Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác được tạo bởi hai trong các đường thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bìn[r]
(1)ĐỀ SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP (Thời gian làm bài 150’) Câu 1: Giải phương trình 6x x 1 x = + x x2 Câu 2: Cho hệ phương trình: x - 3y - = x2 + y2 - 2x - 2y - = Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm hệ phương trình trên Hãy tìm giá trị biểu thức M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2 Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B,C là các tiếp điểm) Gọi M là điểm trên cung nhỏ BC đường tròn (O) (M khác B và C) Tiếp tuyến M cắt AB và AC E, F, PQ đường thẳng BC cắt OE và OF P và Q Chứng minh tỷ số EF không đổi M di chuyển trên cung nhỏ BC Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức 2(y+z) = x (yz-1) Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất các tam giác có đỉnh là đỉnh liên tiếp ngũ giác có diện tích Tính diện tích ngũ giác đó (2) ĐỀ SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP (Thời gian làm bài: 150’) Câu 1: Cho biểu thức 2 (x + x 2006) (y y 2006) 2006 Hãy tính tổng: S = x + y x2 x y2 y Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn: Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn Câu 3: x2 y2 0 Tìm các số nguyên dương n cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 là số chính phương Câu 4: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài điểm T Hai đường tròn này nằm đường tròn (C 3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng M và N Tiếp tuyến chung T (C1) và (C2) cắt (C3) P PM cắt đường tròn (C1) diểm thứ hai A và MN cắt (C1) điểm thứ hai B PN cắt đường tròn (C2) điểm thứ hai D và MN cắt (C2) điểm thứ hai C a Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp b Chứng minh AB, CD và PT đồng quy Câu 5: Giải phương trình x2 + 3x + = (x+3) x (3) ĐỀ SỐ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ***** ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút Bài 1: Có số y nào biểu thị dạng sau không? y 13 13 1 1 Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức: a b c a b c Chứng minh : 1 1 n bn cn a n bn cn Với số nguyên n lẻ ta có: a Bài 3: Giải hệ phương trình: x y 9 x y Bài 4: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau: (m 1) x my 2m mx y m Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn Bài 5: Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, 1 1 x x , x thoả mãn điều kiện x2 x3 x4 y x2 Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị hàm số (4) a Tìm m cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol b Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách hai trục toạ độ Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 – y3 – 2y2 – 3y – = Bài 8: Cho góc vuông xOy Các điểm A và B tương ứng thuộc các tia Ox và Oy cho OA = OB Một đường thẳng d qua A cắt đoạn OB điểm M nằm O và B Từ B hạ đường vuông góc với AM H và cắt đường thẳng OA I Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp Gọi K là hình chiếu O lên BI Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K M di động trên đoạn OB Bài 9: Cho tam giác ABC có A 90 , M là điểm di động trên cạnh BC Gọi O và E là hình chiếu vuông góc M trên AB và AC Xác định vị trí M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn ĐỀ SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP đ Bài I (2 ) 2a 2a Với a = Rút gọn A 2a 2a Bài II (6đ) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x2 + 4x = 19-3y2 b) Giải hệ phương trình x3 =7x +3y y3 = 7y+3x Bài III (3đ) Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1 Tìm giá trị lớn M = xy+yz+zx Bài IV (6đ) Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N thứ tự là trung điểm các đường hcéo AC và BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC Gọi I là giao điểm MH’ và NH Chứng minh I cách điểm C và D Bài V (3đ) Cho a,b,c >0 và a+b+c = Chứng minh b+c ≥ 16abc (5) ĐỀ SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP MÔN TOÁN -THỜI GIAN : 150 PHÚT NGƯỜI RA ĐỀ : LÊ THỊ HƯƠNG – LÊ THỊ TÂM Câu 1: (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x x ( x 6) x 3 A = 2( x x 3)(2 x ) x 10 x 12 x x điều kiện x # 4; x # ; x # Câu 2: (3 điểm) giải phương trình x 48 = 4x - + x 35 Câu 3: (4 điểm) Phân tích thừa số A = x3 y3 + z3 - 3xyz Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) phương trình (6) x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2 (1) t/m đk: max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2) Câu 4: (3 điểm) Tìm GTNN biểu thức x10 y10 ( ) ( x16 y16 ) (1 x y ) x = y Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (0) có đường chéo AC&BD vuông với H < H không trùng với tâm (0) Gọi M,N là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q là giao điểm đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA chứng minh đường thẳng PQ // đường thẳng AC và điểm M, N, P, Q nằm trên (0) ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỞ GD-ĐT THANH HOÁ LỚP Bảng A TrườngTHPT Bỉm Sơn ( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) ( x y )2 Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A= x x y y x x y y x y x y x y 1,Rút gọn biểu thức A 2, So sánh A và A Câu 2: ( Điểm) 1, Giải phương trình: x2 + 4x + = 2x (7) 2, Cho a 2 và b Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức: P= ( a b) a3 b3 Câu 3, (6 điểm) 1, Số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông là nghiệm phương trình bậc hai: (m-2)x2-2(m-1)x +m = Hãy xác định giá trị m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền tam giác là: 2, Cho điểm A,B phân biệt trên đường thẳng ( ) Đường tròn (o) tiếp xúc với đường thẳng ( ) A Hãy dựng đường tròn (o’) tiếp xúc với đường tròn (o) và tiếp xúc với đường thẳng ( ) B Câu 4: (5 điểm) Cho hai đường tròn (o1) và (o2) cắt A và B Tiếp tuyến chung gần B hai đường tròn tiếp xúc với (o 1) và (o2) C và D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (o 1) và (o2) M và N Các đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng MN P và Q Các đường thẳng CM và DN cắt E Chứng minh rằng: 1, Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD 2, Tam giác EPQ là tam giác cân Đề số 11 Sở giáo dục và đào tạo hoá ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP – BẢNG B Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 1 a 1 1 Bài 1: Rút gọn A= a a a a với a > và a 1 Bài 2: Phân tích đa thức B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + thành nhân tử (8) x2 15 x m 0 có hai nghiệm và nghiệm Bài 3: Tìm m để phương trình này bình phương nghiệm Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm (x, y) với x, y là số nguyên mx y m 2 x my 2m 1 2 Bài 5: Giải phương trình x x 5 Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – gọi A, B là giao điểm d với Ox, Oy Xác định m để SABO Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x) Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC vuông A biết đường phân giác AD chia cạnh huyền thành đoạn thẳng có độ dài 10 cm và 20 cm Bài 9: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến đường tròn B, C cắt A, BAC = 600, M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến M cắt AB, AC D, E Gọi giao điểm OD, OE với BC là I, K Chứng minh tứ giác IOCE nội tiếp Bài 10: Chứng minh tứ diện tồn cạnh cùng xuất phát từ đỉnh mà cạnh nhỏ tổng hai cạnh Tài liệu: - Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số - Bài 3, : Đại số nâng cao lớp - Bài : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính - Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học ĐỀ SỐ 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Môn thi : Toán ( Thời gian làm bài : 150 phút) (9) Bài I (3,0 điểm): Tính giá trị biểu thức P = a+1 √a +a+ 1− a .Trong đó a là nghiệm dương phương trình : 4x2+ x- = Bài II ( 6,0 điểm): 1) Giả sử phương trình : x2+ax+b = có hai nghiệm x1 , x2 và phương trình :x2+cx +d = có hai nghiệm x3 , x4 Chứng minh : 2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2- (a2-c2)(b-d)+(a+c)2(b+d) 2) Chứng minh phương trình : ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a 0) có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x1x2=1 thì 5a2=2b2+ac Bài III (5,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AA’,BB’,CC’ là các đường cao H là trực tâm AH BH CH + + ≥6 1) Chứng minh rằng: HA ' HB ' HC ' 2) Cho biết AH =m A ' H Hãy tính tgB.tgC theo m Bài IV (4,0 điểm): Từ điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD Ta nối với các đỉnh hình bình hành đó Chứng minh diện tích tam giác AOC tổng hiệu diện tích hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác tạo hai các đường thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh hình bình hành Bài V (2,0 điểm): Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p cho phương trình : x2+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y Chứng minh A là tập hợp vô hạn (10) Sở GD-ĐT Thanh Hóa Trường THPT Mai Anh Tuấn 2006 Đề số 13 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn : Toán - Năm học: 2005 (Thời gian làm bài: 180 phút) Bài 1: (2,0đ) Tính giá trị biểu thức: A= 2 2 Bài 2: (5,0đ) y= x Cho parabol(P): a.Viết phương trình đường thẳng (d) di qua điểm A và B thuộc (P) và có hoành độ là và - b.Tìm điểm C trên cung AB (P) cho tam giác ABC có diện tích lớn Bài 3: (4,0đ) Cho tam giác ABC vuông cân B, nội tiếp đường tròn (O;R) Trên cung AC có chứa điểm B, lấy điểm D tùy ý; trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = DC a Chứng minh trung điểm I EC và điểm D thẳng hàng với điểm thứ ba cố định b.Tìm tập hợp các điểm E D di động trên cung ABC c.Xác định vị trí D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài theo R Bài 4: (4,0 đ) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác Điểm A’ cách các điểm A, B, C a Chứng minh chân đường cao hạ từ đỉnh A’ lăng trụ trùng với tam đáy ABC b Chứng minh mặt bên BCC’B’ lăng trụ là hình chữ nhật Bài 5: (5,0 đ) a.Giải phương trình: (x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + = b.Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2 2x +7xy + 6y = 60 (11) Đề số 14 Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp thcs TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ MÔN : TOÁN Thời gian : 150 phút không kể thời NGA SƠN gian giao Bài 1: (6 điểm) 1- Giải phương trình : x + y2 = x4 + x2y2 + y4 = 13 2- Cho biểu thức: A = 2x- Tìm x để A đạt giá trị nhỏ x+2 Tìm giá trị nhỏ đó Bài : (3 điểm) Cho Phương trình : x2 – (m - 1) x + m – = 1)Chứng minh luôn có nghiệm với V giá trị m 2)Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Bài 3: (3 điểm) Cho a + b + c + d = Trong đó a, b, c, d ê R Hãy chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC D Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông A và chỉ khi: AB AC = 2DB DC Bài 5: ( điểm) Cho hình chóp SABC có SA SB, SA SB SC Biết SA = a; SB + SC = k Đặt SB = x SC, a)Tính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S ABC lớn (12) Đề số 21 SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC ĐỀ XUẤT NGÂN HÀNG ĐỀ Đề thi Học sinh giỏi lớp – Môn Toán o0o - o0o -2 x 2 x 1 2x 2 x , với x < 1 A Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức: Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình sau biết phương trình có nghiệm đối nhau: x4 – 4x3 + 3x2 + 8x – 10 = Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức P = x + y2, biết rằng: x2 + y2 – xy = Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 7x2 + 13y2 = 1820 Câu 5: (3 điểm) Cho ABC cân nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = AC = R a) Tính BC theo R? (13) b) Cho M là điểm di động trên cung AC nhỏ Gọi D là giao điểm AM và BC Chứng minh AM.AD là số c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp MCD di động trên đường cố định M di động trên cung AC nhỏ Đề số 22 SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút Bài : Cho biểu thức A a a a a a 1 a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn A Bài : Cho số dương x,y thoả mãn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B x y : a2 a x2 m( x 1) Bài : Cho phương trình (m là tham số ) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m R 2 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn biểu thức x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này Bài : Một vận động viên bắn súng đã bắn 11 viên và trúng vào vòng 9,10 điểm; tổng số điểm đạt là 109 điểm Hỏi vận động vieen đó đã bắn bao nhiêu viên và kết bắn vào các vòng sao? Bài : Giải phương trình x x x x 5 x2 Bài : Cho parabol(P) : y= và đường thẳng (d) : y= mx – 2m – a) tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) b)chứng minh đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định A (P) Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên phương trình (14) x 13 y 1820 Bài : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đường cao tam giác Chứng minh S HIK 1 cos A cos B cos C S ABC Bài 9: Cho hình vuông ABCD Gọi MNPQ là tứ giác lồi có đỉnh nằm trên cạnh hình vuông Xác định tứ giác MNPQ cho nó có chu vi nhỏ Bài 10 : Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định ngoài đường tròn, vẽ cát tuyến PBC bất kì tìm quỹ tích các điểm O1 đối xứng với O qua BC cát tuyến PBC quay quanh P ĐỀ SỐ 23 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút BÀI I (1,0 điểm) Cho hai phương trình: x2 + ax + = và x + bx + 17 = Biết hai phương trình có nghiệm chung và a b nhá nhÊt Tìm a và b BÀI II (2 điểm) Giải phương trình: BÀI III (2,5 điểm) x x x x 5x 20 x y 1 7 4 1/ Giải hệ phương trình: x y x y 2/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21 BÀI IV (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O M là điểm chính cung BC không chứa điểm A Gọi M ’ là điểm đối xứng với M qua O Các đường phân giác góc B và góc C tam giác ABC cắt đường thẳng AM’ E và F 1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn 2/ Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r Chứng minh: IB.IC = 2r.IM (15) BÀI V (2 điểm) 1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện: a 3 ; và a + b = 11 Tìm giá trị lớn tích P = a.b b 11 2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ; Oz Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P) -Họ và tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: ……… Đề số 24 SỞ GD&ĐT THANH HOÁ Trường THPT Hoằng Hoá ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài (2 điểm) Rút gọn biểu thức : 1 1 5 9 13 2001 2005 P = 1 Bài (2 điểm) Cho ba số dương x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = Hãy tính giá trị biểu thức sau : (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) x y z 2 x y 1 z2 S= Bài ( điểm) 2x 13x 6 x x x x Giải phương trình : Bài (2 điểm) (16) x y 3( x y ) Giải hệ phương trình : x y Bài (2 điểm) Tìm giá trị x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng : x 18 x 28 x 24 x 45 = – x2 + 6x -5 Bài (2 điểm) x Cho Parabol (P) : y = và đường thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P) có hoành độ là -2 và Tìm điểm M trên cung AB (P) tương ứng có hoành độ x [-2; 4] cho tam giác MAB có diện tích lớn Bài ( điểm) x4 2 Tìm cặp số nguyên dương (x; y) cho x y là số nguyên dương ĐỀ SỐ 26 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP - MÔN TOÁN: THỜI GIAN: 150PHÚT Bài 1(2 điểm): Thực phép tính: A 17 17 10 3 3 2 Bài 2(2 điểm): Phân tích đa thức phân tử 24x3 - 26x2 + 9x - Bài 3(2 điểm): Tìm m để phương trình: x2 - 2x - x-1 + m = có nghiệm phân biệt Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm: √ x +2 √ y=3 √ x + √ y=m mx + y =1 Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ: x +3 y=m−1 có nghiệm (x;y) thoả x2 + y2 = Bài 6(2 điểm): Cho đường (dm): y = mx - 3m + a) Vẽ đồ thị (d2) (tức m = 2) (17) b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn y x x 11x 2x Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ đường a và b thoả a b Trên a hai phía I lấy điểm A, D Trên b hai phía I lấy điểm B, C Thoả mãn IA.ID = IB.IC a) Chứng minh A, B, C, D thuộc đường tròn b) Qua D kẻ đường song song với b cắt AB kéo dài F Hãy xác định điểm E trên FD cho AE FI Khi đó ICED là hình gì? Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p M, N trên AB thoả AM = MN = NB P, Q trên DC cho DP = PQ = QC AQ cắt DN, BP A1D1 CM cắt DN, BP B1C1 Hỏi hình bình hành ABCD có đặc điểm gì thì tứ giác A 1B1C1D1 có diện tích đạt giá trị lớn Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là 30m3 đáy là đường tròn (O) và (O'), AB là đường kính đường tròn tâm (O), C di động trên đường tròn (O) S thuộc đường tròn tâm (O') a) Xác định C để diện tích ABC là lớn b) Khi ABC đạt giá trị lớn Hãy tính thể tích hình chóp SABC Đề số 28 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS TRƯỜNG THPT BC LÊ VIẾT TẠO **************************** Bài 1: a) Chứng minh rằng: 3 3 3 9 b) Tính giá trị biểu thức E 2 x x x x với x 1 Bài 2: Cho a b , a c , b c chứng minh b2 c2 c2 a2 a b2 b c c a a b ( a b)(a c) (b c )(b a) (c a )(c b) b c c a a b x 2mx 2m 0 Bài 3: Cho phương trình: (18) Tìm m để phương trình có nghiệm cho nghiệm này bình phương nghiệm Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Chứng minh a 2 8 x 5 x 5 thì hệ sau vô nghiệm: x y a x y 1 y x2 Cho Parabol (P) và đường thẳng (d): y x2 Gọi A Bài 6: và B là giao điểm (P) và (d) Tìm M trên cung AB (P) cho diện tích MAB lớn Bài 7: Tìm nghiệm nguyên phương trình x y z t Bài 8: Cho tam giác ABC Phân giác AD, trung tuyến AM Lấy đối xứng NB AB trung tuyến AM qua AD cắt BC N Chứng minh: NC AC Bài 9: Diện tích hình thang Hỏi đường chéo lớn có giá trị bé là bao nhiêu Bài 10: Cho đường tròn ( 0; R) với đường kính AB và MN Tiếp tuyến với (0) A cắt BM và BN M1, N1 Gọi P là trung điểm AM1, Q là trung điểm AN1 Đường kính AB cố định, tìm tập hợp tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ đường kính MN thay đổi ĐÊ SỐ 30 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức x x P 1 x x x 9 x : x x x x 6 a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị x để P = (19) Bài 2: (5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A(-1; -2); B(-3; 