http://toanhocmuonmau.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HS KHÁ GIỎI LẦN 1 MÔN: TOÁN LỚP 11 – Khối B,D Câu ý NỘI DUNG A.. 1điểm -Theo dõi hình vẽ của học sinh..[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2012 – 2013 Môn: Toán 11 - Khối B, D Thời gian làm bài: 150phút A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x + 2(m + 1) x + 2m − m − (1), m − tham số Tìm tập xác định,xét biến thiên, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành Ox hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn: x1 − x2 = m + Câu II (2 điểm) Giải phương trình, hÖ phương trình sau x + y + = 1) cos2 x + (1 + cos x )( sin x − cos x ) = 2) 2 x − xy + y = Câu III (1 điểm) Số đo góc A, B,C tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số cộng Biết góc C lần góc A Tính số đo các góc tam giác đó Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD là đáy lớn) Gọi M, N là trung điểm các cạnnh SB và SC 1) Chứng minh : MN//(SAD) 2) Gọi E là điểm thuộc cạnh AD.Tìm giao điểm đường thẳng ME với (SAC) 1 Câu V (1 điểm) Cho hai số thực x > 0; y > và x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + x + xy y + xy B PHẦN DÀNH RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm phần phần Theo chương trình chuẩn Câu VI.A (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ∆ABC có trọng tâm G(-2;-1) và đường thẳng AB có phương trình x + y + 15 = ; đường thẳng AC có phương trình x + y + = a) Tìm tọa độ điểm A và trung điểm M BC b) Viết phương trình cạnh BC Một hộp đựng bi trắng, bi đỏ và bi xanh, chọn ngẫu nhiên từ hộp đó viên bi Tính xác suất để bi lấy có đủ màu n 2 CâuVII.A (1điểm) Trong khai triển x + với x ≠ 0, n ∈ N Tìm số hạng chứa x , biết tổng tất các hệ x số khai triển trên 19683 Theo chương trình nâng cao Câu VI.B (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x − y = và điểm M ( 2;1) Tìm phương trình đường thẳng (d’) cắt trục hoành Ox điểm A và cắt đường thẳng (d) điểm B cho tam giác AMB vuông cân M Cho tập A= {0,1, 2,3, 4,5, 6} Từ tập A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác mà chữ số đầu nhỏ n Câu VII.B (1 điểm) Tìm hệ số x31 khai triển x + với x ≠ 0, n ∈ N ,biết x Cnn + Cnn −1 + A 2n = 821 - HẾT Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:…………………… Chú ý: Học sinh không sử dụng tài liệu gì! Cán coi thi không giải thích gì thêm! http://toanhocmuonmau.tk (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HS KHÁ GIỎI LẦN MÔN: TOÁN LỚP 11 – Khối B,D Câu ý NỘI DUNG A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH I Với m = ⇒ y = x + x − và tìm TXĐ (0.25đ) (0.25đ) Bảng biến thiên đúng Tìm giao điểm đồ thị với các trục và vẽ đồ thị đúng (0.25đ) -Xét pt hoành độ giao điểm: x + 2(m + 1) x + 2m − m − = (2) Và tính ∆ = − m + 3m + (0.25đ) Pt (2) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ − m + 3m + > ⇔ −1 < m < (0.25đ) 13m m -Viết đúng hệ thức Viét và kết hợp với hệ thức đầu bài pt: − = (3) (0.25đ) -Gỉải pt (3) và kết hợp với −1 < m < ta giá trị cần tìm là: m = m = (0.25đ) 13 II pt ⇔ cos x − sin x + (1 + cos x)(sin x − cos x) = ⇔ ( cos x − sin x )( sin x − cos x − 1) = (0.25đ) Điểm điểm 1đ 1đ 2điểm tan x = cos x − sin x = ⇔ ⇔ sin x − π = sin x − cos x − = 4 π x = + kπ ⇔ (k ∈ Z ) x = π + k 2π ; x = π + k 2π (0.25đ) 1đ (0.25đ) Kết luận: (0.25đ) Đ/K: y ≥ (0.25đ) y = x Từ pt (2) ⇒ (0.25đ) y = 2x x ≤ 13 − 37 x+3 = 6− x ⇔ ⇔x= x − 13x + 33 = x ≤ Với y = x thay vào pt(1) ta pt: x + = − x ⇔ ⇔ x = (0.25) x − 14 x + 33 = Kết luận đúng .