Co Ly Thuyet - Phan 5

Các hệ qui chiếu luôn luôn chuyển động đối với nhau, do vậy ta phải chọn một hệ quy ước là cố định và ký hiệu là hệ R 0, còn các hệ khác gọi là hệ động và ký hiệu là R 1, R2,… chiếu động

CHƯƠNG VI

CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP

Trong 5 chương trước ta đã khảo sát các đặc trưng của vật thể (điểm và vật rắn) trong một hệ qui chiếu Trong thực tế, ta thường gặp phải các vật thể chuyển động trong nhiều hệ qui chiếu khác nhau và phải xác định các đặc trưng động học cho từng hệ qui chiếu Chương này sẽ thiết lập mối quan hệ giữa các đặc trưng động học của vật thể (vận tốc, gia tốc…) trên nhiều hệ qui chiếu.

§1 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản

1 Các hệ qui chiếu tuyệt đối, tương đối

Trong thực tế, ta gặp nhiều vật thể chuyển động trong nhiều hệ qui chiếukhác nhau Chẳng hạn, một người đi trên một toa tàu đang chuyển động đối với nhà

ga Như vậy nếu lấy toa tàu là một hệ qui chiếu và nhà ga là một hệ qui chiếu khácthì người đi trên toa tàu sẽ xem như mô hình vật thể chuyển động trên hai hệ quichiếu: hệ qui chiếu toa xe và hệ qui chiếu nhà ga Khi giải quyết các bài toán kỹthuật nhiều khi ta phải đưa thêm vào khảo sát một hệ qui chiếu, trong đó vật thểchuyển động đối với hệ qui chiếu đó trở nên đơn giản hơn so với chuyển động của

nó đối với hệ qui chiếu ban đầu Vì vậy việc khảo sát chuyển động của vật thể trênnhiều hệ qui chiếu có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thựctiễn Các hệ qui chiếu luôn luôn chuyển động đối với nhau, do vậy ta phải chọn một

hệ quy ước là cố định và ký hiệu là hệ R 0, còn các hệ khác gọi là hệ động và ký

hiệu là R 1, R2,…

chiếu động được gọi là hệ qui chiếu tương đối

1

Như đã nói trong phần mở đầu, các vật thể được nghiên cứu dưới dạng hai

mô hình: điểm và vật rắn Sau đây, ta sẽ đưa vào định nghĩa chuyển động cho từng

mô hình

2 Các khái niệm chuyển động cho mô hình vật rắn.

chiếu tuyệt đối) được gọi là chuyển động tuyệt đối; chuyển động của vật rắn đốivới hệ qui chiếu động (hệ qui chiếu tương đối) gọi là chuyển động tương đối vàchuyển động của hệ qui chiếu động đối với hệ qui chiếu cố định được gọi là chuyểnđộng theo

Vận tốc góc tuyệt đối ký hiệu là a

Gia tốc góc tuyệt đối ký hiệu là a

ii) Các yếu tố động học của vật rắn (vận tốc góc và gia tốc góc) đối với hệ quichiếu động được gọi là các yếu tố động học tương đối Các yếu tố động học

được ký hiệu bằng chỉ số r, chẳng hạn

Vận tốc góc tương đối được ký hiệu là r

Gia tốc góc tương đối được ký hiệu là r

iii) Các yếu tố động học của hệ qui chiếu động so với hệ qui chiếu cố định đượcgọi là các yếu tố động học theo Các yếu tố động học theo được ký hiệu bằng

chỉ số e, chẳng hạn

Vận tốc góc của hệ qui chiếu động so với hệ qui chiếu cố định ký hiệu

là e

Gia tốc góc của hệ qui chiếu động so với hệ qui chiếu cố định ký hiệu

là e…Trong nhiều trường hợp để chỉ rõ các yếu tố động học của vật trong hệ quichiếu nào ta còn dùng ký hiệu hệ qui chiếu viết ở giá trên bên trái của đại lượngđộng học, chẳng hạn

