Khi dùng cách "thử, chọn" chúng ta phải liệt kê dần dần các trường hợp có thể xảy ra trong bài toán rồi xét từng trường hợp một: nếu thấy không phù hợp thì loại, nếu thấy phù hợp thì chọ[r]
(1)(2) Các dạng toán giải TOÁN LỚP +5 PHẦN II GIẢI BÀI TOÁN BẰNG P.P THỬ, CHỌN Khi dùng cách "thử, chọn" chúng ta phải liệt kê các trường hợp có thể xảy bài toán xét trường hợp một: thấy không phù hợp thì loại, thấy phù hợp thì chọn lấy trường hợp đó Mẫu 1: Có bút chì gồm ba loại: màu đỏ, màu vàng, màu xanh Số bút màu đỏ nhiều số bút màu vàng, lại ít số bút màu xanh Hỏi loại có bút chì? Giải: Biểu thị số bút chì các đoạn thẳng: Vàng: Đỏ: Xanh: Ta thấy lần số bút chì màu vàng bé 7, đó số bút chì vàng có thể là (vì x3 = > 7) * Nếu số bút chì vàng là 2, số bút chì đỏ ít là thì số bút chì xanh ít là và tổng số bút chì ít là: + + = (bút) vượt quá (bút) Do đó số bút chì vàng không thể là * Nếu số bút chì vàng là 1, số bút chì đỏ là 2, 3, - Nếu số bút chì đỏ là trở lên thì số bút chì xanh từ trở lên và tổng số bút chì ít là: + + = (bút) vượt quá (bút) Do đó số bút chì đỏ là (không thể là 3), số bút màu xanh là: – – = (bút) Ta có: 1<2<4 và: + + = Vậy số bút vàng là 1, số bút đỏ là 2, số bút xanh là Mẫu 2: Cho số có chữ số, đó chữ số hàng trăm gấp dôi chữ số hàng chục Nếu lấy tích hai chữ số đó chia cho tổng chúng thì chữ số hàng đơn vị Hãy tìm số đã cho Giải: Ta thử tất các trường hợp và ghi vào bảng sau: Chữ số hàng chục Chữ số hàng trăm Tích Tổng Tích/Tổng Không có Chữ số hàng đơn vị Không có (3) Không có Không có 18 2 32 12 Không có Không có Các trường hợp tích không chia hết cho tổng, bị loại Trường hợp thứ ba tích chia cho tổng 2, đó chữ số hàng đơn vị là Vậy số đã cho là: 632 Mẫu 3: Bố nói với con: "10 năm trước đây tuổi bố gấp 10 lần tuổi con; 22 năm sau thì tuổi bố gấp đôi tuổi con" Hãy tính tuổi bố, tuổi Giải: Theo đầu bài: "10 năm trước đây tuổi bố gấp 10 lần tuổi con" nên 10 năm trước đây tuổi bố là số tròn chục Ta có khoảng thời gian từ 10 năm trước đây đến 22 năm sau này là 32 năm Ta thử và ghi kết vào bảng sau: Tuổi trước đây 10 năm Tuổi sau đây 22 năm So sánh Kết Bố Con Bố Con 20 52 34 52 < 34 x Loại 30 62 35 62 < 35 x Loại 40 72 36 72 = 36 x Được 50 82 37 82 > 37 x Loại Vậy tuổi bố là 50 (40 + 10 = 50) và tuổi là 14 (4 + 10 = 14) Mẫu 4: Một tòa nhà có tầng và tầng lầu gồm 31 phòng Số phòng tầng ít số phòng tầng trên, số phòng lầu gấp ba lần số phòng tầng Hỏi lầu có bao nhiêu phòng? Giải: Nếu gọi số phòng tầng là phần thì số phòng lầu là phần, đó số phòng tầng ít là: + + + +3 = (phần) Vì 31 : = (dư 3) nên số phòng tầng nhiều là phòng Ta thử: * Nếu tầng có phòng thì lầu có phòng Giữa và có số nên điều này không đúng với đầu bài (Vì tầng và lầu có tới tầng lầu) * Nếu tầng có phòng thì lầu có phòng Giữa và có số 3, 4, Ta có: + + + + = 20 (phòng) Điều này không đúng với đầu bài vì chưa đủ 31 phòng * Nếu tầng có phòng thì lầu có phòng Giữa và có số 4, 5, 6, 7, Vì 31 – (3 + 9) = 19 nên ta thấy có trường hợp là: + + = 19 và + + = 19 Vậy ta có: + + + + = 31 và + + + + = 31 (4) Trong trường hợp trên thì số phòng lầu là Vậy lầu có phòng Mẫu 5: Bài toán cổ: Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba bó Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, trâu nằm, trâu già? Giải: Giả sử số bó cỏ mà loại trâu ăn đếu tăng lên gấp ba Thế thì ta có bài toán: "Có 100 trâu và 300 bó cỏ Trâu đứng ăn mười lăm Trâu nằm ăn chín Lụ khụ trâu già Mỗi bó Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, trâu nằm, trâu già?" Ta kí hiệu số trâu đứng là Đ, số trâu nằm là N, số trâu già là G Thế thì tổng số bó cỏ mà loại trâu ăn là: Trâu đứng: Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Trâu nằm: N N N N N N N N N Trâu già: G 100 (con trâu) 300 (bó cỏ) Theo đầu bài ta có: Nhìn vào sơ đồ ta thấy: Vậy ta thấy: Hay: Đ + N + G = 100 (con trâu) Đ x 15 + N x + G = 300 (bó cỏ) Đ x 14 + N x = 300 – 100 = 200 Đ x + N x = 100 Đ x + Đ x + N x = 25 x Đ x = (24 – Đ – N ) x Suy (Đ x 3) chia hết cho 4, đó Đ chia hết cho Mặc khác từ (**) ta có: Đ x < 100 – = 96 => Đ < 14 (*) (**) Đ vừa chia hết cho vừa bé 14 nên Đ có thể là 4, 8, 12 Ta thử giá trị Đ vào (*) và (**) để tìm các giá trị tương ứng N và G, ghi kết vào bảng sau Trâu đứng Trâu nằm Trâu già Số Số cỏ Số Số cỏ Số Số cỏ 20 18 54 78 26 40 11 33 81 27 12 60 12 84 28 (5) Vậy bài toán có đáp số: số trâu đứng, số trâu nằm, số trâu già là: (4, 18, 78) (8, 11, 81) (12, 4, 84) BÀI TẬP: Cho số có hai chữ số, đó chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục Nếu lấy số đó trừ thì số có hai chữ số giống Hãy tìm số đã cho? Trong giải vô địch bóng đá trẻ toàn quốc; bảng B có đội thi đấu vòng tròn lượt, tính điểm Trong trận đấu: đội thắng điểm, đội thua điểm, còn hòa thì đội điểm Hãy tính xem đội bóng thắng trận, hòa trận, thua trận, nếu: a) Đội đó điểm b) Đội đó điểm c) Đội đó 11 điểm Tìm chữ số a biết: + aa + a + a + a = 1000 Đầu năm học cô giáo dự định xếp chỗ ngồi cho lớp em Cô định xếp bàn em, thì em không có chỗ ngồi; còn xếp bàn em thì còn trống bàn Hỏi: a) Trong lớp có bao nhiêu bàn? b) Số học sinh lớp là bao nhiêu? Một liên đội có 180 đội viên, chia thành các phân đội: phân đội có đội viên Biết số đội viên các phân đội có bạn nhiều các đội viên các phân đội có bạn, hỏi có bao nhiêu phân đội loại? Trong buổi lao động lớp 5A, cô giáo phân công nửa lớp làm vườn trường, nửa lớp dọn tủ sách Cuối buổi lao động, số học sinh biểu dương nhiều gấp lần số học sinh không biểu dương Hỏi số HS biểu dương lớp 5A là bao nhiêu, biết lớp 5A có từ 40 đến 50 học sinh Tìm số có ba chữ số bé 200 và chia hết cho 7; biết chia số đó cho 2, 3, thì các số dư là 1, 2, Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng là và tích chúng là 20 Tìm hai số tự nhiên biết hiệu chúng là 21 và tích chúng là 100 10 Tìm hai số tự nhiên biết tích chúng là 96 và tỉ số chúng là 11 Khi chia số có chữ số 2ab1 cho 13 ta thương là số có ba chữ số c2d ;trong đó các chữ a, b, c, d biểu thị các chữ số khác và c > Em hãy tính giá trị chữ a, b, c, d thử lại phép chia (6) 12 Thay dấu (?) và chữ x chữ số, đó các chữ x biểu thị cùng chữ số: (?? x ? + x) x x = 1977 13 Từ hai địa điểm A và B cách 396km có hai người cùng khởi hành cùng lúc xe máy và ngược chiều để gặp Khi người thứ 216km thì hai người gặp nhau, lúc đó họ đã hết số đúng hiệu số hai quãng đường mà hai người Hãy tính vận tốc người? 