Nếu mômen chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với một tâm một trục cố định luôn luôn bằng không thì mômen động lượng của cơ hệ đối với tâm trục đó bảo toàn.. dt Như vậy mômen [r]
(1)PHẦN 3: ĐỘNG LỰC HỌC MỞ ĐẦU - Tĩnh học nghiên cứu các quy luật cân vật rắn tác dụng lực còn động học nghiên cứu chuyển động chuyển động vật thể mặt hình học Động lực học là phần tổng quát lý thuyết nghiên cứu chuyển động học vật thể tác dụng lực - Động lực học nghiên cứu chuyển động các vật thể cách toàn diện nhằm thiết lập các mối quan hệ có tính quy luật hai loại đại lượng: đại lượng đặc trưng cho tác dụng lực và đại lượng đặc trưng cho chuyển động vật thể - Động lực học xây dựng trên hệ tiên đề Gagilê và Niutơn đưa ra, thường gọi là hệ tiên đề Niutơn hay các định luật Niutơn CHƯƠNG 10: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN – HỆ TIÊN ĐỀ ĐL HỌC I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Vật thể , chất điểm và hệ Trong lý thuyết vật thể mô hình hai dạng : Chất điểm và hệ (hệ chất điểm) a, Chất điểm: Là điểm hình học mang khối lượng Vật chuyển động tịnh tiến có thể xem là chất điểm, vật không chuyển động tịnh tiến kích thước nó không đóng vai trò quan trọng bài toán khảo sát có thể xem là chất điểm b, Cơ hệ: Là tập hợp các chất điểm (hữu hạn vô hạn) chuyển động phụ thuộc lẫn Chuyển động chất điểm phụ thuộc vào chuyển động các chất điểm còn lại Vật rắn tuyệt đối là trường hợp đặc biệt hệ Các chất điểm thuộc hệ này luôn có khoảng cách không đổi Lực và phân loại lực a, Khái niệm lực: Khái niệm lực đã đề cập phần tĩnh học Như đã biết lực có các đặc trưng là: điểm đặt, đường tác dụng, cường độ Lực biểu diễn vectơ lực Trong tĩnh học các lực là hằng, động lực học các lực nói chung là đại lượng biến đổi cường độ và hướng Lực biến đổi có thể phụ thuộc vào thời gian (lực kéo đầu máy), vào vị trí (lực đàn hồi lò xo, lực hấp dẫn), vào vận tốc (lực cản môi trường) r r r ur Trong trường hợp tổng quát thì biểu thức lực có dạng: F = F t, r, V (10.1) ( ) b, Phân loại lực: Các lực tác dụng lên hệ phân thành nội lực và ngoại lực: re - Ngoại lực: Ký hiệu là F là các lực chất điểm hay vật không thuộc hệ tác dụng vào hệ ri - Nội lực: Ký hiệu là F là lực tương hỗ các chất điểm hay các vật thuộc hệ Một lực có thể coi là nội lực hay ngoại lực tùy thuộc việc chọn hệ khảo sát Ví dụ xét hệ gồm tàu và trái đất thì trọng lực là nội lực, xét riêng tàu thì trọng lực lại là ngoại lực Với hệ không tự (chịu liên kết ) thì các lực tác dụng lên hệ còn phân thành lực hoạt động và lực liên kết : ur - Lực liên kết: Ký hiệu là N là các lực các vật gây liên kết tác dụng vào hệ (phản lực lên kết) - Lực hoạt động: Ký hiệu là F là các lực tác dụng lên hệ mà không phải là lực liên kết (2) Hệ quy chiếu quán tính Muốn khảo sát chuyển động các vật thể, trước hết người ta phải chọn hệ quy chiếu Hệ quy chiếu mà đó các tiên đề Niutơn nghiệm đúng người ta gọi là hệ quy chiếu quán tính Trong thực tế tùy bài toán người ta chọn gần đúng các hệ quy chiếu quán tính khác Trong thiên văn hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu có gốc tâm mặt trời và có ba trục hướng đến ba ngôi cố định Trong kỹ thuật ảnh hưởng quay trái đất nhỏ nên thường chọn hệ quy chiếu gắn liền với trái đất Ta xét các vật chuyển động hệ quy chiếu quán tính II HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC Tiên đề – Định luật quán tính Chất điểm không chịu tác dụng lực nào đứng yên chuyển động thẳng Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng gọi là chuyển động theo quán tính Như không có lực tác dụng lên chất điểm (chất điểm cô lập) thì nó chuyển ur uur động theo quán tính với V = const , đó W = Tiên đề – Định luật động lực học ur Dưới tác dụng lực, chất điểm chuyển động với gia tốc cùng hướng V uur với hướng lực và có độ lớn tỷ lệ với độ lớn lực M r uur W r F Tiên đề này biểu thị hệ thức: F = m.W (10.2) Trong hệ thức trên m là khối lượng chất điểm Tiên đề này cho ta thấy, lực là nguyên nhân làm xuất gia tốc và cho ta mối liên hệ định lượng lực, gia tốc và khối lượng Do (10.2) gọi là phương trình động lực học r uur ur Trong học cổ điển thì m=const, F = ⇒ W = ⇒ V = const Trong trường hợp vật rơi tự ta có P = mg (g là gia tốc trọng trường) (10.3) Tiên đề – Định luật tác dụng và phản tác dụng Các lực tác dụng tương hỗ hai chất điểm có cùng đường tác dụng, ngược chiều và có cùng cường độ Cần lưu ý hai lực tác dụng tương hỗ không phải là cặp lực cân vì nó không cùng điểm đặt Tiên đề này không liên quan đến các yếu tố động học nên nó đúng với hệ quy chiếu Tiên đề cho ta mở rộng khảo sát động lực học hệ Theo tiên đề này hệ nội lực gồm các cặp lực trực đó vectơ chính và mômen chính hệ nội lực với ur i ri uur i uur r i điểm triệt tiêu: R = ∑ FK = và M = ∑ m O FK = (10.4) ( ) Tiên đề – Định luật độc lập tác dụng lực Dưới tác dụng đồng thời số lực, chất điểm có gia tốc tổng hình học các gia tốc mà chất điểm có lực tác dụng riêng biệt uur r r r Giả sử chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng các lực F1 , F2 , , F n Gọi W là uur r gia tốc chất điểm các lực tác dụng đồng thời và W i là gia tốc chất điểm Fi tác uur uur uur uur dụng độc lập Ta có: W=W1 + W2 + + W n (10.5) uur uur uur uur r r r Từ (10.5) ⇒ m.W=m.W1 + m.W2 + + m.Wn = F1 + F2 + + Fn uur n r Hay m.W=∑ FK (10.6) K =1 Đẳng thức (10.6) là Phương trình động lực học chất điểm tác dụng hệ lực (3) III HỆ ĐƠN VỊ CƠ HỌC VÀ HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỘNG LỰC HỌC Hệ đơn vị học Ở nước ta đã ban hành bảng đơn vị đo lường hợp pháp, xây dựng trên sở hệ đơn vị quốc tế SI Theo bảng đơn vị này các đại lượng học là: độ dài, khối lượng và thời gian Các đơn vị