Tính ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Moukvilay Soukaloun TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠ VỚI NÓN DI ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Moukvilay Soukaloun TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠ VỚI NĨN DI ĐỘNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2020 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Moukvilay Soukaloun Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Bùi Thế Hùng Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Moukvilay Soukaloun ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Mở đầu Chương Sự tồn nghiệm toán tựa cân véctơ với nón di động 1.1 Không gian lồi địa phương 1.2 Nón ánh xạ đa trị 1.3 Tính liên tục theo nón ánh xạ véctơ 1.4 Sự tồn nghiệm toán tựa cân véctơ 13 Chương Tính ổn định nghiệm tốn tựa cân véctơ với nón di động 20 2.1 Bài toán tựa cân véctơ chứa tham số 20 2.2 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm 21 2.3 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm 25 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R tập số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian véctơ Euclide n− chiều Rn+ tập véctơ không âm Rn Rn− tập véctơ không dương Rn 2X tập tất tập X f :X→Y ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y dom F miền định nghĩa ánh xạ đa trị F gph F đồ thị ánh xạ đa trị F A := B A định nghĩa B ∅ tập rỗng A⊆B A tập B A⊆B A không tập B A∪B hợp hai tập hợp A B A∩B giao hai tập hợp A B A\B hiệu hai tập hợp A B iv B tích Descartes hai tập hợp A B cl A bao đóng tơpơ tập hợp A int A phần tôpô tập hợp A conv A bao lồi tập hợp A (QEP ) toán tựa cân véctơ (QEP )λ toán tựa cân véctơ chứa tham số usc nửa liên tục lsc nửa liên tục H − usc nửa liên tục Hausdorff H − lsc nửa liên tục Hausdorff ✷ kết thúc chứng minh v Mở đầu Bài tốn tựa cân véctơ có nhiều ứng dụng quan trọng vật lý, kinh tế, tối ưu, vận tải, Bài toán bao hàm số lớp toán khác toán cân bằng, toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán bù, Khi nghiên cứu toán tựa cân người ta thường quan tâm đến vấn đề sau: Sự tồn nghiệm Tính ổn định nghiệm Cấu trúc tập nghiệm Thuật tốn tìm nghiệm Sự tồn nghiệm toán tựa cân véctơ nhiều nhà toán học nghiên cứu (xem [9], [10] tài liệu liên quan) Ngoài việc nghiên cứu tồn nghiệm toán tựa cân véctơ người ta quan tâm nghiên cứu tính ổn định nghiệm tốn thơng qua nghiên cứu tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ nghiệm Năm 2010, Chen, Li Fang [6] đưa số điều kiện đủ cho tính nửa liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm cho toán bất đẳng thức biến phân suy rộng giả thiết (Hg ) Năm 2012, Zhong Huang [12] nghiên cứu tính ổn định nghiệm tốn tựa cân véctơ thơng qua tính nửa liên tục Hausdorff, liên tục liên tục Hausdorff cho ánh xạ nghiệm với giả thiết (Hg ) Gần đây, Anh Hung [3] thiết lập điều kiện cần đủ cho tính nửa liên tục Hausdorff, liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm toán tựa cân véctơ mạnh chứa tham số Năm 2019, Anh, Duy Hien [4] thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục Hausdorff cho ánh xạ nghiệm tốn tựa cân véctơ với nón di động giả thiết (Hϕ ) Ngoài tác giả đưa điều kiện cần đủ để giả thiết (Hϕ ) xảy Mục đích luận văn nhằm trình bày cách hệ thống kết cơng trình [4] tính ổn định nghiệm tốn tựa cân véctơ với nón di động thơng qua tính nửa liên tục nửa liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương luận văn trình bày số kiến thức tập lồi, ánh xạ đa trị số tính chất ánh xạ đa trị Ngồi ra, chương chúng tơi cịn trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân véctơ với nón di động Chương trình bày số điều kiện đủ cho tính ổn định nghiệm tốn tựa cân véctơ với nón di động thơng qua tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ nghiệm Một số ví dụ minh họa cho kết lý thuyết trình bày Chương Sự tồn nghiệm toán tựa cân véctơ với nón di động Trong chương này, chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân véctơ với nón di động Một số kiến thức sở kết chương chúng tơi trích từ tài liệu [1], [2], [4], [8] [9] 1.1 Không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X khơng gian tuyến tính Tập A ⊆ X gọi lồi với x1 , x2 ∈ A ta ln có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A với λ ∈ [0, 1] Mệnh đề 1.1.2 Giả sử Aα ⊆ X tập lồi với α ∈ I , với I tập số Khi tập A = ∩ Aα lồi α∈I Chứng minh Lấy x, y ∈ A Khi x, y ∈ Aα , với α ∈ I Do Aα lồi với α ∈ I nên λx + (1 − λ)y ∈ Aα , với λ ∈ [0, 1], α ∈ I Do λx + (1 − λ)y ∈ A Vậy A tập lồi Mệnh đề 1.1.3 Giả sử Ai ⊆ X tập lồi λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am tập lồi 2.3 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm Định nghĩa 2.3.1 Giả sử e : A → Y ánh xạ liên tục cho e(x) ∈ int C(x) với x ∈ A Hàm phi tuyến ξe : A × Y → R xác định ξe (x, y) = inf{λ ∈ R : y ∈ λe(x) − C(x)} với (x, y) ∈ A × Y Mệnh đề 2.3.2 ([5]) Hàm phi tuyến ξe : A × Y → R hoàn toàn xác định, tức ξe (x, y) = min{λ ∈ R : y ∈ λe(x) − C(x)} với (x, y) ∈ A × Y Hơn nữa, khẳng định sau đúng: (i) ξe (x, y) < r ⇐⇒ y ∈ re(x) − int