14 Tổng số tuổi bố, mẹ và hai là 87 Bố mẹ tuổi Người thứ gấp đôi số tuổi người thứ hai Số tuổi người thứ hai nhân với chính số đó thì số tuổi bố Hãy tính tuổi người gia đình này 15 BÀI LÀM: Chữ số hàng chục Chữ số hàng đơn vị Số có hai chữ số Số có hai chữ số trừ Kết 4 12 24 36 48 20 32 44 Sai Sai Sai Đúng Bảng trên là kết thống kê tất các trường hợp có thể xảy bài toán Vì x = 10 là số có hai chữ số nên ta có trường hợp Trong đó, ba trường hợp đầu bị loại vì cột không có các số có hai chữ số giống Riêng trường hợp cuối là vì 44 gồm hai chữ số giống Vậy đáp số là 48 Vì có đội, nên đội phải đấu trận a) Ta có = + + = + + + + có hai khả năng: - Với = + + + + thì đội đó thắng trận, hòa trận Vậy đội đó đấu tới trận (vô lý): loại - Với = + + thì đội đó thắng trận, hòa trận Khả này hợp lý – vì đó đội bị thua: – (2 + 1) = (trận), tổng số điểm đội là: + + + = (điểm) b) c) Đáp số: a/ thắng, hòa, thua b/ thắng, hòa c/ Không thể xảy Vì 777 + 77 + + + < 1000 nên a > Mặc khác a < 10 nên a có thể là Thử trường hợp: (7) - Nếu a = ta có: 888 + 88 + + + = 1000 (đúng) - Nếu a = ta có: 999 + 99 + + + > 1000 (loại) Vậy a = Cách 1: Giải: Vì xảy trường hợp trống bàn nên số bàn không thể là Ta bắt đầu thử từ: số bàn là Lúc đó: - Theo cách xếp bàn em thì số HS là : x + = 10 (HS) - Theo cách xếp bàn em thì số HS là : x (2 – 1) = (HS) Vì 10 HS khác HS nên trường hợp này bị loại Cứ ta thử với số bàn là 3, 4, 5, 6, và ghi kết vào bảng sau: Số bàn Số HS (nếu xếp em bàn) Số HS (nếu xếp em bàn) Nhận xét Kết 3 x + = 13 (HS) x (3 – 1) = (HS) 13 khác Loại x + = 16 (HS) x (4 – 1) = 12 (HS) 16 khác 12 Loại x + = 19 (HS) x (5 – 1) = 16 (HS) 19 khác 16 Loại x + = 22 (HS) x (6 – 1) = 20 (HS) 22 khác 20 Loại x + = 25 (HS) x (7 – 1) = 24 (HS) 25 khác 24 Loại x + = 28 (HS) x (8 – 1) = 28 (HS) 28 = 28 Chọn x + = 31 (HS) x (9 – 1) = 32 (HS) 31 khác 32 Loại Từ bảng trên ta thấy: - Chỉ có dòng thứ sáu là số HS xếp theo hai cách là giống - Cứ lần xuống dòng thì các cột "Số HS xếp em bàn" tăng đơn vị, còn "Số HS xếp em bàn" tăng đơn vị Cũng vì mà ngoài dòng thứ sáu ra, không còn xảy trường hợp nào mà kết hai cột này giống Cách 2: (giải sơ đồ đoạn thẳng) Số bàn: Số HS (nếu xếp em bàn): Số HS (nếu xếp em bàn): Theo sơ đồ trên thì: Số bàn là: + = (cái) 4 (8) Số HS là: x + = 28 (học sinh) [hoặc: x – = 28 (học sinh)] Đáp số: 28 học sinh Ta có: 180 : = 20, 180 : = 22 (dư 4) Vậy số phân đội có thể là 21 22 Lần lượt xét các trường hợp: a) Có 21 phân đội: Giả sử ta bớt bạn phân đội có bạn, thì tất các phân đội có bạn Vậy 21 phân đội có: 21 x = 168 (bạn) Nghĩa là ta đã bớt đi: 180 – 168 = 12 (bạn) Suy có 12 phân đội có bạn và đó số phân đội có bạn là: 21 – 12 = (phân đội) Vì x < x 