal R Nhận xét 2.1.15: (i) Tập tất đơn thức in( I ) tập {lm( f ) | f ∈ I } (ii) Nếu I ideal đơn thức in( I ) = I Thật vậy: (i) Nếu m ∈ in( I ) đơn thức, theo mệnh đề 2.1.3 m = lm( f ).m′ , (i) m lm f ∈ I m′ ∈ M Theo mệnh đề 2.1.13 = = ( f ).m′ lm(m′f ) m′f ∈ I Vậy m ∈ {lm( f ) | f ∈ I } Điều ngược lại đương nhiên (ii) Vì I ideal đơn thức, nên I sinh tập hợp đơn thức A Với m ∈ A, m = in(m) ∈ in( I ) , nên I ⊆ in( I ) Nếu f ∈ I phần tử tùy ý, theo mệnh đề 2.1.3 2.1.4, in( f ) chia hết cho đơn thức m ∈ A Lại theo mệnh đề 2.1.3, in( f ) ⊆ I , tức in( I ) = I □ Ideal khởi đầu in(I) xem xấp xỉ I mệnh đề sau Mệnh đề 2.1.16: Nếu I ⊆ J in( I ) ⊆ in( J ) Hơn I ⊆ J in( I ) = in( J ) I = J Chứng minh: 24 Theo định nghĩa rõ ràng I ⊆ J kéo theo in( I ) ⊆ in( J ) Giả sử in( I ) = in( J ) Nếu I ≠ J , thứ tự từ thứ tự tốt nên ta chọn f ∈ J \ I để in( I ) , nên tồn g ∈ I cho = lm( f ) min{lm( g ) | g ∈ J \ I } Vì lm( f ) ∈ in( J ) = lm( f ) = lm( g ) Thay f, g f / lc( f ), g / lc( g ) ta giả thiết lc= ( f ) lc= ( g ) Đặt h= f − g Vì f , g ∈ J nên h ∈ J Nhưng f ∉ I g ∈ I nên h ∉ I Vậy h ∈ J \ I Mặt khác, theo mệnh đề 2.1.13 (iii) ta lại có lm(h) < lm( f ) Điều mâu thuẫn với việc chọn f Vậy I = J □ Mệnh đề cho ta lấy thông tin ideal I từ ideal khởi đầu in(I) Nếu cho ideal khởi đầu in(I), in(I) có hệ sinh đơn thức tối tiểu G(in(I)) Ta lấy đa thức I cho từ khởi đầu đơn thức tối tiểu G(in(I)) Gọi J ideal sinh đa thức Rõ ràng J ⊆ I in( J ) = in( I ) Vậy I=J Như từ ideal khởi đầu ta tìm lại thơng tin ngược ideal ban đầu rõ ràng ideal khởi đầu dễ nghiên cứu ideal đơn thức Ta xét tính chất ideal khởi đầu quan hệ phép toán ideal Mệnh đề 2.1.17: (i) in( I )in( J ) ⊆ in( IJ ) (ii) in( I ) + in( J ) ⊆ in( I + J ) Chứng minh: (i) Vì in( I )in( J ) sinh từ in( f )in( g ) , f ∈ I g ∈ J , theo mệnh đề 2.1.13 (ii) ta có in( fg ) = in( f )in( g ) , nên ta có in( I )in( J ) ⊆ in( IJ ) (ii) Ta có I ⊆ I + J , J ⊆ I + J nên theo định nghĩa ta có in( I ) ⊆ in( I + J ) in( J ) ⊆ in( I + J ) Suy in( I ) + in( J ) ⊆ in( I + J ) □ 2.2 Cơ sở Gröbner ideal Cơ sở Gröbner ideal loại tập sinh đặc biệt ideal có nhiều ứng dụng, chẳng hạn sử dụng để thử đa thức có thuộc ideal cho hay không Trong tiết này, ta lại thấy khía cạnh có lợi khác sở Grưbner, dựa vào 25 đặc tính ban đầu sở Gröbner ideal mà đánh giá đặc điểm ideal cho Trước tiên ta cần làm rõ số khái niệm ban đầu Định nghĩa 2.2.1: Cho ≤ thứ tự từ I ideal R Tập hữu hạn đa thức khác không g1 , , g s ∈ I gọi sở Gröbner I thứ tự ≤ in≤ ( I ) = in≤ ( g1 ), , in( g s ) Tập g1 , , g s ∈ I gọi sở Grưbner, sở Grưbner ideal sinh phần tử Từ định nghĩa bổ đề Dickson ta có khẳng định ideal có sở Grưbner, sở hữu hạn Thế liệu thân g1 , , g s có phải sở (hệ sinh) I hay không Điều làm rõ qua mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.2: Cho I ideal tùy ý R Nếu g1 , , g s sở Gröbner I thứ tự từ đó, g1 , , g s sở I Chứng minh: = J Đặt g1 , , g s ⊆ I in( I ) Vì= in( g1 ), , in( g s ) ⊆ in( J ) ⊆ in( I ) , nên in( J ) = in( J ) Theo mệnh đề 2.1.16, I = J □ Việc sở I có phải sở Grưbner I hay khơng lại vấn đề khác Ví dụ: Xét R = K [ x, y ] cho ideal I = f1 , f f= x3 − xy f = x y − y + x Xét thứ tự từ điển với x > y Khi in( f1 ) = x3 , in( f ) = x y Tuy nhiên x = xf − yf1 ∈ I in( x 2= ) x ∉ x , x y nên f1 , f không sở Grobner ideal I Hơn nữa, sở cho I sở Grưbner thứ tự này, khơng sở Grưbner với thứ tự khác Ví dụ: Cho = I xy, y ⊆ K [ x, y ] xy, f= xy − y Cho x > y Khi f= in= in= xy , nên { f1 , f } khơng phải sở Grưbner I thứ tự ≤lex ( f1 ) ≤lex ( g ) 26 từ điển ≤lex , in≤lex ( I ) = I Tuy nhiên in≤ glex ( f1 ) = xy , in≤ glex ( f ) = y in≤ glex ( I ) = I nên f1 , f sở Gröbner I thứ tự từ điển phân bậc Như vậy, việc kiểm tra sở I có phải sở Grưbner I khơng dễ dàng trường hợp ideal I đơn giản Khi cố định thứ tự từ sở Grưbner khơng xác định nhất, thêm số phần tử vào sở Grưbner biết, sở Gröbner Bởi ta có khái niệm sau Định nghĩa 2.2.3: Cơ sở Grưbner tối tiểu I thứ tự từ cho sở Gröbner G ⊂ I thỏa mãn tính chất sau: (i) lc( g ) = với g ∈ G (ii) Với g ∈ G không tồn g ′ ∈ G để in( g ′) | in( g ) Vì ideal đơn thức có tập sinh đơn thức tối tiểu, nên ta có hệ sau Hệ 2.2.4: Cho ≤ thứ tự từ Khi ideal có sở Gröbner tối tiểu sở Gröbner tối tiểu ideal có chung số lượng phần tử chung tập từ khởi đầu Trong vành đa thức biến, sở Gröbner tối tiểu ideal I bao gồm phần tử đa thức sinh ideal với hệ số cao 1, xác định Đối với vành đa thức nhiều biến, số phần tử sở Gröbner tối tiểu ideal nhất, có nhiều sở Grưbner tối tiểu Ví dụ: Xét đơn = thức I xy, y ⊆ K [ x, y ] ví dụ thứ tự từ điển phân bậc xy, f = − y + axy, a ∈ K xy, y sở Gröbner tối tiểu I ≤ glex Khi f1 = Như vậy, trường hợp đơn giản này, I có vơ số sở Grưbner tối tiểu K vơ hạn Sau thay đổi định nghĩa ít, ta sở Gröbner xác định 27 Định nghĩa 2.2.5: Cơ sở Gröbner rút gọn ideal I thứ tự từ cho sở Gröbner G I thỏa mãn tính chất sau: (i) lc( g ) = với g ∈ G (ii) Với g ∈ G từ m g không tồn g ′ ∈ G \ {g} để in( g ′) | m Rõ ràng sở Gröbner rút gọn sở Gröbner tối tiểu Kết sau nói sở Grưbner rút gọn tồn Mệnh đề 2.2.6: Cho I ≠ Khi thứ tự từ, I có sở Grưbner rút gọn Chứng minh: Trước hết ta chứng minh tồn Cho G sở Gröbner tối tiểu I Ta nói g ∈ G rút gọn G khơng có từ g, trừ từ khởi đầu nó, chia hết cho từ khởi đầu = in(G ) {in( f ) | f ∈ G} Mục đích ta thay đổi G cho cuối nhận sở Grobner mà phần từ rút gọn Nhận xét g rút gọn G g rút gọn sở Gröbner tối tiểu G′ chứa g I (bởi định nghĩa liên quan đến từ khởi đầu G, G G′ có chung tập từ khởi đầu) Giả sử g ∈G phần từ không rút gọn G Chọn từ ≠ αα m ≠ in( g ),( ∈ K , m ∈ M ) lớn g cho tồn g ≠ g ′ ∈ G để in( g ′) | m Đặt g1= g − α mg ′ / in( g ′) Vì in( g ) > m ≥ in( g ′) , nên theo bổ đề 2.1.13 ( g1 ) in= ( g ) lm( g ) Do G1 = (G \ {g}) G {g1} lại sở Gröbner tối tiểu (iii), in= Hơn nữa, ta kí hiệu đơn thức m xác định s(g), g1 rút gọn G1 s ( g1 ) < s ( g ) Thật vậy, giả sử g1 không rút gọn Nếu s ( g1 ) đơn thức g chia hết cho từ khởi đầu g * ∈ G đó, từ khơng thể s(g), từ bị triệt tiêu Cho nên s ( g1 ) < s ( g ) Nếu s ( g1 ) đơn thức mg ′ / in( g ′) có s ( g1 ) ≤ s ( g ′)m / in( g ′) < m = s ( g ) Tóm lại ln có s ( g1 ) < s ( g ) Chú ý s ( g ) không xác định không tồn m Tiếp tục làm vậy, theo bổ đề 28 1.2.19 1.2.20, đến lúc phải nhận Gs = (G \ {g}) G {g s } mà khơng cịn s(g), tức g s rút gọn Gs Nếu lặp lại trình với tất phần tử khơng rút gọn G, cuối nhận sở Gröbner G′ tối tiểu mà phần tử rút gọn (vì q trình đó, phần tử rút gọn giữ nguyên) Theo định nghĩa G′ sở Grưbner rút gọn Bây ta chứng tỏ tính Giả sử G G′ hai sở Gröbner rút gọn Theo hệ 2.2.4, G G′ có số phần tử in(G ) = in(G′) Cho g ∈ G tùy ý Khi chọn g ′ ∈ G′ cho in( g ) = in( g ′) Đặt h = g − g′ ∈ I Ta có in(h) ≠ in( g ) = in( g ′) Nếu h ≠ in(h) từ g, từ g ′ , khác in( g ) Theo định nghĩa sở Gröbner, in(h) chia hết cho từ đầu in( g *) đó, với g * ∈ G Nhưng điều mâu thuẫn với điều kiện (ii) định nghĩa sở Grobner rút gọn Suy h = g= g ′ ∈ G′ Tức G ⊆ G′ Tương tự ta có G′ ⊆ G , nên G = G′ □ Xét lại ideal I = xy, y với thứ tự từ điển phân bậc Ta thấy f1 = xy , f2 = − y + axy, a ∈ K sở Gröbner tối tiểu, a = sở Grưbner rút gọn Dựa vào sở Grưbner ideal nhận biết ideal vành đa thức Hệ 2.2.7: Nếu g1 , , g s sở Gröbner gồm đơn thức ideal I I ideal đơn thức Chứng minh: Được suy trực tiếp từ mệnh đề 2.2.2 □ Trong trường hợp sở Gröbner I gồm biến hay lũy thừa biến ideal I ideal đặc biệt Ta có khẳng định sau Mệnh đề 2.2.8: Nếu sở Gröbner I tập gồm biến ideal I ideal nguyên tố 29 Chứng minh: Theo mệnh đề 2.2.2, giả sử I = x1 , , xs Lấy fg ∈ I giả sử f ∉ I , ta chứng minh g ∈ I Dựa vào mệnh đề 2.1.4 (ii) tồn đơn thức m f cho m ∉ I Lại theo mệnh đề 2.1.4 (ii) 2.1.3 từ fg chia hết cho x j với j = 1, s Trong từ fg có chứa m ∉ I , có từ g chia hết cho x j đó, nên từ thuộc I Triệt tiêu từ đi, ta đa thức g ′ gồm từ lại g Khi thực cách tương tự cho g ′ lặp lại q trình sau hữu hạn bước, ta có từ cịn lại g thuộc I Do g ∈ I Vậy ideal I ideal nguyên tố □ Mệnh đề 2.2.9: Nếu sở Gröbner I tập gồm n biến x1 , , xn ideal I ideal tối đại Chứng minh: Theo mệnh đề 2.2.2, ta có I = x1 , , xn Xét đồng cấu vành f : K [ x1 , , xn ] → K thỏa mãn f ( xi ) = với i = 1, n f (k ) = k , k ∈ K Ta x1 , , xn = Kerf Lại f toàn cấu Theo định lí đẳng cấu vành, ta có K [ x1 , , xn ] x1 , , xn ≅ K , I ideal tối đại □ Ideal I gọi ideal bất khả qui I viết dạng I = I1  I với I1 , I ≠ I Mệnh đề 2.2.10: Nếu sở Gröbner I tập gồm lũy thừa biến ideal I ideal bất khả qui Chứng minh: Theo mệnh đề 2.2.2, giả sử I = xia11 , , xiakk cho I= I1 ∩ I với I1 , I ideal vành K [ x1 , , xn ] Giả sử ideal I1 thực