tương ứng là mét (m), kilôgam (kg) và giây (s) Lực là đơn vị dẫn xuất, để tìm đơn vị đại lượng dẫn xuất ta dùng phương trình F = m.W Với m=1kg, W=1m/s2 thì F=1 kg.1m/s2 =1kg.m/s2, nó gọi là Niutơn, ký hiệu là N Như Niutơn là lực gây cho vật cho vật có khối lượng 1kg gia tốc là 1m/s2 Đơn vị các đại lượng khác xác định nhờ mối quan hệ nó với các đơn vị Hai bài toán động lực học Động lực học nhằm giải hai bài toán sau: - Bài toán thuận: Cho biết chuyển động vật thể, tìm lực tác dụng gây chuyển động đó - Bài toán nghịch: Cho biết các lực tác dụng lên vật thể và các điều kiện ban đầu, xác định chuyển động vật thể CHƯƠNG 11: PT VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG VÀ CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỘNG LỰC HỌC I PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM Xét chất điểm có khối lượng m, chuyển động tự hệ quy chiếu quán tính r r r r Oxyz tác dụng hệ lực F ≡( F1 , F2 , , Fn ) Nếu chất điểm không tự thì ta giải phóng các liên kết và thay các phản lực liên kết tương ứng Dạng vectơ uur r Theo (6.3) ta có W=r&& , (10.2) viết dạng vectơ là r r ∑ F = m.r&& (11.1) Dạng tọa độ Đêcác Wx = && x Theo (6.7) ta có Wy = && y Wz = &&z ∑ FKx = m.&& x (11.2) Thay vào (10.2) và chiếu lên ba trục tọa độ ta được: ∑ FKy = m.&& y z ∑ FKz = m.&& Khi chất điểm chuyển động mặt phẳng dọc theo đường thẳng thì số phương trình còn lại hai Dạng tọa độ tự nhiên ∑ FKτ = m.W τ Chiếu (10.2) lên các trục tọa độ tự nhiên ta được: ∑ FKn = m.W n F = m.W b ∑ Kb (4) ∑ FKτ = m.v& = m.s&& v2 τ n b Thay các giá trị W , W , W từ (6.10) vào ta được: ∑ FKn = m ρ ∑ FKb = (11.3) II HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐIỂM Bài toán thứ – Bài toán thuận Bài toán này cho biết chuyển động vật thể và khối lượng vật, ta cần tìm lực tác dụng gây chuyển động đó Để giải bài toán này ta dùng phương trình động lực học Giả sử chuyển động chất điểm cho các phương trình: x = x (t) , y = y(t) ,z = z(t) Đạo hàm hai lần ta && x, && y, && z , thay vào (11.2) ta tìm lực tác Z dụng a, Ví dụ 1: Người ta kéo vật nặng có trọng lượng P lên nhanh dần với gia tốc W Hãy xác định sức căng dây Bài giải: Coi vật nặng là chất điểm Các lực tác dụng lên vật ur ur ur nặng gồm trọng lực P và sức căng dây T Viết phương trình T uur W động lực học (10.2) cho vật nặng ta có: uur ur ur ur P uur ur ur m.W = P + T ⇔ W = P + T P g W P P Chiếu hai vế lên trục z ta được: W = T − P ⇒ T = P + W = P + g g g − Nếu vật lên nhanh dần hay xuống chậm dần thì W>0 ⇒ T = P (1 + W g ) − Nếu vật lên chậm dần hay xuống nhanh dần thì W<0 ⇒ T = P (1 − W g ) − Nếu vật đứng yên hay chuyển động thẳng thì W=0 ⇒ T = P b, Ví dụ 2: Tìm áp lực ôtô lên cầu đỉnh A Biết ôtô có trọng lượng P, chuyển động với vận tốc V, bán kính cong cầu A là R Bài giải: Coi ôtô chất điểm Các lực tác dụng lên ôtô bao gồm: ur ur P - Trọng lực xe, hướng vào tâm quỹ ur r N đạo theo phương pháp tuyến R F ur N - Phản lực cầu tác dụng vào ôtô, A hướng ngoài quỹ đạo theo phương pháp tuyến r ur F Lực kéo ôtô P ur R - Lực rcản ur Hai lực F và R ngược chiều và hướng theo phương tiếp tuyến quỹ đạo uur ur ur ur r Viết phương trình động lực học (10.2) cho ôtô ta có: m.W = P + N + R + F Chiếu lên phương pháp tuyến quỹ đạo ta được: P V2 m.W n = P − N ⇒ N = P − m.W n = P − g ρ Thay ρ = R vào ta được: N = P − P V2 V2 = P 1 − Như áp lực ôtô lên cầu phụ g R g.R thuộc vận tốc chuyển động xe (5) Bài toán thứ hai – Bài toán ngược Bài toán này cho biết các lực tác dụng lên chất điểm và các điều kiện ban đầu, ta cần xác định chuyển động chất điểm Để giải bài toán này ta dùng phương trình động lực học, sau đó tích phân lên để tìm phương trình chuyển động Kết hợp với các điều kiện ban đầu để tìm các số tích phân a, Ví dụ 1: Một cầu khối lượng m rơi tự không vận tốc đầu từ điểm O tác dụng trọng lực Xác định chuyển động cầu O Bài giải: Khảo sát chuyển động cầu Các điều kiện ban đầu: t = thì z = và V = Viết phương trình động lực học cho cầu ta có: uur P uur ur P P = m.W = W Chiếu lên phương trục z ta có: P = W hay W = g P g g dV = g ⇒ dV = g.dt ⇒ V = g.t + C1 (1) ⇔ W= dt Z dz g.t Mặt khác V = ⇒ dz = V.dt = ( g.t + C1 ) dt ⇒ z = + C1.t + C2 (2) dt Tại t = thì V = thay vào (1) ta có C1 = , Tại t = thì z = thay vào (2) ta có C2 = g.t với vận tốc là V = g.t ur b, Ví dụ 2: Một viên đạn bắn lên với vận tốc đầu V hợp với phương ngang góc α Bỏ qua sức cản không khí tìm Z chuyển động viên đạn ur Bài giải: Chọn hệ trục Oxz hình M V ur ur vẽ Tại thời điểm t = , ta có V0 Η P α x ( ) = , z ( ) = , x& ( ) = Vx = V0 cosα , X O L z& ( ) = Vz = V0 sin α Vậy chuyển động cầu là: z = ur Lực tác dụng lên viên đạn có trọng lực P Viết phương trình động lực học cho viên đạn ta được: && = Px = m.x x=0 && ⇔ (a) && &&z = −g m.z = − Py = −P = − m.g Tích phân hai vế hệ phương trình (a) ta được: x& = C1 (1); x = C1 t + C2 (2); z& = −g.t + C3 (3); t2 + C3 t + C4 (4) Thay các điều kiện đầu vào ta tìm được: C1 = V0 cosα ; C2 = ; C3 = V0 sin α ; C4 = Thay vào ta tìm chuyển động viên đạn là: x = ( V0 cosα ) t t2 z= − g + ( V0 sin α ) t g Khử tham số t ta được: z = − x + x.tgα , quỹ đạo viên đạn là parabol 2V02 cos2 α qua gốc tọa độ Tầm cao và tầm xa viên đạn xác định theo các công thức sau: z = −g (6) H= V02 sin α V2 ; L = sin 2α 2.g g III PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ Khảo sát hệ gồm n chất điểm, tùy theo cách phân loại lực tác dụng lên hệ ta có các dạng khác PTVP chuyển động hệ phân thành nội lực và ngoại lực ri re Gọi hợp lực các nội lực và ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ K là FK và FK uur ri re Phương trình động lực học tác dụng lên chất điểm thứ K là: m K W K = FK + FK Tương tự lập phương