Đang tải... (xem toàn văn)
Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A... Gi[r]
(1)CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT A TỔ HỢP I Qui tắc đếm Qui tắc cộng: Một công việc nào đó có thể thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực và không trùng với bất kì cách nào phương án A thì công việc đó có m + n cách thực Qui tắc nhân: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B Nếu công đoạn A có m cách thực và ứng với cách đó có n cách thực công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực Baøi 1:Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Không có đường nào nối thành phố B với thành phố C Hỏi có tất bao nhiêu đường từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 12 đường Baøi 2:Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ đội phải đấu với trận (đi và về) Hỏi có bao nhiêu trận đấu? ĐS: có 25.24 = 600 trận Baøi 3: a) Một bó hoa gồm có: bông hồng trắng, bông hồng đỏ và bông hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy bông hoa? b) Từ các chữ số 1, 2, có thể lập bao nhiêu số khác có chữ số khác nhau? ĐS: a) 18 b) 15 Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa và bài hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa và bài hát Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng các kịch, điệu múa, các bài hát là nhau? ĐS: 36 Baøi 5: Một người có cái áo đó có áo trắng và cái cà vạt đó có hai cà vạt màu vàng Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: a) Chọn áo nào và cà vạt nào được? b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a) 35 b) 29 Baøi 6: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán Thành lập đoàn gồm hai người cho có học sinh chuyên toán và học sinh chuyên tin Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn trên? Baøi 7: Có bao nhiêu cách xếp người đàn ông và người đàn bà ngồi trên ghế dài cho người cùng phái phải ngồi gần Baøi 8: Có bao nhiêu cách xếp viên bi đỏ và viên bi đen xếp thành dãy cho hai viên bi cùng màu không gần Baøi 9: Hội đồng quản trị xí nghiệp gồm 11 người, đó có nam và nữ Từ hộ đồng quản trị đó, người ta muốn lập ban thường trực gồm người Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thường trực cho đó phải có ít người nam ĐS: 161 Baøi 10:Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có bao nhiêu cặp thứ tự (x; y) biết rằng: a) x A, y A b) {x , y} A c) x A, y A vaø x y 6 ĐS: a) 25 b) 20 c) cặp (2) Baøi 11:Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} đó n là số nguyên dương lớn Có bao nhiêu cặp thứ tự (x; y), biết rằng: x A, y A, x y n(n 1) ĐS: Baøi 12:Có bao nhiêu số palindrom gồm chữ số (số palindrom là số mà ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị nó không thay đổi) abcba ĐS: Số cần tìm có dạng: có 9.10.10 = 900 (số) Baøi 13:Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên thoả: a) gồm chữ số b) gồm chữ số khác c) gồm chữ số khác và chia hết cho ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Baøi 14:a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số? b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số? c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số là số chẵn? d) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, đó các chữ số cách chữ số đứng thì giống nhau? e) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số và chia hết cho 5? ĐS: a) 3125 b) 168 c) 20 d) 900 e) 180000 Baøi 15:Với chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số: a) Gồm chữ số? b) Gồm chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm chữ số? d) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? e) Gồm chữ số viết không lặp lại? f) Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ĐS: a) 25 b) 20 c) 15 d) e) 120 f) 24 Baøi 16:Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số có chữ số: a) Khác nhau? b) Khác nhau, đó có bao nhiêu số lớn 300? c) Khác nhau, đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? d) Khác nhau, đó có bao nhiêu số chẵn? e) Khác nhau, đó có bao nhiêu số lẻ? ĐS: a) 100 b) 60 c) 36 d) 52 e) 48 Baøi 17:a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số lẻ có chữ số khác nhỏ 400? b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác nằm khoảng (300 , 500) ĐS: a) 35 b) 24 II Hoán vị Giai thừa: n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = n! = (n–1)!n n! p! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) n! (n p)! = (với n>p) Hoán vị (không lặp): (n–p+1).(n–p+2)…n (3) Một tập hợp gồm n phần tử (n 1) Mỗi cách xếp n phần tử này theo thứ tự nào đó gọi là hoán vị n phần tử Số các hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự nào đó gọi là hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử là: n! n ! n ! nk ! Pn(n1, n2, …, nk) = Hoán vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi là hoán vị vòng quanh n phần tử Số các hoán vị vòng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! Baøi 1: Rút gọn các biểu thức sau: 5! (m 1)! 7!4! 8! 9! 2011! 2009 A = 10! 3!5! 2!7! B = 2010! 2009! 