Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn

điều kiện sau thỏa mãn: (i) < βn < β0 , εn ∞ 0, lim n→∞ |εn −εn+1 | ε2n βn |tn −tn+1 | n→∞ βn εn tn = lim = 0; p (ii) n=0 n L) εn βn = ∞, lim supn→∞ Cq βnq−1 (2+ε < 1, với Cq số εn η q-trơn X Khi đó, dãy lặp {wn } xác định (2.14) hội tụ mạnh điểm p∗ -nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.1) Chứng minh Giả sử xn nghiệm phương trình hiệu chỉnh (2.3) với εn > Khi đó, wn+1 − xn+1 ≤ wn+1 − xn + xn − xn+1 (2.15) Theo Bổ đề 1.1.19 (2.3), ta có wn+1 − xn p = wn − βn [Fn wn + εn Awn ] − xn q = wn − xn − βn [(I − Tn )wn − (I − Tn )xn + εn (Awn − Axn )] ≤ wn − x n q q − qβn (I − Tn )wn − (I − Tn )xn + εn [Awn − Axn ], jq (wn − xn ) + Cq βnq (I − Tn )wn − (I − Tn )xn + εn [Awn − Axn ] q Sử dụng tính j-đơn điệu ánh xạ I − Tn tính η-j-đơn điệu mạnh ánh xạ A, ta nhận (I − Tn )wn − (I − Tn )xn , jq (wn − xn ) = w n − xn q−2 (I − Tn )wn − (I − Tn )xn , j(wn − xn ) ≥ Awn − Axn , jq (wn − xn ) ≥ η wn − xn q 30 Suy wn+1 − xn q ≤ wn − xn q [1 − qβn εn η + Cq βnq (2 + εn L)q ] Do đó, wn+1 − xn ≤ wn − xn [1 − qβn εn η + Cq βnq (2 + εn L)q ]1/q Vì Cq βnq (2 + εn L)q ≤ βn εn η (1 + t)s ≤ − st với < s < 1, nên wn+1 − xn ≤ wn − xn 1− q−1 εn βn η q (2.16) Từ (2.15), (2.16) (2.5), ta thu q−1 εn βn η wn − xn q M1 |tn+1 − tn | + |εn − εn+1 | + εn η tn wn+1 − xn+1 ≤ 1− hay wn+1 − xn+1 ≤ (1 − ζn ) wn − xn + ζn ηn với ζn = q−1 βn εn η, q ζn ηn = M1 |εn − εn+1 | |tn − tn+1 | +2 η εn ε n tn thỏa mãn điều kiện Bổ đề 2.2.1 (với θn = 0) điều kiện (i) (ii) Áp dụng Bổ đề 2.2.1, ta thu lim wn − xn = Sử dụng n→∞ kết Định lý 2.2.2, ta có xn − p∗ → n → ∞ Điều dẫn đến ≤ wn − p∗ ≤ wn − xn + xn − p∗ → n → ∞ Từ suy wn → p∗ ∈ F thỏa mãn (2.1) n → ∞ Định lý chứng minh 2.3.3 Ví dụ minh họa Dùng phương pháp (2.14) để giải toán (2.13) xét mục trước Chọn xấp xỉ ban đầu w1 = (7, 8.5, 9.3) ∈ R3 dãy tham số tn = (n + 1)4 , εn = (1 + 70n)−1/2 βn = cos((1 + n)−2 ) 31 thỏa mãn điều kiện Định lý 2.3.1 Kết tính tốn cho phương pháp thể bảng sau đây: n Nghiệm xấp xỉ wn err = wn − p∗ (7, 8.5, 9.3) 13.789 (0.11197, 0.10772, 5.0429) 4.0459 10 (0.073431, 0.07346, 3.4988) 2.501 50 (0.033006, 0.033006, 1.3598) 0.36277 100 (0.023457, 0.023457, 1.0865) 0.092629 200 (0.016662, 0.016662, 1.0117) 0.02629 500 (0.010588, 0.010588, 1.0002) 0.014975 1000 (0.0075062, 0.0075062, 1) 0.010615 10000 (0.0023849, 0.0023849, 1) 0.0033727 Bảng 2.2 Kết tính tốn cho phương pháp (2.14) 32 Kết luận Đề tài luận văn trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu tập ràng buộc tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach Cụ thể: (1) Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Banach (không gian Banach lồi chặt, lồi đều, trơn đều, khơng gian có chuẩn khả vi Gâteaux khả vi Gâteaux đều); ánh xạ đơn điệu j-đơn điệu, ánh xạ giả co chặt, ánh xạ không giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn; tổng quan bất đẳng thức biến phân đơn điệu bất đẳn thức biến phân j-đơn điệu (2) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov giải bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux Trình bày chứng minh hội tụ mạnh phương pháp dựa nguyên lý ánh xạ co Banach tính chất liên tục