chứa I , tồn đa thức f1 ∈ I1 cho f1 ∉ I , dựa vào mệnh đề 2.1.4 (ii) tồn đơn thức m1 ∉ I Lấy đa I Lại theo mệnh đề 2.1.4 (ii), từ thức f ∈ I , ta có f1 f ∈ I1  I = f1 f thuộc I , từ f1 f chia hết cho xial l với j = 1, k mệnh đề 2.1.3 Chú ý rằng, từ f1 f có chứa m1 ∉ I , có từ f chia hết 30 cho xial l đó, nên từ thuộc I ⊆ I Khi khử từ đi, đa thức f 2′ gồm từ lại f thuộc I Vì từ đa thức hữu hạn, lặp lại trình cách tương tự, ta có từ cịn lại f thuộc I Do f ∈ I , hay I = I Vậy ideal I ideal bất khả qui □ 2.3 Cấu trúc không gian véctơ ideal Vành đa thức R = K [ x1 , , xn ] với K trường, xem không gian véctơ trường K, với sở tập tất đơn thức M Rõ ràng không gian véctơ R không gian véctơ vơ hạn chiều Khi đó, với ideal I tùy ý, I không gian véctơ không gian véctơ R = K [ x1 , , xn ] Vấn đề đặt sở không gian véctơ nào? Mệnh đề 2.3.1: Một hệ đa thức mà có đơn thức đầu đôi khác hệ độc lập tuyến tính Chứng minh: Giả sử { f i } hệ gồm đa thức có đơn thức đầu đơi khác Lấy tổ hợp tuyến tính r1 f1 + r2 f + + rk f k = (2.3.1.1) với r1 , , rk ∈ K , ta chứng minh tổ hợp tuyến tính tầm thường, tức r1= r2= = rk= Theo giả thiết, ta giả sử f1 có đơn thức đầu lớn đơn thức đầu f1 , f , , f k ; f có đơn thức đầu lớn đơn thức đầu f , , f k ;… ; đơn thức đầu f k bé Khai triển (2.3.1.1) ta được: ′ rin ( f1 ) + f = f ′ đa thức chứa từ lại (2.3.1.1) (2.3.1.2) 31 Rõ ràng khơng có từ biểu thức vế trái (2.3.1.2) khử rin ( f1 ) tất đơn thức cịn lại f1 đơn thức f , , f k , có thứ tự từ bé thứ tự từ đơn thức đầu f1 Do (2.3.1.2) thỏa mãn r1 = Điều dẫn đến r1 f1 = Khi đó, hệ thức (2.3.1.1) trở thành: r2 f + + rk f k = Tiếp tục lập luận trên, ta suy r2= = rk= , r1= = rk= Vậy hệ { f i } độc lập tuyến tính □ Mệnh đề 2.3.2: Trong ideal I, hệ tất đa thức mà có đơn thức đầu đôi khác lập thành hệ sinh ideal I Chứng minh: Giả sử { f i } hệ tất đa thức có đơn thức đầu đôi khác ideal I Ta cần chứng minh hệ cho hệ sinh Vì tập tất đơn thức đầu {x β | β ∈ H } ideal I tập tốt theo thứ tự từ, nên ta dùng phép quy nạp siêu hạn để chứng minh điều Lấy đa thức f ideal I mà có đơn thức đầu x β1 bé tập đơn f kβ1 x β1 + f ′ , đơn thức f ′ bé x β1 = thức đầu I, giả sử Ta chứng minh f biểu thị tuyến tính qua đa thức hệ { f i } mà có đơn thức đầu x β1 Ở ta giả thiết f1 có đơn thức đầu x β1 bé đơn thức đầu = f1 rβ1 x β1 + f ′′ với đơn thức f ′′ bé x β1 hệ { f i } Do đó, ta cần chứng minh f = kβ1 rβ1 f1 32 Ngược lại, giả sử f ≠ k β1 rβ1 f1 Đặt g= f − k β1 rβ1 f1 , f , f1 ∈ I nên g ∈ I Nhưng đơn thức đầu g không nằm ideal khởi đầu I đơn thức bé x β1 triệt tiêu đơn thức lại g bé x β1 Mâu thuẫn Vậy f = kβ1 rβ1 f1 Giả sử với α ∈ H , đa thức I mà có đơn thức đầu bé thua xα biểu thị tuyến tính qua hệ { f i } Ta chứng minh đa thức I mà có đơn thức đầu xα biểu thị tuyến tính qua { f i } f kα xα + f ′ , đơn thức f ′ Thật vậy, lấy đa thức f I với= )=r bé xα