trình động lực học cho các chất điểm khác ta có hệ phương trình vi phân chuyển động hệ sau: uur r r m W1 = F1i + F1e uur r r m W = Fi2 + Fe2 (11.4) ri re uur m n W n = Fn + Fn PTVP chuyển động hệ phân thành lực hoạt động và lực liên kết Gọi hợp lực các lực hoạt động và lực liên kết tác dụng lên chất điểm thứ K là FK ur và N K Phương trình động lực học tác dụng lên chất điểm thứ K là: uur r a ur m K W K = FK + N K Tương tự lập phương trình động lực học cho các chất điểm khác ta có hệ phương trình vi phân chuyển động hệ sau: uur r ur m W1 = F1a + N1 uur r ur m W = Fa2 + N 2 (11.5) r a ur uur m n W n = Fn + N n (7) CHƯƠNG 12: HÌNH HỌC KHỐI LƯỢNG I KHỐI TÂM CỦA CƠ HỆ Xét hệ chất điểm M1 , M , , M n có khối lượng tương ứng là m1 , m , , m n , có các r r r vectơ định vị tương ứng là r1 , r2 , , rn Khối tâm hệ là điểm hình học C r r ∑ m K rK xác định theo công thức: rC = (12.1) M r Trong đó rC là vectơ định vị khối tâm hệ, M = ∑ m K là khối lượng hệ Z Chiếu (12.1) lên các trục tọa độ ta được: Mr1 m x r2 M ∑ K K x C = r M rC M r1 rC n mK yK ∑ = y (12.2) r C M rn Y O ∑ mK z K z C = M X Với x C , y C , z C là tọa độ điểm C, x K , y K , z K là tọa độ chất điểm thứ K Nếu hệ gần mặt đất thì khối tâm hệ trùng với trọng tâm nó Nhân tử và mẫu (12.1) (12.2) với gia tốc trọng trường g ta nhận các công thức trọng tâm hệ Khối tâm hệ luôn tồn còn trọng tâm thì tồn hệ gần mặt đất II MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN Mômen quán tính vật trục a, Định nghĩa: Mômen quán tính vật rắn trục z (ký hiệu là J z ) là đại lượng vô hướng, xác định theo công thức: Z J z = ∑ m K d 2K (12.3) z dk Trong công thức trên m K là khối lượng chất điểm MK M K , d K là khoảng cách từ chất điểm M K đến trục z r Gọi x K , y K , z K là tọa độ chất điểm M K Ta dễ rK J x = ∑ m K (y K2 + z K2 ) Y y O dàng chứng minh được: J y = ∑ m K (x 2K + z 2K ) J = m (x + y ) x K z ∑ K K X (12.4) Mômen quán tính vật điểm a, Định nghĩa: Mômen quán tính vật rắn điểm O, ký hiệu là J O đại lượng vô hướng, xác định theo công thức: J O = ∑ m K rK2 (12.5) (8) Trong công thức trên m K là khối lượng chất điểm M K , rK là khoảng cách từ chất điểm M K đến điểm O Mối liên hệ mômen quán tính vật điểm và trục Ta có J x + J y + J z = ∑ m K (2x K2 + 2yK2 + 2z K2 ) = 2∑ m K (x K2 + y K2 + z K2 ) = 2∑ m K rK2 = 2J O Hay là: J O = ( Jx + Jy + Jz ) (12.6) III MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT ĐỒNG CHẤT Đối với mỏng đồng chất Xét mỏng AB có khối lượng M và chiều dài L y Chia làm nhiều phần tử dọc theo chiều dài Xét B phần từ cách trục Ay là x K , có độ dài là ∆x K Khối A x ∆X k M Xk lượng nó là m K = γ.∆x K , với γ = là khối lượng l đơn vị chiều dài Mômen quán tính với trục Ay là: J Ay = ∑ m K x K2 =∑ γ∆x K x K2 Chuyển tổng l này qua giới hạn ta nhận được: J Ay = ∫ γ.x dx = γ.l3 M.l (12.7) = 3 Đối với vòng tròn, vỏ trụ tròn đồng chất Xét vòng tròn vỏ trụ tròn đồng chất có khối lượng M và bán kính R Chia vòng tròn vỏ trụ tròn làm nhiều phần tử nhỏ Xét phần tử thứ K có khối lượng nó là m K Mômen quán tính vòng tròn vỏ trụ tròn với trục z qua tâm và vuông góc với mặt phẳng nó là: J z = ∑ m K R =M.R (12.8) Chú ý J O = J z = Y X ur R 1 M.R J + J + J ⇒ J = J = J = ( x y z) x y z 2 (12.9) Đối với tròn, khối trụ tròn đồng chất Xét tròn khối trụ tròn đồng chất có khối lượng M và bán kính R Chia tròn khối trụ tròn làm nhiều vành tròn nhỏ Xét vành tròn thứ K có bán kính rK , bề dày vành tròn là ∆rK M Khối lượng vành tròn là m k = γ.2π.rk ∆rk , với γ = là khối π.R lượng đơn vị diện tích Mômen quán tính tròn khối trụ tròn với trục z qua tâm và vuông góc với mặt phẳng nó là: J z = ∑ γ.2π.rk ∆rk rK2 = 2π.γ ∑ rK3 ∆rk (12.10) Chuyển tổng này qua giới hạn ta nhận được: R R M.R J z = 2π.γ ∫ r dr = 2π.γ = (12.11) Y r rk X (9) Chú ý J O = J z = M.R Jx + J y + Jz ) ⇒ Jx = J y = Jz = ( 2 (12.12) Zk ∆Zk Đối với khối cầu đồng chất Z Xét khối cầu đồng chất có khối lượng M và bán kính R Chia khối cầu làm nhiều tròn mỏng song song r với mặt phẳng Oxy Xét tròn thứ K có bán kính rK , bề rk dày tròn ∆z K Khối lượng tròn là ur M 3.M R m k = γ.π.rK ∆z k , với γ = = là khối lượng V 4π.R Y đơn vị thể tích O Mômen quán tính tròn với trục z là: m r γ.π.rK2 ∆z k rK2 ∆J z = K K = 2 X 1 = γ.π.rK4 ∆z k = γ.π ( R − z 2K ) ∆z k 2 Mômen quán tính khối cầu với trục z là tổng mômen quán tính các tròn với trục đó, ta có: J z = ∑ ∆J z = ∑ γ.π ( R − z K2 ) ∆z k R Chuyển tổng qua giới hạn ta được: J z = ∫ γ.π ( R − z K2 ) dz = γ.π.R = MR 2 15 −R (12.13) Vì tính đối xứng nên ta có : J x = J y = J z = MR 3 Mặc khác J O = ( J x + J y + J z ) nên J O = MR = MR (12.14) 25 IV MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT ĐỐI VỚI CÁC TRỤC SONG SONG Định lý: Mômen quán tính vật với trục z1 nào đó tổng mômen quán tính nó trục z song song z1 qua khối tâm vật và tích khối lượng vật với bình Z Z1 phương khoảng cách hai trục ấy: J z1 = J Cz + M.d (12.15) B r r Chứng minh: Dựng hệ quy chiếu Cxyz có α k Mk Cz song song z1 , trục z1 nằm mặt phẳng d Cxz Theo định nghĩa ta có: J z1 = ∑ m K r1K ; r r1k Y yk J zC = ∑ m K rK2 C A Xét tam giác ABMK ta có: xk r1K = rK2 + d − 2.d.rK cosα mà rK cosα = x K ⇒ r1K = rK2 + d − 2.d.x K thay vào ta có: J z1 = ∑ m K r1K = ∑ m K ( rK2 + d − 2.d.x K ) ⇒ J z1 = ∑ m K rK2 + ∑ m K d − 2.d ∑ m K x K (*) X (10) Theo công thức (12.2) ta có: ∑ mK x K = M.x C = (vì x C =0) Vậy (*) trở thành: J z1 = ∑ m K rK2 + ∑ m K d = J zC + M.d (ĐPCM) Nhận xét: Trong các trục có cùng phương thì mômen quán tính trục qua khối tâm có giá trị bé V MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT ĐỐI VỚI CÁC TRỤC CẮT NHAU TẠI MỘT ĐIỂM Định lý: Mômen quán tính vật trục ∆ qua gốc tọa độ với