3 Các khái niệm chuyển động cho mô hình điểm.

Giả sử M là điểm chuyển động được khảo sát trong các hệ qui chiếu cố định

chuyển động tuyệt đối; chuyển động của điểm M đối với hệ qui chiếu động R 1 gọi

là chuyển động tương đối

O

Định nghĩa 6.5:

i) Vận tốc và gia tốc của điểm M đối với hệ qui chiếu cố định R 0 gọi là vận tốc

và gia tốc tuyệt đối, ký hiệu là va và wa

ii) Vận tốc và gia tốc của điểm M đối với hệ qui chiếu động R 1 tương ứng gọi làvận tốc và gia tốc tương đối, ký hiệu là vr và wr

iii) Vận tốc và gia tốc của điểm M * thuộc hệ động , tại thời điểm khảo sát trùng

với điểm M tương ứng được gọi là vận tốc và gia tốc theo, ký hiệu là ve và

tốc của mọi điểm của hệ động là như nhau Khi đó vận tốc và gia tốc theo có thểlấy là vận tốc và gia tốc của điểm bất kỳ thuộc hệ động

Ví dụ 6.1.

Khảo sát chuyển động của giọt mưa đối với người đi bộ và mặt đất Giả sửgiọt mưa rơi trong điều kiện không có gió Hệ quán tính cố định ta gắn vào mặt đất,

còn hệ động gắn vào người đi bộ Như vậy chuyển động, vận tốc và gia tốc tuyệtđối của giọt mưa so với mặt đất là chuyển động, vận tốc và gia tốc tuyệt đối và đây

là chuyển động thẳng đứng theo chiều từ trên xuống Chuyển động của hạt mưa sovới người đi bộ là chuyển động tương đối Trong trường hợp này người đi bộ sẽnhận thấy hạt mưa rơi xiên góc từ phía trước và từ trên xuống

Ví dụ 6.2.

Tay quay OA quay xung quanh trục O với vận tốc góc  1 làm con chạy A trượt dọc theo máng trượt động O1B, và do đó làm cho máng trượt quay xung

quanh trục O1 song song với trục O với vận tốc góc  2

Cơ cấu này là cơ cấu culit trong máy bào ngang để truyền chuyển động quay

toàn vòng của tay quay OA thành chuyển động chuyển động quay hoặc chuyển động lắc của culit O1B xung quanh O1

Khi tính toán các đại lượng động học của culit O1B, người ta thường đạt bài

toán dưới dạng chuyển động phức hợp của điểm A (con trượt A) đối với hai hệ qui chiếu: Hệ qui chiếu cố định được chọn là giá OO1, còn hệ qui chiếu động được

chọn là culit O1B Như thế chuyển động của hệ động là chuyển động theo Vận tốc

góc của nó là vận tốc góc theo e: e   2 Chuyển động của điểm A so với giá sẽ

là chuyển động tuyệt đối Đó là chuyển động tròn với tâm là O, và bán kính OA.

Vận tốc tuyệt đối va của điểm A vuông góc với OA.

Chuyển động của điểm A so với culit O1B là chuyển động tương đối Đó là

chuyển động thẳng dọc theo O1B Vận tốc tương đối vr của điểm A hướng dọc theo

một nửa vòng tròn chuyển động khứ hồi theo phương

ngang Cần AB tựa đầu A vào cam và nhờ chuyển động

của cam mà chuyển động lên xuống theo phương thẳng

đứng Lấy A làm điểm khảo sát Hãy chọn các hệ toạ độ

thích hợp và chỉ rõ các loại chuyển động, vận tốc và giatốc trong trường hợp này

2. Để truyền chuyển động quay giữa hai trục songsong, người ta dùng cơ cấu chữ thập có sơ đồ chỉ ra trên hình

vẽ Tay quay AB quay xung quanh trục O1 với vận tốcgóc  1

Hãy chọn điểm khảo sát, các hệ toạ độ cố định, hệ toạ độđộng và chỉ rõ các loại chuyển động, vận tốc và gia tốc

của điểm A (hoặc điểm B) của cơ cấu này B

A

1

A B

3. Một tấm có hình dạng nửa hình tròn được gắn bản lề vào các tay quay O A1

và O B2 , sao cho O A O B1  2 và O O1 2 AB Trên cung tròn AB có điểm M chuyển

động Hãy chỉ ra các hệ toạ độ cố định, hệ toạ độ động và phân tích các chuyển

động, vận tốc và gic tốc của điểm M trong các hệ toạ độ đó.

