MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.[r]
(1)I t×m nguyªn hµm b»ng ®n vµ tc 1/ Tìm nguyên hàm các hàm số f(x) = x – 3x + f(x) = f(x) = f(x) = x 2 x 3x − + ln x +C ĐS F(x) = 3 2x − +C ĐS F(x) = x ĐS F(x) = lnx + +C x x +3 x2 x −1 x x3 2x C x ĐS.F(X)= x −1 ¿2 ¿ ¿ ¿ 3 f(x) = √ x+ √ x + √ x ĐS F(x) = −3 √x √ x √ x −1 ¿2 ¿ f(x) = ¿ ¿ x −1 f(x) = √x x f(x) = sin f(x) = x2 x3 x4 + + +C ĐS F(x) = √ x −3 √ x +C ĐS F(x) = x − √ x+ ln x+C ĐS F(x) = x − x +C ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = 12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13 f(x) = 2 sin x cos x cos x 14 f(x) = sin2 x cos2 x 15 f(x) = sin3x 16 f(x) = 2sin3xcos2x 17 f(x) = ex(ex – 1) e− x ¿ 18 f(x) = e (2 + cos x x 1 x+ sin x+C ĐS F(x) = tanx - cotx + C ĐS F(x) = - cotx – tanx + C ĐS F(x) = − cos x −cos x +C 2x x e − e +C ĐS F(x) = ĐS F(x) = − cos x +C ĐS F(x) = 2ex + tanx + C 2a x x + +C ln a ln 3 x+1 e +C 19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = 20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = 2/ Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + và f(1) = ĐS f(x) = x2 + x + 2 f’(x) = – x và f(2) = 7/3 f’(x) = √ x − x và f(4) = f’(x) = x - + và f(1) = 2 x f’(x) = 4x3 – 3x2 + và f(-1) = ĐS f(x) = 2x − x +1 ĐS f(x) = ĐS f(x) = x √ x x 40 − − 3 x + +2x− x ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + (2) f '( x) ax+ b , f '(1) 0, f (1) 4, f ( 1) 2 x2 ĐS f(x) = x2 + + x II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I = ∫ f [u(x)] u' (x) dx cách Đặt t = u(x) ⇒dt=u ' (x )dx I= ∫ f [u( x)] u' ( x)dx=∫ f (t) dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm các hàm số sau: ∫ (5 x −1)dx x +1 ¿7 xdx ¿ ∫¿ ∫ x dx √5+ x −2 x ¿ ¿ ¿ dx ¿ ∫¿ x 3+5 ¿ x2 dx ¿ ∫¿ 1+ √ x ¿2 ¿ √x ¿ 10 dx ¿ ∫¿ ∫ √ −2 x dx 11 ∫ lnx x dx sin x 14 18 ∫ cos x ∫ tan xdx ∫ 19 e tan x dx cos2 x ∫ √ 1− x dx 13 17 ∫ sin x 21 ∫ e xdx √e − 22 25 ∫ x √1 − x dx 26 29 ∫ cos x sin2 xdx dx x ∫ 30 x ∫ x2 +5 dx 12 ∫ x e x +1 dx cot xdx 15 dx 23 dx ∫ √2 x − ∫ √ x 2+1 xdx ∫ cos x dx ∫ sin x cos xdx 16 tan xdx cos2 x ∫ e√x 20 24 ∫ √ x dx ∫ dx √ − x2 dx ∫ 1+ x2 ∫ x √ x −1 dx 27 31 x dx √1 − x dx ∫ e x +1 ∫ dx ∫ x2 + x +1 28 32 ∫ x √ x +1 dx Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I Hay ∫ u( x ) v ' ( x)dx=u( x ) v (x )−∫ v (x) u' ( x)dx ∫ udv=uv −∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm các hàm số sau: ∫ x sin xdx ∫ x cos xdx ∫ ( x2 +5)sin xdx ∫ ( x +2 x+ 3) cos xdx ∫ x sin2 xdx ∫ x e x dx ∫ x cos xdx ∫ ln xdx (3) ∫ x ln xdx 13 ∫ cos x dx ∫ e x cos xdx ∫ x lg xdx x 17 21 10 ∫ ln2 x dx 14 ∫ xtg2 xdx ∫ x e x dx 22 15 18 ln xdx ∫ √x 11 23 ∫ x ln (1+ x) dx 16 ∫ sin √ x dx ∫ x ln (1+ x 2)dx ln(1+ x) ∫ x dx 19 ∫ e √ x dx 12 20 24 ∫ ln( x 2+1) dx ∫ x xdx ∫ x cos xdx TÍCH PHÂN I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: ∫( x x 1)dx e x )dx x ∫(e x 1)dx 10 x.dx ∫ x2 -1 ∫( x 13 1).dx 14 1 cos3 x.dx ∫ sin x 23 e2 15 x x ) dx 19 2 ∫( x x x x )dx ∫( 12 7x x dx x 16 21 x 1)( x x 1)dx ( x 1)dx ∫ 4x 8x −1 ∫ (2 x − x − 23 )dx 25 x 1)dx dx x2 x ∫ ex e x dx ∫ e x e x ∫ (2 x 2+ x+1) dx 24 x 1)( x cosx.dx ∫ sin x ∫( ∫ ∫ x 1dx tan x dx cos2 x ∫ 18 ∫( x 11 17 x ∫(3sin x 2cosx x )dx 1 ∫(e ∫x dx ∫(2sin x 3cosx x)dx 1 ( x x )dx ∫ x x ∫ x ( x − 3)dx 26 −2 ∫ ( x −4 )dx 27 ∫ 28 −3 ( x1 + x1 ) dx 29 x +5 −7 x dx 32 ∫ √ x 1 30 e ∫ √ x dx √e x dx ∫ x −2 x 16 31 33 ∫ ( 4x− ∫ dxx e 3 √ x2 ) dx II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: ∫sin 2 xcos xdx ∫sin x 1dx 10 xcos xdx ∫ 4sin xcosxdx ∫x ∫cot xdx ∫ x x 1 sin x ∫1 3cosx dx dx 11 ∫x 0 1 ∫x x 1dx ∫x ∫tan xdx x dx x dx ∫sinx.cosx.(1+cosx) dx 12 (4) 13 2012 ∫x( x 1) dx 17 14 ∫e sin x cosxdx ∫e 18 25 22 23 ∫x x dx ∫x x 1dx 26 ∫ 1 ln x dx x e2 33 sin x dx ∫ cosx e 29 19 ln x dx ∫ x ln x e ∫ x 1 dx 2 16 ∫e x2 2 xdx ∫sin 20 ∫x x ∫ 24 e sin(ln x) dx ∫ x 30 ∫ 31 35 x 1 e dx ∫x 28 x dx e e 2ln x 1 dx ∫ 32 x 3ln x ln x dx x x dx 2x 1 ∫ xcos xdx x 1dx 3 ∫ 4sin xcosxdx dx 27 x dx ∫ x 1 34 x ∫(1 3x ) 1 x sin xdx 2 ∫sin xcos xdx 21 cosx 15 1 dx ∫ x x ∫x 36 x 1dx 37 ∫ dx x 1 x 38 x dx ∫ 39 1 dx x ∫ 42 x dx ∫ 41 45 ∫ x 1 x dx ∫ (2x 1)3 46 2x dx ∫ x 4x sin 2x dx ∫ cos2 x ∫ x dx 2x 50 x3 dx ∫ x 2x x 1 dx x ∫cos x+3 ∫ e − x dx dx ∫x xdx 48 ∫x 6 ∫(sin x cos x)dx 51 4x 11 dx 5x 49 52 4sin3 x dx ∫ cos x 53 cos x −sin x (¿)dx π 55 44 47 x cos xdx −1 43 ∫e 2xdx 54 40 ∫ sin π 56 2x dx ∫ cos 1+ 2sin x ∫¿ π 57 ∫ sin x dx cos x +1 ∫ −1 x dx ∫ cos 5− sin x 58 59 ∫ −2 x +2 dx x +2 x − 60 dx x2 +2 x+5 61 π ∫cos x sin xdx 62 ∫cos xdx 63 ∫x x dx 64 ∫sin 2x(1 sin x)3dx (5) 65 dx ∫ cos4 x e 66 1 ln x dx x dx ∫ cos x 67 69 70 cos x dx ∫ 5sin x sin x e ln x dx ∫ x 68 2+sin x ¿2 ¿ ¿ sin x ¿ ∫x (1 x ) dx ∫ π π 71 72 x+ sin x dx ∫ sin√1+3 cos x ∫¿ π cos x dx ∫ sin1+2 xcos x 73 π 74 ∫ (e 2sin x dx ∫ 1− 1+ sin x 75 +cos x)cos xdx 77 ∫ x2 ∫ √1+3 lnx x ln x dx 76 1 π e sin x dx ∫x 78 dx x 1 79 2 dx ∫ cos x sin x 81 ∫x 80 ∫ x2 x dx 82 x2 ∫ dx 1+ √ 1+3 x 86 ∫ dx 83 x3 1 ∫x 85 dx x2 1 x2 1 x4 dx ∫ 1 x6 dx 87 ∫x 84 b Công thức tích phân phần : a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv sin ax f ( x ) cosax dx ∫ e ax u f ( x) sin ax dv cos ax dx e ax Đặt ∫f ( x) ln(ax)dx @ Dạng 2: Đặt u ln(ax) dv f ( x )dx @ Dạng 3: ∫e ax dx du x v f ( x )dx ∫ sin ax dx cosax √3 88 b ∫u( x)v'(x)dx u( x)v( x) a ∫v( x)u '( x)dx @ Dạng −1 x dx II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b ∫ dx x +2 x+2 du f '( x )dx sin ax v ∫ cosax dx e ax a ∫ dx √5 x √ x +4 (6) Ví dụ 1: tính các tích phân sau ∫x ln xdx ∫x tan ∫x ln( x 1 ln x dx x5 ∫ x e x dx 12 x xe dx ∫ x)dx e x cos xdx 10 ∫ 11 π 13 ∫ ( x −1)cos xdx ∫ln( x π 2 ∫ 1)dx ( x ) ln xdx ∫ x xdx 2 e ∫x ln xdx ∫( x cosx) s inxdx e e 14 ∫ (2− x)sin xdx 0 π ∫ x sin xdx e 15 e 16 ∫ x ln xdx 17 ∫ (1− x ) ln x dx 18 ∫ x ln x dx 1 ∫ x ln (3+ x 2) dx 19 π π ∫ (x +1) e x 20 dx 21 ∫ x cos x dx 22 ∫ x cos x dx 0 π ∫ ( x2 +2 x) sin x dx 23 ∫x cos xdx 24 27 x sin xdx 25 ∫x sin x cos xdx ∫e 2 28 ∫x(2 cos x 1)dx ∫sin xdx 26 1 29 x sin x dx x ∫ cos ∫ ( x −2)e2 x dx ∫xtg xdx 30 0 III TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π ∫ sin2 x cos xdx π π ∫ sin2 x cos xdx ∫ sin x cos5 x dx 0 π ∫ (sin3 x +cos 3) dx π dx ∫ π sin x π x dx ∫ cos 2− cos x π dx ∫ sin x +cos x +1 10 π ∫ dx 2− cos x π x dx ∫ sin 2+sin x π dx ∫ 2+sin x 11 π x dx ∫ cos 1+ cos x π sin3 x ∫ 1+ cos2 x dx 12 (7) cot xdx ∫ tan xdx ∫ 13 14 π tan xdx ∫ ∫|cos x|√ sin x dx 15 16 IV.BT TỔNG HỢP 2 ∫ 2 x x dx ∫ 0 x sin x dx cos2x+7 ∫ sin x s inx dx 1+3cosx sinx+sin x dx cos2x ∫ ∫ e e ( x 1) ln x dx x ∫ 1 ln x ( ) dx x ∫ xe x e x dx xe x ∫ x x dx ∫ 13 x dx 1 x ∫ 2 10 ∫ 1 x dx x ∫ 1 x 17 x e x dx ∫ 14 dx 2x 1 4x ∫ 18 (1 t anx) e2 x dx ∫ 21 e x 1 ln xdx x 16 x e3 ln x dx x ln x ∫ 23 e2 x ln x C e 2x x x (TP KD 2011) I= cos3 x sinx.cos5 xdx ∫ dx cos x(tan x tan x 5) ∫ (TP KB 2011) I= Kq I=12/91 e x dx x ln 3 Kq I=1/2 dx ∫ 1 e 24 ∫ Kq I= x e ( x e ) dx xe 2e C ∫ ( PCT KD 2012) I= Kq I= ( PCT KA_B 2012) I= 1 V.ĐỀ THI THỬ ĐH TRƯỜNG PCT-TP dx 2x e 1 ∫ ∫ (e 1) 20 ∫ 19 cos(lnx)dx sinx dx cos x x2 ln xdx x ln e ∫ 22 x ∫ 15 dx ∫ 1 e 12 e2 dx ∫ 11 x sin xdx x cot x dx sin x ln x (8) sinx.cos3 xdx ∫1 cos x 5.(TP KA 2010) I= (sin x x )cos ( x ∫ 6.(TP KA 2012) I= e 7.(TP KA 2012) (1 x.ln x)e x dx x ∫ e2 47 Kq I= 16 60 e Kq e x 1 ln xdx x 4e3 20 Kq ∫ 8.(TP KA 2012) )dx (1 t anx) e2 x dx ∫ 9.(HSG 2008- 2009) dx ∫(1 x ) x 10.(TP KB 2010) 2 e3 ln x dx x ln x ∫ 11.( TP KA 2009) 2x 1 dx x( x 1) 15 KB_2012 Kq 64 388 Kq 35 12.(PCT KA 2010) ∫ 1 dx x x ∫ 13.KB -2011 Kq e 14.KA-2012 / x I ∫ dx x 3x2 ln( x 1) I ∫ dx x2 16.KD-2012 I ∫x(1 sin 2x)dx “CẦN CÙ BÙ THÔNG MINH” 76 Kq (9)