các góc phương là α, β, γ có biểu thức xác định là: J ∆ = J x cos2 α + J y cos2β + J z cos2 γ − 2.J xy cosα.cosβ − 2.J yz cosβ.cosγ − 2.J zx cosγ.cosα (12.16) 2 J x = ∑ m K (y K + z K ) J yz = ∑ m K y K z K 2 Trong đó J y = ∑ m K (x K + z K ) ; và J zx = ∑ m K z K x K ta được: J = m (x + y ) J = m x y K xy ∑ K K K z ∑ K K Các đại lượng J yz , J zx , J xy gọi là mômen tích quán tính (còn có tên là mômen quán tính ly tâm) Từ (12.6) ta có thể tính mômen quán tính trục biết sáu đại lượng trên VI CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH VÀ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM Định nghĩa trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm TrụcOz gọi là trục quán tính chính O thỏa mãn điều kiện: J zx = J zy = (12.17) TrụcOz gọi là trục quán tính chính trung tâm nó là trục quán tính chính và qua khối tâm vật rắn Mômen quán tính vật trục quán tính chính gọi là mômen quán tính chính, và trục quán tính chính trung tâm gọi là mômen quán tính chính trung tâm Chú ý: Người ta đã chứng minh : Tại điểm vật có ba trục quán tính chính vuông góc với Các định lý a, Định lý 1: Trục quán tính chính vật rắn điểm O, không qua khối tâm vật thì nó là trục quán tính chính vật điểm O Z Chứng minh: Giả sử Oz là trục quán tính chính vật O Ta chứng minh nó không phải là trục quán tính chính vật điểm O1 nào đó Ta lấy O1 Mk trên Oz và cách O là d Gắn vào O, O1 các hệ trục tọa độ hình vẽ Vì Oz là trục quán tính chính vật Y’ O’ rắn O nên J zx = J zy = y′k x′k X’ Ta có: J z′x′ = ∑ m K z′K x ′K = ∑ m K ( z K − d ) x K Y J z′x′ = ∑ m K ( z K − d ) x K = ∑ m K z K x K − d ∑ m K x K O xk J z′x′ = J zx − M.x C d = −M.x C d X y k 10 (11) Vì Oz không qua khối tâm C nên x C ≠ , J z′x ′ ≠ Rõ ràng trục Oz không phải là trục quán tính chính vật rắn O1 b, Định lý 2: Trục quán tính chính trung tâm vật là trục quán tính chính điểm trên trục Chứng minh: Ta thấy Oz là trục trục quán tính chính trung tâm thì nó qua khối tâm C, tức là x C = Vậy J z′x ′ = , tương tự ta chứng minh J z′y′ = Rõ ràng trục Oz là trục quán tính chính điểm thuộc Oz c, Định lý 3: Nếu vật rắn đồng chất có trục đối xứng thì trục đó là trục quán tính chính trung tâm Chứng minh: Gọi trục đối xứng vật rắn là z thì khối tâm vạt phải nằm trên trục này Nếu vật có phần tử M K có khối lượng m K , có tọa độ ( x K , y K , z K ) thì tương ứng có phần tử M′K đối xứng với M K qua trục z M′K có khối lượng m K , có tọa độ ( − x K , − yK , z K ) Ta có : J yz = ∑ m K y K z K + ∑ m K ( − yK ) z K = ∑ m K y K z K − ∑ m K y K z K = J zx = ∑ m K z K x K + ∑ m K z K ( − x K ) = ∑ m K z K x K − ∑ m K z K x K = Do đó z là trục quán tính chính, mặc khác z qua khối tâm C nên z là trục quán tính chính trung tâm vật rắn d, Định lý 4: Nếu vật rắn đồng chất có mặt phẳng đối xứng thì trục vuông góc với mặt phẳng đó là trục quán tính chính giao điểm mặt phẳng đối xứng và trục Chứng minh: Chọn trục Ox, Oy thuộc mặt phẳng đối xứng Nếu vật có phần tử M K có khối lượng m K , có tọa độ ( x K , y K , z K ) thì tương ứng có phần tử M′K đối xứng với M K qua mặt phẳng Oxy M′K có khối lượng m K , có tọa độ ( x K , y K , − z K ) Ta có : J yz = ∑ m K y K z K + ∑ m K y K ( − z K ) = ∑ m K yK z K − ∑ m K y K z K = J zx = ∑ m K z K x K + ∑ m K ( −z K ).x K = ∑ m K z K x K − ∑ m K z K x K = Do đó Oz là trục quán tính chính vật rắn Chú ý khối tâm C vật rắn nằm trên mặt phẳng đối xứng, trục vuông góc với mặt phẳng đối xứng khối tâm C là trục quán tính chính trung tâm 11 (12) CHƯƠNG 13: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC I ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM CƠ HỆ Định lý chuyển động khối tâm hệ Khối tâm hệ chuyển động chất điểm có khối lượng khối lượng hệ và chịu tác dụng lực có vectơ lực vectơ chính hệ ngoại lực tác dụng lên hệ: uur re MW C = ∑ FK (13.1) Chứng minh: uur r r m W1 = F1e + F1i uur r r m W = Fe2 + Fi2 Xét hệ có n chất điểm, hệ phương trình vi phân nó là: re ri uur m n W n = Fn + Fn uur re ri Cộng vế các phương trình hệ ta được: ∑ m K W K = ∑ FK + ∑ FK ri uur re Ta thấy ∑ FK = nên ∑ m K W K = ∑ FK (*) r r Mặc khác từ (12.1) ta có rC M = ∑ m K rK uur uur r r Lấy đạo hàm hai lần đẳng thức này ta được: &&rC M = ∑ m K r&&K ⇔ W C M = ∑ m K W K , uur re thay vào (*) ta MW C = ∑ FK Định lý đã chứng minh e Mx && C = ∑ FKx e &&C = ∑ FKy Chiếu (13.1) lên các trục tọa độ ta được: My Mz&& = Fe C ∑ Kz (13.2) Đây là phương trình vi phân chuyển động khối tâm dạng hình chiếu Định luật bảo toàn khối tâm hệ Nếu vectơ chính các ngoại lực tác dụng lên hệ không thì khối tâm hệ đứng yên chuyển động thẳng re uur ur Chứng minh: Từ (13.1) ta thấy ∑ FK = thì W C = ⇒ V C = cosnt Vậy ur ur ban đầu V C = thì khối tâm hệ đứng yên, còn V C = V0 thì khối tâm hệ chuyển động thẳng với vectơ V0 Hoàn toàn tương tự với (13.2) ta có định luật sau: Nếu hình chiếu vectơ chính các ngoại lực lên trục nào đó luôn luôn không thì hình chiếu khối tâm hệ trên trục đó đứng yên chuyển động thẳng Định luật này gọi là “Định luật bảo toàn chuyển động hình chiếu khối tâm hệ” II ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG Động lượng chất điểm và hệ r a, Động lượng chất điểm: Động lượng chất điểm là đại lượng vectơ, ký hiệu là q tích khối lượng chất điểm với vận tốc nó ur r q = m.V (13.3) 12 (13) ur b, Động lượng hệ: Động lượng hệ (ký hiệu là Q ) là tổng hình học động lượng các chất điểm thuộc hệ ur ur Q = ∑ m K V K (13.4) r r Từ (12.1) ta ∑ m K rK = M.rC Đạo hàm hai vế đẳng thức này theo t ta được: ur ur ur ur hệ có thể xác định ∑ mK V K = M.VurC Hayur là Q = M.VC Như động lượng ur công thức Q = M.V C Với M là khối lượng hệ, V C là vận tốc khối tâm hệ Xung lượng lực(Xung lực) r r Xung lượng