(Sáng kiến kinh nghiệm) GIẢI PT hệ PT KHÔNG mẫu mực

Chuyên đề: Ph-ơng pháp giải ph-ơng trình hệ ph-ơng trình không mẫu mực A/ Đặt vấn đề: Trong trình học Toán, em học sinh gặp toán mà đầu đề lạ, không bình th-ờng, toán giải trực tiếp quy tắc, ph-ơng pháp quen thuộc Những toán nh- thường gọi l không mẫu mực, có tác dụng không nhỏ việc rèn luyện t- Toán học th-ờng thử thách ®èi víi häc sinh c¸c kú thi HSG, thi vào cấp 3, lớp chuyên toán, Tuy nhiên quen thuộc hay không mẫu mực, phụ thuộc vo trình độ người gii Toán Tôi xin đưa số phương pháp gii số phương trình v hệ phương trình không mẫu mực, với ph-ơng pháp đà giúp đỡ em học sinh luyện tập làm quen với ph-ơng trình v hệ phương trình không mẫu mực để từ biết cách t- suy nghĩ tr-ớc ph-ơng trình hệ ph-ơng trình không mẫu mực khác B Giải vấn đề I Phần I: Ph-ơng trình Ph-ơng trình ẩn: Với ph-ơng trình ẩn có ph-ơng pháp th-ờng vận dụng là: Đ-a ph-ơng trình tích, áp dụng bất đẳng thức chứng minh nghiệm đ-a hệ ph-ơng trình a Ph-ơng pháp đ-a ph-ơng trình tích * Các b-ớc: - Tìm tập xác định ph-ơng trình - Dùng phép biến đổi đại số, đ-a ph-ơng trình dạng f(x).g(x).h(x) = (gọi ph-ơng trình tích) Từ suy f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = ph-ơng trình quen thuộc Nghiệm ph-ơng trình tập hợp nghiệm ph-ơng trình f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = thuộc tập xác định - §«i dïng Èn phơ thay thÕ cho mét biĨu thức chứa ân đ-a ph-ơng trình dạng tích (với ẩn phụ) Giải ph-ơng trình với ẩn phụ, từ tìm nghiệm ph-ơng trình đà cho - Dùng cách nhóm số hạng, tách số hạngđể đ-a ph-ơng trình dạng quen thuộc mà ta đà biết cách giải *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: x 10 x 21 x x x x 7) x 3) §K: x ≥ -3 x 10 x (x x ( 21 )( x 3( x x 2( x 2) x 7 3) x )( x x x x 0 V× vÕ d-ơng nên ta có: x x ( TM ) x x ( TM ) Vậy tập hợp nghiệm ph-ơng trình S = Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình: 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = TXĐ: x R Giải 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = 3x(3 + 2x) – 9(2x + 3) = (2x + 3) (3x - 9) = 2x x 1; x x Vậy tập nghiệm ph-ơng trình S = ;2 Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình: (x2 - 4x + 2)3 = (x2 - x - 1)3 - (3x - 2)3; TXĐ: R áp dụng đẳng thøc (a - b)3 - (a3 - b3) = -3ab(a - b) (x2 - 4x + 1)3 = (x2 - x - 1) - (3x - 2)3 x x 3( x x x 3x Gi¶i (1): x 4x 3x 1) 0 (1) (2) 4x )( x x )( x x x 3x (3) x2 - x - = = + = > 0, Pt cã nghiÖm x1 ; x2 2 Gi¶i (2): 3x - = x Gi¶i (3): x2 - 4x + = ’ = - = > 0, Pt cã nghiÖm x 3; x VËy tËp nghiƯm cđa ph-¬ng trình là: S= ; ; 2 ;2 ;2 3 VÝ dụ 4: Giải ph-ơng trình: (x - 2)(x - 4)(x + 6)(x + 8) = -36 x 2 (x x 4x x 12 )( x (x 8) 4x 32 ) Đặt y = x2 + 4x - 12 x x Ph-ơng trình (*) trở thành: y(y 20 ) y 18 y x 36 18 )( y y x 2 36 36 (*) 32 y 20 36 20 y (y TX§: R 2) 0 y 18 y 4x 12 18 (1 ) 4x 12 2(2) Gi¶i (1) ta cã: x 4x x ' 12 18 4x 30 30 34 Ph-ơng trình có nghiƯm ph©n biƯt: x1 34 ; x2 34 Gi¶i (2) ta cã: x 4x x ' 12 4x 14 14 18 Ph-ơng trình có nghiệm phân biệt: x1 18 x2 18 VËy tập nghiệm ph-ơng trình là: S = 34 ; 34 ; 2 ; 2 Ví dụ 5: Giải ph-ơng trình: (x + 2)4 + x4 = 82 Đặt y = x + (x + 2)4 + x4 = 82 (y + 1)4 + (y - 1)4 = 82 y4 + 6y2 - 40 = Đặt y2 = t t2 + 6t - 40 = ’ = + 40 = 49 > 0, Pt cã nghiƯm ph©n biÖt t1 = -3 + = 4; t2 = -3 - = -10 (lo¹i) y2 = 4, y = Víi y = x + = x = Víi y = -2 x + = -2 x = -3 VËy tËp nghiƯm cđa ph-ơng trình là: S = {1;-3} Chú ý: Ph-ơng trình d¹ng (x + a)4 + (x + b)4 = c (a, b, c số) đặt ẩn phụ y = x + a b , ph-ơng trình đ-a đ-ợc dạng dy4 + ey2 + g = (d, e, g lµ h»ng sè) VÝ dơ 6: Giải ph-ơng trình x 9x 20 x 11 x 30 (x §K: x -4; x (x 18 ( x x 5) x 7) x 13 x 13 x )( x 7) 18 -7 x x x 18 18 4) 26 (x )( x 7) 0 x (x 5) 18 42 x 6) -6; x (x 18 ( x 11 x 13 x )( x 1 4) (x -5; x (x (x 5) 4) 1 )( x x x 13 Thoả mÃn điều kiện Vậy tập nghiệm ph-ơng trình S = {-13; 2} b Ph-ơng pháp áp dụng bất đẳng thức *Các b-ớc: - Biến đổi ph-ơng trình dạng f(x) = g(x) mà f(x) a; g(x) a (a lµ h»ng sè) - NghiƯm cđa ph-ơng trình giá trị thoả mÃn đồng thời f(x)=a g(x)=a - Biến đổi ph-ơng trình dạng h(x)=m (m số), mà ta có h(x) m h(x) m nghiệm ph-ơng trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy - áp dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: 3x Mà: 6x 3( x 1) 3( x 1) 5x 2 10 x 14 5( x 1) x 2x (x x 2 1) : x R 2 9 5 x Nªn ta cã: (x+1)2 = x = -1 Vậy nghiệm ph-ơng trình x = -1 Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình: x 6x 11 (x 3) Mµ: (x x 2 3) 6x (x 3) 13 (x 2 4 3) 4x (x 4 (x Nªn dÊu “=”x°y x 3) x 2) (x 2 2) 2 0 Điều xảy Vậy ph-ơng trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình: x 3x 3, (x 2x 2 )( x 4x 5) Ta cã: x x x 2x 2 4x (x 3x 1) (x 2) (x 3, 2 1 2x 2) (x 4x 5) áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số d-ơng cã: (x 2x 2) (x 4x 5) (x 2x )( x 4x (x 2x ); ( x 4x 5) ta 5) VËy x 3x 3, (x 2x )( x 4x 5) DÊu b»ng x¶y vµ chØ khi: (x 2x 2x 2) (x 4x 5) 3 x VËy nghiƯm cđa ph-ơng trình x= Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình: 13 x 2 3x x 2 2x 5x 2 12 x 33 ¸p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số : a b c d (ac bd ) Dấu xảy khi: a.d=b.c Víi a=2 ; b=3 ; c=x2-3x+6 ; d= x2-2x+7 ta cã: 2 13 x x 2 3x 2 3x x x 2x x 2 2 2x 5x 3x x 2x 2 12 x 33 Dấu xảy chØ khi: 3( x 3x 3x x a b 2 6) 9x 18 5x c 2(x 2x 2x 7) 4x 14 Ph-ơng trình có nghiệm: x1 c 1; x Vậy nghiệm ph-ơng trình a x1 1; x c Ph-ơng pháp chứng minh nghiệm *Các b-ớc giải: số ph-ơng trình ta thử trực tiếp để tìm nghiệm chúng sau tìm cách chứng minh nghiệm chúng không nghiệm khác *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: x 3 x (1) Gi¶i: +) x=0 nghiệm ph-ơng trình (1) +) Nếu x ta cã: x 2 x 3 x 3 Do ®ã x nghiệm ph-ơng trình (1) Vậy nghiệm ph-ơng trình (1) x = Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình: x 10 ( ) ; Víi x > Gi¶i: +Ta nhËn thÊy x=1 nghiệm ph-ơng trình(2) +Với x>1 ta có : x 1 x x x x x x x nên x x 10 x x 10 10 x x x x Vậy x>1 nghiệm ph-ơng trình x x +Với 0 0, Pt cã nghiÖm x1 ; x2 2 Gi¶i (2): 3x - = x Gi¶i (3): x2 - 4x + = ’ = - = > 0, Pt cã nghiÖm x 3; x VËy tËp nghiÖm ph-ơng trình là: S= ; ; 2 ;2 ;2 3 Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình: