Thông tin tài liệu
SỐ CHÍNH PHƯƠNG I- ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số tự nhiên II- TÍNH CHẤT: 1- Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9; khơng thể có chữ tận 2, 3, 7, 2- Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3- Số phương có hai dạng 4n 4n+1 Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n ∈ N) 4- Số phương có hai dạng 3n 3n +1 Khơng có số phương có dạng 3n + ( n ∈ N ) 5- Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 6- Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 7- Số lượng ước số phương số lẻ Đảo lại số có số lượng ước số lẻ số số phương Thật vậy, A = A số phương có ước Ta giả sử số A > có dạng phân tích thừa số nguyên tố A = a x by cz… số lượng ước (x + 1)(y + 1)(z + 1)… a, Nếu A số phương x, y, z …chẵn nên x + 1, y + , z +1 …lẻ Vậy số lượng ước A số lẽ b, Nếu số lượng ước A số lẽ (x + 1)(y + 1)(z + 1)…lẻ thừa số x + 1, y + 1, z + ….đều lẻ, suy x, y, z …chẵn Đặt x = 2x’, y = 2y’, z = 2z’, …(x’, y’, z’ … ∈ N A = ( a x b y c z )2 nên A số ' ' ' phương Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương Nếu tích hai số nguyên liên tiếp số phương hai số có số số III NHẬN BIẾT MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Để chứng minh N số phương ta có thể: - Biến đổi N thành bình phương số tự nhiên (hoặc số nguyê) - Vận dụng tính chất: hai số tự nhiên a b ngun tố có tích số phương số a, b số phương Để chứng minh N khơng phải số phương ta có thể: - Chứng minh N có chữ số tận 2; 3; 7; có số lẻ chữ số tận - Chứng minh N chứa số nguyên tố với số mũ lẻ - Xét số dư N chia cho hoặc 5,… - Chứng minh N nằm hai số phương liên tiếp IV- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A- Dạng 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh số nguyên x, y thì: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y số phương Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y = ( x + xy + y )( x + xy + y ) + y Đặt x + xy + y = t (t ∈ Z ) A = ( t − y )(t + y ) + y = t − y + y = t = ( x + xy + y )2 Vì x, y, z ∈ Z nên x ∈ Z , xy ∈ Z , y ∈ Z ⇒ x + 5xy + y ∈ Z Vậy A số phương Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Giải : Gọi số tự nhiên, liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 (n ∈ N) Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + = ( n + 3n)(n + 3n + 2) + (*) Đặt n + 3n = t (t ∈ N ) (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n ∈ N nên n2 + 3n + ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + số phương Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) Chứng minh 4S + số phương Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) = = 1 k (k + 1)(k + 2) 4= k(k + 1)(k + 2) [ (k + 3) − (k − 1)] 4 1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 4 => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Theo kết => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + số phương Bài 4: Cho a = 11 ; b = 100 05 2014 chữ số 2015 chữ số Chứng minh ab + số tự nhiên Giải: b = 100 05 = 100 - + = 99 + = 9a + 2015 chữ số 2016 chữ số 2016 chữ số ⇒ ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 ⇒ ab + = (3a + 1) = 3a + ∈ N Bài 5: Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n + chữ số 1, C số gồm n chữ số (n ∈ N n ≥ 1) Chứng minh: a + b + c + số phương Giải Ta có a + b + c + = 11 + 11 + 66 + 2n số n + số n số = 102 n − 10n +1 − 6(10n − 1) + + +8 9 = 102 n − + 10.10n − + 6.10n − + 72 102 n + 16.10n + 64 10n + = = ÷ (10n + 8) M3, nên a + b + c + số phương Bài 6:Chứng minh với số tự nhiên n A = (10n + 10n-1 + …+ 10 + 1)(10n+1 + 5) + Là số phương Giải Đặt B = 10n+1 ta có A= 10n +1 − B −1 10n +1 + ) + = ( B + 5) + ( 10 − B + 4B + ( B + 2) ⇒A= = = ( 3.3.3 34 ) Vậy A số phương B- Dạng 2: CHỨNG MINH MỘT SỐ KHƠNG LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp số phương Giải Gọi số tự nhiên liên tiếp n - 2, n - 1, n +1, n + ( n ∈ N, n >2) Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = (n2 + 2) Vì n2 khơng thể tận n2 + chia hết cho => (n2 + 2) khơng số phương hay A khơng số phương Bài 2: Chứng minh số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 n ∈ N n >1 số phương Giải n6 - n + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Với n ∈ N, n > n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + số phương Bài 3: Chứng minh p tích n (với n > 1) số nguyên tố p - p + khơng thể số phương Giải Vì p tích n số ngun tố nên pM2 p chia hết cho (1) * Giả sử p + số phương Đặt p + = m2 ( m ∈ N) Vì p chẵn nên p + lẻ => m2 lẻ => m lẻ Đặt m = 2k + (k ∈ N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + => p + = 4k2 + 4k + => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) M4 mâu thuẫn với (1) => p + khơng phải số phương * p = 2.3.5 số chia hết cho => p - có dạng 3k + => p - khơng số phương Vậy p tích n (n >1) số nguyên tố p - p + khơng số phương Bài 4: Giả sử N = 1.3.5.7 2007 2011 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N 2N + khơng có số số phương * 2N - = 2.1.3.5.7 2011 - Có 2N M3 => 2N - = 3k + (k ∈ N) => 2N - khơng số phương * 2N = 2.1.3.5.7 2011 => 2N chẵn Mà N lẻ => N không chia hết cho 2N M2 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho dư dư => 2N khơng số phương * 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + lẻ nên 2N + không chia hết cho 2N không chia hết 2N + không chia cho dư 2N + khơng số phương C DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + d) n2 + n + 1589 Giải: a) Vì n2 + 2n + 12 số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k ∈ N) ⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n + 1)2 = 11 ⇔ (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + > k - n - chúng số nguyên dương, nên ta ⇔ viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 ⇔ k + n + = 11 k=6 k-n–1=1 n=4 b) ĐS: n= c) Vậy n = 13k2 ± 8k + (với k ∈ N) 13n + số phương d) n = 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bài : Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương Giải Với n = 1! = = 12 số phương Với n = 1! + 2! = khơng số phương Với n = 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 33 số phương Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … n! có tận chữ số nên khơng phải số phương Vậy có số tự nhiên n thoả mãn đề n = 1; n = Bài 3: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + 3n + số phương Giải Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n + ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 2n + 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n + 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40 Bài 4: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương Giải Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a ∈ N) 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) 2p 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q ∈ N ; p + q = n p > q ⇒ a + 48 = 2p ⇒ 2p 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q – 1) = 25.3 a – 48 = 2q ⇒ q = p – q = ⇒ p = ⇒ n = + = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 Bài 5:Tìm số có hai chữ số biết hiệu bình phương số viết theo thứ tự ngược lại số phương Giải Giả sử ab số có hai chử số cho ab − ba số phương 2 2 Ta có : ab − ba = ( 10a + b ) − ( 10b + a ) = 99 ( a − b ) M11 2 Vì ab − ba số phương nên ab − ba M121 suy a − b2 = ( a − b ) ( a + b ) M 11 ⇒ a − b M 11 ( < a − b ≤ ) Mà < a + b ≤ 18 nên a + b = 11(*) Từ (*) suy ab − ba = 9.11.11( a − b ) số phương nên a – b = a – b = 2 + Nếu a – b = từ (*) ta có hệ a + b = 11 a = ⇒ Thử lại 652 – 562 = 332 a − b = b = + a + b = 11 15 ⇒ a = a − b = Nếu a – b =4 từ (*) ta có hệ (loại) Vậy số cần tìm 65 Bài 6:Tìm số phương có chữ số cho viết chữ số theo thứ tự ngược lại ta số phương số phương bội số số phương cần tìm Giải Đặt số phải tìm abcd = M 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50 Ta lại có dcba = N Tính tổng hiệu hai số phương ta abcd + dcba = 1001( a + d ) + 110 ( b + c ) M 11 abcd − dcba = 999 ( d − a ) + 90 ( c − b ) M Vì dcba bội abcd nên abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho tức bội số 33 Mà 31 < M < 50 nên M = 33 ta có: abcd = 332 = 1089, dcba = 9801 = 992 Bài 7:Tìm số nguyên tố p cho tổng tất ước dương p số phương Giải Các ước dương p4 1, p, p2, p3, p4 Giảsử: + p + p2 + p3 + p4 = n2 ( n ∈ N ) Ta có : 4n2 = 4p4 + 4p3 + 4p2 + 4p + Suy : 4p4 + 4p3 + p2 < 4n2 < 4p4 + p2 + + 4p3 + 4p + 8p2 Hay: (2p2 + p)2 < (2n)2 < (2p2 + p + 1)2Suy ra: suy ra: p + p + p + p + = ( p + p + 1) (2n)2 = (2p2 + 2p + 1)2 ⇔ p2 − p − = ⇔ p = Với p = 3, ta có : + + 32 + 33 + 34 = 112 Vậy số nguyên tố cần tìm p = Bài 8:Tìm số nguyên tố x để x2 + x + 1991 số phương Giải: Từ x2 + x + 1991 = y2 ta có: 4y2 = 4x2 + 4x + 7964 y = ( x + 1) + 7963 ⇔ y − ( x + 1) = 7963 Hay ⇔ ( y + x + 1) ( y − x − 1) = 7963 Có thể thử lại để thấy 7963 số ngun tố (khơng chia hết cho số nguyên tố từ đến 90) từ sút 2 y + x + = 7963 2 y + x + = y + x + = −7963 y + x + = −1 Hoặc Hoặc Hoặc 2 y − x − = 2 y − x − = 7963 y − x − = −1 y − x − = −7963 Tính ta x = 1990 x = -1991 Bài 9:Tìm số hữu tỉ x cho x2 + x + số phương p p2 p + + = n với n ∈ N với (p,q) = q > cho q q q Giải: Giả sử x = 2 Suy : p = q ( − p − 6q + n q ) Mq ⇒ q = Vậy: x = p∈Z Khi đó: p + p + = n2 ⇔ p + p + 24 = 4n ⇔ ( 2n ) − ( p + 1) = 23 2 ⇔ ( 2n − p − 1) ( 2n + p + 1) = 23 Phân tích: 23 = 1.23 = (-1).(-23) = 23.1 = (-23).(-1) Giải ta : p = 5, n = Các tương tự: Bài 1: Chứng minh số sau số phương A = 11 + 44 + 2n chữ số n chữ số B = 11 + 11 + 66 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số C= 44 + 22 + 88 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số D = 11 55 E = 44 88 n số (n-1) số F = 224999 91000 09 123 123 n − so n so HD 2 10n + A= ÷; 10n + B= ÷; 2.10n + C = ÷ 10n + D = 11 .1 10 + 5.11 + = = ÷ n n số n số 2.10 + ÷ n E= F = (15.10n – 3)2 Bài 2: Chứng minh với số tự nhiên k số: A = + 92k + 772k + 19972k khơng phải số phương HD: Chứng minh A = 3t + (t ∈ N) Bài 3: Số A = + 92m + 80m + 19802m có số phương khơng? HD: Chứng minh A = 4q + (q ∈ N) Bài 4: Tích hai số tự nhiên liên tiếp, hai số chẵn liên tiếp, hai số lẻ liên tiếp có số phương khơng? Bài 5: Chứng minh số sau khơng số phương abab abcabc ababab Bài 6:Các tổng sau có số phương hay không A = + 32 + 33 + …+ 320 B = 11 + 112 + 113 1010 + 100! + 1010 + 10100 + 1050 +1 Bài Tìm a để số sau số phương a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 Kết quả: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 Bài 8: Chứng minh a) Tổng ba số phương liên tiếp khơng phải số phương b) Tổng S = 12 + 22 + 32 + + 302 không số phương Bài 9: Chứng minh tổng bình phương số lẻ khơng phải số phương Bài 10: Tìm số phương có chữ số mà hai chữ số đầu giống hai chữ số cuối giống KQ: 7744 Bài 11:Tìm số phương abcd biết ab − cd = KQ: 8281 Bài 12: Cho N tổng hai số phương Chứng minh a) 2N tổng hai số phương b) N2 tổng hai số phương (A+B)(C+D) tổng hai số phương Bài 13: Cho ba số nguyên x, y, z cho x = y + z Chứng minh: 2(xy + xz – yz) tổng ba số phương Bài 14: Cho an = + + + +….+ n a) Tính an+1 b) Chứng minh: an + an+1 số phương Bài 15: Tìm tất số tự nhiên n để n2 + 1234 số phương Bài 16: Tìm số tự nhiên k để 2k + 24 + 27 số phương Bài 17: Tìm số tự nhiên x để x2 + 2x + 200 số phương Bài 18: Cho số nguyên x Chứng minh A = x4 – 4x3 – 2x2 + 12x + số phương Bài 19 Cho x; y; z số tự nhiên Chứng minh B = 4x(x+ y)(x + y + z)(x +z) + y2z2 số phương Bài 20: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số Chứng minh A – B số phương Bài 21:Chứng minh tích hai số ngun tố số phương số số phương Bài 22 Cho n số tự nhiên d ước nguyên dương 2n2 10 Chứng minh n2 + d khơng số phương Bài 23: Có hay khơng số tự nhiên n để 2014 + n2 số phương Bài 24: Biết x ∈ N x > Tìm x cho x( x − 1).x( x − 1) = ( x − 2) xx( x − 1) Bài 25:Tìm chữ số a, b, c > cho số tự nhiên n > a14.a2.a a b b b b + = c c c c + ÷ 43 14 43 123 n so a n so b n so c 11 ... tích hai số nguyên liên tiếp số phương hai số có số số III NHẬN BIẾT MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Để chứng minh N số phương ta có thể: - Biến đổi N thành bình phương số tự nhiên (hoặc số nguyê)... y2z2 số phương Bài 20: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số Chứng minh A – B số phương Bài 21:Chứng minh tích hai số ngun tố số phương số số phương Bài 22 Cho n số tự... phải số phương b) Tổng S = 12 + 22 + 32 + + 302 không số phương Bài 9: Chứng minh tổng bình phương số lẻ khơng phải số phương Bài 10: Tìm số phương có chữ số mà hai chữ số đầu giống hai chữ số
Ngày đăng: 15/06/2021, 14:32
Xem thêm:
