(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề rèn kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư MỤC LỤC Nội dung PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trang I Lý chọn chuyên đề II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phạm vi nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG I Cơ sở khoa học chuyên đề Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn II Biện pháp thực III Nội dung chuyên đề 1.Những giải pháp chuyên đề Các phương pháp Tổng kết 19 IV Kết đạt sau thực chuyên đề PHẦN III: KẾT LUẬN 24 25 -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư CHUYÊN ĐỀ RÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TƯ PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn chuyên đề: Toán học môn khoa học coi chủ lực, trước hết Tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic, … chất lượng dạy học tốn nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học tốn nói riêng trường THCS tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Qua thực tế giảng dạy qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử khơng khó, nhiều học sinh làm sai chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên chọn chuyên đề: “ Rèn kĩ giải tốn: phân tích đa thức thành nhân tử” II Mục đích nghiên cứu Chỉ phương pháp giải giúp học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn dạng tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử” -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bản, có hệ thống phân tích đa thức thành nhân tử Nâng cao chất lượng môn III Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp trường THCS Yên Phương IV Phạm vi nghiên cứu Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp V Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp khảo sát thực tiễn - Phương pháp quan sát - Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái qt hóa - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm PHẦN II: NỘI DUNG I Cơ sở khoa học chuyên đề Cơ sở lý luận Mơn tốn mơn khoa học quan trọng, cầu nối ngành khoa học với Đồng thời, toán học có tính thực tiễn cao sống xã hội với cá nhân Mơn tốn cịn rèn luyện cho người học tư logic, sáng tạo, khoa học Đối với học sinh bậc THCS, em đối tượng người học nhạy cảm Việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi cần thiết thiết thực Vậy làm để khơi dậy kích thích nhu cầu tư duy, khả tư tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm môn học đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề người giáo viên cần phải khơng ngừng tìm tịi khám phá, khai thác, dạy học phân hóa, dạy sát đối tượng học sinh, quan tâm rèn kỹ giải toán cho học sinh Cơ sở thực tiễn Trong thực tế giảng dạy Toán trường THCS việc giúp cho học sinh có kỹ trình bày lời giải toán phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng phong phú, để giải học sinh cần có kỹ -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -tốt, biết nhiều phương pháp cách vận dụng Tạo tảng kiến thức để học sinh lấy làm tiền đề tiếp tục hoàn thiện học sang lớp Trong trình giảng dạy chúng tơi gặp thuận lợi khó khăn sau: 2.1 Thuận lợi: - Đội ngũ giáo viên đào tạo bản, trình độ đạt chuẩn chuẩn - Tập thể có tinh thần đồn kết, ln sẵn sàng tương trợ, giúp đỡ lẫn khó khăn cơng việc - Hầu hết thầy cô ham học hỏi, nghiên cứu soạn bài, thường xuyên sử dụng đồ dùng giảng dạy dạy phương pháp môn - Luôn quan tâm, đạo sát BGH, chi Đảng giúp chúng tơi hồn thành nhiệm vụ - Cơ sở vật chất nhà trường tương đối đầy đủ phương tiện, thiết bị dạy học, phịng học mơn cho việc giảng dạy thuận tiện - Học sinh có nề nếp, đa số em có ý thức học tập rèn luyện đạo đức - Nhận thức phụ huynh ngày nâng cao điều kiện tốt để giúp việc phối hợp giáo dục em 2.2 Khó khăn: - Trong tổ có nhiều mơn học khác nên khó việc bồi dưỡng giúp đỡ lẫn chun mơn - Số giáo viên có chun mơn nghiệp vụ giỏi cịn ít, số giáo viên chưa linh hoạt việc áp dụng phương pháp vào dạy học - Một số giáo viên áp dụng CNTT vào dạy học chưa thành thạo nên sử dụng soạn giảng giáo án điện tử tiết chưa nhiều - Tồn nhiều học sinh cịn yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, lười suy nghĩ, trông chờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu - Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt - Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở học tập nhà - Thiết bị dạy học số mơn cịn thiếu, thiết bị hỏng chưa thay thế, số gia đình làm ăn xa để nhà với ông bà nên việc quản lí học tập nhà em chưa tốt dẫn tới tình trạng học sinh lười học, lười làm tập nhà II Biện pháp thực - Cần soạn giảng cách hệ thống, câu hỏi ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu - Nên tạo tình có vấn đề giảng dạy để kích thích tư kỹ thực hành học sinh - Giáo viên thường xuyên động viên khen ngợi em, hướng dẫn em cách ghi chép, cách học làm tập nhà, thêm tập có dạng - Khi tập cần yêu cầu học sinh thực số nội dung sau +) Đọc kỹ nôi dung +) Xác định rõ yêu cầu toán +) Nhận dạng toán thuộc dạng nào, xác định phương pháp giải dạng +) Xác định yêu cầu đề bài? Viết điều cho biết dạng khác không? +) Kiểm tra xem vận dụng hết điều đề cho chưa, sử dụng kiến thức nào? Vận dụng nào? +) Tự tiến hành trình bày lời giải +) Đối chiếu với cách giải bạn, thầy +) Tìm thêm lời giải khác cho toán ( được) +) Rút kinh nghiệm cho thân - Giáo viên cần đưa dạng tập với mức độ từ thấp đến cao, nâng cao mức độ hấp dẫn (kể kiến thức kỹ năng) -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -III Nội dung chuyên đề Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử ngồi giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng ? Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức, đơn thức khác Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều tốn khác Ví dụ: Bài tốn chứng minh chia hết Rút gọn biểu thức Tính nhanh giá trị biểu thức Giải phương trình tích Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Những giải pháp chuyên đề Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử: Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán Củng cố phép biến đổi hồn thiện kĩ thực hành Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán Giới thiệu phương pháp: tách hạng tử thêm,bớt hạng tử (ngoài số phương pháp khác đặt ẩn phụ, hạ bậc đa thức, hệ số bất định… lý sư phạm nên chúng tơi khơng trình bày đây.) Các phương pháp 2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp chung: Ta thường làm sau: - Tìm nhân tư chung các hệ số (ƯCLN các hệ số) - Tìm nhân tư chung các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)  Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tư chung ta cần đổi dấu các hạng tư -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử ? (Học sinh trả lời là: 7, ƯCLN(14, 21, 28 ) = ) - Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2, x2y2 ? (Học sinh trả lời xy )( lớp học lực trung bình yếu giáo viên hỏi nhân tử chung biến x, y) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? - Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9a(a – b) – 10(b – a)2 thành nhân tử Lời giải sai: 9a(a– b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) + 10(a – b)2 = (a – b)[9a + 10(a – b)] -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -= (a – b)(19a – 10b) Sai lầm học sinh là: Thực đổi dấu sai: 9a(a – b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) + 10(a – b)2 Sai lầm đổi dấu ba nhân tử : –10 (b – a)2 tích –10(b – a)2 (vì –10(b – a)2 = –10(b – a)(b – a)) Lời giải đúng: 9a(a – b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) – 10(a – b)2 = (a – b)[9a – 10(a – b)] = (a – b)(10b – a) Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: - Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) - Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích  Chú ý: Tích không đổi ta đổi dấu hai nhân tư tích (một cách tổng quát, tích không đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tư tích đó) 2.2 Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp chung: Sử dụng đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ví dụ 4: Phân tích đa thức (a + b)2 – (a – b)2 thành nhân tử Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức ? (HS: có dạng A2 – B2 ) -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -Lời giải sai: (a + b)2 – (a – b)2 = (a + b + a – b)(a + b – a – b) = (2a).0 = (kết quả sai) Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc Lời giải đúng: (a + b)2 – (a – b)2 = [(a + b) + (a - b)].