Một số lớp bất đẳng thức lượng giác kiểu klamkin trong tam giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ THU TRANG MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC KIỂU KLAMKIN TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ THU TRANG MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC KIỂU KLAMKIN TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8640113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên, 10/2018 i Mục lục Mở đầu Chương Một số lớp đẳng thức bất đẳng thức 1.1 Một số hệ thức hàm lượng giác ngược 1.2 Bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức Karamata 1.2.1 Bất đẳng thức Jensen 1.2.2 Bất đẳng thức Karamata 1.3 Một số bất đẳng thức lượng giác tam giác 3 6 10 13 Chương Bất đẳng thức kiểu Klamkin hàm lượng giác tam giác 2.1 Bất đẳng thức kiểu Klamkin hàm cosin 2.2 Bất đẳng thức kiểu Klamkin hàm sin 2.3 Bất đẳng thức kiểu Klamkin hàm tan cotan 17 17 24 28 Chương Bất đẳng thức kiểu Klamkin hàm lượng giác ngược 3.1 Bất đẳng thức kiểu Klamkin hàm arccos arcsin 3.2 Bất đẳng thức kiểu Klamkin hàm arctan arccotan 3.3 Một số bất đẳng thức khác tam giác 3.3.1 Bất đẳng thức Weizenbock 3.3.2 Bất đẳng thức dạng Hadwiger-Finsler 34 34 37 42 42 46 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Mở đầu Chuyên đề bất đẳng thức chuyên đề quan trọng bậc trung học phổ thông Bất đẳng thức không đối tượng nghiên cứu trọng tâm đại số giải tích mà cịn cơng cụ đắc lực nhiều lĩnh vực khác toán học Klamkin khảo sát nhiều lớp bất đẳng thức hình học liên quan đến hàm cosin xét dạng toán liên quan Ta biết bất đẳng thức lượng giác kiểu Klamkin cho tam giác α cos A + β cos B + γ cosC ≤ β γ γα αβ + + 2α 2β 2γ ứng với số dương α, β , γ Bất đẳng thức chứng minh phương pháp khác hình học phương pháp véctơ phương pháp tọa độ phương pháp số phức Tuy nhiên, dạng bất đẳng thức tương tự hàm lượng giác khác hàm sin, tan cotan người ta chưa chứng minh phương pháp hình học Klamkin khơng đề cập đến dạng bất đẳng thức Đặc biệt, để chứng minh bất đẳng thức tương tự lượng giác ngược ta cần đến cơng cụ giải tích (tính lồi, lõm) để khảo sát chúng Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi nâng cao nghiệp vụ thân chuyên đề bất đẳng thức lượng giác, chọn đề tài luận văn “Một số lớp bất đẳng thức lượng giác kiểu Klamkin tam giác” Luận văn nhằm cung cấp số dạng bất đẳng thức không đối xứng tam giác hàm lượng giác lượng giác ngược số dạng liên quan Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khz + zx sinC + z cosC] √ a b ⇔ (x + z) + (y + z) ≥ 2[sinC xy + yz + zx + z cosC] (3.10) b a 44 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có √ [sinC xy + yz + zx + z cosC]2 ≤ (xy + yz + zx + z2 )(sin2 C + cos2 C) = xy + yz + zx + z2 = (x + z)(y + z) Mặt khác a b (x + z) + (y + z) ≥ 4(x + z)(y + z) b a Do (3.10) Dấu đẳng thức xảy  a b  (x + z) = (y + z) b a cosC sinC   =√ z xy + yz + zx  a b   =√ √ y+z x+z ⇔ 2C cos sin2C sin2C + cos2C   = =  = z xy + yz + zx xy + yz + zx + z2 (x + z)(y + z) Thay b cosC tương ứng vào biểu thức c2 = a2 + b2 − 2bc cosC biểu thức tương ứng trên, ta có x+z x+z z − 2a2 y+z y + z (x + z)(y + z) x+z c z ⇔ = 1+ −2 a y+z y+z x+y a c c ⇔√ =√ ⇔ = a y+z y+z x+y c = a2 + a2 Vậy đẳng thức xảy a b c √ =√ =√ y+z x+y x+z (3.11) Bất đẳng thức (3.9) gọi bất đẳng thức Weizenbock mở rộng Tiếp theo, ta chứng minh số hệ bất đẳng thức Weizenbock suy rộng Bài tốn 3.11 Cho tam giác ABC với diện tích ∆ số thực x, y, z Chứng minh bất đẳng thức sau ln √ xab + ybc + zxa ≥ xy + yz + zx∆ (3.12) 45 c a b Lời giải Thay x x , y y z z , ta a b c xab + ybc + zca ≥ a b c xy + yz + zx ∆, a b c hay c a b (xab + ybc + zca)2 ≥ 16∆2 xy + yz + zx (3.13) a b c c a b Lại thay x z , y x z y vào bất đẳng thức Weizenbock suy rộng, a b c sau bình phương hai vế ta bất đẳng thức a b c (xab + ybc + zca)2 ≥ 16∆2 (xy + yz + zx ) c a b (3.14) Cộng theo vế hai bất đẳng thức (3.13) (3.14), áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta b a b c a c 2(xab + ybc + zca)2 ≥ 16∆2 [xy( + ) + yz( + ) + zx( ) + ] c a a b c b ≥ 2.16∆ (xy + yz + zx) Suy √ xab + ybc + zca ≥ xy + yz + zx∆ Bất đẳng thức (3.12) chứng minh Bài toán 3.12 Cho M điểm tùy ý tam giác ABC Chứng minh bất đẳng thức sau ln aMA + bMB + cMC ≥ 4∆ (3.15) Lời giải Trước hết chứng minh bất đẳng thức MA MB MB MC MC MA + + ≥ a b b c c a Để chứng minh đồng thức (3.16), ta sử dụng đồng thức (β − γ)β γ + (α − β )αβ + (γ − α)γα = −(β − γ)(γ − α)(α − β ), (3.16) (3.17) α, β , γ số phức Xét mặt phẳng phức chứa tam giác ABC giả sử đỉnh A, B,C M điểm phức A(α), B(β ),C(γ), M(0) Khi ta có a = BC = |β − γ|, b = CA = |γ − α|, c = AB = |α − β |, 46 MA = |α|, MB = |β |, MC = |γ| Áp dụng bất đẳng thức Minkovskii vào đồng thức (3.17), ta |(β − γ)β γ| + |(α − β )αβ | + |(γ − α)γα| ≥ |β − γ||γ − α||α − β | hay |β |.|γ| |α|.|γ| |β |.|α| + + ≥ |α − γ|.|α − β | |β − α|.|β − γ| |α − γ|.|β − γ| Từ suy bất đẳng thức (3.16) Xét bất đẳng thức Weizenbock suy rộng với x= MB MC MA ,y = ,z = , a b c ta có aMA + bMB + cMC = ≥4 MA MB MC a + b + c a b c MA MB MB MC MC MA + + ∆ a b b c c a Mặt khác lại có MA MB MB MC MC MA + + ≥ 1, a b b c c a nên aMA + bMB + cMC ≥ 4∆ Mệnh đề dược chứng minh 3.3.2 Bất đẳng thức dạng Hadwiger-Finsler Trước hết ta chứng minh kết sau tam giác Định lí 3.3 (Bất đẳng thức dạng Hadwiger-Finsler) Cho tam giác ABC có diện tích S số thực dương x, y, z Khi bất đẳng thức sau √ (y + z)a2 + (z + x)b2 + (x + y)c2 ≥ xy + yz + zxS + (x + y)(a − b)2 + (y + z)(b − c)2 + (z + x)(c − a)2 (3.18) 47 Chứng minh Gọi A , B ,C tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B,C Dễ dàng chứng minh ba điểm (A , B,C ), (B ,C, A ), (C , A, B ) thẳng hàng Gọi K, H chân đường cao hạ từ C’ xuống AB từ B’ xuống AC Áp dụng bất đẳng thức Weizenbock mở rộng vào tam giác A’B’C’ ta có √ zA B + xB C + yC A ≥ xy + yz + zxSA B C AH AK AH + HK B C = B A + AC = + = π A π A π A cos( − ) cos( − ) cos( − ) 2 2 2 a 2R sin A A s−c+s−b = = = 4R cos = π A A A cos( − ) sin sin 2 2 Tương tự ta có C B A B = 4R cos ,C A = 4R cos 2 Do A C B A B C ∆ = B C A B sinB = 4R cos 4R cos cos = 8R2 cos cos cos 2 2 2 2 R2 sin