De chon HSG truong nam 20122013

Nhà trường cần thành lập một đoàn đại biểu 6 học sinh gồm một trưởng đoàn và năm thành viên đi tham dự đại hội văn nghệ cấp tỉnh, sao cho 2 học sinh nữ không đồng thời cùng có mặt.. Hỏi [r]

TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài 150 phút) 2x - x +1 Câu I (4 điểm): Cho hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi I là tâm đối xứng đồ thị (C) Tìm các giá trị m để đường thẳng D : y = 2x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB Câu II (4 điểm): Giải phương trình sinx + cosx = (1+ tanx)cos2x + tanx Giải bất phương trình x2 + + x3 +1 > x2 - x +1 + x +1 Câu III (2 điểm): Cho phương trình y= 2 2 9x -x+m + 9x +m = 3x -x+m + 3x +x+m Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình có nghiệm Câu IV (4 điểm): Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không cùng nằm mặt phẳng có AB = a , AD = AF = DF = 2a Tính thể tích tứ diện FABD Tính khoảng cách AC và BF Câu V (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm M nằm trên cạnh CD cho MD = CD, AM cắt BD N Tìm tọa -3 ( ; ) (-2;1) độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD biết M , N 4 và điểm D nằm trên trục hoành có hoành độ dương Câu VI (2 điểm): Đội văn nghệ trường THPT có 10 học sinh gồm học sinh nam và học sinh nữ Nhà trường cần thành lập đoàn đại biểu học sinh gồm trưởng đoàn và năm thành viên tham dự đại hội văn nghệ cấp tỉnh, cho học sinh nữ không đồng thời cùng có mặt Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 + + =1 x y z Câu VII (2 điểm): Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức xy yz zx + + 3 y + z z + x3 A = x +y HẾT TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu ý Nội Dung I Điểm 2điể m y x -8 -6 -4 O -2 -2 -4 -6 -8 2điể m 2x  2 x  m -Hoành độ giao điểm  và (C) là nghiệm pt: x   f ( x) 2 x  mx  m  0   x  m  4      f ( 1) 0  m   (*) -  cắt (C) hai điểm phân biệt AB.d ( I ,  ) 3  AB.d ( I ,  ) 6 -Diện tích tam giác IAB: S = Gọi A( ( x1 ; x1  m) , B ( x2 ; x2  m) với x1 ; x2 là hai nghiệm pt f(x) = 5( m2  8m  16) AB = m  d ( I , )  I(-1;2) Ta có 0,50 0,50 0,50 2 m  8m  16 m  12   (m  4)  32  (m  4) 144  ( m  4) 36  (m  4)  32(m  4)  144 0    ( m  4)  4(loai) 0,50 II  m 10   m  tmđk(*) sin x  cosx (1  t anx)cos2 x  t anx 2điể m  cos x 0  x   m ; m   Đk: Pt đã cho  s inx.cos x  cos x (s inx  cos x)cos2 x  s inx  s inx cos x  cos x (s inx  cos x)(2cos x  1)  s inx  s inx cos x  cos x 2s inx cos x  2cos x cos x  cos x  cos x 0(loai)   s inx  cos x 2sin x cos x  cos x   s inx  cos x sin x  cos2 x    sin( x  ) sin(2 x  ) 4 x  k    ,k   x   k 2   k 2 x  trên đường tròn lượng giác và kết hợp với điều kiện, Biểu diễn nghiệm pt có các nghiện là  5 x k 2 ; x   k 2 ; x   k 2 6 với k   x2   x3 1  x2  x 1  x  Đặt a  x  x  1, b  x  1, a 0, b 0 2 Ta có a  b x  2 0,50 0,50 0,50 0,50 2điể m 0,50 bpt đã cho trở thành a  b  2ab  2a  2b  (a  b)(a  b  2)   a  b   (vì a + b > 0) x  x 1  x 1   x   x3 1    x  0 x  2  x       x3 1   x       2  x  2   2  x 0    x 0   x ( x  x  4)   0,50  0,50 0,50   2  x 0 III 9x  x m  9x x Đặt a 3 2 m  x m 3x  x m , b 3x  3x  x m  x m  ab 9 x m Khi đó pt trở thành a  ab a  b  ( a  b)( a  1) 0  a 1  3x  x m 1  x  x  m 0 2điể m 0,50 0,50 0,50  0   4m 0  m  IV Để pt có nghiệm và AD = AF = DF = 2a, AB = a 0,50 2điể m F E N A H B M D C  Gọi H là trung điểm AD suy FH AD vì tam giác FAD Mà AB  (ADF) suy FH  AB Nên FH  (ABCD) 1 a3 a 2a.a  Thể tích FABD: V = FH.dt(ABD) = 0,50 0,50 1.00 2điể m -AC cắt BH M a a 2 Ta có AM = AC = , HM = HB = suy AM  HM  AH Tam giác AMH vuông M -Suy AC  (BFH) -Gọi N là hình chiếu M trên BF suy MN là đường vuông góc chung BF và AC -Ta có NBM đồng dạng HBF 2a a NM BM HF BM a    MN   HF BF BF a Vây d  BF , AC   a MN = 0,50 0,50 0,50 0,50 V 2điể m 3 ( ; ) MD = CD, M ( 2;1) , N 4 A B I N D M E C -Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD và E là trung điểm MC 1  MN  IE , IE  AM 2 Ta có IE // AM Suy ra MA 4 MN , BD 4 DN  MA 4 MN  A(3; 4)   -Gọi D(x;0) với x > suy AD.MD 0  x  x  0  x 2 x = -1 (loại) D(2;0)   DC  -  3DM  C ( 10;3) - DB 4 DN  B (  9;7) Vậy A(3; 4), B( 9;7), C ( 10;3), D(2;0) VI 0,50 0,50 0,50 0,50 2điể m TH1: Có hs nữ + Chọn hs nữ làm trưởng đoàn có C2 cách chọn Và chọn hs nam hs nam có C8 cách chọn C1 C Có = 112 cách + Chọn hs nam làm trưởng đoàn có cách chọn Chọn hs nữ có C2 cách chọn 0,50 0,50 C Và chọn hs nam hs nam còn lại có cách chọn C C Có = 560 cách TH2: Không có hs nữ Chọn hs nam làm trưởng đoàn có cách chọn Và chọn hs nam hs nam còn lại có C7 cách chọn Có C7 = 168 cách Vậy có 112 + 560 + 168 = 840 cách VII 3 2 Ta có x  y ( x  y )( x  xy  y ) ( x  y ) xy , suy 0,50 0,50 2điể m 0,50 0,50  A 1   x y yz zx 1   Mặt khác ta luôn có x y x  y , suy 1 1 1 1 1 1 1  (  ) (  ) (  )  (   )  x y z A x y y z z x Max A = và x = y = z = 0,50 0,50