(0.25đ) Với y = x thay vào pt(1) ta pt : A = 200 d = A Theo gt ta có hệ pt: (0.5đ) ⇔ 0 3 A + 3d = 180 d = 40 Khi đó ta tìm số đo các góc là: 200 , 600 ,1000 (0.5đ) III IV điểm 1điểm -Theo dõi hình vẽ học sinh - Ta có MN là đường trung bình MN//BC mà BC//AD ⊂ (SAD) (0.25đ) Từ đó MN//(SAD) (0.25đ) http://toanhocmuonmau.tk (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn Xét (SBH) chứa ME, gọi O=BE ∩ AC ⇒ (SBE) ∩ (SAC)=SO Gọi O=BE ∩ AC (0.25đ) K ∈ SO ⊂ ( SAC ) ⇒ ⇒ K = ME ∩ ( SAC ) K ∈ ME (0.25đ) điểm V 1 + ≥ và dấu = xẩy a = b (0.25đ) a b a+b 4 = - Áp dụng ta có: P ≥ 2 x + xy + y + xy ( x + y ) -Chứng minh BĐT: a > 0, b > ta có mà x > 0, y > 0; x + y ≤ ⇒ ≥1 x+ y (0.25đ) x = y P ≥ Dấu xẩy và ⇔ x = y = (0.25đ) x + y = Vậy MinP = x = y = (0.25đ) điểm B PHẦN DÀNH RIÊNG I Theo chương trình chuẩn điêm VIA 4 x + y + 15 = x = −4 a) Tọa độ A là nghiệm hệ pt: ⇔ Vậy A(-4;1) (0.25đ) 2 x + y + = y =1 Gọi M(x;y), theo giả thiết ta có MA = 3MG ⇔ M ( −1; −2 ) (0.25đ) 1đ b) Vì AB có pt: x + y + 15 = ⇒ B ( x1 ; −4 x1 − 15) ; AC có pt: x + y + = ⇒ C − y2 − ; y2 (0.25đ) Vì M là trung điểm BC nên ta tìm B(-3;-3), C(1;-1) (0.25đ) Vậy pt BC là: x − y − = -Ta có n ( Ω ) = C123 = 330 (phần tử) (0.5đ) - Gọi A là biến cố mà viên bi lấy có đủ màu ⇒ n ( A ) = 5.4.3 = 60 (phần tử) (0.25đ) Vậy P ( A ) = 1đ 60 = (0.25đ) 330 11 điẻm VIIA Số hạng thứ k + là : Tk +1 = Cnk 2k x n −3 k ⇒ n ∑C k =0 k n 2k = (1 + ) = 3n (0.25đ) n Theo gt : = 19683 ⇔ n = (0.25đ) Từ đó: TK +1 = C9k 2k x18−3k Số hạng này chứa x ⇒ 18 − 3k = ⇒ k = (0.25đ) n Vậy hệ số x là C94 24 = 2016 II Theo chương trình nâng cao VIB A nằm trên trục Ox nên A(a;0), B nằm trên đường thẳng x-y nên B(b;b) M(2;1) ⇒ MA = ( a − 2; −1) , MB = ( b − 2; b − 1) (0.25đ) Tam giác ABM vuông cân M nên http://toanhocmuonmau.tk (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn ( a − )( b − ) − ( b − 1) = MA.MB = ⇔ (0.25đ) 2 MA = MB ( a − ) + = ( b − ) + ( b − 1) b −1 a − = b − Do b=2 không thỏa mãn nên ta có hệ pt (0.25đ) b − + = ( b − )2 + ( b − 1) b − a = b = Vậy pt (d’) là: x+y-2=0 3x+y-12=0 (0.25đ) ⇔ a = b = 1đ Gọi số cần thành lập thỏa mãn đầu bài là abcd d ∈ {0, 2, 4, 6} a ∈ {1, 2,3} Ta có VIIB (0.25đ) -TH1: d=2 ta có 2.5.4=40 (số) -TH2: d ≠ ta có 3.3.5.4=90( số) (0.25đ) (0.25đ) Đáp số: 40+90=130 số cần thành lập (0.25đ) Đ/k : n ≥ 2; n ∈ N n ( n − 1) = 821 (0.25đ) PT ⇔ + n + ⇔ n + n − 1640 = ⇔ n = 40 (0.25đ) Ta có số hạng thứ k + là Tk +1 = C40k x 40−3k ,theo đầu bài ⇒ k = (0.25đ) Đ/s: C40 = 9880 (0.25đ) L−u ý: Trên đây là h−ớng dẫn chấm.Tất cách giải khác, đúng thì đ−ợc cho ®iÓm tèi ®a http://toanhocmuonmau.tk 1đ 1đ (5)