4); C(2;4) a Chứng minh A, B, C không thẳng hàng b Cho Parabol (P): y = ax2 + bx + c Xác định a, b, c để (P) qua các điểm A, B, C c Qua O có thể kẻ đường thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ? Bài 3: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau x y 4 b) x y 7 x x 0 a) x 4x Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH vẽ đường tròn tâm O đường kính AH Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC D và E a Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và điểm D, O, E thẳng hàng b Các tiếp tuyến đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng M và N Chứng minh M, N là trung điểm các đoạn HB, HC c Cho AB = 8cm, AC = 9cm Tính diện tích tứ giác MDEN Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 2 xy với x 1, y 1 x 1 y ĐỀ SỐ 31 (20) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH SỞ GD & ĐT THANH HOÁ LỚP Trường THPT Quảng Xương MÔN: MÔN TOÁN - BẢNG A -NĂM HỌC 2005 - 2006 (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1: (5 điểm) 1 x x x x P x x x 1> cho a> Rút gọn P x P b> Tìm giá trị lớn 2>> Tìm trên đường thẳng y= x+ điểm có toạ độ thoã mãn: y2 - 3y x + 2x =0 Bài 2: (5 điểm) 1> Gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình x2 + mx + n =0 Tìm m, n thoã mãn hệ x1 x 5 3 x1 x 35 2> Giải phương trình: x2 ( x 1) x Bài 3: (5 điểm) 1> Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD) E, F là tiếp điểm AB và CD với đường tròn (O) BE DF AE CF a> CMR: b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE Tính diện tích ABCD 2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) A Gọi H, K là hình chiếu vuông góc A lên SC và SB Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp Bầi 4: (5 điểm) 1> Tìm a R để phương trình ẩn x sau: x ( 4a 11 ) x a 0 (21) có nghiệm nguyên 2> Chứng minh rằng: 4x y x2 y2 3 (x y )2 y x với x, y khác Đề số 32 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Sở GD & ĐT Thanh Hoá TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II MÔN: TOÁN -Bài1 (5điểm) a Rút gọn Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 1 1 1 P= 1 1 1 b Giải phương trình: x x 3 x Bài2 (5điểm) a Giải hệ phương trình x y 4z y z 4x x z y b Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9 Bài3 (5điểm) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4a 9b 16c P= b c a a c b a b c Với a,b,c là độ dài cạnh tam giác b Với a,b,c là độ dài cạnh tam giác chứng minh phương trình: x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm Bài (5điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Đường cao HE Trên đoạn HE lấy điểm B cho tia CB AH Hai trung tuyến AH và BK tam giác ABC cắt I Hai trung trực AC và BC cắt O (22) a Chứng minh ABH đồng dạng với MKO b Chứng minh IO IK IM 3 3 IA IH IB = ĐỀ SỐ 33 NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút Tổ Toán, Trường THPT Quảng Xương III Bài 1: 1) (2đ) Rút gọn biểu thức: 1 1 27a 6a a a 27a 6a 3 3 A 23 (2đ) Trục thức mẫu số biểu thức: A 3 a a 2) Bài 2: 1) (2đ) Giải phương trình: x y z x xy yz x x x 2) (2đ) Giải hệ phương trình sau: Bài 3: x y 10 x y y x 12 (2đ) Giải phương trình: x x 12 x 12 0 (2đ) Lập phương trình đường thẳng qua A( 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị hàm số 1) 2) y x x x x (C) Bài 4: 1 T a b c với a, b, c N và T < 1) (2đ) Tìm giá trị lớn 2) (2đ) Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC, đường cao BM Chứng AM AB 2 1 MC BC minh Bài 5: (23) Cho tứ giác lồi ABCD, E là trung điểm AD Tìm tập hợp các điểm M nằm tứ giác cho tổng diện tích các tam giác AMB và CMD tổng diện tích các tam giác AEB và CED các trường hợp: 1) (2đ) AB và CD song song 2) (2đ) AB và CD không song song HẾT ĐỀ SỐ 35 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN: TOÁN - THANG ĐIỂM: 20 Bài 1: (6đ) 2 (2đ) Rút gọn biểu thức A = 2 2 2 2 (4đ) Tính giá trị tổng B= 1 1 1 1 2 99 100 Bài 2: (2đ) Tìm x, y, z nguyên dương đôi khác thoả mãn: 3x + 3y + 3z = 6831 Bài 3: (4đ) (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé hàm số: y= x 3 6 x a b c 1 (2đ) Cho các số dương a, b, c biết a b c (24) Chứng minh rằng: abc Bài 4: (2đ) Giải phương trình: x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = -7 Bài 5: (6 đ) Cho ABC vuông A, đường cao AH Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đường tròn nội tiếp hai tam giác AHB và AHC Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC) (P) và (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N Chứng minh a (2đ) HPQ ~ ABC b (2đ) KP // AB, KQ // AC c (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp ĐỀ SỐ 36 SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TRUỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI - Câu1:(4đ) 1.Đơn giản các biểu thức sau: A 5 2 94 B a 2a a a5 1 ; a 2.Tính giá trị biểu thức B phần 1, 25 16 a z y x y z x y x z và x z Câu2:(4đ) Giải các phương trình sau: 2 x x x x 2 MÔN : TOÁN THỜI GIAN: 150 PHÚT (25) x 1 x 27 256 với x 2 Câu3: (4đ) y m 1 m2 x m2 m 1 m2 m 1 Cho họ đường thẳng (Dm) có phương trình : 1.Tìm điểm cố định họ đường thẳng (Dm) 2.Tìm m để đường thẳng họ (Dm) cắt Parabol (P) : y = x2 hai điểm có hoành độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm Câu4: (4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M là điểm trên đường tròn đó Gọi A/,B/,C/ là hình chiếu M trên các đường thẳng BC , CA , AB 1.Chứng minh các tứ giác BC/A/M và CA/MB/ nội tiếp 2.Chứng minh điểm A/, B/ , C/ thẳng hàng 3.Trên đường tròn tâm O đã cho lấy điểm M1M Gọi A1, B1, C1 là hình chiếu M1 lên các đường thẳng BC , CA , AB Tìm vị trí điểm M1 trên đường tròn tâm O để đường thẳng A1B1C1 vuông góc với đường thẳng A/B/C/ Câu5: (4đ) Chứng minh rằng: x x x x 0 với số thực x 1 n n n với số tự nhiên n / ĐỀ SỐ 38 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS MÔN TOÁN ( Thời gian: 150 phút) Câu 1: a.(1 đ) Rút gọn biểu thức A = 10 + 10 b.(1 đ) Tính giá trị biểu thức (26) 2x 2x B = x + x với x = Câu 2:(1 đ) Cho phương trình x2 - mx + m - = C Tìm Giá trị lớn biểu thức x1 x x x 22 2( x1 x 1) Với x1, x2 là các nghiệm phương trình đã cho Câu 3: a.(1 đ) Giải Phương trình: 4x2 +3x(4 x -9) = 27 xy yz zx b.(1.5 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên: z + x + y =3 Câu 4:(1.5 đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z Chứng minh rằng: (x + y + z) là bội 27 Câu 5: Cho đường tròn( O, R) và hai đường kính AB, MN Các đường thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến A đường tròn( O) tương ứng M’ và N’ Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A a.(1 đ) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp b.(1 đ ) Chứng minh các đường cao BPQ cắt trung điểm bán kính OA ĐỀ SỐ 40 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN TOÁN Đề đề xuất Thời gian150’ Bài 1:(4đ) Cho biểu thức: (27) − − a\ Rút gọn biểu thức P x − x + x −1 x + x − x − x − x + x − x + x − b\ Chứng minh rằng: 0<P<32/9 x 1 P= Bài 2:(4đ) Cho parabol (P): y x , điểm I(0;2) và điểm M(m;0) m 0 a\ Vẽ (P) b\ Gọi d là đường thẳng qua I và m Chứng minh đường thẳng d luôn cắt (P) điểm phân biệt A, B c\ Gọi H, K là hình chiếu A, B lên trục Ox Chứng minh tam giác IHK vuông d\ Chứng minh độ dài đoạn AB>4 m 0 Bài 3:(4đ) Cho phương trình: (m-1)x2-2(m-2)x+m+1=0 a Giải và biện luận theo thámố m b Khi phương trình có nghiệm x1, x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với tham số m Bài 4(6đ) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm (O) và các cạnhBC, CA, AB là D, E, F Kẻ BB1 AO , AA1 BO Chứng minh điểm D, E, A, B thẳng hàng Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên phương trình y2=-2(x6-x3y-32) ĐỀ SỐ 44 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn: Toán Thời gian: (28) Giáo viên thực hiện: Nguyễn Khắc Trữ Hà Quang Hiểu Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: x 16 x x 6x x A= a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nguyên Bài 2: (4điểm) Cho phương trình: x 2 m 1 x m 0 (1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt b) Giả sử x1 , x là nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ x12 x 22 Bài 3: (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1 x y Bài 4: (3 điểm) Giải hệ phương trình x2 x x 3 y2 y x 3 y y Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); H là trực tâm tam giác; M là điểm trên cung BC không chứa điểm A a) Tìm vị trí M để tứ giác BHCM là hình bình hành b) Gọi E,F là điểm đối xứng M qua AB và AC Chứng minh E,H,F thẳng hàng Bài 6: (2 điểm) Cho a 0;1 Chứng minh rằng: dấu xảy nào? a a a a 2 (29) ĐỀ SỐ 51 SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn: Toán Bảng A (Thời gian làm bài: 150 phút ) Bài 1: (4 điểm) Cho phương trình x4 + 2mx2 + =0 Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x 1, x2, x3, x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32 Bài 2: (4 điểm) 2 xtrình xy y x y 0 Giải hệ phương 2 x y x y 0 Bài 3: (3,5 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức x2 + xy + y2 = x2y2 Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R (R là độ dài cho trước) M, N là hai điểm trên nửa đường tròn (O) cho M thuộc cung AN và tổng cáckhoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN R 1) Tính độ dài đoạn MN theo R 2) Gọi giao điểm hai dây AN và BM là I, giao điểm các đường thẳng AM và BN là K Chứng minh điểm M, N, I, K cùng nằm trên đường tròn Tính bán kính đường tròn đó theo R 3) Tìm giá trị lớn diện tích KAB theo R M, N thay đổi thỏa mãn giả thiết bài toán Bài 5: (2,5 điểm) Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện x + (3 -x)2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2 (30) Đề số 52 Đề thi toán học sinh giỏi lớp Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4 điểm) 1) Cho số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: 1 y 1 z Tính: T = x 1 x2 1 z 1 x y xy + yz + zx = 1 y2 1 x 1 y z 1 z2 x y z 5 Tìm nghiệm nguyên hệ: xy yz zx 8 2) Bài 2: (6 điểm) 1) Cho phương trình: x2+(1-2m)x+m2-1=0 a- Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm trái dấu? b- Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn 2006 x x x 2006 x 2006 2005 2) Giải phương trình: Bài 3: (4 điểm) 1) Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đường chéo BD Gọi E, F là hình chiếu vuông góc M trên AB và AD Chứng minh đường thẳng CM, DE, BF đồng qui 2) Chứng minh các cạnh tam giác không lớn (đơn vị dài) thì diện tích nó không lớn (đơn vị diện tích) Bài 4: (6 điểm) 1) Cho n số thực: a1, a2, …, an [-1;1] 3 Thoả mãn a1 a a n 0 Chứng minh rằng: a1+ a2+ …+ an x 1 m 2) Cho BPT: x x n (1) a- Tìm m để bất phương trình có nghiệm? (31) b- Xác định m để (1) đúng với x? ĐỀ SỐ 54 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI MÔN THI : TOÁN Thời gian:(150 phút-không kể thời gian giao đề) Bài : Tính giá trị biểu thức: 2006 x 17 38 A 3x x 14 5 với Bài : Cho x o ,hãy tìm giá tri nhỏ biểu thức : 1 x x x x P 1 x x x x Bài :Chứng minh phương trình : x 2mx 2.2005 2006 0 không có nghiệm nguyên với m Z Bài 4: Tìm tất tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện tích số đo chu vi 2 Bài 5: Giải phương trình : x x 2 x x y x2 Bài : Cho Parabol (P): và đường thẳng (D) qua hai điểm A,B trên (P) có hoành độ là : -2 và (32) Bài : Trên đường tròn viết 2006 số tự nhiên,biết số là trung bình cộng số đứng liền trước và sau nó Chứnh minh tất các số đó bầng Bài : Các đường cao tam giác ABC cắt H Biết HC=AB , tìm góc đỉnh C Bài : Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O, bán kính R kẻ hai tiêp tuyến PA và PB với A,B là các tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông goc hạ từ điểm A đến đường kính BC a Chứng minh PC cắt AH trung điểm AH b.Tính AH theo R và PO =d Bài 10 :Cho 10 điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) Nối cặp điểm với ta các đoạn thẳng Mặt phẳng (P) có thể có 30 giao điểm với các đoạn thẳng nói trên không? ĐỀ SỐ 56 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP (Thời gian làm bài 150 phút) Bài I (3 điểm) 1/ Rút gọn biểu thức: A = 48 10 2/ Giải phương trình: x y 3x y = Bài II: (5 điểm) 1/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4x B = x 1 2/ Cho parabol y = x2 gọi M, N là giao điểm đường thẳng y = kx + với parabol (k là tham số) Tìm giá trị k để đoạn thẳng MN đạt giá trị (33) nhỏ Cho biết công thức tính khoảng cách hai điểm A(x 1;y1) và B(x2;y2) là: 2 AB = (x x ) (y y ) Bài III: (4 điểm) 1/ Giải phương trình: x 3x 1 2/ Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng: ab bc ca (a b )(b c)(c a ) Bài IV: (4 điểm) Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E, F là hai tiếp điểm AB, BC với đường tròn (O), K là giao điểm đường phân giác BAC với EF Chứng minh CKA = 900 Bài V: (4 điểm) Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt O Đường trung trực AB cắt BD, AC M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tích hình thoi theo a và b Đề số 57 SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ======***===== KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn Thi : Toán (Thời gian 150 phút,không kể giao đề ) Người đề: Trinh Thị Thanh Huyền Đơn vị: Trường THPT Triệu Sơn Bài (2đ): (Các đề thi học sinh giỏi Toán Mĩ) Tổng trung bình cộng và trung bình nhân hai số dương là 200 Tính tổng các bậc hai số đó Tính giá trị biểu thức: S 12 2 20032 2004 2005 Bài (2đ): (Phương pháp giải 36 đề thi Toán Võ Đại Mau) Phân tích thành nhân tử: A =(xy +yz + zx)(x + y + z) – xyz (34) Bài (2đ): (Phương pháp giải Toán Đại số Trần Phương_Lê Hồng Đức) Cho phương trình: (m 1) x 2(m 4) x m 0 Tìm hệ thức liên hệ các nghiệm phương trình không phụ thuộc m Bài (2đ): (Phương pháp giải 36 đề thi Toán Võ Đại Mau) Cho hệ phương trình: m x y 2 3m 1 y x 1 Giải hệ phương trình với m = Tìm m để hệ đã cho có nghiệm Bài (2đ): (Luyện thi vào THPT môn Toán Vũ Đình Hoàng – Hà Huy Bằng) Giải hệ phương trình: ( x xy y ) x y 185 ( x xy y ) x y 65 Bài (2đ): (Báo Toán học và tuổi trẻ) Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: 2kx + (k – 1)y = (k là tham số) Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y 3.x ? Khi đó hãy tính góc tạo (d) với tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất? Bài (2đ): (Báo Toán học và tuổi trẻ) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 2004 x 2005 y y xy 2005 xy 2006 Bài (2đ): ( 40 đề thi tuyển sinh vào PTTH) Tìm điều kiện các cạnh a, b, c ABC để ABC đồng dạng với tam giác mà các cạnh nó các đường cao ABC Cho hình vuông ABCD, điểm P trên cạnh AB, điểm Q trên cạnh BC cho BP = BQ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống PC (35) Chứng minh: DHQ 90 Bài (2đ): ( Đề thi vào 10 chuyên Lê Hồng Phong TP HCM năm 20052006) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) M là điểm di động trên cung nhỏ BC Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK vuông góc với AB, AC ( H thuộc đường thẳng AB; K thuộc đường thẳng AC) Chứng minh: Hai tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhhau Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn HK lớn Bài 10 (2đ): ( 40 đề thi tuyển sinh vào PTTH) Dựng tam giác ABC biết trung điểm M, N tương ứng BC, AC và đường phân giác góc A nằm trên đường thẳng (d) đã cho Hết (36) Đề số 58 Sở GD - ĐT Thanh Hoá Trường THPT Triệu Sơn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2005-2006 Môn: Toán; Thời gian: 150 phút Câu 1: (36 đề Toán – Võ Đại Mau – Trang 212) Rút gọn biểu thức sau: 2 2 2 A= Câu 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (sáng tác) (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 Câu 3: (sáng tác) Cho phương trình x2 – 2mx + 5m –4 =0 Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm phân biệt x1, x2 thoã mãn x12 + x22 Câu 4: (sáng tác) Giải hệ phương trình 1 y 3x x x 18 y x x 12 x Câu 5: (sáng tác) Giải phương trình (x+1)(x+2)(x+4)(x+8)=28x2 Câu 6:(sáng tác) Cho (P) : y=ax2 và đường thẳng d: y=bx+c Tìm a,b,c cho (P) tiếp xúc với d I(1;4) Câu 7: (sáng tác) Chứng minh phương trình: ax2 + bx + c =0 không có nghiệm nguyên a,b,c là các số nguyên lẻ Câu 8: (Toán bồi dưỡng hình học – trang 58) Cho tam giác ABC vuông A Gọi O và O’ là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác AHB và AHC Đường thẳng OO’ cắt AB M và AC N Chứng minh AM = AN Câu 9: (Đề thi học sinh giỏi 86-87) Cho hình vuông ABCD Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn đường kính AD M D Chứng minh DM qua trung điểm BC (37) Câu 10: (36 đề – Võ đại Mau – Trang 187) Dựng hình bình hành ABCD cho biết đỉnh A và các trung điểm E, F các cạnh CB, CD ĐỀ SỐ 60 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP MÔN TOÁN -THỜI GIAN : 150 PHÚT NGƯỜI RA ĐỀ : LÊ THỊ HƯƠNG – LÊ THỊ TÂM Câu 1: (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x x ( x 6) x 3 A = 2( x x 3)(2 x ) x 10 x 12 x x điều kiện x # 4; x # ; x # Câu 2: (3 điểm) giải phương trình x 48 = 4x - + x 35 Câu 3: (4 điểm) Phân tích thừa số A = x3 y3 + z3 - 3xyz Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) phương trình x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2 (1) t/m đk: max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2) Câu 4: (3 điểm) Tìm GTNN biểu thức x10 y10 ( ) ( x16 y16 ) (1 x y ) x = y Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần (38) Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (0) có đường chéo AC&BD vuông với H < H không trùng với tâm (0) Gọi M,N là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q là giao điểm đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA chứng minh đường thẳng PQ // đường thẳng AC và điểm M, N, P, Q nằm trên (0) ĐỀ SỐ 62 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN : TOÁN HỌC - THỜIGIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT ĐỀ THI BẢNG A Câu1: Cho a, b, c là số dương n N ; n chứng minh rằng: n a b c n n n n n bc ca a b n (3 điểm) Câu 2: Các số nguyên không âm a, b, c, d thoả mãn điều kiện: a 2b 3c 4d 36 2a b 2d 6 (1) (2) Tìm giá trị nhỏ P = a2 + b2 + c2 + d2 Câu 3: (3 điểm) Cho dãy số (an) (n = 0, 1, 2, ) xác định a 9 ; a n 1 27 a n28 28a n27 với n = 0, 1, 2, Chứng minh số a11 viết hệ thập