4. Cơ cấu điều tiết ly tâm có sơ đồ biểu diễn ở hình vẽ

Đòn OO1 được gắn chặt vào trục thẳng đứng zz và quay xung quanh trục này

với vận tốc góc  0 Các thanh OA và O B1 có độ dài bằng l gắn bản lề vào các điểm

bản lề vào ống DE Các thanh OA và O B1 quay tương ứng xung quanh O và O1 vớicùng vận tốc góc  1 Hãy chọn các hệ toạ độ cố định, hệ toạ độ động và phân tích

các chuyển động, vận tốc và gia tốc của các điểm A và B trong các hệ toạ độ.

5. Hãy đưa vào các hệ toạ độ cố định và chuyển động để phân tích các vận tốc

và gia tốc của các điểm A và B trong cơ cấu culit ở hình vẽ.

B

0



O1z

z

E D

u

6. Máy nén khí có rãnh cong CD quay xung quanh trục O với vận tốc góc .

Khí chạy trong rãnh với vận tốc u = const Biết phương pháp tuyến chính của quỹ

đạo cong là CP

và bán kính cong là  CP OC r  Hãy phân tích các đại lượng

động học của hạt khí khi lọt vào rãnh (tại C)

7. Tam giác vuông ABC có AB = 2a = 20cm, α = 60 0 quay quanh trục CB theo

phương trình   10t 2t2 Trên AB có điểm M dao động xung quanh

điểm O theo phương trình cos

3

a  t

  Hãy đưa vào các hệ toạ độ cố định , hệ toạ

độ động và phân tích các đặc trưng động học của điểm M trong các hệ toạ độ đó.

8. Một chiếc ống có dạng nửa vòng tròn bán kính R quay đều với vận tốc góc



C B

§2 Hợp vận tốc và gia tốc của điểm

1 Hợp vận tốc.

tương đối vận tốc theo

M

O

Ta chọn hệ toạ độ động và hệ toạ độ cố định như trong ví dụ 6.1: Hệ toạ độ

cố định gắn vào mặt đất, hệ toạ độ động gắn vào người Khi đó vận tốc của hạt mưa

đối với mặt đất là u là vận tốc tuyệt đối Vận tốc của người la vận tốc theo còn vận

tốc của giọt mưa đối với người là vận tốc tương đối Ta cần tìm vận tốc tương đốinày của hạt mưa để chọn cách che ô hợp lý Theo công thức (6.7)

tg

Công thức này chỉ ra rằng ta cần che ô nghiêng góc với phương nằm ngang

góc α có tg u v để hạt mưa không rơi vào người

Ví dụ 6.4.

Một ống tròn bán kính R quay đều quanh trục O với vận tốc góc  0 Một

dòng chất lỏng chuyển động đều trong ống với vận tốc u = const Tìm vận tốc của

hạt lỏng đối với giá cố định của máy

Bài giải

Ta chọn hệ toạ độ cố định gắn vào giá của máy Hệ toạ độ động gắn vào ống.Như thế chuyển động tuyệt đối là chuyển động của hạt lỏng so với giá Vận tốc củahạt lóng đối với giá là vận tốc tuyệt đối va Chuyển động của hạt lỏng so với ống là