[(a + b) - (a – b)] = (a + b + a - b)(a + b - a + b) = 2a.2b = 4ab Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: - Quy tắc bỏ dấu ngoặc quy tắc đổi dấu - Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương hiệu  Khai thác tốn: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp * Nếu thay mũ “2” mũ “3” ta có tốn Phân tích (a + b)3 – (a – b)3 thành nhân tử * Đặt a + b = x, a – b = y, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn Phân tích x6 – y6 thành nhân tử Ví dụ 5: Phân tích x6 – y6 thành nhân tử x6 – y6 = ( x ) −( y ) 3 Giải: = (x3 – y3 )( x3 + y3 ) = (x – y)(x2 + xy + y2)(x + y)(x2 – xy + y2) Giáo viên củng cố cho học sinh: Các đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -2.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp chung Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau là đặt nhân tư chung, là dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử toán - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tư nhóm quá trình phân tích thành nhân tư phải tiếp tục thực a Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y ) Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0)(kết quả sai bỏ sót số 1) Sai lầm học sinh là: bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung (HS cho ngoặc thứ hai đặt nhân tử chung (x – y) cịn lại số 0) Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) b Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức: Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử x2 – 2x + – 4y2 Giải: = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 10 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -+ Xem xét đa thức có dạng đẳng thức nào khơng ? + Nếu khơng có nhân tư chung, khơng có đẳng thức phải nhóm các hạng tư vào nhóm thoả mãn điều kiện nhóm có nhân tư chung, làm xuất nhân tư chung các nhóm xuất đẳng thức Cụ thể các ví dụ sau: Ví dụ 12: Phân tích đa thức A = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 thành nhân tử Ta thấy A khơng có dạng đẳng thức, hạng tử khơng có nhân tử chung, làm để phân tích Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì trước tiên ta dùng phương pháp nhóm hạng tử A = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 Sau đặt nhân tử chung nhóm thứ làm xuất đẳng thức A = 5(a2 - b2) + (a + b)2 Sử dụng đẳng thức nhóm đầu làm xuất nhân tử chung hai nhóm là(a+b) A = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)2 Đã có nhân tử chung là: (a + b) nên ta tiếp tục đặt nhân tử chung A = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b) Giải: 2 A = 5a + 3(a + b) - 5b = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 = 5(a2 - b2) + (a + b)2 = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)2 = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b) Ví dụ 13: Phân tích đa thức B = 3x 3y - 6x 2y - 3xy - 6xy 22 - 3xyz + 3xy thành nhân tử Trước hết xác định xem dùng phương pháp trước ? Ta thấy hạng tử chứa nhân tử chung 3xy + Đặt nhân tử chung B = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 13 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -Trong ngoặc có hạng tử xét xem có đẳng thức khơng? + Nhóm hạng tử: B = xy[(x2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2)] + Dùng đẳng thức: B = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xét hai hạng tử ngoặc có dạng đẳng thức + Tiếp tục sử dụng đẳng thức: B = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Giải: 3 B = 3x y - 6x y - 3xy - 6xy 22 - 3xyz + 3xy = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) = xy[(x2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2)] = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Ví dụ 14: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy hệ quả sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) Giải: 3 3 A = (x + y + z) – x – y – z = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 +z3 +3z(x + y)(x+ y + z) – x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) 2.5 Phương pháp tách hạng tử Trong số trường hợp phương pháp học giải mà ta phải nghĩ tách hạng tử thành nhiều hạng tử để áp dụng phương pháp biết Ví dụ 15: : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + Giải: -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 14 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -2 