Chọn fα hệ { f i } cho lm( fα ) = xα , giả sử hệ số đầu lc( fαα g rααα f − k f , rõ ràng đơn thức đầu lm( g ) g bé xα Vì f , fα ∈ I nên Đặt = g ∈ I Theo giả thiết quy nạp, g biểu thị tuyến tính qua { f i } , giả sử = g rαααα f + + r k f k = f k f + r f + + r k f k Do đó, ta rααααααα f Hay = rα rα kα + f + + k f k Nên f biểu thị tuyến tính qua hệ { f i } fααα rααα r r Vậy đa thức I biểu thị tuyến tính qua hệ { f i } , { f i } hệ sinh I □ Hệ 2.3.3: Trong ideal I, hệ tất đa thức mà có đơn thức đầu đôi khác lập thành sở ideal I Chứng minh: Suy trực tiếp từ mệnh đề 2.3.1 2.3.2 □ Ta có nhận xét rằng, theo định lí Hilbert sở, ideal vành đa thức hữu hạn sinh Nhưng xét đến cấu trúc khơng gian véctơ ideal điều khơng cịn Chẳng hạn, dễ thấy ideal R = K [ x1 , , xn ] , xem R = K [ x1 , , xn ] không gian véctơ trường K hệ sinh R tập vơ hạn tất 33 đơn thức R Một ví dụ khác, lấy ideal I sinh x1 , với đa thức f n = x1 x2n ∈ I , n ∈  , rõ ràng hệ sinh hiểu theo nghĩa không gian véctơ I vô hạn Từ ví dụ đơn giản này, ta có nhận xét sau Nhận xét 2.3.4: Mọi ideal khác không vành đa thức không gian véctơ khơng gian K [ x1 , , xn ] có số chiều vơ hạn Thật vậy: Theo định lí Hilbert sở, ideal I vành đa thức sinh hữu hạn đa thức, với đa thức tùy ý nằm hệ sinh tác động đơn thức nằm ideal I Do đó, xem xét theo cấu trúc khơng gian véctơ hệ sinh ideal I hệ vơ hạn □ Từ mệnh đề 2.1.4 ta có hệ sau ideal đơn thức Hệ 2.3.5: Cho I ideal đơn thức vành đa thức K [ x1 , , xn ] Khi đó, sở không gian véctơ I tập tất đơn thức {lm( f ) | f ∈ I } I Chứng minh: Vì I ideal đơn thức nên theo mệnh đề 2.1.4, đa thức f thuộc I f tổ hợp tuyến tính K đơn thức thuộc I Vậy sở không gian véctơ I tập tất đơn thức {lm( f ) | f ∈ I } I □ Ta có R = K [ x1 , , xn ] K – không gian véctơ tập {x a : a ∈ } n } sở không gian véctơ R Cho I ideal R nên I khơng gian véctơ R Ta có: R= {x a : a ∈ } n } = {x a : x ∈ in( I )} ⊕ {x a : x a ∉ in( I )} R in( I ) ⊕ B suy R / in( I ) ≅ B Định lí Gọi = B {x a : x a ∉ in( I )} Vậy ta có= Macaulay cho ta biết tập đẳng cấu với R / I tập nào? Định lí 2.3.6: (Định lí Macaulay) Với thứ tự từ ≤ , tập B tất đơn thức M nằm in≤ ( I ) lập thành hệ đại diện sở không gian véctơ R/I trường K 34 Chứng minh: Trước hết ta chứng tỏ tập B độc lập tuyến tính Giả sử tồn m1 , , ms ∈ B αα , , s ∈ K \ {0} cho f=: αα 1m1 + + s ms f = (trong R/I) Khi in( f ) = α i mi với i ≤ s Do mi ∈ in( I ) , trái với giả thiết mi ∈ B Bây ta chứng tỏ B hệ sinh R/I, hay tương đương B  I sinh R Kí hiệu E tập tổ hợp tuyến tính B  I K Giả sử E ≠ R Do thứ tự từ thứ tự tốt nên ta chọn f ∈ R \ E cho = lm( f ) min{lm( g ) | g ∈ R \ E} Nếu lm( f ) ∈ B , in( f ) ∈ E f − in( f ) ∈ R \ E có từ khởi đầu thực bé in( f ) (theo mệnh đề 2.1.13 (iii)) Vơ lí Vậy phải có lm( f ) ∈ in( I ) Theo nhận xét 2.1.15 (i) tìm g ∈ I cho in( f ) = in( g ) Vì g ∈ I ⊆ E f ∉ E nên h := f − g ∈ R \ E Mặt khác theo mệnh đề 2.1.13 (iii) lại có lm(h) < lm( f ) , trái với cách chọn f Suy phải có E = R , tức B hệ sinh R/I □ Vậy R / I ≅ B Như vậy, I ≠ in( I ) chúng có chung phần bù để lấy tổng trực tiếp R Ta có hệ Hệ 2.3.7: Nếu hai không gian véctơ R/I R/in(I) hữu hạn chiều, khơng gian hữu hạn chiều dim( R / I ) = dim( R / in( I )) Cho I ideal R Với s ∈  , kí hiệu R≤ s tập đa thức J bậc nhỏ s J ≤ s tập đa thức J bậc nhỏ s Định lí 2.3.8: Cho ideal I ⊆ R ≤ thứ tự từ R Khi đó: Nếu ≤ thứ tự từ phân bậc s ∈  , dim K ( R≤ s / I ≤ s ) = dim( R≤ s / (in≤ ( I ))≤ s ) Chứng minh: Kí hiệu B≤ s tập tất đơn thức bậc không s nằm ngồi in(I) Khi với thay đổi nhỏ - B, R, S thay B≤ s , R≤ s , I ≤ s - chứng minh định lí cho phép ta khẳng định B≤ s hệ đại diện sở không gian véctơ R≤ s / I ≤ s Mặt khác, rõ ràng B≤ s hệ đại diện sở không gian véctơ R≤ s / (in≤ ( I ))≤ s Từ ta có đẳng thức cần chứng minh □ 35 KẾT LUẬN Luận văn hồn thành nhìn nhận ideal vành đa thức theo hai góc độ nêu Một số kết đạt sau: - Trình bày có hệ thống lớp ideal quan trọng vành đa thức – ideal đơn thức, tính chất bản, quan trọng ideal đơn thức - Trình bày khái niệm sở Gröbner, nhận dạng vài ideal vành đa thức thơng qua sở Grưbner ideal - Nhận dạng sở ideal vành đa thức theo cấu trúc không gian véctơ Nội dung luận văn có lẽ cịn q ỏi so với tên gọi nó, dù muốn làm nhiều nữa, với kiến thức khả hạn chế, người viết mong nhận thông cảm bạn đọc Chắc chắn điều, đề tài tiếp tục thân người viết tìm hiểu khai thác nhiều 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Grưbner, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Hoàng Xuân Sính (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh M.F Atiyah and I.G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison – Wesley, Reading, Masachusetts Th Becker and V Weispfenning (1993), Gröbner Bases – A Computationnal Approach to Commutative Algebra, Springger S Lang (1971), Algebra, Addison – Wesley, Reading, MA R.Y Sharp (1990), Steps in Commutative Algebra, Cambridge Univ Press B Sturmfels (1996), Gröbner bases and convex polytopes, University Lecture Series 8, American Mathematical Society, Providence, RI W.V Vasconcelos (1998), Computational Methods in Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Springer – Verlag ... Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành Ideal 1.2 Vành đa thức Chương CÁC IDEAL TRONG VÀNH ĐA THỨC 15 2.1 Ideal đơn thức – Ideal khởi đầu ... điều này, ideal đơn thức 2.1 Ideal đơn thức – ideal khởi đầu Trong vành đa thức nhiều biến, có lớp ideal đặc biệt ideal đơn thức, lí thuyết sở Gröbner cho phép xấp xỉ ideal tùy ý ideal đơn thức, ... phép toán cộng đa thức nhân đa thức nêu kiểm tra tập tất đa thức lập thành vành giao hoán có phần tử đơn vị đa thức Tập kí hiệu R[ x] , gọi vành đa thức biến R Sau định nghĩa đa thức biến, việc