chuyển động tương đối Đó là chuyển động tròn trong ống Vận tốc u của hạt lỏng

chính là vận tốc tương đối Chuyển động theo là chuyển động của ống xung quanh

trục O Vận tốc của điểm M* của ống đang trùng với hạt lỏng là vận tốc theo

Tay quay OA quay xung quanh trục O làm cho cần O B1 quay xung quanh O1

song song với trục O Tại thời điểm khi OA lập với O O1 góc   60 0 tay quay OA có

vận tốc góc  0 Cho biết OA O O a 1  Tính vận tốc góc của O B1 tại thời điểm đó

Bài giải

Chọn giá O O1 làm hệ qui chiếu cố định Cần O B1 làm hệ qui chiếu động và

con chạy A (thuộc tay quay OA) làm điểm khảo sát.

e

O B

a v

Bài tập

8. Chép lại, sửa đổi bổ sung, đưa thêm các dữ kiện để giải được bài toán vậntốc

9. Cho cơ cấu tay quay thanh truyền có

xylanh động như hình vẽ Tay quay OA quay

đều với vận tốc góc  0 làm xylanh quay

quanh trục O1 Cho biết OA a OB b , 

1) Biểu diễn bằng hình vẽ vị trí của cơ

cấu tại các thời điếm khi OA lập với OO1 các góc 0, , ,

OAO  AOO  AOO 

10 Cho cơ cấu như hình vẽ Bánh xe 1 quay đều quanh O1 với vận tốc góc  1

làm các thanh trượt AC chuyển động đồng thời làm cho bãnh xe 2 quay quanh trục

cố định O2 Các khớp nối A và C là các khớp bản lề Tại vị trí chỉ ra trên hình vẽ

tìm vận tốc góc  2 của bánh xe 2 và vận tốc góc của thanh truyền AC và vị trí tâm vận tốc tức thời P.

2 Hợp gia tốc của điểm.

2.1 Định lý 6.2 Tại mỗi thời điểm, gia tốc tuyệt đối bằng tổng hình học gia tốc

theo, gia tốc tương đối và gia tốc coriolis wc:

gia tốc của điểm bất kỳ thuộc hệ động Như thế, trong trường hợp này

a e r

2.2 Phương pháp thực hành xác định gia tốc coriolis.

Vì gia tốc coriolis được xác định bởi biểu thức vectơ (6.9) nên trong các tínhtoán thực hành để tìm chiều của wc dễ xảy ra nhầm lẫn Jucovski N.E đã nêu cáchxác định chiều wc như sau

a) Đối với các hệ chuyển động trong một mặt phẳng,

ta chỉ cần quay vectơ vận tốc tương đối vr của điểm

đi 90 0 theo chiều e là ta có chiều wc, còn trị số

2

c e r

b) Đối với các chuyển động không gian, thoạt tiên ta cần chiếu vr xuống mặt

phẳng vuông góc với vectơ c rồi quayhình chiếu đó đi 90 0 theo chiều quay của

Cũng như trong ví dụ 6.4, ta sẽ sử dụng các hệ toạ độ cố định, hệ toạ độ động

và điểm khảo sát Ta cần tính gia tốc của hạt lỏng M.

v

w là gia tốc của hạt nước đối với ống Theo

đầu bài ra, hạt nước chuyển động đều với vận tốc

không đổi u theo ống tròn nên wr cũng chỉ có một

2 2

w wc

Ví dụ 6.7.

Tính gia tốc góc của cần lắc O B1 trong ví dụ

6.5 Cho biết tay quay OA có vận tốc góc  0 và gia

tốc góc  0 theo các chiều chỉ ra trên hình vẽ

Bài giải

Ta cũng chọn hệ cố định, hệ động và điểm khảo sát như trong ví dụ 6.5 ( Hệ

cố định gắn vào giá OO1, hệ động gắn vào cần lắc O B1 và điểm khảo sát là điểm A thuộc tay quay OA) Ta cần tìm gia tốc góc của thanh O B1 và ký hiệu là  1

