Qua ví dụ trên chúng ta thấy: hình vẽ thứ i của file Hinhve.mp được đặt trong dấu ngoặc của lệnh beginfigi, các lệnh vẽ hình được đưa vào sau đó và được phân cách bởi dấu ";".. Các nội d[r]
(1)VẼ HÌNH TRÊN LATEX VỚI METAPOST ThS Trần Lê Nam - ThS Phan Thị Hiệp Giới thiệu Trong trình biên dịch LATEX, chúng ta có thể vẽ các hình từ các phần mềm và chèn chúng vào file TEX Tuy nhiên, các ảnh chèn vào theo phương pháp này dạng bitmap Điều đó dẫn đến chất lượng in thấp, xuất file có dung lượng cao Hơn nữa, các phần mềm vẽ hình không cung cấp đủ các công cụ để vẽ các ảnh hình học Thêm vào đó, tính tương thích loại ảnh với loại file xuất LATEX là khác Chính vì các lý đó, cộng đồng người sử dụng TEX trên giới đã viết có gói lệnh, chương trình vẽ hình trực trên LATEX cho chất lượng ảnh cao như: gói pstricks, tikz, chương trình Metapost, Eukleides Trong số đó, chương trình biên dịch Metapost đánh giá cao thông thạo hình học Metapost là ngôn ngữ lập trình hình học phát minh John D Hobby, dựa trên hệ thống Metafont để tạo các fonts chữ đẹp sáng tạo Donald Knuth Nó là trình biên dịch xuất các file ảnh vector dạng file *.mps Chúng có thể đưa trực tiếp vào file TEX để dịch ảnh *.dvi hay *.pdf Trong bài báo, chúng tôi giới thiệu cách sử Metapost trên trình soạn thảo Winedt để vẽ các hình và đồ thị chương trình toán học phổ thông Các chức mở rộng và nâng cao Metapost chúng tôi giới thiệu vào thời gian tới Vẽ hình với Metapost 2.1 Ví dụ khởi đầu − Trên Winedt, chúng ta tạo file mới, đặt tên Hinhve.mp, nhập vào nội dung sau: prologues:=3; filenametemplate "%j_%c.mps"; beginfig(1); pair A, B, C; numeric u; u:=1cm; A:=(0,0); B:=(3u,0); C:=(u,2u); draw A B C cycle; label.lft(btex $A$ etex, A); label.rt(btex $B$ etex, B); label.top(btex $C$ etex, C); endfig; end; (2) Sau đó, chúng ta nhấp tổ hợp phím Ctrl+Shift+M hay biểu tượng để file Hinhve_1.mps trên Winedt − Tiếp theo, chúng ta tạo file TEX cùng thư mục với file Hinhve.mp, để chèn hình vừa vẽ Đặt tên nó là Vehinh.tex và nhập vào nội dung sau: \documentclass{minimal} \usepackage{graphicx} \begin{document} \includegraphics{Hinhve_1.mps} \end{document} Chạy file Vehinh.tex, chúng ta hình vẽ tam giác ABC (Hình 1) C Phân tích cấu trúc file Hinhve.mp, chúng ta thấy nó gồm phần chính B + Hai dòng đầu dùng để khai báo tạo kiểu file A *.mps Hình 1: Tam giác ABC + Các lệnh vẽ hình nằm hai lệnh \beginfig(1); và \endfig; + Lệnh end; kết thúc file Qua ví dụ trên chúng ta thấy: hình vẽ thứ i file Hinhve.mp đặt dấu ngoặc lệnh beginfig(i), các lệnh vẽ hình đưa vào sau đó và phân cách dấu ";" Các nội dung mục 2, chúng trình các kiểu liệu, lệnh vẽ hình và tùy chọn Metapost 2.2 Các kiểu liệu Metapos Metapost có kiểu liệu Trong số đó, chúng ta thường dùng các kiểu sau: - numeric: liệu đại lượng chiều dài, độ đo góc - pair: tọa độ điểm - path: các đường thẳng đường cong - transform: các phép biến hình 2.3 Khai báo điểm Metapost - Điểm A có tọa độ (x, y) mặt phẳng Euclid khai báo lệnh A=(x,y); - Điểm A có tọa độ (r, θ) hệ tọa độ cực khai báo lệnh A=r*dir(θ); - Để đặt tên cho điểm A, chúng ta dùng lệnh: label.vt("A",A); top Ở đó vt là vị trí nhãn A Nó nhận tám vị trí hình lft rt bên Chúng ta dùng lệnh dotlabel thay cho lệnh label để thêm bot dấu chấm vào điểm cần đặt tên ulft urt llft ulft √ Ví dụ: Khai báo điểm A(1, 2) trên mặt phẳng E2 và điểm B có mô-đun 2, góc 450 trên mặt phẳng cực Đặt tên hai điêm đó là A, B (3) beginfig(3); numeric u; u=1cm; pair A,B; A=(1,2)*u; B=2sqrt(2)*u*dir(45); draw A withpen pencircle scaled 4bp; draw B withpen pencircle scaled 4bp; dotlabel.ulft("A",A); dotlabel.urt("B",B); endfig; A B O √ Hình 2: A(1, 2), B(2 2, 450 ) 2.4 Vẽ đa giác - Để vẽ đa giác qua các đỉnh A, B, , F , chúng ta dùng lệnh draw A B C F cycle - Độ rộng nét vẽ xác đinh lệnh withpen pencircle scaled ?bp; - Để kẽ nét đức chúng ta dùng lệnh dashed evently * Lưu ý: Để xác định độ rộng toàn đường hình vẽ, chúng ta dùng lệnh: pickup pencircle scaled ?bp; Ví dụ: Vẽ hình chữ nhật và tứ diện beginfig(4); pair A[]; numeric u; u=1cm; pickup pencircle scaled 0.75bp; A0=(0,0);A1=(4u,0);A2=(4u,3u);A3=(0,3u); draw A0–A1–A2–A3–cycle; dotlabel.lft("A",A0); dotlabel.rt("B",A1); dotlabel.rt("C",A2); dotlabel.lft("D",A3); endfig; beginfig(5); pair A[]; numeric u; u=1cm; A0=(-2u,0);A1=(0,-2u);A2=(4u,0);A3=(u,4u); pickup pencircle scaled 0.5bp; draw A0–A1–A2–A3–A0; draw A3–A1; draw A0–A2 dashed evenly scaled 2; label.ulft("A",A0); label.lrt("B",A1); label.urt("C",A2); label.urt("D",A3); endfig; D C A B Hình 3: Hình chữ nhật D A C 2.5 Tâm tỉ cự điểm Cho trước hai điểm A, B, điểm C thỏa mãn −→ −→ đẳng thức AC = k AB, k 6= 0, xác định lệnh: C=k[A,B] B Hình 4: Tứ diện (4) Một điểm bất kì trên đường thẳng (AB) xác định lệnh whatever[A,B] Từ đó, giao điểm C hai đường thẳng (AB) và (EF ) xác định lệnh C=whatever[A,B]=whatever[E,F] Ví dụ: Vẽ trọng tâm tam giác beginfig(6); pair a, b, c, m, n, g; u:=1.2cm; a:=(u,2u); b:=(0,0); c:=(3u,0); m:=1/2[b,c]; n:=1/2[a,c]; g:=whatever [a,m] = whatever [b,n]; draw a–b–c–cycle; draw a–m;draw b–n; label.top(btex A etex, a); label.lft(btex B etex, b); label.rt(btex C etex, c); label.bot(btex M etex, m); label.urt(btex N etex, n); dotlabel.ulft(btex G etex, g); endfig; 2.6 Vẽ đường tròn A N G B C M Hình 5: Trong tâm tam giác Đường tròn tâm A đường kính 2r > vẽ lệnh: draw fullcircle scaled 2r shifted A Ví dụ: vẽ đường tròn tâm A(1, 2) bán kính AB với B(3, 4) beginfig(7); pair A,B; numeric u; u=1cm; A=(1cm,2cm); B=(3cm,4cm); draw fullcircle scaled 2abs(A-B) shifted A; dotlabel.top(btex A etex, A); dotlabel.urt(btex B etex, B); endfig; A -2 -1 -1 2.7 Đường phân giác góc −→ Hàm angle(A-B) cho góc trục Ox và véc-tơ AB [ Giả sử AM là tia phân giác góc BAC Chúng ta hãy tìm tọa độ điểm M theo tọa độ các điểm A, B, C Theo Hình 6, chúng ta có góc tọa véc-tơ −−→ M A 1/2 tổng hai góc angle(B-A) và angle(C-A) Do đó, tọa độ điểm M có dạng A + x.dir 21 (angle(B-A) + angle(C-A)) B -2 A B C Do đó, metapost, chúng ta xác định M [ điểm M nằm trên