nguyên tố lực F là đại lượng vectơ, ký hiệu là dS , tích r lực F và dt r r dS = F.dt (13.5) r Xung lượng F khoảng thời gian hữu hạn từ t → t1 là tích phân xung r r r r t1 r t1 r lực nguyên tố: S = ∫ dS = ∫ F.dt Nếu F = cosnt thì S = F ( t1 − t ) t0 t0 Đơn vị xung lực là Ns Các định lý biến thiên động lượng chất điểm và hệ a, Định lý 1: Đạo hàm theo thời gian động lượng chất điểm hợp lực các lực tác dụng lên chất điểm đó ur r r d ( q ) d m.V = = ∑ FK (13.6) dt dt Chứng minh: Xét chất điểm M có khối lượng m, các lực tác dụng vào chất điểm là r r r F1 , F2 , , Fn Viết phương trình động lực học cho M ta có: ur ur r r uur dV d m.V dq F = mW = m = = (ĐPCM) K ∑ dt dt dt b, Định lý 2: Đạo hàm theo thời gian động lượng hệ vectơ chính các ngoại lực tác dụng lên hệ ur d Q re = ∑ FK (13.7) dt Chứng minh: Xét chất điểm M K có khối lượng m K , các lực tác dụng vào chất điểm re ri gồm có ngoại lực FK và nội lực FK Theo định lý ta có: ur r re ri dq K d m K V K = = F K + FK dt dt Cộng vế đẳng thức này ta được: ur ur d m K V K ur re ri d dQ ∑ dt = dt ∑ m K V K = dt = ∑ FK + ∑ FK ur ri re dQ Chú ý là ∑ FK = nên (ĐPCM) = ∑ FK dt c, Định lý 3: Biến thiên động lượng chất điểm khoảng thời gian nào đó tổng hình học xung lượng các lực tác dụng lên chất điểm thời gian ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 13 (14) t1 ur ur r r m.V1 − m.V = ∑ ∫ FK dt = ∑ SK (13.8) ur r Chứng minh: Từ (13.6) ta có d m.V = ∑ FK dt Tích phân hai vế đẳng thức này uur V1 ( t0 ) t1 ur t1 r r với cận tương ứng ta ∫ d m.V = ∫ ∑ FK dt = ∑ ∫ FK dt uur V0 ( ) t0 t0 ur ur r r Hay là : m.V1 − m.V = ∑ ∫ FK dt = ∑ SK t1 (ĐPCM) t0 d, Định lý 4: Biến thiên động lượng hệ khoảng thời gian nào đó tổng hình học xung lượng các ngoại lực tác dụng lên hệ khoảng thời gian t1 ur ur re re (13.9) Q1 − Q = ∑ ∫ FK dt = ∑ SK t0 ur re Chứng minh: Từ (13.7) ta có d Q = ∑ FK dt Tích phân hai vế đẳng thức này với uur V1 ( ) t1 ur re re cận tương ứng ta ∫ d Q = ∫ ∑ FK dt = ∑ ∫ FK dt uur V0 ( ) t1 t0 t0 t1 ur ur re re Hay là : Q1 − Q = ∑ ∫ FK dt = ∑ SK (ĐPCM) t0 Chú ý: Khi chiếu các đẳng thức trên lên các trục tọa độ đề các ta có các hệ sau: ur d m.V x r = ∑ FKx dt ur d m.V r y (13.10) - Chất điểm: = ∑ FKy dtur d m.V z r = ∑ FKz dt t1 ur ur r r m.V − m.V = 1x 0x ∑ ∫ FKx dt = ∑ SKx t0 t1 ur r r ur và (13.11) m.V1y − m.V y = ∑ ∫ FKy dt = ∑ SKy t0 ur t1 ur r r m.V1z − m.V 0z = FKz dt = ∑ SKz ∑ ∫ t0 ( ) ( ) ( ) 14 (15) - Cơ hệ: d d d ur (Q ) = ∑F ( )= ∑F ( )= ∑F x dt ur Qy dt ur Qz dt re Kx re Ky (13.12) và re ur ur r Q − Q = SeKx ∑ 1x 0x ur ur re Q1y − Q 0y = ∑ SKy ur re ur Q1z − Q0z = ∑ SKz Kz (13.13) Trong các công thức trên ta không thấy có mặt nội lực Vậy nội lực không làm biến đổi động lượng hệ Các định lý trên thường sử dụng cho các bài toán va chạm và các bài toán chuyển động môi trường liên tục Sau đây ta xét số trường hợp mà động lượng bảo toàn Định luật bảo toàn động lượng Ta xét cho trường hợp hệ, chất điểm xem mọt trường hợp riêng hệ a, Định lý 5: Nếu vectơ chính các ngoại lực tác dụng lên hệ luôn luôn không thì động lượng hệ bảo toàn re ur (13.14) ∑ FK = ⇔ Q = cosnt ur d Q re re ur Chứng minh: Nếu ∑ FK = , từ (13.7) ta có = ∑ FK = ⇒ Q = cosnt dt (ĐPCM) b, Định lý 6: Nếu hình chiếu vectơ chính các ngoại lực lên trục nào đó luôn luôn không thì hình chiếu động lượng hệ lên trục bảo toàn ur d Qx re re ur Chứng minh: Nếu ∑ FKx = , ta có = ∑ FKx = ⇒ Q x = cosnt (ĐPCM) dt ( ) ( ) III ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG Mômen động lượng chất điểm và hệ a, Mômen động lượng chất điểm: - Mômen động lượng chất điểm tâm O là vectơ ký hiệu là lO là mômen vectơ động lượng điểm O ur r ur r r r r (13.15) lO = m O ( q ) = m O m.V = r ∧ m.V ( ) - Mômen động lượng chất điểm trục z là lượng đại số ký hiệu là lz ur r r r (13.16) l Z = m Z ( q ) = m Z m.V = ± ( m.V′ ) h ur Trong đó m.V′ là hình chiếu m.V lên mặt phẳng π vuông góc với trục z, h là khoảng cách từ O (là giao điểm mặt phẳng π với trục z) đến m.V′ Lấy dấu cộng uur nhìn từ trục z xuống mặt phẳng π thấy V′ quay quanh O theo ngược chiều kim đồng hồ Tương tự mômen lực tĩnh học ta có: Mômen động lượng chất điểm trục hình chiếu lên trục vectơ mômen động lượng chất điểm điểm thuộc trục r r r r (13.17) hc z lO = hc z m O F = m z F ( ) () () 15 (16) Gọi x,y,z là tọa độ chất điểm và Vx , Vy , Vz là hình chiếu vận tốc chât điểm lên r r r i j k ur r r các trục tọa độ Từ (13.15) ta có: lO = r ∧ m.V = x (13.18) y z mVx mVy mVz l x = m ( y.VZ − z.Vy ) (13.19) Tương tự công thức (1.2) ta có: l y = m ( z.Vx − x.Vz ) lz = m ( x.Vy − y.Vx ) b, Mômen động lượng hệ: - Mômen động lượng hệ tâm tổng mômen động lượng các chất điểm thuộc hệ với cùng tâm đó ur ur ur r r r r (13.20) LO = ∑ m O ( q K ) = ∑ m O m K V K = ∑ rK ∧ m K V K ( ) - Mômen động lượng hệ trục tổng mômen động lượng các chất điểm thuộc hệ với cùng trục đó ur r r r (13.21) L Z = ∑ m Z ( q K ) = ∑ m Z m K V K ( ) Đơn vị mômen động lượng là: kgm /s c, Mômen động lượng vật rắn quay quanh trục cố định: Xét vật rắn quay quanh trục cố định z với vận tốc góc là ω Mômen động lượng chất điểm M K với trục z là: ur ur r lKZ = m Z m K V K Do m K V K nằm trên mặt phẳng chứa M K và r rK nên lKZ = ± rK m K VK Theo hình vẽ ta lấy dấu cộng ( ) lKZ = rK m K VK Mặc khác VK = ω.rK nên ta có lKZ = ω.m K rK2 Mômen động lượng vật trục z là: r r L Z = ∑ m Z ( q K ) = ω.