Cách 1: x - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 2: x2 - 6x + = x2 - 6x +9 - = (x - 3)2 - 12 = (x - 3+1)(x – - 1) = (x-2)(x-4) Cách 3: x2 - 6x + = x2 - 4-6x +12 = (x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6) = (x-2)(x-4) Cách 4: x2 - 6x + = x2 - 4x +4 - 2x + = (x-2)2 - 2(x-2) = (x - 2)(x - 4) Có nhiều cách tách hạng tư thành nhiều hạng tư có cách thông dụng là: Cách : Tách hạng tư bậc thành hạng tư dùng phương pháp nhóm các hạng tư và đặt nhân tư chung Cách : Tách hạng tư tự thành hai hạng tư đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương Ví dụ 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8 Giải: 9x2+6x-8 = 9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x - 2) = (3x -2)(3x+4) Hoặc 9x2+6x-8 = 9x2-6x+1 – = (3x+1)2-32 -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 15 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -= (3x+1-3)(3x+1+3) = (3x -2)(3x+4) *Chú ý : Khi tách hạng tử bậc thành hai hạng tử tam thức bậc hai: ax2 + bx + c hệ số b = b 1+ b2 cho b b2 = a.c Trong thực hành ta làm sau : - Tìm tích a.c - Phân tích a.c thành tích hai thừa số nguyên cách - Chọn hai thừa số mà tổng b Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử Ta có : a = ; b = ; c = -8 + Tích a.c =9.(-8) =-72 + Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn (để tổng hai thừa số 6) -72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (-6).12 = (-8).9 + Chọn hai thừa số có tổng 6, -6 12 Từ ta phân tích 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x- 2) =(3x -2)(3x+4) Ví dụ 17 : Khi phân tích đa thức x –x - thành nhân tử Ta có : a = ; b = -1 ; c = -6 + Tích a.c =1.(-6) = -6 + Phân tích - thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn b = -1 < (để tổng hai thừa số -1) -6 = 1.(-6) = 2.(-3) + Chọn hai thừa số có tổng -1, : -3 -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 16 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -Từ ta phân tích x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3) *Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax + bx + c có b là số lẻ, khơng là bình phương số ngun nên giải theo cách gọn so với cách hai 2.6 Phương pháp thêm, bớt hạng tử Khi đa thức cho mà hạng tử đa thức khơng chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức nhóm số hạng ta phải biến đổi hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết Ví dụ 18: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử - Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất đẳng thức) Ta có x4 + x2 + = x4 + 2x2 + – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 - Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức và đặt nhân tư chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 19: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử Giải: Cách 1: Thêm x bớt x -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 17 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -(làm xuất đẳng thức và đặt nhân tư chung) x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + ) Cách 2: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tư chung) x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + )  Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – có chứa nhân tư x2 + x + Ví dụ 20 : Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử Ta thấy x4 =(x2)2 ; = 22 Do ta thêm bớt vào đa thức cho hạng tử 4x2 x4 + = (x4 + + 4x2)– 4x2 = (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2) Ví dụ 21: Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do ta thêm bớt vào đa thức cho hạng tử 16a2b2 -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 18 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -2 4 64a + b = 64a + b + 16a2b2 - 16a2b2 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab) Trên là vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải khó khăn quá trình giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tư 3.Tổng kết Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận xét: 3.1 Quan sát đặc điểm toán: Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến) 3.2 Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào? áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp) 3.3 Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với toán  Lưu ý: Trong tốn phân tích đa thức thành nhân tử - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 19 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức  Chú ý: Phương pháp đặt nhân tư chung sư dụng liên tiếp hai bước liền Phương pháp nhóm khơng thể sư dụng liên tiếp hai bước liền Phương pháp dùng đẳng thức sư dụng liên tiếp hai bước liền * Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử * Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá tốn theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào tốn, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác *Bài dạy minh họa Tiết 14: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TƯ BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 20 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -I Mục tiêu - Rèn kỹ giải tập phân tích đa thức thành nhân tử - Học sinh biết giải thành thạo tập phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp phương pháp Học sinh rèn kỹ phân tích trình bày - Học sinh rèn tính cẩn thận, xác - Phát triển tư sáng tạo phát giải vấn đề II Chuẩn bị - GV: Bảng phụ Máy chiếu, phiếu học tập - HS : Ơn lại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử III Tiến trình dạy học Tổ chức Kiểm tra cũ Hãy điền vào chỗ trống? a/ = …………… b/ = 2[…………… - ] = [ …… – = 2(x+1 – y)(……… ) 3.Bài Hoạt động GV HS Nội dung GV: Yêu cầu học sinh nghiên cứu Bài 54( SGK/25) thực tập 54/sgk 2 a, x3 + x y + xy − x a, x + x y + xy − x = x ( x + xy + y − 9) c, x − x = x ( x + xy + y ) −  GV: hướng dẫn học sinh thực phần a = x ( x + y ) − 32  Quan sát nhận xét hạng tử = x ( x + y − 3) ( x + y + 3) đa thức phần a ? HS trả lời c, x − x = x ( x − 2) = x  x − ( )    ( )( = x2 x − x + ) Bài 55( Sgk/25) -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 21 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -GV: Muốn tìm x, ta thực a, nào? GV gọi học sinh lên bảng thực x( lớp thực 1  1  x  x − ÷  x + ÷ = 2  2    x = x =   1 ⇒ x − = ⇒ x =   2   −1 x + = x = 2   −1 Vậy x = 0, x = , x = 2 c, x ( x − 3) + 12 − x = x ( x − 3) − (4 x − 12) = x ( x − 3) − 4( x − 3) = ( x − 3)( x − 2)( x + 2) = x − = x = ⇒  x − = ⇒  x =  x + =  x = −2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử? GV cho HS hoạt động nhóm Vậy x = 3, x = 2, x = -2 Bài 56(Sgk/25) HS hoạt động nhóm Nhóm GV kiểm tra kết hai nhóm có a, Ta có : kết nhanh 1 1 x + x + = x + .x +  ÷ 16 4 2 1  =x+ ÷ 4  = ( x + 0, 25) Thay x = 49,75 vào đa thức ( x + 0, 25) 2 ta được: ( 49, 75 + 0, 25 ) = 50 = 2500 Vậy với x = 49,75 đa thức cho có -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 22 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -giá trị 2500 Nhóm b, Ta có : x − y − y − = x − ( y + y + 1) = x − ( y + 1) = ( x – y - 1)(x + y + 1) Thay x = 93; y = vào đa thức ( x – y - 1)(x + y + 1) ta được: ( 93 – -1 )( 93+6 + 1) = 100 86 = 8600 Vậy với x = 93; y = đa thức cho có giá trị 8600 Bài 57( Sgk/25) a,Cách 1: x − x + = x − x + − = ( x − x + 4) − 2 = ( x − 2) − 2 GV: Với cách ta thực = ( x-2-1) ( x-2+1) nào? = (x-3)(x-1) + Tách = -1 Cách 2: x − x + = x − x − 3x + + Xuất đẳng thức = ( x − x) − (3 x − 3) = x(x – 1) – 3( x – 1) GV gọi học sinh thực cách sau = ( x-1 )( x – ) GV hướng dẫn c, x - x – GV yêu cầu học sinh lên bảng thực = x - – x – với phần a,c = ( x2 - ) – ( x + ) = ( x – )( x + 2) – ( x+ 2) = ( x + 2) ( x – – 1) = ( x + 2)( x – 3) Hoặc : x - x – =( x - 3x ) + ( 2x – 6) = x( x- ) + ( x – 3) = ( x – 3)( x + 2) 4, Củng cố : -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 23 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -Qua tiết học ta củng cố rèn thêm kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Các em gặp nhiều tốn khó chun đề nâng cao Hướng dẫn nhà: Bài tập nhà : 54b ; 55b; 57b,d ; 58 ( sgk/ 25) Bài 58 ( sgk/25) Gợi ý: Để chứng minh n3 − n chia hết cho với số nguyên n ta cần làm nào? - Phân tích n3 − n thành nhân tử xuất tích số nguyên liên tiếp - Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho số nào? V.Kết đạt sau thực chuyên đề Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức mức độ khác thơng qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài tốn học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán Cụ thể kết kiểm tra dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử thống kê qua giai đoạn hai lớp sau: 1.Chưa áp dụng giải pháp Thời gian : Trung bình trở lên TS Khoảng hkI năm học 2015 – 2016 HS Số lượng Tỉ lệ (%) Chưa áp dụng giải pháp 88 46 52% Trung bình trở lên Tuần học thứ năm học 2016 – 2017 TS HS Số lượng Tỉ lệ (%) Kết áp dụng giải pháp 87 69 79 % Áp dụng giải pháp Thời gian -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 24 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -PHẦN III KẾT LUẬN I.Bài học kinh nghiệm: Trong q trình thực chun đề chúng tơi rút số học kinh nghiệm sau: Để thực tốt công tác bồi dưỡng học sinh có kỹ trình bày lời giải tốn cách khoa học, xác, trước hết giáo viên cần phải có trình độ chun mơn vững vàng, nắm vững thuật toán, giải toán khó cách thành thạo Cần phải có phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích tị mị, động, sáng tạo, tích cực học sinh Tốn học mơn khó, vấn đề tốn rộng Chính vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ơn tập bao gồm tất chuyên đề Với chuyên đề cần phải chọn lọc tốn điển hình, để học sinh từ phát huy khả mình, vận dụng cách sáng tạo vào giải toán khác thể loại Trong trình bồi dưỡng học sinh cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích em phát huy tối đa khả q trình ơn luyện học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vượt qua khó khăn bước đầu học tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh mà giáo viên đưa Hơn trình bồi dưỡng phụ đạo học sinh, giáo viên cần đưa hệ thống tập từ dễ đến khó Điều làm cho em có hứng thú học tập có cố gắng vươn lên nhiều Từ học sinh thấy trình học tập bồi dưỡng kiến thức, kỹ Đối với môn tốn q trình khơng thể diễn ngày một, ngày hai, mà trình lâu dài, thường xuyên liên tục Tuy nhiên cần tránh cho học sinh áp lực học tập liên tục khơng giải tốn gây cho em nản chí, niềm tin vào khả khiến cho em tự tin, giảm hứng thú học tập II Kết luận: Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm có kết hữu hiệu cho việc học tập giải toán Rất nhiều học sinh chủ động tìm tịi định hướng phương pháp làm chưa có gợi ý giáo viên, -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 25 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -mang lại nhiều sáng tạo kết tốt từ việc giải toán rút phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vì lẽ với giáo viên cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tượng học sinh để từ đưa tập phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm tập, gây hứng thú học tập, say sưa giải tốn, u thích học tốn Từ nâng cao từ dễ đến khó, có người thầy giáo cần phải tìm tịi nhiều phương pháp giải tốn, có nhiều tốn hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa cho học sinh làm, phát cách giải khác cách giải hay, tính tự giác học tốn, phương pháp giải tốn nhanh, có kỹ phát cách giải tốn nhanh, có kỹ phát cách giải Trong trình thực chun đề chúng tơi khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong có đóng góp, bổ sung bạn đồng nghiệp, nhà quản lí giáo dục để chun đề chúng tơi hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! DUYỆT CỦA BGH Yên Phương, ngày 09 tháng 10 năm2017 Người viết chuyên đề Trần Thị Liên -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 26 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -Tài liệu tham khảo STT Tên sách Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập tốn Ơn luyện theo chuẩn kiến thức kĩ toán Các dạng toán phương pháp giải toán Bài tập thực hành toán Toán nâng cao toán Học thực hành theo chuẩn kiến thức, kĩ toán -Nhóm toán trường THCS Yên Phương Năm học: 2017 - 2018 27 .. .Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư CHUYÊN ĐỀ RÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TƯ PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn chuyên đề: ... 2017 - 2018 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -III Nội dung chuyên đề Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ ? ?Phân tích đa thức thành nhân tử ngồi... 2017 - 2018 12 Rèn kĩ giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư -+ Xem xét đa thức có dạng đẳng thức nào không ? + Nếu nhân tư chung, khơng có đẳng thức phải nhóm