tia phân giác góc BAC lệnh: Hình 6: Đường phân giác góc M=A+whatever*dir(.5angle(B-A)+.5angle(C-A)); (5) 2.8 Phép biến hình trên mặt phẳng Trong Metapost, chúng ta có các phép biến hình trên mặt phẳng sau: (x; y) shifted (a; b) = (x + a; y + b); (x; y) rotated (θ): phép quay quanh gốc tọa độ, góc quay θ (x; y) rotatedaround ((a; b);θ) phép quay quanh điểm (a,b), góc quay θ (x; y) slanted a = (x + ay; y); (x; y) scaled a = (ax; ay): phép vị tự tâm O tỉ số a (x; y) xscaled a = (ax; y); (x; y) yscaled a = (x; ay); (x; y) zscaled (a; b) = (ax -by; bx + ay): Sử dụng các phép biến hình trên, chúng ta dựng hầu hết các hình phẳng và hình không gian thường găp Ví dụ: Vận dụng phép tịnh tiến và vị tự để dụng mặt cầu beginfig(9); numeric u; u=1.5cm; path d[]; pickup pencircle scaled 0.5bp; d0=fullcircle scaled 3u; d1=halfcircle scaled 0.85u; d1:=d1 xscaled 3/0.85; d2:=d1 yscaled -1; draw d0; draw d2; draw d1 dashed evenly; dotlabel.top(btex O etex,(0,0)); endfig; O Ví dụ: Sử dụng phép quay, tịnh tiến để dựng đường thẳng Euler beginfig(10); numeric u; pair A,B,C,H,O,I,Ap[],Bp[]; pickup pencircle scaled 0.5bp; u=1.5cm;A=(-2,0)*u;B=(2,0)*u;C=(-0.5,3)*u; Ap1=whatever[B,C] = whatever[A,(B-C) rotated 90 shifted A]; Ap2=whatever[B,A] =whatever[C,(B-A) rotated 90 shifted C]; H=whatever[A,Ap1]=whatever[C,Ap2]; Bp1=1/2[A,B];Bp2=1/2[B,C]; I=whatever[C,Bp1]=whatever[A,Bp2]; O=whatever[(A-B) rotated 90 +Bp1,Bp1] =whatever[(B-C) rotated 90 +Bp2,Bp2]; draw fullcircle scaled 2abs(O-A) shifted O; draw A–B–C–cycle; draw A–Ap1; draw C–Ap2; C A1 H A0 I O A C1 C B (6) draw C–Bp1;draw A–Bp2; draw H–I–O–H; draw O–Bp1; draw O–Bp2; dotlabel.ulft(btex H etex,H); dotlabel.urt(btex I etex,I); label.top(btex C etex,C); label.llft(btex A etex,A); label.lrt(btex B etex,B); label.urt(btex A1 etex,Ap1); label.bot(btex C1 etex,Ap2); label.bot(btex C etex,Bp1); dotlabel.rt(btex O etex,O); label.urt(btex A0 etex,Bp2); endfig; Ví dụ: Vẽ đường tròn nội tiếp và bàn tiếp tam giác I C O A B beginfig(11); numeric u; pair A,B,C,D,E,O,I,Ap[],Bp[]; u=1cm; pickup pencircle scaled 0.5bp; A=(-2,0)*u;B=(2.5,0)*u;C=(-0.5,3)*u;D=2.2[A,B];E=3[A,C]; Bp1=whatever[A,B]=whatever*dir(0.5angle(A-C)+0.5angle(B-C))+C; Bp2=whatever[A,C]=whatever*dir(0.5angle(A-B)+0.5angle(C-B))+B; O=whatever[C,Bp1]=whatever[B,Bp2]; I=whatever[(C-O) rotated 90 +C,C]=whatever[(B-O) rotated 90 +B,B]; Ap1=whatever[A,B]=whatever[(A-B) rotated 90+O,O]; Ap2=whatever[A,B]=whatever[(A-B) rotated 90+I,I]; draw A B C cycle;draw B D;draw C E; draw C O;draw B O; draw C I; draw B I; draw fullcircle scaled 2abs(O-Ap1) shifted O; draw fullcircle scaled 2abs(I-Ap2) shifted I; dotlabel.urt(btex $I$ etex,I); dotlabel.ulft(btex $O$ etex,O); label.ulft(btex $C$ etex,C); label.llft(btex $A$ etex,A); label.lrt(btex $B$ etex,B); endfig; 2.9 Vòng lập xác định Vòng lập xác định for có cấu trúc: (7) for i=gt_ban_dau step gt_tang until gt_cuoi: Hệ lệnh; endfor; Thay vì dùng step until, chúng ta có thể dùng upto Tương tự, downto thay cho step -1 until Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 với x ∈ (−2, 2) y = x2 beginfig(12); numeric u,i; path p; u=1cm; p=(-2,(-2)*(-2))*u for i=-2+0.1 step 0.1 until 2.1: (i,i*i)*u endfor; for i=-3 upto 3: label.bot(decimal(i), (i,0)*u); draw (i,-0.05)*u–(i,0.05)*u; endfor; -3 -2 for i=1 upto 4: label.rt(decimal(i), (0,i)*u); draw (-0.05,i)*u–(0.05,i)*u; endfor; drawarrow (-3.5u,0)–(3.5u,0);drawarrow(0,-u)–(0,4.5u); draw p withpen pencircle scaled 1bp; endfig; -1 2.10 Xây dựng đường cong đóng Lệnh buildcycle(p1 , p2 , , pm ) tạo đường cong đóng từ các đường pi Sau tạo đường cong đóng, chúng ta dùng lệnh fill duong_cong withcolor mau; để tô màu miền nó Ví dụ: Minh họa diện tích hình phẳng beginfig(13); numeric xmin, xmax, ymin, ymax; xmin := 1/2; xmax := 6; ymax := 2/xmin; u := 1cm; xinc := 0.1; path pts_f; pts_f := (xmin,2/xmin)*u for x=xmin+xinc step xinc until xmax: (x,2/x)*u endfor; path hline[], vline[]; hline0 = (-0.5,0)*u – (xmax+0.5,0)*u; vline0 = (0,-0.5)*u – (0,ymax+0.5)*u; vline0.5 = (0.75,0)*u – (0.75,ymax)*u; vline4 = (4,0)*u – (4,ymax)*u; y f (x) x (8) fill buildcycle(hline0, vline0.5, pts_f, vline4) withcolor blue; drawarrow hline0; drawarrow vline0; draw (0.75,0)*u – vline0.5 intersectionpoint pts_f draw (4,0)*u – vline4 intersectionpoint pts_f draw pts_f withpen pencircle scaled 1bp; label.bot(btex x etex, (xmax,0)*u); label.lft(btex y etex, (0,ymax)*u); label.urt(btex f (x) etex, (2,1)*u); endfig; Trong ví dụ trên, lệnh intersectionpoint dùng để xác định giao điểm hai đường cong 2.11 Xén hình Lệnh clip p to q; dùng để cắta hình p theo đường cong q và giữ lại phần miền q Ví dụ: Vẽ thiết diện tứ diện beginfig(14); pair A[],B[]; numeric u,i; path p,c;u=1cm; D A0=(-2u,0);A1=(0,-2u);A2=(4u,0);A3=(u,4u); B0=1/2[A0,A2];B1=1/2[A2,A1];B2=1/2[A2,A3]; p=B0–B1–B2–cycle; R c:=-500*dir(15)–500*dir(15); for i=0 upto 25: draw c shifted (0,5*i); draw c shifted (0,-5*i); A P C endfor; clip currentpicture to p; pickup pencircle scaled 0.75bp; Q draw A0–A1–A2–A3–A0; draw A3–A1; draw A0–A2 dashed evenly scaled shifted (10,0); B draw B2–B0–B1 dashed evenly scaled 1; draw B1–B2; dotlabel.ulft("A",A0); dotlabel.lrt("B",A1); dotlabel.urt("C",A2); dotlabel.urt("D",A3); dotlabel.ulft("P",B0); dotlabel.lrt("Q",B1); dotlabel.urt("R",B2); endfig; Ví dụ: Vẽ hình cánh quạt beginfig(2); path p[],a,q; numeric u; u=1cm; pickup pencircle scaled 0.5; p0=halfcircle scaled 6u; p1=halfcircle scaled 1u shifted (-2.5u,0); p2=halfcircle scaled 1u shifted (2.5u,0); p3=halfcircle scaled 4u yscaled -1; q=buildcycle(reverse(p1),reverse(p3),reverse(p2),p0); a=-6u*dir(30)–6u*dir(30); for i=-30 upto 22: (9) draw a shifted (i*u/5,0); endfor; clip currentpicture to q; draw q withpen pencircle scaled 1bp; endfig; Kết luận TÀI LIỆU THAM KHẢO John D Hobby, A user’s manual for MetaPost, AT&T Bell Laboratories Computing Science Technical Report 162, 1992 André Heck, Learning MetaPost by doing, AMSTEL Institute, Universiteit van Amsterdam, 2005 (10)