2011 C = m( m 1) (m 1)!3! n n k1 7! (m 2)! k k ! 4!(m 1)! D = (m m ) E = k 1 F = k 2 k ! 6! (m 1)! m.(m 1)! A = (m 2)(m 3) (m 1)(m 4) (m 5)!5! 12.(m 4)!3! (với m 5) Baøi 2: Chứng minh rằng: P – Pn–1 (n –1)Pn –1 P (n 1)Pn (n 2)Pn P2 P1 a) n b) n n2 1 1 1 1! 2! 3! n! c) n! (n 1)! (n 2)! d) n e) n! 2 Baøi 3: Giải các bất phương trình sau: (n 1)! n.(n 1)! 5 a) n n (n 3)!4! 12(n 3).(n 4)!2! n3 c) n! 10 (n 2)! (n 1)n 5 a) ĐS: b) n = 2, n = Baøi 4: Giải các phương trình sau: a) b) n! (n 1)! 50 P2 x – P3 x 8 (n 1)! 72 c) (n 1)! n = 4, n = 5, n = Px Px b) Px 1 (4) n! n! 3 d) (n 2)! (n 1)! n! n3 10 ( n 2)! f) ĐS: c) n = n! (n 3)! e) 20n a) x = –1; x = b) x = 2; x = d) n = e) n = f) n = Baøi 5: Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Baøi 6: Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ các số 1, 3, 5, 7, Hỏi các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu chữ số 9? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 19? d) Không bắt đầu 135? ĐS: a) 24 b) 96 c) d) upload.123doc.net Baøi 7: Với hoán vị các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta số tự nhiên Tìm tổng tất các số tự nhiên có từ các hoán vị phần tử trên? ĐS: Với i, j 1,2,3,4,5,6,7 , số các số mà chữ số j hàng thứ i là 6! Tổng tất các số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106 = 6! (1+2+…+7).(1+10+…+106) Baøi 8: Tìm tổng S tất các số tự nhiên, số tạo thành hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ĐS: 279999720 Baøi 9: Trên kệ sách có sách Toán, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có bao nhiêu cách xếp các sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo môn? c) Theo môn và sách Toán nằm giữa? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Baøi 10:Có học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và học sinh nữ B1, B2, B3 xếp ngồi xung quanh bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu: a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau? ĐS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách xếp Baøi 11:Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số, đó chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt đúng lần? 8! 3! 3! ĐS: Baøi 12:Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và khác biết tổng chữ số này (5) ĐS: 18 Baøi 13:Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất các số có chữ số khác Hỏi các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số và không đứng cạnh nhau? ĐS: 480 Baøi 14:Có bao nhiêu cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: a) Bạn C ngồi chính giữa? b) Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế? ĐS: a) 24 b) 12 Baøi 15:Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn các nước: Mỹ người, Nga người, Anh người, Pháp người, Đức người Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho thành viên cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? ĐS: 143327232000 Baøi 16:Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Có người nhóm muốn ngồi kề nhau? b) Có người nhóm không muốn ngồi kề nhau? ĐS: a) 86400 b) 2903040 Baøi 17:Sắp xếp nam sinh và nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b) Chỉ có nữ ngồi kề nhau? ĐS: a) 34560 b) 120960 Baøi 18:Có bao nhiêu cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết đó phải có em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400 Baøi 19:Có đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 học sinh khối 12 Có bao nhiêu cách xếp 20 học sinh trên vào phòng thi có dãy ghế cho hai em ngồi cạnh có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi có cùng đề? ĐS: 26336378880000 Baøi 20:Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy cho các viên bi cùng màu cạnh nhau? ĐS: 298598400 Baøi 21:Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo bao nhiêu cách khác để có: a) Tập và tập đứng cạnh nhau? b) Tập và tập không đứng cạnh nhau? ĐS: a) 2.29! b) 28.29! Baøi 22:Với chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số, đó chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và chữ số còn lại có mặt đúng lần? ĐS: 3360 Baøi 23:Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số, đó chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt đúng lần ĐS: 5880 Baøi 24:Xét số gồm chữ số, đó có chữ số và chữ số còn lại là 2, 3, 4, Hỏi có bao nhiêu số nếu: a) chữ số xếp kề nhau? b) Các chữ số xếp tuỳ ý? ĐS: a) 120 b) 3024 III Chỉnh hợp Chỉnh hợp (không lặp): (6) Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 k n) theo thứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! Ank n(n 1)(n 2) (n k 1) (n k )! Công thức trên đúng cho trường hợp k = k = n An Khi k = n thì n = Pn = n! Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, đó phần tử có thể lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi là chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Baøi 1: Rút gọn các biểu thức sau: A10 P2 7P5 Ank n k A52 A= 12 11 A49 A49 10 A49 C= 10 A17 A17 P1 A21 P2 A32 P3 A43 P4 A54 P1P2 P3 P4 P5 P4 P3 P2 A5 A A5 A5 A5 D= 21(P3 P2 ) A17 39A10 49 B= P P P P 20 A A5 A5 A51 F= B = 2750; 12!