phân có tận cùng nhiều 2000 chữ số (4 điểm) Câu 4: Cho a, b, c là số khác và giả sử x, y, z là nghiệm hệ phương trình: ( x a)( y a )( z a ) d ( x b)( y b)( z b) d ( x c)( y c)( z c) d Hãy tính x3 + y3 + z3 (4 điểm) (39) = 600 cố định Một tam giác cân MAB Câu 5: Trên mặt phẳng cho góc (MA = MB = a không đổi ; = 1200 thay đổi vị trí cho đỉnh A, B chạy trên tia tương ứng Ox , Oy Tìm quĩ tích điểm M ( điểm) ĐỀ SỐ 63 THI HỌC SINH GIỎI LỚP BẢNG A (Thời gian 150 phút , không kể giao đề) Bài (2,0 điểm) : Rút gọn biểu thức sau : m m (m 2) m n 1 n m 3m 4m m m A= Bài 2(2,0 điểm) 1) Cho ba số hữu tỉ a ; b ; c thoả mãn điều kiện ab + ac + bc = Chứng minh ( a2 +1 )( b2 + 1)( c2 + ) là bình phương số hữu tỉ 2) Chứng minh c2 + 2(ab – ac – bc ) = với b c , a + b c thì a (a c) a c b (b c) b c Bài 3( 2,0 điểm) Tìm giá trị m để phương trình sau có ít nghiệm x 0: ( m+1 )x2 – 2x + (m-1 ) = (1) Bài (2,0 điểm) x y 0 Cho hệ phương trình : ( x y 2)( x y 1) 0 a) Giải hệ phương trình phương pháp đại số và phương pháp đồ thị b) Từ đồ thị hãy tìm xem có thể thay số hạng –1 phương trình thứ số nào để hệ đã cho có nghiệm Có thể thay đổi (40) hệ số x và y phương trình thứ cho hệ đã cho vô nghiệm không ? Bài (2,0 điểm) Giải phương trình : x x x (1) Bài (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy , cho parabol (P) có phương trình: y= m x2 và diểm I ( ; -2) ; gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc 1) Vẽ (P) Chứng tỏ với m R , (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A và B 2) Tìm giá trị m để đoạn AB là ngắn Bài (2,0 điểm ) Cho a , b , c là ba số dương có tổng là số Tìm a , b , c cho ab +bc +ca là lớn Bài (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB = a ( a > ) cho trước và BC = 2AB Gọitam giác DEF là nửa tam giác nội tiếp tam giác ABC ( D trên cạnh BC ; E trên cạnh AC ; F trên cạnh AB và góc EDF vuông ) Tìm vị trí D , E , F để diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ , tính theo a giá trị nhỏ đó Bài ( 2,0 điểm) Cho hình thang cân ABCD ( AB > DC ) Aˆ Bˆ 60 , có đường tròn tâm O nội tiếp hình thang tiếp xúc với các cạnh AB , BC , CD , DA , M , N , P , Q 1) Chứng minh AD , MP , BC đồng quy điểm S 2) Chứng minh QN là đường trung bình SAB 3) Gọi S1 là diện tích hình QNCD , S2 là diện tích tứ giác ABNQ S1 Tính S Bài 10 ( 2,0 điểm ) Cho điểm P cố định nằm đường tròn tâm O , bán kính r Một dây cung AB đường tròn (O) luôn qua P Tiếp tuyến đường tròn (O) A và B cắt C Tìm quỹ tích điểm C (41) ĐỀ SỐ 64 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn Toán-Thời gian 150 phút Bài 1: (5 điểm) Tính giá trị biểu thức: A= 21 6 21 6 (42) Rút gọn biểu thức sau: B= a4 a2b2 b4 3 a ab b (ab 0) Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: x x 2 x Bài 3: (3 điểm) Giải hệ phương trình sau: 1 2 y x 1 2 x y Bài 4: (3 điểm) Cho số x, y, z, t Thoả mãn (x+y)(z+t)+xy+88=0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2 Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S Một hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác đó M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc BC Gọi diện tích hình chữ nhật MNPQ là S1 Chứng minh rằng: S 2S1 Bài 6: (3 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC trên đó có điểm A di động Gọi D là chân đường cao AD tam giác ABC và M, N là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABD và tam giác ACD Chứng minh đường vuông góc với MN kẻ từ A luôn qua điểm cố định Đề số 65 Sở GD - ĐT Thanh hóa Trường THPT Thống Nhất ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Thời gian : 150 Phút (43) Giáo viên đề : Nguyễn Quốc Tuấn Chức vụ : Giáo viên Toán Trường THPT Thống Nhất Câu 1: (2điểm) 3 4 Cho x= 2 và y = 2 a) Rút gọn biểu thức x và y b) Tính : -x3y+xy3 Câu 2( 2điểm): Cho phương trình : 2x2+(2m-1)x+m-1=0 Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1,x2và 3x1-4x2=11 Câu 3( 2điểm ): x y 0 3 Giải hệ phương trình x y Câu 4( 2điểm ) Giải phương trình 2 3x 6x + 5x 10x 14 = - 2x - x2 Câu (2điểm) Cho hàm số y=ax+b a) (1điểm ) Tìm a,b cho đồ thịhàm số qua A(0;1) và B(-1;0) b) (1điểm )Vẽ trên hệ tọa độ hai đồ thị : y= x2 - và đồ thị hàm số trên Qua đó giải phương trình : x2 - x - = Câu 6( 4điểm ) a) Chứng minh : |a| +|b| | a+b | b) Tìm giá trị nhỏ : M = | x-2004 | + |x - 2006| Câu ( 6điểm ) Cho đoạn thẳng AB, C A và B Kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy I , Tia vuông góc với CI C cắt By K Nửa đường tròn đường kính IC cắt IK P a) Chứng minh CPKB nội tiếp và AI.BK = AC.CB b) Tam giác APB vuông c) Giả sử A,I,B cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn ĐỀ SỐ 74 (44) SỞ GD&ĐT THANH HOÁ Trường THPT Thọ Xuân ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2005-2006 Môn thi: Toán- (thời gian làm bài 150phút) Đề bài: Câu1.(4đ) 8x x x x 3x x x 3x x x x : x x Xét biểu thức: M= Rút gọn M tìm x để M = Câu2 ( 6đ) Cho pt: x2 + 5x + 3m – = Tìm m để phương trình có đúng nghiệm âm x xy y x y 185 2 2 Giải hệ: x xy y x y 65 Cho Parabol ( P ) y = x2 Tìm hàm số có đồ thị ( P’) đối xứng với (P) qua đường thẳng x = Câu3 ( 5đ) Gải phương trình: x x 3 2 Giải phương trình: x 3 y với x, y z Câu4 ( 5đ) Cho tam giác ABC Dựng điểm D cho tứ giác ABCD là tứ giác có tính chất vừa nội tiếp đường tròn, vừa ngoại tiếp đường tròn (45) ĐỀ SỐ 75 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn : TOÁN Thời gian : 150’ ( Không kể thời gian giao đề) Câu (2đ): Giải các phương trình sau a (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0 b Câu (2đ): x 2x x2 4x = 2005 2005 2005 2006 2006 x y x ( x y) 4 2 A= x x y y Cho biểu thức: a Chứng minh biểu thức A luôn luôn dương với x, y b Với giá trị nào x, y biểu thức A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó Câu (1,5đ) 1 1 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x y z 2006 và x y z 2006 Chứng minh ít ba số x, y, z 2006 Câu (2đ): a Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz b 1 1 (1 ) xy Chứng minh x y < z Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác biết a b b c c a 8abc Chứng minh tam giác đã cho là tam giác Câu (2,5): Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm di động trên đường tròn Vẽ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) a Tìm vị trí điểm M trên (O) cho diện tích tam giác OMH lớn b Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMH Tìm quỹ tích điểm I (46) ĐỀ SỐ 78 SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ************* ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN THI ; TOÁN Thời gian : 150 phút Câu 1: Thay dấu * các chữ số cho ***** là số nguyên (Bài 76 trang 22 sách “ 255 bài toán đại số chọn lọc “ Vũ Dương Thuỵ) Câu 2: Cho a , b , c , x , y , z thoả mãn hệ phương trình ax by cz 1 1 x y z 1 2 3 Chứng minh : ax by cz a b c (Đề 33 “Ôn thi vào 10 Vũ Đinh Hoàng “ ) Câu 3: Chứng minh :Điều kiện cần và đủ để phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này k lần nghiệm là: (k+1)2ac = kb2 (Đề “ Giả toán đại số “ Nguyễn Cam ) Câu 4: a) Cho hai dãy số cùng chiều : a1 ≤ a2 ≤ a3 b1 ≤ b2 ≤ b3 Chứng minh : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3) (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 1998 ) b) Chứng minh : với a b c (47) a 2005 b 2005 c 2005 2006 2006 2006 a b c a b c (sáng tác ) Câu 5: Ở miền hình vuông ABCD lấy điểm M cho MBA MAB 15 Chứng minh : Tam gác MCD (sáng tác) ĐỀ SỐ 80 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9- BẢNG B Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút(Không kể thời gian giao đề) Người đề: Nguyễn Văn Hải – Trường THPT Thạch Thành II Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gọn A b) Tìm giá trị A A x (4x 2)(x 3) x 6x x 16 20 c) Tìm x để A 2 Câu (3 điểm): Cho phương trình (x2+4x-5)(x2-9)=m a) Giải phương trình với m=45 b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu (2,5 điểm) Cho parabol (P) có phương trình: y=a.x2 a) Tìm a biết (P) qua A(2;4), đó hãy vẽ (P) b) Chứng minh đường thẳng qua A(2,4) và B(1,2) vuông góc với đường thẳng x+2y-3=0 Câu (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: A ( x 2005) ( x 2006) (48) Câu (2 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x3y+xy3-3x-3y=17 Câu (1,5 điểm) Cho ABC, đường phân giác AE (EBC) Chứng minh rằng: AB BE AC EC Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) M là điểm di chuyển trên cung bé BC không chứa điểm A D thuộc tia đối MB cho MD=MC a) Chứng minh tam giác MCD là tam giác b) Tìm vị trí điểm M để MA+MB+MC lớn Câu (2 điểm): Cho ABC cạnh a G là trọng tâm Đường thẳng (d)mp(ABC) G S(d) cho SG=2a Tính diện tích toàn phần hình chóp SABC ề số 81 Sở GD - ĐT Thanh Hoá CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THPT Thạch Thành Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP – BẢNG B Môn : Toán Thời gian: 150 phút Câu 1: 2 3 2005 2006 Tính: 2 Xác định m để phương trình: x m 1 x 2m 0 có nnghiệm x1, x2 cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền Câu 2: Giải hệ phương trình: Giải phương trình : 4 x y 5 x y 40 40 x y x y 9 (49) x 1 x 