C(x); (ii) ξe (x, y) r ⇐⇒ y ∈ / re(x) − int C(x); (iii) ξe (x, y) > r ⇐⇒ y ∈ / re(x) − C(x); (iv) ξe (x, y) ≤ r ⇐⇒ y ∈ re(x) − C(x); (v) ξe (x, y) = r ⇐⇒ y ∈ re(x) − ∂C(x), ∂C(x) biên C(x); (vi) ξe (x, re(x)) = r Đặc biệt ξe (x, 0) = Mệnh đề 2.3.3 ([5]) (i) Nếu Y \ int C usc A ξe usc Y (ii) Nếu C usc A ξe lsc A × Y Mệnh đề 2.3.4 Với x ∈ A, hàm ξe (x, ·) đơn điệu theo nghĩa y1 ∈ y2 + C(x) ξe (x, y2 ) ≤ ξe (x, y1 ) Chứng minh Với x ∈ A y1 ∈ y2 + C(x), ta đặt r = ξe (x, y1 ) Theo Mệnh đề 2.3.2 (v), ta có y2 ∈ y1 − C(x) ⊂ re(x) − ∂C(x) − C(x) ⊂ re(x) − C(x) Từ suy ξe (x, y2 ) ≤ ξe (x, y1 ) Vậy hàm ξe (x, ·) đơn điệu 25 Mệnh đề 2.3.5 (i) Nếu C usc A f C - lsc A × A × P hàm (x, y, t) −→ ξe (x, f (x, y, t)) lsc A × A × P (ii) Nếu Y \ int C usc A f C - usc A × A × P hàm (x, y, t) −→ ξe (x, f (x, y, t)) usc A × A × P Chứng minh (i) Lấy (¯ x, y¯, t¯) ∈ A × A × P ε > tùy ý Vì f C - lsc (¯ x, y¯, t¯) nên với lân cận V gốc θY ∈ Y , tồn lân cận U (¯ x, y¯, t¯) cho f (x, y, t) ∈ f (¯ x, y¯, t¯) + V + C(¯ x) với (x, y, t) ∈ U Từ suy tồn z ∈ f (¯ x, y¯, t¯) + V thỏa mãn f (x, y, t) ∈ z + C(¯ x) Theo Mệnh đề 2.3.4, ta có ξe (¯ x, f (x, y, t)) − ξe (¯ x, z) (2.6) Theo Mệnh đề 2.3.3 (ii), hàm ξe (¯ x, ·) lsc f (¯ x, y¯, t¯) Vì z ∈ f (¯ x, y¯, t¯)+ V nên khơng tính tổng qt ta giả sử ε ξe (¯ x, z) − ξe (¯ x, f (¯ x, y¯, t¯)) > − (2.7) Từ (2.6) (2.7), ta có ε ξe (¯ x, f (x, y, t)) − ξe (¯ x, f (¯ x, y¯, t¯) > − (2.8) Vì ξe (·, f (x, y, t)) lsc x ¯ nên ε ξe (x, f (x, y, t)) − ξe (¯ x, f (x, y, t)) > − (2.9) Kết hợp (2.8) (2.9), ta thu ξe (x, f (x, y, t)) − ξe (¯ x, f (¯ x, y¯, t¯)) > −ε Từ suy ξe (x, f (x, y, t)) lsc (¯ x, y¯, t¯) (ii) Cho (¯ x, y¯, t¯) ∈ A × A × P ε > tùy ý Vì f C - usc (¯ x, y¯, t¯) 26 nên với lân cận V gốc θY ∈ Y , tồn lân cận U (¯ x, y¯, t¯) cho f (x, y, t) ∈ f (¯ x, y¯, t¯) + V − C(¯ x) với (x, y, t) ∈ U Từ suy tồn z ∈ f (¯ x, y¯, t¯) + V thỏa mãn f (x, y, t) ∈ z − C(¯ x) Bởi Mệnh đề 2.3.4, ta có ξe (¯ x, f (x, y, t)) − ξe (¯ x, z) ≤ (2.10) Theo Mệnh đề 2.3.3 (i), hàm ξe (¯ x, ·) usc f (¯ x, y¯, t¯) Vì z ∈ f (¯ x, y¯, t¯)+ V nên khơng tính tổng qt ta giả sử ε ξe (¯ x, z) − ξe (¯ x, f (¯ x, y¯, t¯)) < (2.11) Kết hợp (2.10) (2.11), ta có ε ξe (¯ x, f (x, y, t)) − ξe (¯ x, f (¯ x, y¯, t¯) < (2.12) Do ξe (·, f (x, y, t)) usc x ¯ nên ε ξe (x, f (x, y, t)) − ξe (¯ x, f (x, y, t)) < (2.13) Từ (2.12) (2.13), ta ξe (x, f (x, y, t)) − ξe (¯ x, f (¯ x, y¯, t¯)) < ε Vậy ξe (x, f (x, y, t)) usc (¯ x, y¯, t¯) Định nghĩa 2.3.6 Hàm m : A × Λ → R gọi hàm thử toán (QEP )λ (a) m(x, λ) ≤ với x ∈ K(x, λ); (b) m(x, λ) = x ∈ S(λ) 27 Giả sử K T có giá trị compact, ξe liên tục, f C - liên tục Ta định nghĩa hàm ϕ : A × Λ → R công thức ϕ(x, λ) := max ξe (x, f (x, y, t)) (2.14) t∈T (x,λ) y∈K(x,λ) Nếu C, Y \ int C usc với (x, λ) ∈ A × Λ, tồn x ¯ ∈ K(x, λ) cho f (x, x ¯, t) = với t ∈ T (x, λ) hàm ϕ xác định cơng thức (2.14) hàm thử toán (QEP )λ Hơn nữa, số tính chất hàm ϕ Bổ đề 2.3.7 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) K usc với giá trị compact A × Λ; (ii) T lsc với giá trị compact A × Λ; (iii) f C - liên tục A × A × P Khi hàm ϕ lsc A × Λ Chứng minh Với l ∈ R, ta đặt Lϕ := {(x, λ) ∈ A × Λ : ϕ(x, λ) ≤ l} Ta chứng minh Lϕ đóng Thật vậy, lấy dãy tùy ý {(xn , λn )} ⊂ Lϕ hội ¯ Vì ϕ(xn , λn ) ≤ l, ta có tụ đến (¯ x, λ) y∈K(xn ,λn ) ξe (xn , f (xn , y, t)) ≤ l với t ∈ K(xn , λn ) ¯ , tồn tn ∈ T (xn , λn ) cho tn → t¯ Do T lsc nên với t¯ ∈ T (¯ x, λ) Do y∈K(xn ,λn ) ξe (xn , f (xn , y, tn )) ≤ l với n ∈ N Theo Mệnh đề 2.3.3, ξe liên tục Bởi tính C - liên tục f tính compact K(xn , λn ) nên với n ∈ N, tồn yn ∈ K(xn , λn ) cho ξe (xn , f (xn , yn , tn )) = y∈K(xn ,λn ) 28 ξe (xn , f (xn , y, tn )) ≤ l Mặt khác từ K usc với giá trị compact nên theo Mệnh đề 1.3.7 (i), ta ¯ Từ suy giả sử {yn } hội tụ đến y¯ ∈ K(¯ x, λ) ξe (¯ x, f (¯ x, y¯, t¯)) = lim ξe (xn , f (xn , yn , tn )) ≤ l n→∞ Do ξe (¯ x, f (¯ x, y, t¯)) ≤ l ¯ y∈K(¯ x,λ) Điều kéo theo ¯ = max ϕ(¯ x, λ) ξe (¯ x, f (¯ x, y, t¯)) ≤ l ¯ y∈K(¯ ¯ t∈T (¯ x,λ) x,λ) ¯ ∈ Lϕ Điều chứng tỏ Lϕ đóng Vậy ϕ lsc A × Λ Vậy (¯ x, λ) Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.3.8 Giả sử điều kiện sau xảy (i) K lsc với giá trị compact A × Λ; (ii) T usc với giá trị compact A × Λ; (iii) f C - liên tục A × A × P Khi ϕ usc A × Λ Chứng minh Với l ∈ R, ta đặt Lϕ := {(x, λ) ∈ A × Λ : ϕ(x, λ) ≥ l} Ta chứng minh Lϕ đóng Thật vậy, lấy dãy tùy ý {(xn , λn )} ⊂ Lϕ hội ¯ Khi tụ đến (¯ x, λ) ϕ(xn , λn ) = max t∈T (xn ,λn ) y∈K(xn ,λn ) ξe (xn , f (xn , y, t)) l Từ tính compact T (xn , λn ), với n ∈ N, tồn tn ∈ T (xn , λn ) cho y∈K(xn ,λn ) ξe (xn , f (xn , y, tn )) l Vì T usc với giá trị compact, theo Mệnh đề 1.3.7 (i), ta giả sử ¯ Với y¯ ∈ K(¯ ¯ , tính lsc K , tồn {tn } hội tụ đến t¯ ∈ T (¯ x, λ) x, λ) 29 yn ∈ K(xn , λn ) cho yn → y¯ Do ξe (xn , f (xn , yn , tn )) l với n ∈ N Theo Mệnh đề 2.3.3, hàm ξe liên tục Từ tính C - liên tục f , ta có ξe (¯ x, f (¯ x, y¯, t¯)) = lim ξe (xn , f (xn , yn , tn )) n→∞ l Từ suy ¯ = max ϕ(¯ x, λ) ξe (¯ x, f (¯ x, y, t)) ¯ y∈K(¯ ¯ t∈T (¯ x,λ) x,λ) l ¯ ∈ Lϕ Điều chứng tỏ Lϕ đóng Vậy ϕ usc A × Λ Vậy (¯ x, λ) Bổ đề chứng minh Từ Bổ đề 2.3.7 Bổ đề 2.3.8, ta có kết sau Bổ đề 2.3.9 Giả sử khẳng định sau thỏa mãn (i) K T liên tục với giá trị compact A × Λ; (ii) f C - liên tục A × A × P Khi ϕ liên tục A × Λ Định nghĩa 2.3.10 Giả sử X, Z không gian tôpô; K tập lồi X ; Y không gian véctơ tôpô với gốc θY C : X → 2Y ánh xạ nón với giá trị lồi, nhọn, có phần Ánh xạ véctơ h : X → Y gọi (a) C - tựa lõm K với y ∈ Y ; x1 , x2 ∈ K θ ∈ [0, 1] thỏa mãn h(x1 ) ∈ y +C(x1 ), h(x2 ) ∈ y +C(x2 ) kéo theo h(xθ ) ∈ y +C(xθ ), xθ := θx1 + (1 − θ)x2 (b) C - tựa lõm chặt K với y ∈ Y ; x1 , x2 ∈ K, x1 = x2 θ ∈ (0, 1) thỏa mãn h(x1 ) ∈ y + C(x1 ), h(x2 ) ∈ y + C(x2 ) kéo theo h(xθ ) ∈ y + int C(xθ ), xθ := θx1 + (1 − θ)x2 Định nghĩa 2.3.11 Xét giả thiết sau ¯ ε) ∈ Λ × (0, +∞), tồn số thực dương δ, α cho (Hϕ ): Với (λ, ¯ δ) x ∈ ∆(λ, ε) = E(λ)\U (S(λ), ε), ϕ(x, λ) ≤ −α với λ ∈ B(λ, U (S(λ), ε) = {x ∈ A : d(x, S(λ)) < ε} 30 Định lý cho ta điều kiện đủ để giả thiết (Hϕ ) xảy Định lý 2.3.12 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) E liên tục với giá trị lồi, compact Λ; (ii) T liên tục với giá trị compact A × Λ với λ ∈ Λ, T (·, λ) hàm lồi; (iii) K liên tục với giá trị compact A × Λ với λ ∈ Λ, K(·, λ) hàm lõm; (iv) f C - liên tục Y \(− int C) tựa lõm chặt A × A × P Khi giả thiết (Hϕ ) xảy ¯ ∈Λ Chứng minh Giả sử giả thiết (Hϕ ) không xảy Khi tồn λ ¯ δn ) và ε > cho với αn > 0, δn > 0, tồn λn ∈ B(λ, xn ∈ ∆(λn , ε) thỏa mãn ϕ(xn , λn ) > −αn Theo định nghĩa ϕ, ta có −αn < ϕ(xn , λn ) ≤ (2.15) ¯ Bởi tính , ta suy dãy {λn } hội tụ đến λ n ¯ liên tục với giá trị compact E , ta coi {xn } hội tụ đến x ˆ ∈ E(λ) Bằng cách chọn δn = αn = Theo Bổ đề 2.3.9, ϕ liên tục Từ (2.15) ta suy ¯ = lim ϕ(xn , λn ) = ϕ(ˆ x, λ) n→∞ ¯ Giả sử tồn lân cận N gốc X dãy {λn } Vậy x ˆ ∈ E(λ) ¯ cho hội tụ đến λ (ˆ x + N ) ∩ S(λn ) = ∅ với n ∈ N (2.16) Ta xét hai trường hợp sau ¯ = {ˆ Trường hợp 1: S(λ) x} Lấy {xn } dãy tùy ý cho xn ∈ S(λn ) với n ∈ N Vì E usc với giá trị compact, ta giả thiết {xn } ¯ Chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý 2.2.3 hội tụ tới x ¯ ∈ E(λ) ¯ Từ suy x¯ = xˆ Vậy xn ∈ xˆ + N với n đủ lớn ta thu x ¯ ∈ S(λ) Điều mâu thuẫn với (2.16) 31 ¯ cho x˜ = xˆ Khi tồn t˜ ∈ T (˜ ¯ Trường hợp 2: Tồn x ˜ ∈ S(λ) x, λ) ¯ cho tˆ ∈ T (ˆ x, λ) ¯ f (˜ x, y, t˜) ∈ Y \(− int C(˜ x)) với y ∈ K(˜ x, λ) (2.17) ¯ f (ˆ x, y, tˆ) ∈ Y \(− int C(ˆ x)) với y ∈ K(ˆ x, λ) (2.18) Đặt x(η) = η˜ x + (1 − η)ˆ x t(η) = η t˜ + (1 − η)tˆ với η ∈ (0, 1) Khi ¯ t(η) ∈ T (x(η), λ) ¯ Vì K(·, λ) ¯ lõm nên với y ∈ ta có x(η) ∈ E(λ) ¯ , tồn y˜ ∈ K(˜ ¯ yˆ ∈ K(ˆ ¯ cho y = η y˜ + (1 − η)ˆ K(x(η), λ) x, λ) x, λ) y Từ (2.17), (2.18) tính tựa lõm chặt Y \(− int C) A × A × P , ta suy f (x(η), y, t(η)) ∈ int [Y \(− int C(x(η)))] (2.19) Chú ý với N chọn, tồn lân cận N1 gốc X ηˆ ∈ (0, 1) cho N1 + N1 ⊂ N x(ˆ η ) ∈ xˆ + N1 Từ suy x(ˆ η ) + N1 ⊂ xˆ + N ¯ , tồn xˆn ∈ E(λn ) cho xˆn → x(ˆ Bởi tính lsc E λ η ) Do xˆn ∈ x(ˆ η ) + N1 ⊂ xˆ + N với n đủ lớn Điều với (2.16), ta suy xˆn ∈ / S(λn ) với n ∈ N đủ lớn Từ với tn ∈ T (ˆ xn , λn ), tn → t(ˆ η ), tồn yˆn ∈ K(ˆ xn , λn ) cho f (ˆ xn , yˆn , tn ) ∈ − int C(ˆ xn ) Điều kéo theo −f (ˆ xn , yˆn , tn ) ∈ C(ˆ xn ) (2.20) Với lân cận B θY , tồn lân cận cân B1 θY cho B1 +B1 ⊂ B Từ C H - usc, C(ˆ xn ) ⊂ C(x(ˆ η ))+B1 Vì K usc với giá trị compact, ¯ Do f C - lsc nên ta giả thiết {ˆ yn } hội tụ đến yˆ ∈ K(x(ˆ η ), λ) −f (ˆ xn , yˆn , tn ) ∈ −f (x(ˆ η ), yˆ, t(ˆ η )) + B1 − C(x(ˆ η )) Từ suy −f (x(ˆ η ), yˆ, t(ˆ η )) ∈ −f (ˆ xn , yˆn , tn ) + B1 + C(x(ˆ η )) (2.21) Kết hợp (2.20) (2.21), ta có −f (x(ˆ η ), yˆ, t(ˆ η )) ∈ C(x(ˆ η )) + B1 + B1 + C(x(ˆ η )) ⊂ B + C(x(ˆ η )) 32 Vì B tùy ý C(x(ˆ η )) đóng, −f (x(ˆ η ), yˆ, t(ˆ η )) ∈ C(x(ˆ η )) Do f (x(ˆ η ), yˆ, t(ˆ η )) ∈ −C(x(ˆ η )) Điều mâu thuẫn với (2.19) Do đó, ta chọn dãy {un } cho un ∈ S(λn )với n, hội tụ đến x ˆ Bởi xn ∈ ∆(λn , ε), ta có un − xn ε Điều mâu thuẫn với {un } {xn } hội tụ tới xˆ Tiếp theo chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho tính nửa liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm toán (QEP )λ giả thiết (Hϕ ) Định lý 2.3.13 Giả sử giả thiết (Hϕ ) thỏa mãn (i) E lsc với giá trị compact Λ; (ii) K T liên tục với giá trị compact A × Λ; (iii) f C - liên tục A × A × P Khi S H - lsc Λ ¯ ∈ Λ cho S không H - lsc λ ¯ Khi Chứng minh Giả sử tồn λ ¯ dãy {xn } cho tồn ε > 0, dãy {λn } ⊂ Λ với λn → λ ¯ xn ∈ S(λ)\U (S(λn ), ε) với n ∈ N (2.22) ¯ tập compact ta giả thiết Theo Mệnh đề 2.2.2, S(λ) ¯ Khi (xn , λn ) → (¯ ¯ với số nguyên {xn } hội tụ đến x¯ ∈ S(λ) x, λ) dương k ¯ = ∅ Bởi tính lsc E λ ¯ , tồn 3, ta có B(¯ x, kε ) ∩ E(λ) nk ∈ N cho ε ε B(¯ x, ) ∩ E(λnk ) = ∅ với n > nk k ε Với n > nk , ta chọn ynk ∈ B(¯ x, ) ∩ E(λnk ) Ta chứng minh k ε ynk ∈ / U (S(λnk ), ) xnk − x¯ < Thật vậy, giả sử tồn unk ∈ S(λnk ) thỏa mãn ε ynk − unk < 33 Khi đó, với k đủ lớn, ta có xnk − unk ≤ xnk − x¯ + ε ε ε < + + k < ε x¯ − ynk + ynk − unk Từ suy xnk ∈ U (S(λnk ), ε) Điều mâu thuẫn với (2.22) Vậy ε ε ynk ∈ ∆(λnk , ) = E(λnk )\U (S(λnk ), ) 3 Bởi giả thiết (Hϕ ), tồn α > cho ϕ(ynk , λnk ) ≤ −α với k đủ lớn ¯ Do Theo Bổ đề 2.3.7, ϕ lsc (¯ x, λ) ¯ ≤ lim inf ϕ(yn , λn ) ≤ −α < ξe (¯ x, f (¯ x, y, t)) = ϕ(¯ x, λ) k k max ¯ y∈K(¯ ¯ t∈T (¯ x,λ) x,λ) k→∞ Điều kéo theo ¯ ξe (¯ x, f (¯ x, y, t)) < với t ∈ T (¯ x, λ) ¯ y∈K(¯ x,λ) ¯ cho ξe (¯ Từ suy tồn số y¯ ∈ K(¯ x, λ) x, f (¯ x, y¯, t)) < với ¯ Theo Mệnh đề 2.3.2 (i), ta có f (¯ t ∈ T (¯ x, λ) x, y¯, t) ∈ − int C(¯ x) với ¯ Điều mâu thuẫn với x¯ ∈ S(λ) ¯ Do S H - lsc t ∈ T (¯ x, λ) ¯ ∈ Λ λ Ví dụ 2.3.14 Giả sử M = Λ = X = Y = R, C(x) = R+ , A = [−π, π], P = [−π , π ], Λ = [0, 1], e(x) = ∈ R+ , K(x, λ) = [0, 21 π], T (x, λ) = [λx2 , πλx ] Xét hàm f : A × A × P → R công thức f (x, y, t) = t2 (cos y − cos x) Khi ξe (x, f (x, y, t)) = −t2 cos x ϕ(x, λ) = −λ2 x4 cos x y∈K(x,λ) Hơn nữa, ta có S(λ) = [0, π2 ], λ = 0, { π2 }, λ = 34 ¯ = Ta giả thiết (Hϕ ) khơng Từ suy S khơng H - lsc λ ¯ = Thật vậy, ta chọn thỏa mãn < < π Với α > 0, ta xảy λ chọn λn → cho < λn < α xn = ∈ ∆(λn , ) với n ∈ N Khi ta có ϕ(xn , λn ) = > −α ¯ = Vậy giả thiết (Hϕ ) không xảy λ Định lý 2.3.15 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) E liên tục với giá trị compact Λ; (ii) K T liên tục với giá trị compact A × Λ; (iii) f C - liên tục A × A × P Khi S H - lsc Λ giả thiết (Hϕ ) xảy Chứng minh Điều kiện đủ chứng minh Định lý 2.3.13 Bây ta chứng minh điều kiện cần Giả sử S H - lsc Λ giả thiết (Hϕ ) ¯ ∈ Λ ε > cho với αn > 0, δn > không xảy Khi đó, tồn λ ¯ δn ) xn ∈ ∆(λn , ε) thỏa mãn ϕ(xn , λn ) > −αn 0, tồn λn ∈ B(λ, Theo định nghĩa ϕ, ta có −αn < ϕ(xn , λn ) ≤ (2.23) ¯ Theo giả thiết (i) Mệnh Khi λn → λ n ¯ Theo Bổ đề đề 1.3.7 (i), ta giả sử {xn } hội tụ đến x ¯ ∈ E(λ) Bằng cách chọn αn = δn = 2.3.9, ϕ liên tục Khẳng định với (2.23) suy ¯ = lim ϕ(xn , λn ) = ϕ(¯ x, λ) n→∞ ¯ Bởi tính H - lsc S , tồn dãy Theo định nghĩa ϕ, ta có x ¯ ∈ S(λ) {ˆ xn }, xˆn ∈ S(λn ), hội tụ đến x¯ Vì xn ∈ ∆(λn , ε), ta có xˆn − xn ε Điều mâu thuẫn với dãy {xn } {ˆ xn } hội tụ đến phần tử x¯ Do giả thiết (Hϕ ) xảy Hệ 2.3.16 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn 35 (i) E liên tục với giá trị compact Λ; (ii) K T liên tục với giá trị compact A × Λ; (iii) f C - liên tục A × A × P Khi S H - lsc với giá trị compact Λ giả thiết (Hϕ ) xảy 36 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số kết sau: Trình bày số định lý tồn nghiệm toán tựa cân véctơ với nón di động (Định lý 1.4.5 Định lý 1.4.6) Trình bày điều kiện đủ cho tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm tốn tựa cân véctơ với nón di động (Định lý 2.2.3 Định lý 2.2.4) Ngoài số ví dụ minh họa cho Định