∑ m K rK2 Theo (12.3) thì J z = ∑ m K d 2K = ∑ m K rK2 , ta được: L Z = ω.J z r ω ur m.V k ur r Vk rk Mk (13.22) Định lý biến thiên mômen động lượng chất điểm và hệ a, Định lý 1: Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng chất điểm tâm (với trục) cố định tổng mômen các lực tác dụng lên chất điểm cùng tâm (trục) đó r r d lO r r dl z (13.23) và = ∑ m O FK = ∑ m z FK (13.24) dt dt Chứng minh: Xét chất điểm M, có khối lượng m, chịu tác dụng hệ lực r r r Phương trình động lực học: F1 , F2 , , Fn ur ur d m.V uur r r r dV m.W = ∑ FK ⇔ m = ∑ FK ⇔ = ∑ FK dt dt r r Gọi r là vectơ định vị chất điểm, nhân hai vế đẳng thức trên với r ta được: ur r r d m.V r r∧ = r ∧ ∑ FK (*) dt ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 16 (17) ur drr ur r d ur d r r ∧ m.V = ∧ mV + r ∧ m.V dt dt dt ( ) ( ) Chú ý Mà ta thấy r ur ur ur dr ∧ mV = V ∧ mV = dt ur r d ur ur r r d r d r ⇒ r ∧ m.V = r ∧ m.V Thay vào (*) ta có: r ∧ m.V = r ∧ ∑ FK hay là: dt dt dt r d lO r r r r r r = r ∧ ∑ FK = ∑ r ∧ FK = ∑ m O FK (ĐPCM) dt Chiếu vế (13.23) lên trục z qua điểm O ta (13.24) b, Định lý 2: Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng hệ tâm (với trục) cố định tổng mômen các ngoại lực tác dụng lên hệ cùng tâm (trục) đó ur re r re dL z dL O = ∑ m O FK (13.25) và = ∑ m z FK (13.26) dt dt Chứng minh: Xét hệ có n chất điểm, gọi nội lực và ngoại lực tác dụng lên chất ri re điểm thứ K là FK và FK Áp dụng (13.23) cho chất điểm thứ K ta được: r d lOK r ri r re = m O FK + m O F K dt Viết phương trình trên cho tất các chất điểm còn lại hệ và cộng vế ta được: r d lOK r ri r re ∑ dt = ∑ mO FK + ∑ mO FK (*) r d lOK r r ri d d ur Ta có ∑ = lOK = L O và ∑ m O FK nên (*) viết lại là: ∑ dt dt dt ur r re dL O (ĐPCM) = ∑ m O FK dt Chiếu vế (13.25) lên trục z qua điểm O ta (13.26) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Định luật bảo toàn mômen động lượng Nếu mômen chính các ngoại lực tác dụng lên hệ tâm (một trục) cố định luôn luôn không thì mômen động lượng hệ tâm (trục) đó bảo toàn ur ur r re dLO Chứng minh: Từ (13.25) ta thấy ∑ m O FK = thì = ⇒ L O = const dt Như mômen động lượng tâmcủa hệ bảo toàn r re Tương tự từ (13.26) ta chứng minh ∑ m O FK = thì mômen động ( ) ( ) lượng trục hệ bảo toàn IV ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG NĂNG Công lực a, Công nguyên tố lực: Công nguyên tố dA r lực F trên đoạn dời điểm đặt vô cùng nhỏ ds nó là đại lượng vô hướng bằng: dA = F.ds.cosα (13.27) 17 Z M0 O X r ur M1 Fτ V r F α Y (18) ur r Nhận xét F.cosα = Fτ là hình chiếu F lên phương V Vậy dA = Fτ ds Có thể viết biểu thức công nguyên tố dạng khác: - Vì ds = V.dt nên dA = F.V.cosα.dt = Fτ V.dt (13.28) r ur ur r r r - Biết F.V.cosα = F.V và V.dt = dr nên dA = F.dr (13.29) r r r r - Gọi Fx , Fy , Fz hình chiếu F lên các trục tọa độ thì dA = Fx dx + Fy dy + Fz dz (13.30) b, Công hữu hạn lực: Công lực trên quãng đường hữu hạn M M1 điểm đặt lực vạch tích phân công nguyên tố trên quãng đường A M¼ = M M1 ∫ dA (13.31) M0 Đơn vị công là jun, ký hiệu là J Đơn vị này có thể gọi là Niutơn mét, ký hiệu là N.m c, Công số lực thường gặp: ur ♦Công trọng lực: Giả sử chất điểm M chịu tác dụng Z Mcủa trọng lực P đời chỗ theo đường cong (C) nào đó từ M (x , y , z ) đến ur M1 (x1 , y1 , z1 ) hình vẽ Ở gần mặt đất, trọng lực P có thể xem M1 ur không đổi là P = m.g hường thẳng đứng xuống P Chọn hệ tọa độ hình vẽ, trục Oz hướng thẳng đứng lên trên và ur Y ta có: Px = Py = , Pz = −P Khi đó công lực P M di X O chuyển trên đoạn M 0, M1 là: A M0 →M1 = M1 M1 M0 M0 z1 ∫ dA = ∫ ( P dx + P dy + P dz ) = ∫ −P.dz x y z z0 A M0 →M1 = −P ( z1 − z ) = P ( z − z1 ) Nếu gọi h = z − z1 thì ta có A P = ± P.h Dấu (+) z ≥ z1 , tức M xuống thấp, dấu (-) z < z1 , tức M lên cao Từ các công thức trên ta thấy công trọng lực không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo điểm đặt lực mà phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối điểm đặt lực, tức độ chênh cao h Công trọng lực tác dụng lên hệ tổng công trọng lực tác dụng lên các chất điểm thuộc hệ, ta có công trọng lực tác dụng lên hệ nó dịch chuyển từ vị trí đến vị trí là: A 0→1 = ∑ PK ( z K − ZK1 ) = ∑ PK z K0 − ∑ PK z K1 Từ công thức xác định khối tâm ta có: ∑ PK z K = P.z C với P = ∑ PK là trọng lượng hệ, C là khối tâm hệ Thay vào ta có: A 0→1 = P.z C0 − P.z C1 = ± P.h với h = z C0 − z C1 (13.32) Như tính công trọng lực tác dụng lên hệ chất điểm ta có thể quy chất điểm mạng khối lượng hệ nằm tạ khối tâm hệ ♦ Công lực đàn hồi tuyến tính: Trong nhiều trường hợp, tính đàn hồi r vật gây liên kết mà nó tác dụng lên chất điểm lực F tuân theo định luật Húc: r r r F = −C.r Trong công thức trên C là hệ số cứng, r là vectơ định vị chất điểm từ vị trí cân Khi đó công đàn hồi trên đoạn dịch chuyển M → M1 là: r r r r rr1 M1 r1 r1 r r r1 r r r r r C A M0 →M1 = ∫ dA = ∫ F.dr = ∫ −C.r.dr = −C ∫ r.dr = − C = − ( r12 − r02 ) r r r rr M0 r0 r0 r0 18 (19) r C.r C.λ Nếu M trùng với vị trí cân tĩnh thì r0 = , A M0 →M1 = − = − 2 (13.33) với λ = r1 Cũng công trọng lực, công lực đàn hồi tuyến tính phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối mà không phụ thuộc quỹ đạo điểm đặt lực ♦ Công lực tác dụng lên vật rắn chuyển động: - Chuyển động tịnh tiến: Theo công thức tính công nguyên tố (13.29) ta có: r r r ur r ur r r (13.34) dA = F.dr = F.V.dt = F.V C dt = F.drC r - Chuyển động quay quanh trục cố định z: dA = Fτ ds = Fτ R.dϕ = m z F dϕ () (13.35) Nếu là ngẫu lực m z thì ta có: dA = m z dϕ (13.36) - Chuyển động song phẳng: Xem vật chuyển động quay quanh trục Pz qua P (tâm vận tốc tức thời) và vuông góc với mặt phẳng chuyển động r Viết (13.35) ta được: dA = m zP F dϕ () (13.37) Vì P liên tục thay đổi người ta còn đưa công thức sau: r r r dA = m zC F dϕ + FC drC () ♦ Công lực ma sát: - Ma sát trượt: dA = Fms ds.cosα mà cosα = −1 nên dA = − Fms ds = −f N.ds (13.38) Công lực ma sát trượt luôn luôn âm - Công lực ma sát tác dụng lên vật lăn không trượt: Tiếp điểm P là tâm vận tốc tức thời nên VP = , ta có: dA = Fms ds = Fms VP dt = (13.39) Khi vật lăn không trượt, công lực ma sát không ♦ Công các nội lực vật rắn: r Xét hai phần tử là M1 và M vật rắn Lực tác dụng tương hỗ chúng là F12 r r r và F21 hướng theo phương M1M và F12 = −F21 Tổng công nguyên tố hai lực đó là: r r r r r ur r ur r ur ur dA1i + dA i2 = F12 dr1 + F21.dr2 = F12 V1.dt + F21.V dt = F12 V1 − V dt ur ur ur ur ur ur Theo định lý liên hệ vận tốc ta có: V M1 = V M + V M1M ⇒ V1 − V = V M1M ur r r ur Mà V M1M ⊥ F12 ⇒ F12 V M1M = dA1i + dA i2 = ( ) Ta có thể kết luận: tổng công các nội lực tác dụng lên các chất điểm thuộc vật rắn luôn không ∑ dAiK = (13.40) Chú ý với các hệ ∑ dA iK có thể khác không vì chúng làm cho các chất điểm chuyển động tương Công suất Công suất là công lực sinh đơn vị thời gian Ký hiệu công là N, dA theo định nghĩa N = dt (13.41) Đơn vị công là Oát, ký hiệu là W (1W=1J/s) 19 (20) ur r Ta có thể viết N = F.V.cosα , với α là góc F và V (13.42) Động a, Động chất diểm và hệ - Động chất điểm: là đại lượng vô hướng dương, ký hiệu là T, xác định công thức: T = m.V (13.43) - Động hệ: Là tổng động các chất điểm thuộc hệ: 1 T = ∑ m K VK2 = ∑ m K VK2 (13.44) 2 Trong trường hợp đặt biệt, hệ gồm số vật chuyển động thì động nó là tổng động các chất điểm chuyển động b, Động số chuyển động vật ur ur ♦Chuyển động tịnh tiến: Trong trường hợp này V K = V C nên động vật là: 1 m K VK2 = ∑ m K VC2 = M.VC2 (13.45) ∑ 2 ♦Chuyển động quay quanh trục cố định z: Trong trường hợp này VK = ω.rK nên động vật là: 1 1 T = ∑ m K VK2 = ∑ m K rK2 ω2 = ω2 ∑ m K rK2 = J z ω2 (13.46) 2 2 ♦Chuyển động song phẳng: Ta coi vật rắn chuyển động quay tức thời quanh trục Pz qua vận tốc tức thời P và vuông góc với mặt phẳng chuyển động Áp dụng (13.46) ta được: T = J Pz ω2 P luôn di chuyển vật rắn chuyển động song phẳng nên ta biến đổi sang dạng thuận tiện hơn.Ta có J Pz = J Cz + M.d , với Cz là trục song song với Pz và qua khối tâm C vật rắn Thay vào công thức trên ta T = ( J Cz + M.d ) ω2 1 1 Hay T = J Cz ω2 + M.d ω2 mà d.ω = PC.ω = VC nên T = J Cz ω2 + M.VC2 2 2 (13.47) T= Các định lý biến thiên động chất điểm và hệ a, Định lý 1: Vi phân động chất điểm tổng đại số công nguyên tố các lực tác dụng lên chất điểm 1 (13.48) dT = d mV = ∑ dA K Chứng minh: Xét chất điểm M có khối lượng m chuyển động tác dụng các r r r lực F1 , F2 , , Fn Phương trình động lực học chất điểm là: ur uur r dV m.W = m = ∑ FK dt 20 (21) ur ur drr ur ur r r r dV r Nhân vô hướng hai vế với dr là ta được: m dr = m.dV = m.dV.V = ∑ FK dr dt dt (*) ur m.V m ur ur ur ur r r = 2.V.dV = m.V.dV và ∑ FK dr = ∑ dA K Ta có dT = d Thay vào (*) ta (13.48), định lý chứng minh dT ∑ dA K Chú ý : Chia hai vế (13.48) cho dt ta : = = ∑ N K Vậy ta có dt dt định lý sau : Đạo hàm theo thời gian động chất điểm tổng công suất dT ∑ dA K các lực tác dụng lên chất điểm = = ∑ NK (13.49) dt dt b, Định lý 2: Vi phân động hệ tổng đại số công nguyên tố các ngoại lực và nội lực tác dụng lên hệ dT = dA eK + dA iK (13.50) Chứng minh: Xét hệ gồm n chất điểm Công nguyên tố ngoại lực và nội lực đặt vào chất điểm thứ K là dA eK và dA iK Viết (13.48) cho chất điểm thứ K ta được: 1 d m K VK2 = dA K = dA eK + dA iK 2 cho n chất điểm và cộng Viết (13.48) vế ⇒ 1 dT = ∑ d m K VK2 = ∑ dA eK + ∑ dA iK 2 Chú ý : Tương tự định lý ta có định lý sau : Đạo hàm theo thời gian động hệ tổng công suất các ngoại lực và nội lực tác dụng lên hệ e i dT ∑ dA K + ∑ dA K = = ∑ N eK + ∑ N iK (13.51) dt dt c, Định lý 3: Biến thiên động chất điểm trên chuyển dời nào đó tổng đại số công các lực tác dụng lên chất điểm trên đoạn chuyển dời 1 mV12 − mV02 = ∑ A M0 M1 (13.52) 2 1 Chứng minh: Áp dụng (13.48) cho chất điểm ta : d mV = ∑ dA K Tích 1 phân hai vế theo các cận tương ứng với M0 và M1 ta được: mV12 − mV02 = ∑ A M0 M1 2 (ĐPCM) d, Định lý 4: Biến thiên động hệ trên chuyển dời nào đó tổng đại số công ngoại lực và nội lực tác dụng lên các chất điểm hệ trên đoạn chuyển dời T1 − T0 = ∑ A eK + ∑ AiK (13.53) Chứng minh: Viết (13.52) cho chất điểm thứ K hệ ta có : 1 mV12 − mV02 = A eK + A iK 2 Viết (13.52) cho chất điểm và cộng vế ⇒ T1 − T0 = ∑ A eK + ∑ AiK Nội lực làm biến đổi động hệ, định lý động cho phép ta nghiên cứu sâu sắc chuyển động hệ 21 (22) V ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG Trường lực - Thế a, Trường lực: là khoảng không gian vật lý mà chất điểm chuyển động trường lực chịu tác dụng lực phụ thuộc vào vị trí nó Ví dụ trường trọng lực, trường các lực đàn hồi… b, Trường lực thế: là trường lực mà công các lực tác dụng lên chất điểm không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo điểm đặt lực mà phụ thuộc điểm đầu và cuối nó Lực trường lực tác dụng lên chất điểm gọi là lực Ví dụ trường trọng lực, trường lực đàn hồi tuyến tính là trường lực thế, trọng lực, lực đàn hồi tuyến tính là các lực Các trường lực không ví dụ trường lực cản, ma sát … c, Thế năng: Khảo sát hệ có n chất điểm là M1, Z M (1) M (3 ) 1r M2,…,Mn Các chất điểm nằm trường lực và r r r F1 r M (21) r chịu tác dụng các lực tương ứng là F1 , F2 , , Fn F3 F2 Gọi M K là vị trí chất điểm M K vị trí “0” và M K M1( ) M (30 ) là vị trí chất điểm M K vị trí “1” O M (20 ) Y Thế hệ vị trí “1” tổng công các lực tác dụng lên hệ nó di chuyển từ vị X trí “1” đến vị trí “0” (13.54) ∏ M = ∑ A M1 M0 = A1−0 K K Chú ý ta có thể chọn vị trí “0” tùy ý nên hệ vị trí nào đó sai khác số cộng Thế hệ vị trí “0” luôn không ( Π = ) Vì công lực trường lực phụ thuộc các vị trí đầu cuối điểm đặt lực nên phụ thuộc vị trí hệ, tức là: Π = Π (x1 , y1 , z1 , x , y , z , , x n , y n , z n ) Hàm Π gọi là hàm Định luật bảo toàn Định luật: Khi hệ chuyển động trường lực thì (tổng động và (13.55) năng) hệ bảo