3 2 x 1 x 3 8 x Câu 3: y x , y 2 cắt tạo thành Cho đường thẳng y x , tam giác Tính diện tích tam giác đó Câu 4: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: a2( b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) 2 2.Cho x, y là số thực thoả mãn: x y 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ : A x y 1 y x 1 Câu 5: 1.Cho (O) đường kính AB Trên đường thẳng AB lấy điểm C nằm ngoài đoạn AB Từ C kẻ tiếp tuyến CE, CF với (O) (E, F là tiếp điểm) Gọi I là giao điểm AB và EF Qua C kẻ cát tuyến bất kì cắt (O) Mvà N (M nằm C và N) Chứng minh rằng: a CIM ~ CNO Từ đó chứng minh tứ giác DIMN nội tiếp đường tròn b góc AIM BIN DE Cho (O) đường kính AB, điểm C thuộc đường kính Dựng dây AB cho AD EC ĐỀ SỐ 84 TrườngTHPT Cẩm Thuỷ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH MÔN : Toán ( Thời gian 180 phút ) Bài 1:Tìm phần dư phép chia đa thức: x x x x11 x13 x17 x19 Cho nhị thức : x Bài 2: Chứng minh nếu: x 0, y 0, z và: 1 x y z y z x (50) Thì x= y= z xyz=0 Bài 3: Tớnh : A u 5u 6u 5u a1 x a2 y a3 z 0 b1 x b2 y b2 z 0 Bài 4: Cho hệ : c1 x c2 y c3 z 0 a1 , b2 , c3 a2 , a3 , b1 , b3 , c1 , c2 a a , b b b , c c c 3 Trong đú : u Sao cho: Chứng minh hê có nghiệm Bài 5: Giải phương trình: x 3 2 x x x Bài 6: Trong hệ trục xoy Cho điểm M (2;2), N (4;1) Xác định điểm P trên trục ox cho tổng khoảng cách MP+NP là nhỏ Bài 7: Tìm x: x N Và: x là số chính phương Bài 8:Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy các điểm tương ứng: P, Q, R ( không trùng với các đỉnh và không có quá điểm thuộc cạnh tam giác ) Chứng minh điều kiện cần và đủ để điểm P ,Q, R thẳng hàng là: PB QC RA 1 PC QA RB Bài 9:Cho tứ giác lồi ABCD đó AB + BD không lớn AC + CD Chứng minh rằng: AB < AC Bài10: Cho dường tròn và điểm A cố định Một điển M di chuyển trên đường tròn và MN là dây cung vuông góc với AM.Dựng hình chữ nhật AMNP .Hết ĐỀ SỐ 91 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn: Toán (51) CÂU I : CHO CÁC SỐ THỰC A, B, X, Y THOẢ MÃN ax by 3 (1) 2 ax by 5 (2) ax by 9 (3) ax by 17 (4) Hãy tính A = ax2005 + by2005 Câu II : Tính giá trị biểu thức : A 1 x( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2)( x 3) ( x n 2)( x n 1)( x n) Với : x = ; n = 2005 (n 2) Câu III : Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m - = (2) 3 Tìm m để (1) có nghiệp phân biệt thoả mãn : x1 x2 Câu IV : Cho hệ phương trình mx y m 2 x my 2m Giả sử (1) có nghiệm (x ; y) Tìm hệ thức liên hệ x và y độc lập với đối số m Câu V : Giải hệ phương trình x xy y x xy y x y 185 x y 65 Câu VI : Cho đường thẳng (d) : y = 2x + và parabol (P) : y = mx Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt Câu VII : Cho a, b, c [0 ; 1] Chứng minh : a b c (1 a )(1 b)(1 c) 1 b c 1 a c 1 a b 1 (52) Câu VIII : Cho ABC có ABC = 300 ; BAC = 1300 Gọi Ax là tia đối tia AB Đường phân giác góc ABC cắt đường phân giác góc CAx D Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD E Hãy so sánh các độ dài AC và CE Câu IX : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O ; bán kính R Gọi D, E, F là giao điểm các đường thẳng AO với BC ; BO với AC ; CO với AB Chứng minh : AD BE CF 9R Câu X : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với đôi 1 1 2 OA OB OC Gọi H là trực tâm ABC Chứng minh : OH SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN ĐỀ SỐ 95 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9_THCS Thời gian :150 phút Câu1 (4điểm) :1 Cho phương trình x2 + a.x +1 =0 x1 x1 Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thoã mãn ( x )2 + ( x )2 > 2.Giải phương trình : Câu (4điểm) : 5 x + x = x2 -8.x +18 (53) 1.Giải hệ phương trình : x y 2 y 2 z z 2 x x y x y 5 x 2y 6 x 2y 2.Giải hệ phương trình : Câu (7 điểm ) :Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường tròn tâm O qua B và C.Qua A vẽ tiếp tuyến AE,AF với đường tròn (O); Gọi I là trung điểm BC ,N là trung điểm EF a.Chứng minh các điểm E,F luôn nằm trên đường tròn cố định đường tròn (O) thay đổi b.Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) K Chứng minh :EK song song với AB c.Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên đường thẳng cố định đường tròn(O) thay đổi Câu 4(5điểm ) : 1.Tìm giá trị lớn biểu thức : A= − x + x với < x <1 1 a, Cho x,y là hai số dương chứng minh : x + y x y b,Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c và chu vi p=a+ b+c Chứng minh : 1 1 1 + + ≥2 + + p − a p −b p − c a b c ( ) (54) Bộ đề Trần Xuân Bách ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂNG KHIẾU TỈNH NĂM HỌC 2007 – 2008 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Giải phương trình : x −2 x3 + x −3 x −4=0 b) Tìm điểm M trên trên đường thẳng y = x+1 có toạ độ thoả mãn đẳng thức : y − y √ x+ x=0 Bài 2: Các số x, y, z khác và thoả mản đẳng thức: xy + yz + xz = Tính giá trị biểu thức: P= yz zx xy + 2+ 2 x y z Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − xy+ y 2=2 x −3 y −2 Bài 4: Tìm tất các số dương (x, y, z) thoả mãn hệ phương trình: ¿ x 2008= y 2007 + z 2006 y 2008 =z 2007 + x 2006 2008 2007 2006 z = x + y ¿{{ ¿ Bài 5: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến PE, PF tới đường tròn (E, F là các tiếp điểm) Tia PO cắt đường tròn hai điểm A và B cho A nằm P và O Kẻ EH vuông góc với FB (H là chân đường vuông góc) Gọi I là trung điểm EH Tia BI cắt đường tròn M (M ≠ B), EF cắt AB N a) Chứng minh EMN = 90o b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến đường tròn qua ba điểm P,E,M Bài 6: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn x + y + z ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 x y z P= + + y + z z+ x x + y (55) SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ TĨNH Thi chọn HSG Tỉnh môn toán bậc THCS năm học 2006-2007 Thời gian làm bài : 150 phút 3a x 1 Bài Cho phương trình: 4x a x a) Tìm a để phương trình có nghiệm x b) Giải phương trình với giá trị a vừa tìm trên a b c b c a Bài Ba số a, b, c ( 0) thoả mãn : b c a a b c Chứng minh có ít số 3 Bài Gọi (x o , y o ) là nghiệm phương trình : x y 3xy Tính giá trị biểu thức: A (1 x o )(1 y )(1 o ) yo xo Bài Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) R R’ cắt điểm phân biệt A và B ( O và O’ nằm trên hai nửa mặt phẳng khác có bờ là đường thẳng AB) Vẽ tiếp tuyến chung CD thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm A, có bờ là đường thẳng OO’, đó C, thuộc đường tròn (O, R), D thuộc đường tròn (O’, R’) Từ C và D vẽ các đường thẳng song song với AD và AC chúng cắt E Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCED nội tiếp b) Ba điểm A, B, E thẳng hàng c) BE < R + R’ Bài Cho số dương x, y, z thoả mãn xy yz zx 3xyz Chứng minh : x y2 z x y z (56) SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP MÔN TOÁN NĂM HỌC 2007 – 2008 (Thời gian làm bài 150 phút) x y 5 x y x y 7 x2 y Bài 1: a) Giải hệ phương trình: x x2 1 b) Giải phương trình: x Bài 2: a) Các cạnh a, b, c tam giác ABC thoả mãn đẳng thức : 1 1 a b c ;p p p a p b p c Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? x y z 2 x y z 2 b) Các số dương x, y, z thoả mãn x y z P (1 x )(1 y )(1 z ) x y z Tính giá trị biểu thức: Bài 3: Ba đường tròn (O;R), (O1;R1), (O2;R2) với R < R1 < R2 tiếp xúc ngoài với đôi đồng thời tiếp xúc với đường thẳng Gọi S, S1, S2 là diện tích các đường tròn tâm O, O1, O2 Chứng minh: 1 S S1 S2 Bài 4: Cho đường tròn (O, R) và đường tròn (O’ , R’) cắt A và B Trên tia đối tia AB, lấy điểm C, kẻ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D, E là các tiếp điểm và E nằm đường tròn tâm O’) Đường thẳng AD, AE cắt đường tròn tâm O’ M và N (M và N khác A) Tia DE cắt MN I Chứng minh: a) MIB đồng dạng với AEB b) O'I MN Bài 5: Tam giác ABC có góc A không nhọn, BC = a, CA = b, AB = c (57) a b c P b c a Tìm giá trị nhỏ biểu thức : (58) ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN LỚP NĂM HỌC 2005 - 2006 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: Chứng minh tổng sau là số nguyên: P =s Bài 2: Giải hệ phương trình: ¿ x − =2 y − x y y +3=2 x ¿{ ¿ Bài Cho phương trình x2 + ax + b = Xác định a và b để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn : x1 - x2 = 5; và x13 - x23 = 35 a Bài Cho a , b là các số dương thoả mãn : a + b = ab Tính b Bài Cho phương trình x2 + ax + b = (1) a) Tìm các số hữu tỷ a và b cho phương trình (1) nhận làm nghiệm b) Tìm nghiệm còn lại và nêu nhận xét Bài Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = (1) (a 0) thì 1 là nghiệm phương trình (1) Bài Điểm M nằm trên nửa đường tròn đường kính AB Trên đường kính AB lấy C cho AC < CB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tia Ax và By cùng vuông góc với AB Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By Q Gọi D là giao điểm CP và AM ; E là giao điểm CQ và BM a) Chứng minh các tứ giác ACMP và CDME nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng AB và DE song song với c) Chứng minh ba điểm P, M, Q thẳng hàng (59) Đề thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2005 - 2006 Tỉnh Hà Tĩnh Câu a) Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn đẳng thức: √ a+√ b − √ c= √ a+b −c Chứng minh : b) Cho x > ; y > ; z > thoả mãn : Chứng minh: x2 + y2 + z2 = 2006 √ a+ 2006√b − 2006√ c=2006√ a+ b −c x √ 1− y 2+ y √1 − z 2+ z √ 1− x2 = Câu Tìm nghiệm dương (x, y, z) thoả mãn hệ phương trình: ¿ + + =12 (1) x y z x+ y +3 z=3 (2) ¿{ ¿ Câu Cho tam giác ABC dựng hình chữ nhật MNPQ đó M,N thuộc BC, P thuộc AB, Q thuộc AC a) Tìm vị trí P,Q để diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn b) Giao điểm hai đường chéo MP và NQ là O tìm quỹ tích O Câu Cho đường tròn đường kính BC A thuộc đường tròn, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Gọi M, N theo thứ tự là các điểm chính các cung AB và AC Kẻ phân giác các góc AHB và AHC các phân giác các góc này theo thứ tự cắt BN E và CM F Gọi giao điểm BN với CM là K a) Chứng minh AK vuông góc với EF b) Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn xy Câu Cho x ≥ xy +1 Tìm giá trị lớn biểu thức P = x2 + y2 (60) Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long Bài 1: Tìm m để phương trình: (2m-1)x2 - 2mx + 1=0 có nghiệm thuộc khoảng (-1;0) Bài 2: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức sau 2 2 xy + x+ y +1=x +2 y +xy Bài 3: Giả sử x,y là các số thực dương thỏa mãn x +¿ y= √ 10 Tìm giá trị x và y để biểu thức P=(x4+1)(y4+1) đạt giá trị nhỏ Bài 4: Đa thức f(x) chia cho x dư 4, chia cho x2+1 dư 2x+3.Tìm đa thức dư chia f(x) cho (x+1)(x2+1) Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy chp parapol (P): y=ax2 (a khác 0) và đưòng thẳng (d) qua điểm N(0; ) , M(m;0) với m khác a CMR (P) luôn cắt (d) điểm phân biệt A,B và OA vuông góc OB Bài 6: Cho đưòng tròn (O) tân và dây cung AB.Qua trung điềm I AB vẽ dây cung CD và EF Các đưòng thẳng CE và DF cắt AB M và N CMR: IM=IN Tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quảng Bình 2009-2010 Thời gian làm bài: 150 phút Bài (2,0 điểm): Giải phương trình √ x+5+ √ x +2 − √ x2 +7 x +10=1 Bài (2,0 điểm): n+1 ¿ ¿ ¿ a) Rút gọn biểu thức: 1 1+ + ¿ n √¿ 1 1 1 + b) Tính tổng S= 1+ + + 1+ + + 1+ 2 2009 20102 Bài (2,0 điểm): Tìm tất cá giá trị nguyên dương tham số m cho phương trình bậc hai x − m2 x+ m+1=0 có nghiệm là số nguyên Bài (2,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) Gọi và B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn (O; R) cho AB=√ R M là điểm di động trên cung lớn AB (M không trung với A và B) Đường tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với MA E, tiếp xúc với MB F a) Tam giác MEF là tam giác gì? b) Chứng minh EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định điểm M di động trên cung lớn AB √ √ √ (61) Bài (2,0 điểm): a) Chứng minh rằng, chu vi hình tam giác lớn chu vi hình vuông hai hình đó có cùng diện tích b) Cho a, b là các số thực tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=a2+ ab+b −3 a − b+2012 (62) Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin Bài (2đ) : Có 480 hs dự trại hè địa điểm : 10% số hs địa điểm (I); 8.5% số hs địa điểm(II) và 15% số hs địa điểm (III) thăm viện bảo tàng cách địa điểm (I) 60km cách địa điểm (II) 40km và cách địa điểm (III) 30km Để trả vừa đủ tiền xe ( giá 100 đồng cho ng` 1km) số ng` đj thăm viện bảo tàng đã góp đồng người là 4000 đồng Hỏi có bao nhiêu người địa điểm đã thăm viện bảo tàng Bài (2đ) : Giả sử pt: ax 2+ bx +c có nghiệm phân biệt x ; x Đặt S n=x n1 + x n2 (n là số nguyên dương) a) C/m: aSn+ 2+ bSn+1 +cSn =0 5 1+ √ 1− √ A= + b) Áp dụng tính 2 Bài (0.5 đ): Cho số dương x, y có tổng = 1, tìm giá trị nhỏ của: 1 A= − 1− x y Bài (3.5 đ) Cho đường tròn (O;R) và (O';r) ko cắt với R>r Gọi AB là đường tiếp chung ngoài đường tròn với A thuộc (O) và B thuộc (O') a) Vẽ đường tròn tâm O, Bán kính R' = R - r cắt đoạn OA I C/m O'I là tiếp tuyến đường tròn (O;R') suy cách vẽ AB( trình bày bước : vẽ và c/m) b) Tính độ dài cảu AB theo R; r; OO' c) Gọi C là điểm đx B qua đường thẳng OO' ; AC cắt (O) D, cắt (O') E Hãy so sánh AD và EC Bài (1đ): Tính độ dài đường chéo ngũ giác cạnh a ( ( )( )( ) ) Đề chuyên toán quốc học 2009-2010 (Thiếu bài và bài 5) a Cho pt ax + bx +c=0 có hai nghiệm phân biệt CMR: pt cx 2+ bx +a=0 có hai nghiệm phân biệt 2−x x+ b Giải phương trình: − +1=0 x +4 2− x c Tìm nghiệm: √ x −2008+ √ y −2009+ √ z − 2010+3012= ( x + y + z ) 2 √ √ Cho góc xOy có số đo 60 Đường tròn tâm K nằm góc xOy tiếp xúc với tia Ox M và tiếp xúc với tia Oy N Trên tia Ox lấy điểm P cho OP=3Om Tiếp tuyến đường tròn (K) qua P cắt tia Oy Q khác O Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN E Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN F a CM tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ b CM tứ giác PQEF nội tiếp c Gọi D là trung điểm đoạn PQ CM tam giác DEF là tam giác Câu 4: Tìm tất các cặp số nguyên (a;b) là nghiệm đúng pt: a −1 ¿2 ( a2+ 9)=4 b2 +25 b+20 ¿ (63) Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Thái Bình năm học 2008 - 2009 Thời gian làm bài: 150 phút − x2 − y2 Bài 1:Cho x, y thuộc Z thỏa mãn thuộc Z + 1+ y 1+ x CMR: (x y −1)⋮(x +1) Bài 2:Giải pt: Bài 3:Xác định đa thức f(x) bậc có hệ số nguyên nhận Bài 4:Cho a,b,c là số dương thỏa mãn ab+ bc+ ca= là nghiệm Tìm Bài 5:Cho ngoại tiếp (O) CMR: AI BC+BI CA+ CI2 AB=AB BC CA Bài 6:Tam giác ABC D bất kì thuộc BC Gọi R1 , R2 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD Xác định vị trí D R1 , R2 để đạt max Bài 7:Cho 2009 điểm nằm mặt phẳng hình chữ nhật x 251 Vẽ 2009 đường tròn , đường kính √ nhận 2009 điểm đã cho làm tâm CMR:Tồn ít đường tròn chứa ít điểm số 2009 điểm đã cho (64) Đề thi Quảng Ngãi Vòng I I.1 Tính A=3 √2 − √ 18 a+ √ a a− √ a +1 −1 Cho BT: P= 1+ √ a √ a− a Rút gọn P b Tính P a=√ 4+ √ ( )( ) với a ≥ ; a ≠1 II.1 Giải pt: x −5 x +6=0 Tìm m để pt x −5 x − m+7=0 có hai nghiệm x ; x thỏa mãn hệ thức x 21+ x 22=13 Cho hàm số y=x có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y=− x+2 a.Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ b.Bằng phép tính hãy tính giao điểm (P) và (d) III Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước thì đầy bể Nếu vói thứ chảy và vòi thứ hai chảy thì 2/3 bể Hỏi vòi chảy mình thì bao lâu đầy bể IV Cho đường tròn (O;R) và điểm S nằm bên ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến SA,SB với đường tròn (A,B là các tiếp điểm) Một đường thẳng qua S (không qua tâm O) cắt đường tròn (O;R) hai điểm M,N với M nằm S và N Gọi H là giao điểm SO và AB; I là trung điểm MN Hai đường OI và AB cắt E a CM: IHSE là tứ giác nội tiếp b CM: OI OE=R2 c.Cho SO=2 R ; MN=R √ Tính diện tích ESM theo R V Giải pt √ 2010− x+ √ x −2008=x −4018 x +4036083 Đề tự luyện (Đề I) x − x +1 −2 x a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P=-5 Bài 2: Cho x+ y+ z=x 2+ y + z 2=x + y + z 3=1 CMR: xyz=1 Bài 3: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện a+b +c=1 2 CMR: a +b + c ≥ Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AD Gọi giao điểm C đường thẳng vuông góc với AD A và đường thẳng vuông góc với BC C là P a CM PA=PC b Gọi E là giao điểm BP và AH Chứng minh: EA=EH Bài 1: Cho biểu thức P=3 x + √ (65) Đề thi Quảng Ngãi - Vòng II I 1.Tính P=√ 15 a2 −8 a √ 5+16 a= + √ √ Giải pt: √ 25− x − √10 − x 2=3 Cho pt: x 2+ mx+n=0 Tìm m,n để hiệu các nghiệm phương trình và hiệu các lập phương các nghiệm đó 35 II CMR: Nếu b là số nguyên tố khác thì số A=3 n+ 1+ 2009b là hợp số với n∈N Tìm các số tự nhiên n cho n2 +18 n+2020 là số chính phương x+ 2010¿ ¿ III Cho x>0 Tìm max x N= ¿ IV Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó Gọi (O) là đường tròn qua hai điểm B và C Từ A kẻ tiếp tuyến AE,AF với đường tròn (O), (E,F là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm BC; FI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K CMR: a, E, F cùng nằm trên đường tròn cố định (O) thay đổi b, EK // AB V Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O); với AD là đường kính Biết AB=BC=2 √ cm ; CD=6 cm Tính bán kình đường tròn (O) 2, Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A,B nằm bên ngoài đường tròn cho OA=2R Tìm điểm M trên đường tròn (O;R) để tổng MA+2MB đạt GTNN Đề tự luyện (tiếp) Đề II Bài :(4đ) a Giải phương trình: √ x+1+ √ − x − √(x +1)( 3− x)=2 b Cm với x,y số thực ta có : 20 x2 +10 x +3 < x + 2(2 y − 3) x+ y2 −16 y +20 x +2 x+1 Bài 2(2đ)Cho a,b,c là cạnh tam giác : abc<(a+ b −c )(a+ c −b)(b+c −a) Bài 3(4đ) Cho biểu thức M =x − x + y + xy − y +2016 Với giá trị nào x, y thì M đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó Bài 4(6đ) Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC H.Gọi E,F,G là trung điểm AH ,BH,CD a biết số đo góc BAC là a và BH =h tính S ABCD b chứng minh điểm B,E,G,C cùng nằm trên đường tròn Bài (4đ) a Da thức f(x) chia cho (x-2) thì dư 2007 , chia cho (x-3) thì dư 2008 , còn (66) chia cho (x-2)(x-3) thì thương là ( x −1) và còn dư Tìm đa thức f(x) b Cho n số tự nhiên x1,x2,x3,…xn số -1 Biết x x 2+ x x3 + .