12 - Nghĩa là số bạn số đội viên các phân đội có bạn ít các đội viên các phân đội có bạn (trái với đầu bài) Do đó trường hợp này bị loại b) Có 22 phân đội: (Lý luận tương tự ta được: 18 phân đội có bạn, phân đội có bạn.) Đáp số:18 phân đội có bạn phân đội có bạn Theo đầu bài thì số HS phải chia hết cho (vì + = 7) Từ 40 đến 50 có 42 và 49 chia hết cho nên số HS có thể 42 49 Song số HS lại là số chẵn (vì chia đôi được) nên số đó là 42 Vậy số HS không biểu dương là: 42 : = (bạn) Suy số biểu dương là: x = 36 (bạn) Đáp số: 36 bạn Số đó cộng thêm thì chia hết cho 2, 3, tức là chia hết cho 30 Các số có ba chữ số chia hết cho 30 và bé 200 là: 120, 150, 180 Vậy số phải tìm có thể là: 119, 149, 179 Trong ba số này có 119 là chia hết cho nên đó là số phải tìm Đáp số: 119 Vì 20 = x 20 = x 10 = x nên hai số đó có thể là: và 20; và 10; và Thử trường hợp: + 20 = 21 khác 9: Loại + 10 = 12 khác 9: Loại + = 9: Chọn Đáp số: và Đáp số: 25 và 10 Đáp số: 12 và 11 Theo đầu bài ta có: 2ab1 : 13 = c2d hay 2ab1 = c2d x 13 Hay c2d x 13 c2d 2ab1 * Vì hàng đơn vị tích là nên hàng đơn vị tích riêng thứ là (9) Suy ra: d = * Nhìn vào cột nghìn ta thấy c có thể là (Vậy tích riêng thứ có chữ số) - Nếu c = thì 127 x 13 = 1651 khác 2ab1 nên trường hợp này bị loại - Nếu c = thì 227 x 13 = 2951, so sánh với 2ab1 ta thấy a = 9, b = * Thử lại: 2951 : 13 = 227 (đúng) Đáp số: a = 9, b = 5, c = 2, d = 12 Nhận xét: Vì (? ? x ? + x) không thể là số có chữ số nên nó có thể là số có chữ số Đặt nó là *** , ta có: *** x x 1977 Vì chữ số tận cùng tích là nên x có thể là 1, 3, Song x không thể vì tích có tới bốn chữ số - Nếu x = ta có: *** = 1977 : không phải là số tự nhiên (loại) - Nếu x = ta có: *** = 1977 : không phải là số tự nhiên (loại) - Nếu x = ta có: *** = 1977 : = 659 hay: ? ? x ? + = 659 ? ? x ? = 656 – = 656 ? ? = 656 : ? Vì thương là số có hai chữ số nên số chia phải lớn Nhưng 656 không chia hết cho và cho nên số chia có thể là Ta có: 656 : = 82 Vậy ta có kết đúng sau: (82 x + 3) x = 1977 13 Cho đến gặp thì người thứ hai đã được: 396 – 216 = 180 (km) Hiệu hai quãng đường đã hai người là: 216 – 180 = 36 (km) Hiệu hai quãng đường này hiệu hai vận tốc nhân với số đã đi, tức là số đã nhân với chính nó Ta thử bảng sau: Số đã Hiệu hai vận km/giờ km/giờ tốc km/giờ km/giờ km/giờ km/giờ Tích 16 25 36 Kết luận Loại Loại Loại Loại Loại Được Ta thấy có cột cuối cùng thì tích là 36, nên hiệu hai vận tốc là km/giờ và họ đã Vậy vận tốc người thứ là: 216 : = 36 (km/giờ) Vậy vận tốc người thứ hai là: 180 : = 30 (km/giờ) (10) Đáp số: 36 km/giờ và 30 km/giờ 14 Vì số tuổi bố là tích hai số tự nhiên giống nên số đó có thể là các số 25, 36, 49, 64, 81, Tuổi bố Tuổi mẹ Tuổi (II) Tuổi (I) Thử Kết luận 25 22 10 25 + 22 + + 10 = 62 Loại (62 < 87) 36 33 12 36 + 33 + + 12 = 87 Chọn (87 = 87) 49 46 14 49 + 46 + + 14 = 116 Loại (116 > 87) Vì tuổi bố là 49 mà tổng số người đã là 116 > 87 nên ta không xét tiếp các trường hợp tuổi bố là 64, 81, Đáp số: Bố 36 tuổi, mẹ 33 tuổi Con lớn 12 tuổi, bé tuổi (11)