toàn T1 + Π1 = Π + T0 = cosnt Chứng minh: Áp dụng định lý động (13.53) ta T1 − T0 = ∑ A eK + ∑ AiK Khi hệ chuyển động trường lực ta có: ∑ A Ke + ∑ A iK = ∑ A K = Π − Π1 , đó Π là hệ tác dụng nội lực và ngoại lực Vậy ta có: T1 − T0 = Π − Π1 hay T1 + Π1 = Π + T0 = cosnt (ĐPCM) Người ta ký hiệu là E và E = T + Π Hệ thức (13.55) còn gọi là tích phân lượng Cơ hệ nghiệm đúng (13.55) gọi là hệ bảo toàn và lực tác dụng lên hệ là lực bảo toàn Dễ thấy lực là lực bảo toàn Trong trường hợp các lực không bảo toàn (ma sát, lực cản) thì hệ không bảo toàn có trao đổi lượng hệ với môi trường xung quanh Cơ hệ chuyển hóa thành các dạng lượng khác nhiệt năng, hóa năng, điện năng… 22 (23) CHƯƠNG 14: NGUYÊN LÝ ĐALAMBER I NGUYÊN LÝ ĐALAMBER ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM Lực quán tính chất điểm uur Xét chất điểm M có khối lượng m chuyển động với gia tốc W tác dụng lực r r F (trong trường hợp có nhiều lực cùng tác dụng thì F là hợp lực lực ấy) Theo r uur r uur tiên đề Niutơn ta có: F = m.W hay F + −m.W = r qt uur Vế trái đẳng thức này có thứ nguyên là lực, đặt F = −m.W và gọi là lực quán tính chất điểm Định nghĩa: Lực quán tính chất điểm là đại lượng vectơ có cùng phương, ngược chiều với vectơ gia tốc chất điểm và có giá trị tích số gia tốc r qt uur (14.1) chất điểm và khối lượng nó F = −m.W qt Fx = −m.Wx Chiếu (14.1) lên các trục tọa độ đề các ta thu được: Fyqt = −m.Wy (14.2) qt F = −m.W z z ( ) dV qt Fτ = −m.Wτ = −m dt V2 Chiếu (14.1) lên các trục tọa độ tự nhiên ta thu được: Fnqt = −m.Wn = −m ρ qt Fb = (14.2) Thành phần Fτqt gọi là lực quán tính tiếp, thành phần Fnqt gọi là lực quán tính pháp hay còn gọi là lực ly tâm Nguyên lý Đalamber chất điểm r r r Xét chất điểm có khối lượng m, chịu tác dụng hệ lực F1 , F2 , , Fn chuyển động uur với gia tốc W Nguyên lý Đalamber chất điểm phát biểu sau: Tại thời điểm các lực tác dụng vào chất điểm và lực quán tính nó tạo thành r r r r qt hệ lực cân (14.3) F1 , F2 , , Fn , F ≡ ( ( ) ) II NGUYÊN LÝ ĐALAMBER ĐỐI VỚI CƠ HỆ r Xét hệ gồm các chất điểm M1 , M , , M n Gọi FK là hợp lực các lực đặt vào uur chất điểm M K (có khối lượng tương ứng m K ) gây gia tốc W K Lực quán tính chất r qt uur r r qt điểm M K là FK = −m K W K Theo nguyên lý Đalamber với chất điểm ta có: FK , FK = r r r r qt r qt r qt Cho K chạy từ → n và cộng vế ta được: F1 , F2 , , Fn , F1 , F2 , , Fn = ( ( ) ) Nguyên lý Đalamber hệ phát biểu sau: Tại thời điểm, các lực tác dụng lên chất điểm hệ và các lực quán tính các chất điểm thuộc hệ tạo thành hệ lực cân 23 (24) r r r r qt r qt r qt ( F , F , , F , F , F , , F ) = n (14.4) n III PHƯƠNG PHÁP TĨNH – ĐỘNG LỰC VÀ PTCB TĨNH-ĐỘNG LỰC Nội dung phương pháp Khi hệ lực cân thì vectơ chính và mômen hệ lực với tâm r r qt F K + FK = ∑ không theo nguyên lý Đalamber ta có: r qt r r ∑ m O F K + FK = Nếu phân hệ lực thành nội lực và ngoại lực ta được: r e r i r qt r r r FeK + FiK + FqtK = FK + FK + FK = ∑ ∑ ∑ ∑ ⇔ r re r r e r i r qt r ri r r qt ∑ m O FK + FK + FK = ∑ m O F K + ∑ m O FK + ∑ m O F K = ri r ri Nhưng theo (10.4) thì ∑ FK = và ∑ m O FK = nên ta có: ( ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) r r FeK + FqtK = ∑ ∑ (14.5) r re r r qt ∑ m O FK + ∑ m O FK = Trong hệ trên không có mặt nội lực nên nhiều trường hợp thuận tiện để giải các bài toán Tuy nhiên để sử dụng (14.5) ta cần biết biểu thức vectơ chính và mômen chính hệ lực quán tính ( ) ( ) Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn ur qt r qt uur Vét tơ chính vật chuyển động bằng: R = ∑ F = −∑ m K W K uur r Theo (12.1) thì: ∑ m K W K = M.rC Lấy đạo hàm hai lần theo t đẳng thức trên ta được: r r uur uur drK drC m = M ⇔ ∑ m K W K = M.W C ∑ K dt dt ur qt uur (14.6) Thay vào ta có: R = − M.W C Vét tơ chính các lực quán tính hệ chuyển động có hướng ngược với gia tốc khối tâm hệ và có độ lớn tích khối lượng hệ với gia tốc khối tâm hệ Đối với mômen chính ta phải xét trường hợp riêng vì mômen chính phụ thuộc tâm thu gọn a, Vật chuyển động tịnh tiến Mômen chính hệ lực quán tính khối tâm C là: uur qt uur r r qt r r qt r r uur M C = ∑ m C FK = ∑ rK ∧ FK = ∑ rK ∧ − m K W K = −∑ m K rK ∧ W K uur qt uur uur uur r Mà W K = W C vì vật chuyển động tịnh tiến nên: M C = − W C ∧ ∑ m K rK r r r Mặt khác ∑ m K rK = M.rC , vì ta lấy tâm thu gọn là khối tâm C nên rC = : ( ) ( ) uur qt MC = ur uur R qt = − M.W C Kết luận: với hệ chuyển động tịnh tiến thì: uur qt M C = 24 (14.7) (25) b, Vật quay quanh trục cố định Mômen chính hệ lực quán tính tâm quay O là: uur qt uur r r qt r r qt r r uur M C = ∑ m C FK = ∑ rK ∧ FK = ∑ rK ∧ − m K W K = −∑ m K rK ∧ W K uur uur n uur τ uur qt uur n uur τ r uur n r Mà W K = W K + W K nên M C = −∑ m K rK ∧ W K + W K mà rK ∧ W K vì song song uur qt r uur τ r r r r r nhau, M C = −∑ m K rK ∧ W K = −∑ m K rK ∧ ( ε ∧ rK ) = −ε.∑ m K rK2 = −J zO ε ur uur R qt = − M.W C Kết luận: với hệ chuyển động tịnh tiến thì: uur qt (14.8) r M C = −J zO ε ( ) ( ( ) ) c, Vật chuyển động song phẳng Mômen chính hệ lực quán tính khối tâm C là: uur qt uur r r qt r r qt r M C = ∑ m C FK = ∑ rK ∧ FK = −∑ rK ∧ m K W K uur uur uur n uur τ Mà W K = W C + W KC + W KC nên: uur qt uur uur n uur τ uur r r r r r M C = −∑ rK ∧ m K W C + W KC + W KC = −∑ rK ∧ m K W C + ω2 rK + ε ∧ rK r r r r r r Ta có rK ∧ m K ( ω2 rK ) = (hai vectơ song song) và rK ∧ ( ε ∧ rK ) = ε.rK2 , thay vào ta ( ) ( được: ( ) ( ) ) uur qt uur r uur r r r M C = −∑ rK ∧ m K W C + ε.m K rK2 = − W C ∧ ∑ m K rK − ε ∑ m K rK2 r r r Mà ∑ m K rK = M.rC , vì ta lấy tâm thu gọn là khối tâm C nên rC = vậy: uur qt r r M C = −ε.∑ m K rK2 = − J zC ε ur uur R qt = − M.W C Kết luận: với hệ chuyển động tịnh tiến thì: uur qt (14.9) r M C = −J zC ε ( ) 25 (26)