A sin B sinC 2R sin A.2R sin B.2R sinC abc abc 2R 2∆R = = = = A B A C B C 8R 2r 4R r r sin sin sin sin sin sin 2 2 2 Theo cơng thức vịng trịn bàng tiếp, ta có = + rb = s tan r src A B r =s = + tan + 2 s−a s−b (s − a)(s − b) Mặt khác, từ cơng thức diện tích tam giác lại có sr abc src s(s − c) = s(s − a)(s − b)(s − c) ⇔ = 4R , 4R (s − a)(s − b) ab nên + rb = src s(s − c) C = 4R = 4R cos2 (s − a)(s − b) ab Tương tự A B rb + rc = 4R cos2 , rc + = 4R cos2 2 48 Từ kết ta có zA B + xB C + yC A C A B = z16R2 cos2 + x16R2 cos2 + y16R2 cos 2 C A B = 4R(z.4R cos2 ) + 4R(x.4R cos2 ) + 4R(y.4R cos2 ) 2 = 4R[z(ra + rb ) + x(rb + rc ) + y(rc + )] Suy √ 2∆R 4R[z(ra + rb ) + x(rb + rc ) + y(rc + )] ≥ xy + yz + zx r Biết (s − a) = rb (s − b) = rc (s − c) = sr = ∆, nên bất đẳng thức tương đương với √ ⇔ r[ra (y + z) + rb (z + x) + rc (x + y)] ≥ 2∆ xy + yz + zx ∆2 ∆2 ∆2 ⇔ 4(y + z) + 4(z + x) + 4(x + y) p(p − a) p(p − b) s(s − c) √ ≥ 8∆ xy + yz + zx ⇔ 4(y + z)(p − b)(p − c) + 4(z + x)(p − c)(p − a) + 4(x + y)(p − a)(p − b) √ ≥ 8∆ xy + yz + zx √ ⇔ (y + z)a2 + (z + x)b2 + (x + y)c2 ≥ 8∆ xy + yz + zx + (x + y)(a − b)2 + (y + z)(b − c)2 + (z + x)(c − a)2 Định lí chứng minh Nhận xét 3.3 Ở bất đẳng thức (3.18) đặt y + z = x1 , z + x = y1 , y + x = z1 bất đẳng thức trở thành x1 a2 + y1 b2 + z1 c2 ≥ x1 + y1 + z1 − (x1 − y1 )2 − (y1 − z1 )2 − (z1 − x1 )2 S + x1 (b − c)2 + y1 (c − a)2 + z1 (a − b)2 (3.19) Bài toán 3.13 Cho x, y, z số thực dương Chứng minh xa2 + yb2 + zc2 ≥ x2 + y2 + z2 − (x − y)2 − (y − z)2 − (z − x)2 ∆ + x(b − c)2 + y(c − a)2 + z(a − b)2 (3.20) 49 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức (3.18) cho tam giác A B C nói Định lí 3.3, ta có (x + y + z)B C + (x − y + z)C A + (x + y − z)A B ≥ x2 + y2 + z2 − (x − y)2 − (y − z)2 − (z − x)2 ∆A B C Mặt khác, ta lại có (−x + y + z)B C + (x − y + z)C A + (x + y − z)A B A B C = (−x + y + z)16R2 cos2 + (x − y + z)16R2 cos2 + (x + y − z)16R2 cos2 2 = 4R[(−x + y + z)(rb + rc ) + (x − y + z)(rc + ) + (x + y − z)(ra + rb )] 8R = 8R(xra + yrb + zrc ) = (xrra + yrrb + zrrc ) r 8R = [x(s − b)(s − c) + y(s − c)(s − a) + z(s − a)(s − b)] r x2 + y2 + z2 − (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 ∆A B C =4 x2 + y2 + z2 − (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 2∆ABC R r Suy xa2 + yb2 + zc2 ≥ x2 + y2 + z2 + (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 ∆ + x(b − c)2 + y(c − a)2 + z(a − b)2 , ∆ ký hiệu diện tích tam giác ABC Định lí chứng minh ... Chương Một số lớp đẳng thức bất đẳng thức 1.1 Một số hệ thức hàm lượng giác ngược 1.2 Bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức Karamata 1.2.1 Bất đẳng thức Jensen 1.2.2 Bất đẳng thức. .. 1.3 Một số bất đẳng thức lượng giác tam giác 3 6 10 13 Chương Bất đẳng thức kiểu Klamkin hàm lượng giác tam giác 2.1 Bất đẳng thức kiểu Klamkin hàm cosin 2.2 Bất đẳng. .. đề bất đẳng thức lượng giác, chọn đề tài luận văn ? ?Một số lớp bất đẳng thức lượng giác kiểu Klamkin tam giác? ?? Luận văn nhằm cung cấp số dạng bất đẳng thức không đối xứng tam giác hàm lượng giác