(5! 4!) 13!4! 11 38A10 49 A49 E= ĐS: A = 46; D = 42 Baøi 2: Chứng minh rằng: 1 n , với n N , n 2 2 n A2 A3 An a) Annk2 Ann1k k Annk b) Ank c) Baøi 3: a) b) g) 20n An3 An2 Ann 14 P3 = 2(n + 15) Pn An2 An2 A22n 42 0 e) 2( Pn An2 A10 x Ax 9 Ax Px c) 210 Axy11.Px y k) với n, k N, k Ank k Ank11 Pn 2 f) = Giải các phương trình sau: An3 d) C An3 An2 ) = Pn+1 12 h) 72 l) Px Ax2 72 6( Ax2 Px ) Pn3 720A 5n Pn i) m) Ax2 50 A22x An6 An5 An4 1440; (7) ĐS: b) n = d) n = e) n = g) x = 11 a) n = c) f) n = 2; i) x = An42 An44 15 a) (n 2)! (n 1)! d) = h) x = 3; k) x = 8, y 7, y N Baøi 4: Giải các bất phương trình: c) n b) Pn 2 143 0 Pn An3 15 15n An3 An2 12 An11 e) ĐS: Pn2 143 0 Pn a) n = 3; 4; Baøi 5: Tìm xn An44 Pn 2 các b) n 36 số âm dãy số x1 , x2 , x3 , , xn với: 143 (n 1, 2, 3, ) 4.Pn 63 23 ; n2 2, x2 ĐS: Baøi 6: Một khiêu vũ có 10 nam và nữ Người ta chọn có thứ tự nam và nữ để ghép thành cặp Hỏi có bao nhiêu cách chọn? n1 1, x1 A3 A3 ĐS: Có 10 cách Baøi 7: Trong không gian cho điểm A, B, C, D Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – không Hỏi có thể có bao nhiêu vectơ? A2 ĐS: = 12 vectơ Baøi 8: Một lớp học có các bàn đôi (2 chỗ ngồi) Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết có thể xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) An2 ĐS: = 132 n = 12 Baøi 9: Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và thư ký Hỏi có cách chọn? ĐS: 6840 Baøi 10:Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Có bao nhiêu cách chọn nếu: a) Cả 11 cầu thủ có khả nhau? (kể thủ môn) b) Có cầu thủ bị chấn thương và thiết phải bố trí cầu thủ A đá số và cầu thủ B đá số ĐS: a) 55440 b) 120 Baøi 11:Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống trên kệ trang trí Có bao nhiêu cách xếp nếu: a) Người đó có tượng khác nhau? b) Người đó có tượng khác nhau? c) Người đó có tượng khác nhau? (8) ĐS: a) 6! b) 360 c) 20160 Baøi 12:Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề phải khác nhau? 9.A94 ĐS: a) b) Có 95 số Baøi 13:Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? c) Số gồm chữ số khác và phải có mặt chữ số 5? ĐS: a) A64 b) A53 3.5 A53 c) Số gồm chữ số có dạng: abcde A4 Nếu a = thì có số Nếu a thì a có cách chọn Số có thể đặt vào các vị trí b, c, d, e có cách chọn vị trí cho số vị trí còn lại có thể chọn từ chữ số còn lại có A53 cách chọn A 4.5 A53 Có = 1560 số Baøi 14:Từ các chữ số 0, 1, 2, …, có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm chữ số (trừ số 000)? A10 1 ĐS: = 999 Baøi 15:Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số với: a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu và cuối khác nhau? c) Hai chữ số đầu giống và hai chữ số cuối giống nhau? ĐS: a) A10 = 9.104 số A6 A10 b) Có tất cả: 10 = 9.105 số gồm chữ số Có 9.105 – 9.104 số c) Có 9.10.10.10 = 9000 số Baøi 16:Có bao nhiêu số điện thoại có chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có chữ số khác nhau? ĐS: a) A10 = 106 A6 b) 10 = 15120 Baøi 17:Một biển số xe gồm chữ cái đứng trước và chữ số đứng sau Các chữ cái lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z Các chữ số lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, Hỏi: a) Có bao nhiêu biển số xe đó có ít chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đôi khác nhau? b) Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác và có đúng chữ số lẻ giống nhau? ĐS: a) Số cách chọn chữ cái: 26 26 – = 675 cách A10 Số cách chọn chữ số: = 5040 cách Số biển số xe: 675 5040 = 3.402.000 số b) Chữ cái thứ nhất: có 26 cách chọn Chữ cái thứ hai: có 25 cách chọn Các cặp số lẻ giống có thể là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9) Có cách chọn cặp số lẻ Xếp cặp số lẻ vào vị trí có C42 cách (9) C2 Có cách xếp cặp số lẻ Còn lại vị trí là các chữ số chẵn: Chữ số chẵn thứ nhất: có cách chọn Chữ số chẵn thứ hai: có cách chọn C2 Có 26 25 = 487500 cách Baøi 18: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác mà tổng các chữ số đó 18? b) Hỏi có bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đó? ĐS: Chú ý: 18 = + + + + + 18 = + + + + + 18 = + + + + + a) 5! b) 192 + 384 + 192 = 768 số Baøi 19:Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác và thoả: a) Số chẵn b) Bắt đầu số 24 c) Bắt đầu số 345 d) Bắt đầu số 1? Từ đó suy các số không bắt đầu số 1? ĐS: a) 312 b) 24 c) d) 120 ; 480 Baøi 20:Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập bao nhiêu số n gồm chữ số khác đôi lấy từ X trường hợp sau: a) n là số chẵn? b) Một ba chữ số đầu tiên phải 1? (ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) ĐS: a) 3000 b) 2280 Baøi 21:a) Từ chữ số 0, 1, 3, 6, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác và chia hết cho b) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số khác cho các chữ số đó có mặt số và số (HVCN Bưu chính Viễn thông, 1999) c) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác đó thiết phải có mặt chữ số ĐS: a) 18 b) 42000 c) 13320 Baøi 22:a) Tính tổng tất các số tự nhiên gồm chữ số khác đôi tạo thành từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, Tính tổng các số này ĐS: a) 37332960 b) 96 ; 259980 Baøi 23:a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác và chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0) (ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) b) Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , Có bao nhiêu số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho (ĐH Y khoa Hà Nội, 1997) ĐS: a) 3024 b) 36960 IV Tổ hợp Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 k n) phần tử A gọi là tổ hợp chập k n phần tử Ank n! k Cn k ! k !