Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AB BC CA 3 AKM, BLK, CML bằng nhau.. Chứng minh ∆ABC đều..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC − ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TÌNH LỚP 10 Năm học 2006 − 2007 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: (6 điểm) Giải các phương trình sau: a) ( 8x + ) ( 4x + 3)( x + 1) = b) x = ( x + x − ) x − x + + x + + | y |= m Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm y + + | x |= m Bài 3: Cho a, b, c ∈ R Chứng minh: ( a + b + c + 1) ≤ ( a + b + c + 1) + 6ab Bài 4: Cho ∆ABC và K, L, M nằm trên các cạnh AB, BC, CA cho AK BL CM = = = Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AB BC CA AKM, BLK, CML Chứng minh ∆ABC x + y + z = Bài 5: Cho x, y, z ∈ R thoả mãn điều kiện 2 x + y + z = 3 Tìm GTLN, GTNN P = x + y + z3 (2) ĐÁP ÁN Bµi 1: a) Đặt 8x+7=y, phương trình đã cho trở thành y2 y −1 y +1 = 2 ±7 b) Phương trình đã cho tương đương với ⇔ y − y − 56 = ⇔ y = ±2 ⇒ x = x3 − − ( x − 1)( x − ) x − x + = ⇔ ( x − 1) x + x + − ( x + ) x + x + 1 = Ta cã: +) x − = ⇔ x = +) x + x + − ( x + ) x + x + = §Æt x + x + = y ®k:y >0 Phương trình trở thành: y2 + ( x + ) y + 2x = ⇔ y = 2, x = y *)Víi y = x ta cã: x=1 *) Víi y =2 ta cã: x = ± 13 Vậy nghiệm phương trình là: x = ± 13 ,x=1 Bài 2: ( 3điểm ) Đặt | y |= u ≥ 0,| x |= v ≥ Hệ đã cho trở thành: v + + u = m (1) u + + v = m ( ) Víi m < hÖ v« nghiÖm, ta chØ xÐt m ≥ LÊy (1) − ( ) ta cã: ⇔ v2 − u = ( v − u ) ( v2 + − u + = v − u ) v + + u + ⇔ v = u Khi đó ta có | x |=| y | |x| = |y| ( ) |x| = |y| Ta cã: ⇔ x + = m− | x | ( ) x + + | x |= m 2m x = m − x = m − Tõ ( ) ta cã: ⇔ 2m x ≤ m − x ≤m−2 m2 − Khi đó: ≤ ≤ m − ⇔ m ≥ VËy m ≥ th× hÖ cã nghiÖm 2m (3) Bài 3: ( điểm ) BĐT đã cho tương đương với ( a + b ) + c2 + − c ( a + b ) − ( a + b ) − c ≥ 2 ⇔ ( a + b + 1) + ( a + b − c ) + ( c − 1) ≥ BĐT này luôn đúng nên BĐT chứng minh Bài 4: (4 điểm) Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AKM, BLK, CML là R ta có: KL = 2RsinB, KM = 2RsinA, ML = 2RsinC Từ đó suy ∆ABC đồng dạng với ∆LMK Mặt khác ta có: SAKM = SBLK = SMCL = SABC ⇒ SKLM = SABC Nên tỉ số đồng dạng ∆ABC và ∆LMK là 2 Áp dụng định lí cosin cho ∆ABC là có a = b + c2 − 2bccosA (4)