(Sáng kiến kinh nghiệm) phát triển bài toán mới từ một bài tập cơ bản trong sách giáo khoa

1 Lời giới thiệu: Mọi vật thể cấu tạo từ chất chất cấu tạo từ phân tử nhỏ Trong Toán học toán bắt nguồn từ chi tiết nhỏ nhặt, toán đơn giản Đối với học sinh bậc THCS việc tiếp thu mơn hình học cịn gặp nhiều khó khăn.Vì để học sinh giỏi mơn hình học khơng phải u cầu học sinh nắm vững biết vận dụng toán mà cịn phải biết cách phát triển thành tốn có tầm suy luận cao Cách dạy học hướng đổi giáo dục Có tích cực hóa hoạt động học sinh, khơi dậy khả tự lập, chủ động, sáng tạo học sinh Nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tế, tác động đến tâm lí, tình cảm, đem lại niềm say mê hứng thú học tập cho học sinh Trong q trình giảng dạy mơn tốn bậc THCS, với nhiều năm nghề tơi thấy tình trạng chung học sinh khơng thích chí sợ mơn hình Vì lí khó hiểu, mắc q trình tìm tịi lời giải tốn, phương hướng khơng biết để chứng minh tốn đâu, làm Trong trình giảng dạy mơn hình tiết học người thầy khơng thường xun tạo thói quen, rèn thói quen cho học dùng phương pháp phân tíchđi lên để tìm lờp giải tốn học sinh học sinh khó tiếp thu, khơng tự giải tốn hình Nghiên cứu ngun nhân, tơi thấy có điểm dướiđây: Học sinh chưa nắm khái niệm Sách giáo khoa biên soạn theo hệ thống kiến thứcđường thẳng, không tổng hợp loại, dạng làm cho học sinh khó nắm bắt cách giải toán Trong SGK tốn mẫu thường ít, hướng dẫn gợi ý chưa thật đầy đủ nên khó tiếp thu nghiên cứu Học sinh thường học "Vẹt" định lí quy tắc Trong trường THCS nay, tình hình phổ biến làđạiđa số học sinh khơng thích học mơn hình học Điều theo tơi nghĩ nhiều ngun nhân Nhưng theo tơi giáo viên chưa chuẩn bị cách chu đáo luyện tập, thơng qua củng cố kiến thức cho học sinh, rèn kĩ vận dụng kiến thức vào tập, kĩ trình bày, rèn tính sáng tạo, phát triển tư toán học cho học sinh Như muốn có luyện tập tốt, theo tơi phải lưu ý vấnđề sau: - Chọn hệ thống tập cho luyện tập; - Phải xếp hệ thống câu hỏi từ dễ đến khó (có gợi mở); - Phải tổ chức tốt thể vai trò chủ đạo người thày; Tên sáng kiến: “Phát triển toán từ tập sách giáo khoa” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Đồn Cơng Bộ - Địa tác giả sáng kiến: Trường TH THCS Bạch Lưu, huyện Sông Lô, tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0989.687.361 - E_mail: doancongbo.gvc2bachluu@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Trường TH THCS Bạch Lưu Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Mơn tốn hình học - Bậc THCS Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu:Sau kết thúc năm học 20172018 rút kinh nghiệm thực năm học 2019-2020 Mô tả chất sáng kiến: Như biết, xuất hiện, hình học khoa học vềđo đạc, qua số đối tượng, vật cụ thể thực tiễnđã dần dầnđược khái quát thành khái niệm trừu tượng: Với khái niệm không định nghĩa: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng Từ mơn hình học trở thành môn khoa học suy diễn, tức môn khoa học mà kết luận đúngđắn chứng minh lập luận chặt chẽ không cách qua thực nghiệm môn khoa học thực nghiệm khác Mơn hình học thân mang tính lập luận, tính trừu tượng cao Nhưng để học sinh tiếp thu được, hiểuđược