mạnh-yếu∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j số điều kiện đặt lên dãy tham số phương pháp (3) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu, trình bày chứng minh hội tụ phương pháp (4) Tính tốn ví dụ số minh họa cho hội tụ phương pháp (2.3) (2.14) 33 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] R.P Agarwal, D O’Regan D., D.R Sahu (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [4] Y Alber, I.P Ryazantseva (2006), Nonlinear Ill-posed Problems of Monotone Type, Springer-Verlag, Berlin [5] Q.H Ansari, C.S Lalitha, M Mehta (2013), Generalized Convexity, Nonsmooth Variational Inequalities, and Nonsmooth Optimization, Chapman and Hall/CRC [6] K Aoyama, H Iiduka, W Takahashi (2006), "Weak convergence of an iterative sequence for accretive operators in Banach spaces", Fixed Point Theory Appl., 2006, Art no 35390 [7] L.-C Ceng, Q.H Ansari, J.-C Yao (2008), "Mann-type steepestdescent and modified hybrid steepest descent methods for variational inequalities in Banach spaces", Numer Funct Anal Optim., 29(9-10), 987–1033 34 [8] F Browder (1966), "Existence and approximation of solution of nonlinear variational inequalities", Proc Nat Acad Sci., USA, 56(4), 1080–1086 [9] R Chen, Y Song (2000), "Convergence to common fixed point of nonexpansive semigroup", J Comput Appl Math., 200, 566–575 [10] V.K Ivanov (1962), "On linear ill-posed problems", Dolk Acad Nauk SSSR Math, 145 [11] M.M Lavret’ev (1967), Some improperly posed problems in mathematical physics, Springer, New York [12] I.P Ryazantseva (2002), "Regularization proximal algorithm for nonlinear equations of monotone type", Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 42(9), 1295–1303 [13] Ng.T.T Thuy, P.T Hieu, and J.J Strodiot (2017), "Explicit iterative methods for variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups in Banach spaces", Bull Malays Math Sci Soc (Online) [14] A.N Tikhonov (1963), "On the solution of ill-posed problems and the method of regularization", Dokl Akad Nauk SSSR, 151, 501– 504 (Russian) [15] S Reich (1973), "Asymptotic behavior of contractions in Banach spaces", J Math Anal Appl., 44(1), 57–70 [16] G Stampacchia (1964), "Formes bilinéaires coercitives sur les ensembles convexes", C R Acad Sci Paris, 258, 4413–4416 [17] W Takahashi, Y Ueda (1984), "On Reich’s strong convergence theorem for resolvents of accretive operators", J Math Anal Appl., 104, 546–553 [18] H.-K Xu (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators", J London Math Soc (2), 66(1), 240–256 35 [19] H.-K Xu (1991), "Inequalities in Banach spaces with applications", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 16(12), 1127–1138 ... khơng giãn nửa nhóm ánh xạ không giãn; tổng quan bất đẳng thức biến phân đơn điệu bất đẳn thức biến phân j-đơn điệu (2) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov giải bất đẳng thức biến phân. .. Đề tài luận văn trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu tập ràng buộc tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach Cụ thể: (1) Trình... phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov giải bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux Trình bày chứng