(n k )! Số các tổ hợp chập k n phần tử: (10) Qui ước: Tính chất: Cn0 =1 Cn0 Cnn 1; Cnk Cnk 11 Cnk 1; Cnk Cnn k ; Cnk n k 1 k Cn k Tổ hợp lặp: a ; a ; ; an và số tự nhiên k bất kì Một tổ hợp lặp chập k n phần tử là Cho tập A = hợp gồm k phần tử, đó phần tử là n phần tử A Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp: Cnk Cnkk Cnmk1 Ank k !Cnk Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ công thức: Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: không có thứ tự Những bài toán mà kết phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n): Cnk + Không thứ tự, không hoàn lại: + Có thứ tự, không hoàn lại: Ank + Có thứ tự, có hoàn lại: Ank Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp Baøi 1: Tính giá trị các biểu thức sau: C74 C73 C84 A= 23 13 C25 C15 3C10 C15 2C15 10 C17 B= A32 6 P2 C10 C10 C11 10 C15 C= C15 2C15 C15 C17 D= ĐS: B=4 Baøi 2: Rút gọn các biểu thức sau: A= Cnn C2nn C3nn C= C2 Cn1 n Cn1 A = – 165 Pn2 ; Ck k n Cnk B= Ank Pn k Cn n n Cnn 10 C15 2C15 C15 10 C17 ; (11) (3n)! A = (n !) ĐS: B = (n+1)(n+2) + n(n 1) C= Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp Baøi 1: Chứng minh các hệ thức sau: a) Cnk Cnp kk Cnp C pk (k p n) n Cnk Cnk 11 k b) (1 k n) c) Cnk 1 2Cnk Cnk Cnk21 d) Cnm Cmk Cnk Cnmkk (0 k m n) 5Cnk 1 4Cnk 2 Cnk 3 Cnk22 Cnk33 e) 2Cnk g) Cnk 3Cnk 3Cnk Cnk Cnk3 h) Cnk 4Cnk 6Cnk 4Cnk Cnk k (k 1)Cnk n(n 1)Cnk 22 f) ( < k < n) (3 k n) Cnk4 (4 k n) Cnk Cnk Cnk1 ĐS: Sử dụng tính chất: Baøi 2: Chứng minh các hệ thức sau: a) Cr0 Cqp Cr1.Cqp Crp Cq0 Crpq c) C20p C22 p C24p C22pp C21 p C23 p C22pp c2 p b) (Cn0 )2 (C1n )2 (Cnn )2 C2nn Cn1 Cn2 Cn3 ( 1) p Cnp ( 1) p Cnp d) ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q So sánh hệ số xp vế b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n c) Sử dụng (x+y)2p và (x–y)2p d) Sử dụng Cnr Cnr 11 Cnr , với r lẻ thì nhân vế với –1 Dạng : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp 1 C2nn 2n ( n N, n 1) 22 n Baøi 1: Chứng minh rằng: (2n)! 1.3.5 (2n 1) C n 2n 2n 2n 2.4.6 (2n) n! n ! HD: Biến đổi vế trái: 1.3.5 (2n 1) 2.4.6 (2n) 2n Vậy ta phải chứng minh: Ta có: 2k ( 2k 1)2 ( 2k 1)2 2k 2k 2k 4k 4k Cho k từ 1, 2, …, n Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta đpcm Baøi 2: Chứng minh rằng: C2nn k C2nn k (C2nn )2 (với k, n N, k n) (12) HD: Đặt uk = C2nn k C2nn k (k = 0;1;…;n) Ta chứng minh: uk > uk+1 (*) C n C n C2nn k 1.C2nn k Thật vậy, (*) nk n k n + 2nk > Điều này luôn luôn đúng đpcm Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức tổ hợp Baøi 1: a) Chứng minh: Cnk Cnk Cnk b) Chứng minh: Từ đó suy Cnm ; Cnm 1 với n = 2m, k m Từ đó suy Cnk Cnm là lớn với n = 2m + 1, k m là lớn Cnk n 1 n k Cnk Cnk C k k k HD: a) Theo tính chất: n n 1 C k C k n Với k m 2k n k n Vì Cnk Cnn k Ck nên n lớn b) Tương tự Baøi 2: Cho n > 2, p [1; n] Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ n Cnp Cnn p HD: Vì nên ta chi cần xét p Ta có: Cnp Cnp Cnp Cnp Vậy Cn1 Cnn = n p 1 p Cnp Cnp n 1 >1 p< nhỏ p = p = n – 1, ứng với n Cnp n n lớn p = (nếu n lẻ) p = (nếu n chẵn) Cp Với giá trị nào p thì n lớn Cmp m p 1 m 1 1 p p p Cm HD: Ta có: Tỉ số này giảm p tăng m p 1 1 p p C Cm p m , đó: Baøi 3: Nếu m chẵn: m = 2k p k + p p C Cm Để m ta phải có: p k + , vì p, k N nên chọn p = k Nếu m lẻ: m = 2k + p k + 1, ta có: m 1 p (13) Cmp Cmp 1 Cmp C2kk11 (2 k 1)! (k 1)! k ! p = k + * Áp dụng bài toán này ta có thể giải nhiều bài toán khác Ví dụ: Có 25 học sinh Muốn lập thành nhóm gồm p học sinh Tìm giá trị p để số cách chia nhóm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm đó * Vì có 25 học sinh, chọn p em nên số nhóm có thể lập là Theo trên, ta có m = 25 (lẻ) với k = 12 đó p C25 p C25 lớn p = k + = 13 C13 Vậy p = 13, đó: số nhóm tối đa có thể lập: 25 = 5200300 Dạng : Giải phương trình, bất phương trình có chứa biểu thức tổ hợp Baøi 1: Giải các phương trình sau: An4 24 1 A3 Cnn 23 C x C5x C6x a) n1 b) c) C1x 6Cx2 6Cx3 9 x 14 x d) x 4 x 10 C10 x C10 x g) C8xx3 5 Ax36 i) x C4x x C32 C31 0 f) Ax2 Cxx 101 C xx 12 2C x3 7( x 1) h) Ax3 Cxx 14 x Ax5 k) e) C xx 25 2x C28 336 l) x C24 225 52 C1x Cx2 Cx3 x m) n) C xx C xx C xx C xx 10 1023 1 1 o) Cx Cx 1 6Cx ĐS: c) x = g) x = 17 k) x = m) x = Baøi 2: Giải các bất phương trình: Cnn 13 14 P3 A4 a) n1 Cn4 Cn3 An2 c) a) n = d) x = 14 h) x = l) x = o) x = 3; x = n) x = 10 A2 x Ax2 Cx3 10 x d) e) 2 ĐS: a) đk: n 3, n + n – 42 > n 2C x21 Ax2 30 b) x = e) x = f) x = 10 i) x = Pn5 b) (n k )! f) 60 Ank32 Cnn 12 Cnn 