+ x n − x n=0 Chứng minh n ⋮ (67) Đề III Bài 1: (4đ) Cho phương trình: a) Định m để pt có hai nghiệm âm b) Định m để đạt giá trị nhỏ Bài 2: (4đ) a) Cho a,b,c,d Chứng minh rằng: b) Cho Chứng minh rằng: Bài 3: (4đ) Giải các phương trình sau: a) b) √ 8+ √ x −3+ √5 − √ x −3=5 c) √ x − x +√ x − x 2=x +1 Câu 4: (2đ) Chứng minh với số tự nhiên n thì không chia hết cho Câu 5: (4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), H là trực tâm tam giác ABC a) Xác định M trên cung BC không chứa A cho BHCM là hình bình hành b) Lấy M bất kì trên cung BC không chứa A Lấy N, E là điểm đối xứng M qua AB, AC Chứng minh N, H, E thẳng hàng Câu 6: (2đ) Cho tứ giác ABCD có giao điểm hai đường chéo là O Cho biết Tính giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD (68) Đề IV Câu 1: a)Cho A= k 4+ k − 16 k − k +15 với k thuộc Z Tìm đk k để A chia hết cho 16 b)Cho số tự nhiên a và b CMR tích a.b là số chẵn thì luôn luôn tìm đc số nguyên c cho a2 +b 2+ c là số chính phương Câu 2: a) Giải PT : x − x −2 √1+16 x=2 b) Cho x,y thỏa mãn hệ: ¿ x 3+2 x − y +3=0 x + x y −2 y=0 ¿{ ¿ Tính Q = x 2+ y Câu 3: Tìm GTNN biểu thức: 1 1 1 P= 3+ + 3+ + 3+ + a b b c c a Trong đó các số dương a,b,c thỏa mãn đk: a+b +c ≤ Câu 4: Cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB,CD vuông góc với E là điểm trên cung nhỏ AD(E ko trùng với A và D) Nối EC cắt OA M; nối EB cắt OD N a) CMR: AM.ED= √ OM.EA OM ON + b) Xác định vị trí điểm E để tổng đạt GTNN AM DN Câu Cho tam giác ACB, lấy C1 thuộc cạnh AB, A thuộc cạnh BC, B thuộc cạnh AC Biết độ dài các đoạn thẳng AA ; BB1 ; CC1 ko lớn 1 CMR diện tích tam giác ABC nhỏ √3 ( )( )( ) (69) ĐỀ THI HSG HUYỆN ĐỨC THỌ 2000-2001 (Đề V) Thời gian: 120 phút a √ a+2 √ − √2 √ a+ √ a CMR A a>0 b Tính A a=√ 2+ 25 c Tìm a A=a+ √ a+2 − √ 1+a Bài Giải và biện luận phương trình x +a − x − a x − + + =0 (x là ẩn, a là hằng) a+3 a −3 − a2 Bài Cho a+b +c=1 Tìm max ab+ bc+ ca Bài Cho tam giác cân ABC (AB=AC), BAC<60o Trên nửa mặt phẳng AC không chứa điểm B, vẽ tia Cx cho Acx=ABC, trên mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ BCD = BAC (D nằm trên AB) Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC, Cx theo thứ tự E và F a Chứng minh tứ giác AEFC là hình thoi b Đường thẳng chứa DC cắt BE và BF theo thứ tự I và K Chứng minh: CK.DC=DK.CI c Cho biết DF=AC, tính BAC Bài Cho A= ĐỀ THI HSG LỚP NĂM HỌC 2001-2002 (ĐỀ VI) Môn: Toán Thời gian 150 phút Bài 1: Cho biểu thức √ P=2 1+ (√ ) [√ (√ − √x : x 1+ ) ( √ 1x − √ x)] 1 − √x − x a) Rút gọn P b) Tìm tất giá trị x nguyên để P nguyên c) Tìm tất giá trị x để |P −3| >1s Bài 2:a) Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn phương trình: x ( √ 2002+ √2001)+ y ( √ 2002− √2001)=√ 20023 + √ 20013 b)Tìm các số x,y,z N* với x>y>z thỏa mãn phương trình xyz +xy + xz+ yz+ x + y + z=2001 Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến a qua A, b qua B đường Một tiếp tuyến d với đường tròn (khác a,b) cắt a,b I và J a) Chứng minh đường tròn đường kính Ị tiếp xúc với đường thẳng AB b) Gọi M là tiếp điểm d với đường tròn, H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB Chứng minh các đường thẳng AJ, BI, MH đồng quy trung điểm MH c) Gọi A’, B’ là chân các đường vuông góc hạ từ A,B xuống d Cho biết IJ=2A’B’ Hãy xác định góc nhọn đường thẳng AB và d Bài 4: Cho hai tam giác bẳng nhau, chong lên nhay cho phần chung là hình lục giác MNPQRS Chứng minh: (70) MN+PQ+RS=NP+QR+SM (71) ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN Môn thi: Toán – Năm học 2006-2007 - Thời gian: 150 phút Bài 1: Cho a, b, c, là ba số dương thoả mãn a+b +c=3 a Chứng minh: a+b +c ≥ ab+ bc+ ca b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c M= + + 2 1+ b 1+c 1+a2 Bài 2: Giải các phương trin a x − x − x +2=0 b x x x 20 0 Bài 3: Cho hình thoi ABCD ( ∠ A=120 ∘ ) M là điểm trên cạnh BC cho ∠ BAM=15∘ Tia AM cắt đường thẳng CD P 1 2 AP AB Chứng minh AM Bài 4: Hình bình hành ABCD thay đổi có cạnh AB cố định và độ dài đường chéo AC=2cm Chứng minh đỉnh D hình bình hành thay đổi trên đường cố định Bìa 5: Cho x, y là số dương thoả mãn: x+ ≤ y x 2007 y Tìm giá trị nhỏ M = + y x (72) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS Năm học 2004-2005 - Thời gian: 150 phút Bài 1: a) Tính tổng a1 +a 2+ a3 + +a 2004 +a 2005 đó an = với n=1,2,3,4, ,2005 (n+1) √ n+ n √n+1 b) Cho x , x , x , , x809 , x 900 số tự nhiên cho: 1 1 + + + =60 √ x √ x2 √ x √ x 900 Chứng minh tồn ít hai số Bài Giải phương trình √ a − √ a − √a − x =x Bài 3: Cho tam thức bậc hai f (x)=ax2 +1998 x+ c với a , c ∈ Z và |a|<2009 và f(x) có hai nghiệm phân biệt x1;x2 Chứng minh rằng: |x − x 2|≥ 998 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn (I) nộit tiếp tam giác tiếp xúc với AB và BC P và Q Đường thẳng qua trung điểm F AC và tâm I cắt cạnh AB E Đường thẳng qua P và Q cắt đường cao AH M Đương thẳng qua F vuông góc với AC cắt tia phân giác AI N Chứng minh ba điểm P, Q, N thẳng hàng Chứng minh AE=AM (73) KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYÊN HSG DỰ THI TỈNH Năm học: 2005-2006 Thời gian 150 phút Bài Cho biểu thức x− √x− x −10 x+1 a Tìm tất các giá trị x để P(x) xác định Rút gon P(x) b Chứng minh rẳng P ( x ) P ( − x ) <0 với x> ; x ≠ Bài 2: 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình x 2+ x +26= y ¿ 3 x + y =16 2) Giải hệ phương trinh xy (x + y )=16 ¿{ ¿ Bài 3: Tìm giá trị nhỏ và lớn A=x √27 − x Bài 4: Cho tứ giác ABCD, có các cạnh đổi không song song với nhau, ngoại tiếp đường tron (O;R) Gọi I,K là trung điểm đương chéo BD và AC Chứng minh a) Nếu S OAB + SOCD = S ABCD thì AB+ CD=AD+ BC b) Nếu AB+ CD=AD+ BC thì I, O, K thẳng hàng Bài 5: Cho hai đường thẳng a và b song song với và cách khoảng Điểm O cố dịnh cách a khoảng 1, điểm O và đường thẳng b năm khác phía đường thẳng a Đường thẳng c thay đổi cắt đường thẳng a và b A và B cho OB = 2OA Chứng minh đưởng thẳng c luôn tiếp xúc với đường tròn cố định P (x )= (74) ĐỀ KIỂM TRA ĐỘ TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2008-2009 Thời gian làm bài: 150 phút Bài Tìm tất các cặp số nguyên dương cho tổng số với thì chia hết cho sô ¿ x 2+ y + z 2=xy+ yz+ zx Bài 2: a) Giải hệ phương trình x 2008 + y 2008 + z 2008 =32008 ¿{ ¿ b) Giải phương trình √ x − x+ 2− √ 2( x +2 x)=x −2 1 + + =1 Bài 3: a) Giả sử a , b , c ≥ và a b c Chứng minh √ a+b+ c ≥ √ a −2+ √ b −2+ √c −2 b) Tìm đa thức f ( x)=x +ax +b biết ∀ x ∈ [ −1 ; ] thì |f (x)|≤ Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo Từ A và B dựng hai tia Ax và Bx cho AC và BD theo thức tự vào phân giác góc xAD và góc yBC Gọi I là giao điểm Ax và By IA OA = Chứng minh rằng: IB OB Bài 5: Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn tâm O Một đường tiếp xúc với đường tròn (O) và tiếp xúc với cạnh AB và AC điểm P và Q Chứng trung điểm I PQ là tâm đưòng tròn nội tiếp tam giác ABC ( ) (75) UBND TỈNH THỪA THIÊN HUẾ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2007 - 2008 Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4,0 điểm) A x x 4x x x x 14 x 28 x 16 Cho biểu thức: Tìm x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 2: (4,0 điểm) 2 Cho phương trình x 2mx m m 0 ( m là tham số) Với giá trị nào m thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 cho x1 x2 18 x2 x1 Với giá trị nào m thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 cho x1 x2 8 Bài 3: (3,0 điểm) Cho bốn số thực bất kì a, b, c, d Chứng minh: ab cd a c2 b2 d Dấu đẳng thức xảy nào ? Với giá trị nào góc nhọn thì biểu thức P 3sin cos có giá trị lớn ? Cho biết giá trị lớn đó Bài 4: (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển trên cung lớn BC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC Gọi M là trung điểm CD Hỏi M di chuyển trên đường nào ? Nêu cách dựng đường này và giới hạn nó Trong hình bên, cho biết M là trung điểm AC và các đường thẳng AD, BM và CE đồng qui K Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20 Tính diện tích tam giác ABC Bài 5: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương Tính số các ô nhỏ phải quét sơn trên bảng vùng nào đó trên bảng này chứa ít ô đó quét sơn (76) UBND HUYỆN QUẢNG TRẠCH PHÒNG GIÁO DUC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn: Toán lớp Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu1 (1,0 điểm) Tỡm số tự nhiờn n cho: n + 24 và n – 65 là hai số chớnh phương Câu (2,0 điểm) a) (1,0 điểm) Chứng minh với ba số a, b, c ta có: a2 + b2 +c2 ab + bc + ca 2 2 b) (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: 2 2 2 Câu (2 điểm) a) (1,0 điểm) Chứng minh: a b c2 d (a c) (b d) b) (1,0 điểm) Cho đường thẳng y = ( m - 2)x + (d) Chứng minh đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định với giá trị m Câu (1,5 điểm) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác biết: a b b c c a 8abc Chứng minh tam giác đó là tam giác Câu 5: (1,75 điểm) Cho hình vuông ABCD Điểm O thuộc miền hình vuông thoả mãn o OB = 2.OA và AOB=135 Chứng minh : OC = OA + OB Câu 6: (1,75 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Phân giác góc A cắt cạnh BC D Gọi K và M là hình chiếu D trên AB và AC a) Chứng minh: AD vuông với KM b) Đặt góc BAC Gọi S là giao điểm KD và AC Chứng minh: KM=AD.sin (77)