nhiều phải dùng trực quan thơng qua mơ hình, hình vẽ, vật cụ thể,… để học sinh nắm bắt hiểu chất vấn đề Điều q trình tư người tuân theo quy luật Như Lê Nin khẳng định"Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ tư trừu tượng đến thực tiễn, đường biện chứng nhận thức chân lí nhận thức khách quan" Trong trình dạy học mơn Tốn người thầy cần thấm nhuần ngun lí giáo dục: "Học đôi vời hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội" Thơng qua mơn tốn, học sinh tiếp cận tiếp thu môn học tự nhiên khác Bởi dạy mơn Tốn cho học sinh khơng truyền thụ kiến thức cho em mà quan trọng dạy tư Hình học mơn học khó, trừu tượng cao học sinh bậc THCS Trong hình học phẳng nói chung học sinh cảm thấy có nhiều khó khăn Những biện pháp, giải pháp đặt sáng kiến: Từ tập số 20 trang 68 (SGK hình học lớp –Tập -NXB Giáo dục 2008) tập 46 trang 84 SGK Toán Tập 2-NXB giáo dục 2008 sau học sinh làm, thay đổi thành tốn có nội dung sau: Bài tốn 1: Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt O cho AB song song với CD Đường thẳng qua O song song với AB cắt BC I Chứng minh 1   (1) OI AB CD Chứng minh: A Theo giả thiết ta có D AB //CD // OI IB + IC = BC Trong tam giácOICAB IC có: OI //AB nên theo định  (*) lí Ta-lét ta có AB BC O B C I Trong tam giácOIBCD IB có: OI //CD nên theo định  (**) lí Ta-lét ta có CD BC Cộng vế thao vế đẳng thức (*) (**) ta có: OI OI IC IB � IC  IB BC �1    � OI �   1 � AB CD BC BC BC �AB CD � BC � 1   AB CD OI (ĐPCM) Ta thực khai thác toán từ tập cách thêm, bớt: Bài tốn 1.1: Cho hình thang ABCD có AB // CD Gọi O giao điểm hai đường chéo Đường thẳng qua O song song với hai đáy cắt AD BC hai điểm M N Chứng minh O trung điểm MN Nhận xét: Trong toán ta thấy AB // CD AC cắt BD O OM // AB // CD nên theo tốn (1) ta có 1   OM AB CD ON // AB // CD nên theo 1   tốn (1) ta có ON AB CD Từ ta có lời giải sau: 1   (*) OM AB CD Chứng minh: Áp dụng tốn (1) ta có: Từ (*) (**) B A 1   (**) ON AB CD M ta suy 1  � OM  ON OM ON Hay O trung N O D C điểm MN (ĐPCM) Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC Điểm M N hai điểm cạnh AB AC cho MN song song với BC Gọi O giao điểm BN CM, I giao điểm Ao với BC Chứng minh IB = IC Nhận xét: Trong toán ta có hai đoạn thẳng song song MN BC Để sử dụng toán gốc (1) ta phải tạo đường thẳng song song với MN BC giao điểm BN CM Từ ta có lời giải sau: Chứng minh: Qua O vẽ đường thẳng song song với BC, đường thẳng cắt AB AC E F Theo tốn (1) ta A có: M 1 1 1     OE BC MN OF BC MN N O Suy OE = OF Trong tam giác ABI có OE // BI B C I OE AO  Theo định lí Ta-lét ta có: IB AI (*) OF AO  Trong tam giác ACI có OF // CI Theo định lí Ta-lét ta có: IC AI (**) OE OF  � IB  IC Từ (*) (**) ta suy IB IC (ĐPCM) Bài toán 1.3: Cho đoạn thẳng AB đường thẳng d song song với AB Hãy dùng thước tìm trung điểm M AB Nhận xét: Trong toán ta thấy để sử dụng tốn gốc (1) ta phải tạo hai đoạn thẳng song song Từ ta tạo đoạn thẳng song song với AB sau Từ điểm S không thuộc đoạn thẳng AB đường thẳng d vẽ SA SB, hai đường thẳng cắt d hai điểm D E, ta có AB // DE Từ ta vận dụng toán 1.3 sau: (Hệ tốn 1) Chứng minh: Từ điểm S khơng thuộc đoạn thẳng AB