11 100 (14) k n b) (n 5)(n 4)(n k 1) 0 Xét với n 4: bpt vô nghiệm Xét n {0,1,2,3} ta các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3) c) đk: n 5, n2 – 9n – 22 < n = 5; 6; 7; 8; 9; 10 d) x = e) x = 3, x = Baøi 3: Giải các hệ phương trình: Ax y C y x 126 y Px 1 C xy1 Cxy 1 C xy P 720 a) x 1 b) C y C y 1 0 x y x y 4C 5C x 0 c) x 2 A y 5C y 90 x xy A 2C xy 80 d) x A x 1 y C y x 126 y Px P 720 g) x 2 ĐS: x x Cy :Cy 2 C x : A x y y 24 e) 7 A y A y 5x 5yx 4C4 x 7C5yx h) x 5 a) y 7 5Cxy 3Cxy y C C xy f) x 2 A y C y 180 yx yx A C x 36 i) x x 8 b) y 3 d) x = 5, y = x 17 c) y 8 e) x = 4, y = f) x = 7, y = k 2 C k , C k 1 , C14 Baøi 4: Tìm số tự nhiên k cho 14 14 lập thành cấp số cộng ĐS: k = 4; Dạng 6: Tìm số tổ hợp các bài toán số học Baøi 1: Cho 10 câu hỏi, đó có câu lý thuyết và bài tập Người ta cấu tạo thành các đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, đó thiết phải có ít câu lý thuyết và bài tập Hỏi có thể tạo bao nhiêu đề thi? ĐS: C42 C61 36 Đề gồm câu lý thuyết và bài tập: Đề gồm câu lý thuyết và bài tập: C41 C62 60 Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi Baøi 2: Một lớp học có 40 học sinh, đó gồm 25 nam và 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: a) Gồm học sinh tuỳ ý b) Có nam và nữ c) Có nam và nữ d) Có ít nam e) Có ít nam và nữ (15) ĐS: a) d) C40 b) C25 C15 c) 2 C25 C15 2 C25 C15 C25 C15 C25 C15 C25 4 C C25 C15 e) 40 Baøi 3: Cho điểm mặt phẳng và không có điểm nào thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu vectơ tạo thành từ điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ điểm ấy? ĐS: 20 ; 10 Baøi 4: Có tem thư khác và bì thư khác Người ta muốn chọn từ đó tem thư, bì thư và dán tem thư lên bì thư đã chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm vậy? ĐS: 1200 Baøi 5: Một túi chứa viên bi trắng và viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được: a) viên bi cùng màu? b) viên bi trắng, viên bi xanh? ĐS: a) 20 b) 150 Baøi 6: Từ 20 người, chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đoàn, phó đoàn, thư ký và ủy viên Hỏi có cách chọn? ĐS: 4651200 Baøi 7: Từ bông hồng vàng, bông hồng trắng và bông hồng đỏ (các bông hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hóa gồm bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa đó: a) Có đúng bông hồng đỏ? b) Có ít bông hồng vàng và ít bông hồng đỏ? ĐS: a) 112 b) 150 Baøi 8: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, đó chữ số có mặt đúng lần, chữ số khác có mặt đúng lần ĐS: 544320 (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) Baøi 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập bao nhiêu số: a) Chẵn gồm chữ số khác đôi và chữ số đứng đầu là chữ số 2? b) Gồm chữ số khác đôi cho chữ số đó có đúng chữ số chẵn và chữ số lẻ? ĐS: a) 360 b) 2448 (ĐH Cần Thơ, 2001) Baøi 10: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số đầu tiên phải khác 0), đó có mặt chữ số không có chữ số 1) b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và các chữ số còn lại có mặt không quá lần ĐS: a) 33600 b) 11340 (ĐH QG, Tp.HCM, 2001) Baøi 11: Người ta viết các số có chữ số các chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần còn các chữ số còn lại xuất lần Hỏi có bao nhiêu số vậy? ĐS: 1800 (ĐH Sư phạm Vinh, 1998) Baøi 12: Từ tập thể 14 người gồm năm và nữ đó có An và Bình, người ta muốn chọn tổ công tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau: a) Trong tổ phải có nam lẫn nữ? b) Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An và Bình không đồng thời có mặt tổ? ĐS: a) 2974 b) 15048 (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001) Baøi 13: Một đồn tàu có toa chở khác Toa I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bị tàu Biết toa có ít chỗ trống Hỏi: a) Có bao nhiêu cách xếp cho vị khách lên toa b) Có bao nhiêu cách xếp cho vị khách lên tàu có toa có vị khách nói trên (16) ĐS: a) 99 b) 24 (ĐH Luật Hà Nội, 1999) Baøi 14: Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi và tổ có ít hai học sinh khá ĐS: 3780 (HVKT Quân sự, 2001) Dạng 7: Tìm số tổ hợp các bài toán hình học Baøi 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đôi một, không có đường nào đồng quy Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác tạo thành? n(n 1) Cn2 ĐS: Số giao điểm: Cn3 n(n 1)(n 2) Số tam giác: Baøi 2: Cho 10 điểm không gian, đó không có điểm nào thẳng hàng a) Có bao nhiêu đường thẳng qua cặp điểm? b) Có bao nhiêu vectơ nối cặp điểm? c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 10 điểm trên? d) Nếu 10 điểm trên không có điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện tạo thành? C2 A2 ĐS: a) 10 b) 10 C3 C4 c) 10 d) 10 Baøi 3: Cho đa giác lồi có n cạnh (n 4) a) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh? b) Giả sử đường chéo cùng qua đỉnh thì không đồng qui Hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) các đường chéo ấy? C n n ĐS: a) n n=5 b) Giao điểm đường chéo đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm đường chéo tứ giác mà đỉnh nó là đỉnh đa giác Vậy số giao điểm C4 phải tìm số tứ giác với đỉnh thuộc n đỉnh đa giác: n Baøi 4: Cho đa giác lồi có n-cạnh (n , b 3) a) Tìm số đường chéo đa giác Hãy đa giác có số cạnh số đường chéo? b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác? c) Có bao nhiêu giao điểm các đường chéo? n(n 3) (n 2)(n 1)n n(n 1)(n 2)(n 3) ; n 5 24 ĐS: a) b) c) Baøi 5: Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt? b) 10 đường tròn phân biệt? c) 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên? ĐS: a) 45 b) 90 c) 335 Baøi 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là điểm số 37 điểm đã chọn trên (d1) và (d2) ĐS: 5950 (ĐH SP Quy Nhơn, 1997) Baøi 7: Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét các tam giác có ba đỉnh lấy từ các đỉnh H a) Có tất bao nhiêu tam giác vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh H? (17) b) Có bao nhiêu tam giác có đúng cạnh là cạnh H? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh H? ĐS: a) 1140; 20 b) 320 ; 80 (HVNH, 2000, khối D) Baøi 8: Có 10 điểm A, B, C, trên mặt phẳng đó không có điểm nào thẳng hàng a) Nối chúng lại ta bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không qua A hay B? b) Có bao nhiêu tam giác đỉnh các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? ĐS: a) 45; 28 b) 120 ; 36 ; Baøi 9: Có p điểm mặt phẳng đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có điểm nào thẳng hàng Nối p điểm đó lại với Hỏi: a) Có bao nhiêu đường thẳng? b) Chúng tạo bao nhiêu tam giác? 1 p( p 1) q(q 1) 2; p( p 1)( p 2) q(q 1)(q 2) ĐS: a) b) Baøi 10: Cho p điểm không gian đó có q điểm đồng phẳng, số còn lại không có điểm nào đồng phẳng Dựng tất các mặt phẳng chứa p điểm đó Hỏi: a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau? b) Chúng tạo bao nhiêu tứ diện? C Cq3 C Cq4 ĐS: a) p b) p Baøi 11: Cho p điểm đó có q điểm cùng nằm trên đường tròn, ngoài không có điểm nào đồng phẳng Hỏi có bao nhiêu: a) Đường tròn, đường qua ba điểm? b) Tứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đó? C Cq3 C Cq4 ĐS: a) p b) p V Nhị thức Newton Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN và với cặp số a, b ta có: n (a b)n Cnk a n k b k k 0 Tính chất: 1) Số các số hạng khai triển n + 2) Tổng các số mũ a và b số hạng n C k a n k bk 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = n ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số các cặp số hạng cách số hạng đầu và cuối thì nhau: Cnk Cnn k C Cnn 1 Cnk Cnk Cnk1 5) n , * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b giá trị đặc biệt thì ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n Cn1 x n Cnn Cn0 Cn1 Cnn 2n (x–1)n = Cn0 x n Cn1 x n ( 1)n Cnn Cn0 Cn1 ( 1)n Cnn 0 Dạng 1: Xác định các hệ số khai triển nhị thức Newton Baøi 1: Tìm hệ số số hạng chứa M khai triển nhị thức, với: (18) a) ( x 3) ; M x 12 b) (2 x 1) ; M x 15 c) (2 x ) ; M x 11 d) (1 3x ) ; M x 12 15 e) (3 x x ) ; M x 13 f) (2 x ) ; M x 10 2 y ; M y y i) 1 x ; M x x h) 17 k) (2 x 3y ) ; M x y 25 14 12 2 11 x ; M x x g) 15 25 10 l) ( x xy ) ; M x y k) 12 13 (2 x 3y ) ; M x y ĐS: Baøi 2: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức: 10 12 x x a) 1 2x x e) ĐS: a) 45 x 4 x b) 10 10 a) P( x ) a0 a1x a2 x an x n P( x ) (1 x ) 2(1 x ) 3(1 x ) 20(1 x )20 ; a15 c) P( x ) ( x 2)80 a0 a1 x a2 x a80 x 80 ; a78 d) e) P( x ) (3 x ) 10 1 x x h) f) 210 Xác định hệ số ak: 30 ? ? 50 a0 a1 x a2 x a50 x ; a46 ? b) 50 1 x x d) x 2 x g) d) 15 e) –8064 P( x ) (1 x )9 (1 x )10 (1 x )14 ; a9 15 x 3 x f) b) 495 c) –10 Baøi 3: Khai triển đa thức P(x) dạng: x 2 x c) ? P( x ) (1 x ) (1 x ) (1 x ) (1 x ) ; a3 ĐS: a) a9 3003 b) a15 400995 n c) a78 ? 12640 k Baøi 4: Trong khai triển ( x y z) , tìm số hạng chứa x y ĐS: Trước hết tìm tất số hạng chứa xk n x y z Cnk x k y z Ta có: (x + y + z) = m n k n mà (y + z)n–k = d) a46 = 18654300 (k, m < n) Cnm k y m zn k m k m C k C m x k y m zn k m số hạng chứa x y là: n n k Baøi 5: Tìm hệ số số hạng chứa M khai triển nhị thức, với: 10 a) (1 x x ) ; M x 10 17 b) (1 x x ) ; M x c) ( x x 1) ; M x 8 d) (1 x x ) ; M x 8 f) x (1 x ) ; M x 10 e) (1 x x x ) ; M x Baøi 6: n x 2 x tổng các hệ số các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ a) Cho biết khai triển ba 11 Tìm hệ số x (19) n 1 x , x tổng các hệ số các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ b) Cho biết khai triển ba là 46 Tìm hạng tử không chứa x n 2 x là 97 Tìm c) Cho biết tổng hệ số số hạng đầu tiên khai triển hạng tử khai triển chứa x4 n 26 d) Tìm hệ số số hạng chứa x 7 x , biết rằng: khai triển x C21n1 C22n 1 C2nn1 220 n 10 e) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển (2 x ) , biết rằng: 30 Cn0 3n 1Cn1 3n Cn2 ( 1)n Cnn 2048 ĐS: a) n 4, C42 6 b) n = ; 84 c) n = 8; 1120 x 26 d) n = 10; 210 x 10 e) n = 11; 22 x Baøi 7: a) Tìm số hạng không chứa thức khai triển nhị thức: 3 25 n b3 12 Biết tỉ số các hệ số số hạng thứ và b) Tìm số mũ n biểu thức thứ khai triển nhị thức đó là 7:2 Tìm số hạng thứ 6? 