w có chiều chỉ ra trên hìnhvẽ

w

Chiều của wc được xác đinh bằng cách quay vr đi 90 0 theo chiều quay của

3 Nhìn chung về cách giải bài toán chuyển động phức hợp.

3.1 Chuyển động phức hợp của điểm

Chuyển động phức hợp của điểm là chuyển động của điểm trên nhiều hệ quichiếu Có nhiều bài toán thực tế đặt ra bài toán này (xem các ví dụ 6.1, 6.4,…),nhưng cũng có nhiều bài toán kỹ thuật được giải quyết bằng cách đưa thêm vào hệqui chiếu động để đưa bài toán về mô hình chuyển động phức hợp (xem các ví dụ6.2, 6.5,…) Như vậy, lý thuyết chuyển động phức hợp cho ta một phương pháp đểgiải quyết nhiều bài toán thực tế Để áp dụng phương pháp này, nói chung ta cầntuân thủ các bước sau đây

a) Phân tích bài toán để chỉ rõ hệ toạ độ cố định, hệ toạ độ chuyển động và điểmkhảo sát

b) Giải bài toán vận tốc Áp dụng công thức hợp vận tốc (6.7) và chỉ rõ phương,chiều, trị số của từng vectơ vận tốc Sau đó, ta chọn các phương thích hợp để

chiếu phương trình (6.7) Phép chiếu này sẽ cho ta phương trình đối với yếu tốvận tốc cần tìm.

c) Giải bài toán gia tốc Áp dụng công thức hợp gia tốc (6.8) khi hệ có chuyểnđộng quay ( e 0) và công thức (6.10) khi hệ động chuyển động tịnh tiến

Cũng như khi áp dụng công thức vận tốc, ở đây ta phải chỉ rõ từng thànhphần của các vectơ gia tốc; phương, chiều và trị số Nhớ rằng khi quỹ đạochuyển động của điểm không thẳng, vectơ gia tốc nói chung luôn luôn có haithành phần gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến

Cuối cùng, ta lại chọn các phương thích hợp để chiếu phương trình (6.8)hoặc (6.10) để thu được các phương trình vô hướng chứa các ẩn cần tìm

3.2 Ví dụ 6.8

Khung hình thang ABCD quay xung quanh trục thẳng đứng AB với vận tốc

góc   0 5 / s không đổi Trên cạnh CD của khung có điểm M chuyển động từ điểm

(tuyệt đối ) của điểm M sau 1 giây.

Cho biết: BC 0,05 ;m CDA  60 0

Bài giải

a Phân tích chuyển động của điểm M.

Ta chọn hệ cố định gắn vào giá cố định, hệ động

gắn vào khung ABCD Như vậy hệ động chuyển động quay xung quanh AB với vận

tốc góc  0 không đổi Điểm khảo sát là điểm M.

Chuyển động của M đối với hệ cố định là chuyển động tuyệt đối Đó là chuyển động theo đường xoắn ốc to ra mà ta cần tìm vận tốc và gia tốc của điểm M

trong chuyển động này

Chuyển động tương đối của điểm M là chuyển động của điểm dọc theo CD.

Đó là chuyển động thẳng với vận tốc không đổi u Đoạn đường CM = ut.

19

u

D A

Chuyển động theo là chuyển động của khung Đó là chuyển động của vật

quay xung quanh một trục cố định Tại thời điểm t = 1s, điểm M đi được đoạn

đường CM t1s u.1 0, 2  m Do đó M trùng với M* thuộc CD, cũng cách C một đoạn

 va là vận tốc của điểm M so với giá cố định, đang cần tìm.

 ve là vận tốc của điểm M* Điểm M* cách trục quay một đoạn MI*:

1 0,05 0, 2 0,15

I B

D

 wa là gia tốc của điểm M so với giá cố định mà ta đang phải xác định.

 we là gia tốc của điểm M* thuộc khung Do đó

I

x

n e

w

e



Bài tập

10. Chép lại các bài tập từ 1 – 8 phần vận tốc, chỉnh lý, đưa thêm dữ kiện để trởthành các bài toán về gia tốc