Cho dãy với Chứng minh rằng các số hạng của dãy đều là số chính phương Ta có nhận xét 5,0 điểm.. Câu5 Như vậy là bình phương của các số hạng lẻ của dãy Fibonaccy Xét dãy số là dãy Fibona[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA Năm học 2012 – 2013 Môn : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Lớp : 12 BÀI THI THỨ NHẤT SBD : ………… PHÒNG: Thời gian làm bài : 180 phút …… ………… (Không kể thời gian phát đề) Câu 1:(5,0điểm) Cho hai số dương thỏa .Tìm giá trị nhỏ Câu 2: (5,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh Câu 3:(5,0điểm) Cho dãy số xác định sau: Xét tính đơn điệu dãy số và tính: Câu :(5,0điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh bằng1 nội tiếp đường tròn tâm O, điểm M trên cung nhỏ BC Đặt Chứng minh rằng: -Hết - (2) SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA Năm học 2012 – 2013 Môn : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Lớp : 12 BÀI THI THỨ HAI SBD : ………… PHÒNG Thời gian làm bài : 180 phút …… ………… (Không kể thời gian phát đề) Câu 5: (5,0 điểm) Cho dãy với Chứng minh các số hạng dãy là số chính phương (số chính phương là số bình phương số tự nhiên nào đó) Câu 6: (5,0 điểm) Trong buổi liên hoan có người tham dự Hỏi có bao nhiêu cách xếp người này cho người bắt tay với đúng ba người còn lại Câu 7: (5,0điểm) Giải hệ phương trình: Câu 8: (5,0điểm) Cho tứ diện ABCD có đường cao AH Mặt phẳng (P) chứa AH cắt ba cạnh BC, CD, BD M,N,P ; gọi là góc hợp AM; AN; AP với mặt phẳng (BCD) Chứng minh -Hết - (3) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2012 – 2013 MÔN TOÁN VÒNG A.ĐÁP ÁN Do dương thỏa ta đặt: Khi đó Đặt 5,0 điểm Câu1 Xét hàm số : Vậy hàm số giảm trên Vậy Giả sử Vì ta có ủ Vì 5,0 điểm Câu Vậy f(c) đồng biến trên Vậy dấu xãy tam giác (4) ặ Xét hàm số Xét hàm Vậy hàm số là hàm số tăng Vậy dãy số đã cho là dãy giảm Câu3 Ta có công thức lượng giác Lần lượt thay hàm số 5,0 điểm ta Nhân từ đẳng thức thứ hai với Cộng vế theo vế ta : là hàm tăng ta (5) Ta lại có : ậ A x B Áp dụng định lý Cosin cho hai tam giác MAB và MAC ta O Trừ hai vế ta được: C y M z Bình phương đẳng thức(*) ta có: Câu4 5,0 điểm Công vế theo vế ta Do thay (3); (4) vào (2) ta ậ Cho dãy với Chứng minh các số hạng dãy là số chính phương Ta có nhận xét 5,0 điểm Câu5 Như là bình phương các số hạng lẻ dãy Fibonaccy Xét dãy số là dãy Fibonaccy (6) Dãy Fibonaccy có tính chất sau Thật : Theo quy nạp ta (2) Ta chứng minh số hạng dãy là số chính phương Rỏ ràng Giả sử với Xét ụng ụng Vậy Hay các số hạng dãy là số chính phương Ta ô vuông có dòng và cột dòng và cột ta tương ứng với người thứ hai người bắt tay với ta đánh số hai người không bắt tay ta đánh số Đường chéo hình vuông ta đánh số … Vì người bắt tay với đúng ba người nên hàng hình vuông có đúng ba số vì có hàng Câu6 nên có 27 số 1 Mặt khác người thứ bắt tay với … người thứ thì người thứ bắt tay với người thứ nên các số 1 trên ô vuông đối xứng qua đường chéo số các số phải là số chẵn điều này mâu thuẩn với 27 là số lẻ Vậy không thể xếp người cho người bắt tay với đúng ba người còn lại Câu7 Hệ phương trình viết lại là : 5,0 điểm 5,0 điểm (7) Đặt hệ phương trình trở thành TH1: TH2: phương trình vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm là: Gọi a là độ dài cạnh tứ diện ABCD đó Đẳng thức cần chứng minh Tương đương với A K B D P M Câu N H I 5,0 điểm J C D B K M P N H I J C Xét tam giác BCD Từ H kẻ HI; HJ; HK vuông góc với BC; CD; BD Không tính tổng quát ta có thể giả sử M thuộc đoạn BI và gọi là ba góc hợp HM; HN; HP với ba cạnh BC; CD; BD (8) Ta có tam giác HMI và HNJ vuông Ivà J nên tứ giác HICJ nội tiếp Mặt khác tổng ba góc tam giác BMP nên Từ đó suy Vậy B HƯỚNG DẪN CHẤM + Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa + Điểm số có thể chia nhỏ đến 0,25 cho câu Tổng điểm toàn bài không làm tròn (9)