15 1 x x c) Tìm số hạng thứ khai triển 12 3 2 a a d) Tìm số hạng chứa a7 khai triển 64 5 e) Tìm số hạng khai triển x 10 x 12 1 x f) Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức: x 16 3 1 x x g) Tìm hạng tử độc lập với x khai triển ĐS: a) C52 3.2 60 30 d) 924a C95 b b) n = T6 = e) 3 b 15 30 15 T16 C30 x y a 3 b Baøi 8: Trong khai triển nhị thức: giống nhau? 126 b b2 f) 495 21 c) T6 C15 g) 1820 b a , tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa (20) 21 k k a b k 21 k k k 21 k C21 k b C a b a = 21 ĐS: Ta có: Tk+1 = 5 21 k k k 21 k 2 6 k = Vậy số hạng cần tìm là: T10 = C21.a b Baøi 9: Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên khai triển sau: 13 10 a) ( x x ) ĐS: a) x3 x b) 10 10 C10 x , C10 x , C10 x b) 13 9 C13 x , C13 x , C13 x , C13 x Baøi 10:a) Tìm số hạng khai triển ( 2) là số nguyên b) Tìm số hạng hữu tỉ khai triển ( 15) 36 c) Xác định các số hạng hữu tỉ khai triển ( 7) 124 d) Có bao nhiêu hạng tử nguyên khai triển ( 5) T 4536, T10 8 T 27, T3 2005, T5 10125, T7 3375 ĐS: a) b) T ,T ,T c) 22 37 d) 32 số hạng 13 a a a Baøi 11:a) Tìm số hạng thứ ba khai triển n Cn : Cn 4 :1 T3 4T5 40 T4 T6 n b) Trong khai triển (1 x ) theo lũy thừa tăng x, cho biết : Tìm n và x? n a a a cho biết hiệu số hệ số hạng tử thứ ba và thứ hai là c) Trong khai triển 44 Tìm n 13 n 6, x n 14, T3 91 a51 ĐS: a) b) c) n = 11 Dạng : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp n Baøi 1: Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển (a b) ): a) S C60 C61 C66 HD: Sử dụng: (1 x ) , với x = b) S C50 2C51 22 C52 25 C55 HD: Sử dụng: (1 x ) , với x = c) 2010 S C2010 C2010 C2010 C2010 2010 HD: Sử dụng: (1 x ) , với x = d) 2010 S C2010 2C2010 22 C2010 22010 C2010 2010 HD: Sử dụng: (1 x ) , với x = e) 10 11 S C11 C11 C11 C11 C11 C11 11 HD: Sử dụng: (1 x ) , với x = f) 16 S 316 C16 315 C16 314 C16 C16 16 HD: Sử dụng: ( x 1) , với x = (21) g) 17 S 317 C17 41.316.C17 417 C17 17 HD: Sử dụng: (3 x 4) , với x = n Baøi 2: Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển (a b) ): a) S Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n HD: Sử dụng: (1 x ) , với x = b) S1 C20n C22n C24n C22nn 2n HD: Sử dụng: (1 x ) , với x = S2 C21n C23n C25n C22nn c) S Cn0 3Cn1 32 Cn3 3n Cnn n HD: Sử dụng: (1 x ) , với x = d) S Cn0 6Cn1 62 Cn2 6n Cnn n HD: Sử dụng: (1 x ) , với x = d) S Cn0 2Cn1 22 Cn2 2n Cnn n HD: Sử dụng: (1 x ) , với x = n Baøi 3: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng trực tiếp khai triển (a b ) ): C C22n C22nn C21n C23n C22nn a) n =1 2n HD: (1 x ) , với x b) C20n C21n C22n C22nn 4n c) 10.C21n 102.C22n 103.C23n 102 n 1C22nn 102 n 81n d) C20n C22n 32 C24n 34 C22nn 32 n 22n 1.(22 n 1) 2n HD: (1 x ) , với x = 2n HD: (1 x ) , với x = 10 2n e) 2004 S C2004 22 C2004 24 C2004 22004 C2004 HD: (1 x ) 32004 (1 x )2 n , với x = 2004 (1 x )2004 , với x = HD: (1 x ) m n m n Baøi 4: Dùng đẳng thức (1 x ) (1 x ) (1 x ) , chứng minh rằng: a) Cm0 Cnk C1m Cnk Cm2 Cnk Cmm Cnk m Cmk n , m k n b) (Cn0 )2 (Hệ thức Van der mon de (Van đec mon)) (Cn1 )2 (Cn2 )2 (Cnn )2 C2nn Cn0 Cnk C1n Cnk 1 Cn2 Cnk 2 Cnn k Cnn (2n)! (n k )!(n k )! c) Baøi 5: Tính giá trị các biểu thức A, B cách tính A + B, A – B: a) A = 22 n C20n 22 n C22n 20 C22nn b) A = 2n Cn0 2n Cn2 2n Cn4 2n 2n HD: a) Ta có : (2 x 1) = k 0 C2kn B= 22 n 1C21n 22 n C23n 21C22nn B= 2n 1Cn1 2n Cn3 2n Cn5 n k 2x Thay x = ta A + B = 32n = 9n 2n 2n C2kn (2 x )2n k ( 1)k Mặt khác, (2 x –1) = k 0 n (9 1) Từ đó suy ra: A = , Thay x = ta A – B = 1 n (9 1) B= (22) n n b) Khai triển (2 x 1) , với x = A + B = n Khai triển (2 x 1) , với x = A – B = 1 A (3n 1), B (3n 1) 2 n Baøi 6: Biết tổng tất các hệ số khai triển thị thức ( x 1) 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) số hạng ax12 khai triển đó ĐS: a = 210 (HV hành chính QG, 2000) Baøi 7: Chứng minh: a) 2001 2000 k 2001 k 2001 2002 S C2002 C2002 C2002 C2001 C2002 C2002 k C2002C1 1001.2 HD: a) Chú ý: k 2001 k k C2002 C2002 k 2002.C2001 2001 S= k 2002 C2001 2002.22001 1001.22002 k 0 n Baøi 8: Tính các tổng sau (sử dụng đạo hàm khai triển (a b) ): 2010 S C2010 2C2010 3C2010 2011C2010 a) với x = ĐS: 2011 HD: Lấy đạo hàm: (1 x ) , n Baøi 9: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng đạo hàm khai triển (a b) ): a) S 1.Cn1 2.Cn2 n.Cnn n.2n b) S 2.1.Cn2 3.2.Cn3 n(n 1).Cnn n.(n 1)2n c) S 12 Cn1 22 Cn2 n2Cnn n(n 1).2n HD: d) n HD: (1 x ) , với x = (1 x )n HD: , với x = k 2Cnk k (k 1) k Cnk S Cn1 3n 2Cn2 3n 3Cn3 3n nCnn n.4n n HD: (3 x ) , với x = n Baøi 10:Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng tích phân khai triển (a b) ): 22 23 2n 1 n 3n1 S 2Cn0 Cn1 Cn2 C n 1 n n 1 a) 1 n1 S Cn0 C1n Cn2 Cnn n 1 n 1 b) c) S Cn0 1 ( 1)n n Cn1 Cn2 Cn n 1 n 1 1 ( 1)n n S Cn0 Cn1 Cn2 Cn 2(n 1) 2(n 1) d) HD: S x (1 x )n dx HD: S (1 x )n dx HD: S (1 x )n dx HD: S (1 x )n dx (23) 1 1 2n 1 S Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2(n 1) 2(n 1) e) HD: S x (1 x )n dx f) S Cn0 22 1 2 2 n1 n 3n1 2n 1 S (1 x )n dx Cn Cn Cn n 1 n 1 HD: Dạng 3: Toán chia hết Nếu a chia cho b có số dư là r thì a = bq + r nên an = (bq + r)n = bnqn + nbn–1qn–1r + … + nbqrn–1 + rn Do đó an và rn có cùng số dư chia cho b Tức là: an rn(mod b) Vậy a r (mod b) thì an rn (mod b) Ví dụ 1: Chứng minh với n Z+, ta có: a) 4n + 15n – b) 16n – 15n – 225 n HD: a) Ta có = (3+1)n = 3n + n.3n–1 + … + 3n + 3n + (mod 9) (vì 3k , k 2) n + 15n – 3n + + 15n – (mod 9) = 18n (mod 9) Vậy 4n + 15n – n(n 1) 15 b) 16n = (1 + 15)n = + n.15 + + … + n.15n–1 + 15n + 15n (mod 152) Do đó: 16n – 15n – + 15n – 15n – (mod 225) Vậy 16n – 15n – 225 Ví dụ 2: Chứng minh với n Z+, ta có:26n+1 + 36n+1 + 56n + HD: 26n+1 + 36n+1 + 56n+1 + = 2(26)n + 3(36)n + (56)n + = 2.64n + 3.729n + 15625n + n = 2[(7.9 + 1) – 1] + 3[(7.104 + 1)n – 1] + [(7.2232 + 1)n – 1] + Do đó với số tự nhiên p và q thì: q (7p+1) – = [(7p+1)–1].