lý 2.2.3 Định lý 2.2.4 trình bày Trình bày điều kiện đủ cho tính nửa liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm toán tựa cân véctơ với nón di động giả thiết (Hϕ ) (Định lý 2.3.13 Định lý 2.3.15) 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006) ," Một số vấn đề lý thuyết tối ưu véctơ đa trị", Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Đơng n (2007)," Giải tích đa trị",Nhà xuất khoa học tự nhiên công nghệ Tiếng Anh [3] Anh, L Q., Hung, N V (2017), Gap functions and Hausdorff continuity of solution mappings to parametric strong vector quasiequilibrium problems J Ind Manag.Optim 13(2), 1-15 [4] Anh, L Q., Duy, T Q., Hien, D V (2019), Stability for Parametric Vector Quasi-Equilibrium Problems With Variable Cones Numer Funct Anal Optim 40, 461-483 [5] Chen, G Y., Huang, X., Yang, X (2005), Vector Optimization: SetValued and Variational Analysis., Vol.541 Berlin: Springer Verlag [6] Chen, C R., Li, S J., Fang, Z M (2010), On the solution semicontinuity to a parametric generalized vector quasivariational inequality Comput.Math.Appl 60 (8 ), 2417 − 2425 [7] Fan, K (1984), Some properties of convex sets related to fixed point theorems., Math.Ann.266 , 519 − 537 38 [8] Gopfert, A., Riahi, H., Tammer, C., Zalinescu, C (2003), Variational Methods in Partially Ordered Spaces New York, Springer Verlag [9] Hai, N X., Khanh, P Q (2007), Existence of solutions to general quasiequilibrium problems and applications J Optim Theory Appl 133(3), 317-327 [10] Tan, N X (2018), Quasi-equilibrium problems and fixed point theorems of separately l.s.c and u.s.c mappings.Numer Funct Anal Optim 39(2), 233-255 [11] Tarafdar, E (1987), A fixed point theorem equivalent to the Fan–Knaster-Kuratowski–Mazurkiewicz theorem , J Math Anal Appl 128, 475-479 [12] Wangkeeree, R., Wangkeeree, R., Preechasilp, P (2014), Continuity of the solution mappings to parametric generalized vector equilibrium problems Appl Math Lett 29, 42-45 39 ... tự Định lý 1.4.5 ta x ¯ nghiệm tốn tựa cân (QEP ) 19 Chương Tính ổn định nghiệm toán tựa cân véctơ với nón di động Trong chương này, chúng tơi trình bày tính ổn định nghiệm tốn tựa cân véctơ với. .. 1.3 Tính liên tục theo nón ánh xạ véctơ 1.4 Sự tồn nghiệm toán tựa cân véctơ 13 Chương Tính ổn định nghiệm tốn tựa cân véctơ với nón di động ... tốn tựa cân véctơ với nón di động thơng qua tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ nghiệm Một số ví dụ minh họa cho kết lý thuyết trình bày Chương Sự tồn nghiệm tốn tựa cân véctơ với nón di động