[(7p+1)q–1+ … + (7p+1) + 1] nên biểu thức đã cho luôn chia hết cho B XÁC SUẤT I Biến cố và xác suất Biến cố Không gian mẫu : là tập các kết có thể xảy phép thử Biến cố A: là tập các kết phép thử làm xảy A A Biến cố không: Biến cố chắn: (24) Biến cố đối A: A \ A Hợp hai biến cố: A B Giao hai biến cố: A B (hoặc A.B) Hai biến cố xung khắc: A B = Hai biến cố độc lập: việc xảy biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố Xác suất n( A) Xác suất biến cố: P(A) = n( ) P(A) 1; P() = 1; P() = Qui tắc cộng: Nếu A B = thì P(A B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A.B) P( A ) = – P(A) Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A) P(B) Baøi 1: Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Tích hai mặt xuất là số lẻ c) Tích hai mặt xuất là số chẵn ĐS: a) n() = 36 n(A) = P(A) = 36 b) c) Baøi 2: Một lớp học có 25 học sinh, đó gồm có 15 em học khá môn Toán, 17 em học khá môn Văn a) Tính xác suất để chọn em học khá môn b) Tính xác suất để chọn em học khá môn Toán không khá môn Văn C72 ĐS: a) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 15 +17 – 25 = P(AB)= 25 b) C83 25 Baøi 3: Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Các mặt xuất có số chấm 1 ĐS: a) b) Baøi 4: Một bình đựng viên bi xanh và viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi, lấy tiếp viên Tính xác suất biến cố lần thứ hai viên bi xanh ĐS: Baøi 5: Một bình đựng viên bi xanh và viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để ít viên bi xanh ĐS: Baøi 6: Hai người săn độc lập với và cùng bắn thú Xác suất bắn trúng người thứ là , người thứ hai là Tính xác suất để thú bị bắn trúng ĐS: Baøi 7: Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất các (25) biến cố sau: a) Lần thứ xuất mặt chấm b) Lần thứ hai xuất mặt chấm c) Ít lần xuất mặt chấm d) Không lần nào xuất mặt chấm 1 11 25 ĐS: a) b) c) 36 d) 36 Baøi 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Cả đồng xu ngửa b) Có đúng đồng xu lật ngửa c) Có ít hai đồng xu lật ngửa 1 11 ĐS: a) 16 b) c) 16 Baøi 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, đó có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng.Tính xác suất để lấy được: a) ít bóng tốt b) ít bóng tốt Baøi 10:Một lớp học gồm 20 học sinh đó có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Văn và học sinh giỏi môn GVCN chọn em Tính xác suất để em đó là học sinh giỏi Baøi 11:Một hộp có 20 cầu giống nhau, đó có 12 cầu trắng và cầu đen Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để chọn có ít màu đen Baøi 12:Một tổ có học sinh nam và học sinh nữ GVCN chọn em thi văn nghệ Tính xác suất để em đó khác phái Baøi 13:Một lớp có 30 học sinh, đó có em giỏi, 15 em khá và em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để : a) Cả em là học sinh giỏi b) Có ít học sinh giỏi c) Không có học sinh trung bình Baøi 14:Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác lấy từ số trên Lấy ngẫu nhiên số thuộc X Tính xác suất để: a) Số đó là số lẻ b) Số đó chia hết cho c) Số đó chia hết cho II Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên rời rạc X = {x1, x2, …,xn} P(X=xk) = pk p1 + p2 + … + pn = Kì vọng (giá trị trung bình) n xi pi = E(X) = i 1 Phương sai và độ lệch chuẩn n V(X) = ( xi )2 pi i 1 n = xi2 pi i 1 (X) = V ( X ) Baøi 1: Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền Mỗi người đá lần với xác suất làm bàn người thứ là 0,8 Tính xác suất làm bàn người thứ hai, biết xác suất để hai người cùng làm bàn là 0,56 và xác suất để bị thủng lưới ít lần là 0,94 Baøi 2: Một cặp vợ chồng có người Gọi X là số lần sinh trai Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Baøi 3: Một hộp đựng viên bi xanh và viên bi đỏ Chọn ngẫu nhiên viên bi Gọi X là số lần lấy bi đỏ Lập bảng phân phối biến ngẫu nhiên X (26) Baøi 4: Cho bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X: X P 0,3 0,5 0,2 Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn X Baøi 5: Một hộp đựng viên bi đỏ và viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên Gọi X là số bi đỏ lấy Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn X Baøi 6: Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào bia Mỗi người bắn viên đạn Xác suất để xạ thủ thứ bắn trúng bia là 0,7 Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,8 Gọi X là số đạn bắn trúng bia Tính kỳ vọng, phương sai X (27)