đường thẳng d (S không nằm hai đường thẳng AB DE) vẽ SA SB, hai đường thẳng cắt d hai điểm M E Gọi O giao điểm AE BD Đường thẳng SO cắt AB tịa M S D E d O A M B Thật vậy: Theo tốn 1.3 ta có MB = MC hay M trung điểm BC Bài tốn 1.4: Cho góc xOy M điểm nằm góc Dựng đường thẳng qua M cắt Ox Oy hai điểm A B cho 1  MA MB lớn (Trích Đề thi HSG Tốn 8) Nhận xét: Trong toán ta thấy để sử dụng tốn gốc (1) ta phải tạo hai đoạn thẳng song song AM // ON AO cắt MN D (trong ON = MB) Từ D vẽ DH // MA // ON (H � OM) Chứng minh: Phân tích: Giả sử dựng đường thẳng AB thỏa mãn nội dung toán Qua M vẽ đường thẳng song song với Oy cắt Ox D, đường thẳng lấy điểm N cho NO song song với AB Khi tứ giác MNOB hình bình hành � MB = NO Đường thẳng qua D song song với AB cắt OM H x A D N M H B O 1 1     Áp dụng đẳng thức (1) ta có DH MA ON MA MB 1  Do MA MB lớn DH nhỏ Mà D OM cố định nên DH nhỏ DH  OM � AB  OM Cánh dựng: Qua M dựng đường thẳng vng góc với OM, đường thẳng cắt Ox Oy A B Ta đường thẳng cần dựng Chứng minh: 1 1     Theo tốn gốc (1) ta có DH MA ON MA MB 1  Do MA MB lớn DH nhỏ Mà D OM cố định nên DH nhỏ DH  OM � AB  OM y Bài tốn 1.5: Cho góc xOy M điểm cố định nằm tia phân giác góc Một đường thẳng thay đổi qua M cắt Ox Oy A 1  B Chứng minh OA OB khơng đổi Nhận xét: y Trong tốn ta thấy để sử dụng tốn gốc (1) ta phải tạo hai đoạn thẳng song song AC // OB (trong AC = OA) Từ M vẽ MD // AC // OB (D � Ox) Theo tốn gốc (1) ta có B C M O D x A 1 1     MD AC OB OA OB Từ ta có lời giải sau: Chứng minh: Qua A vẽ đường thẳng song song với Oy cắt tia phân giác góc xOy C Đường thẳng qua M song song với AC cắt tia Ox D � � � � Vì O1  O2 (gt) O1  C (so le trong) �O � �C � AOC cân A � OA  AC 1 1 1   �   Áp dụng đẳng thức (1) ta có AC OB MD OA OB MD 1  Do M cố định MD // Oy nên MD không đổi Vậy OA OB khơng đổi (ĐPCM) Bài tốn 2:(Bài tập 46 trang 84 SGK Tốn Tập 2) Trên hình vẽ, tam giác đồng dạng Viết tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng giải thích chúng đồng dạng? a) Phân tích tốn: b) Lời giải: Ta có +) ΔEBH : ΔDCH (g.g) (1) Vì : � � EHB=DHC � � BEH=CDH=90   (gt) (đối đỉnh) +) ΔEBH : ΔDBA (g.g) (2) Vì : B$ chung � � BEH=BDA=90  (gt) EBH : ECA - (g.g) (3) � Vì : B� = C (suy từ (1)) � � BEH = CEA = 90 DCH : DBA - (4) (bắc cầu từ (1) (2)) - DCH : ECA (5) (bắc cầu từ (1) (3)) - DBA : ECA (6) (bắc cầu từ (2) (3)) Khai thác toán:  Từ kết (1) (của toán 2): � ΔEBH : ΔDCH BH EH  � BH DH  CH EH CH DH Ta có tốn sau: Bài tốn 1.1: Cho tam giác nhọn ABC BD,CE hai đường cao cắt H Chứng minh rằng: HB.HD = HC.HE Giải: Ta có � EBH : DCH (g.g) (theo (1) toán 1) BH EH  � BH DH  CH EH CH DH (đpcm) Bài toán 1.2: Cho tam giác nhọn ABC AF, BD, CE đường cao cắt H Chứng minh rằng: HA.HF=HB.HD=HC.HE (Giải tương tự toán 1.1- HS nhà tự giải) Bài toán 1.3: Cho tam giác nhọn ABC BD, CE hai đường cao cắt H Chứng minh rằng: HBC : HED Giải: Ta có EBH : DCH � Xét (g.g) (theo (1) toán ( 1)) BH EH BH CH  �  CH DH EH DH HBC HED BH CH  EH DH có (chứng minh trên) � � BHC = EHD (đối đỉnh) Suy HBC : HED (c.g.c)  Từ kết (2) (của tốn 3): EBH : DBA ta có tập sau: Bài toán 2.1: Cho tam giác nhọn ABC BD CE hai đường cao cắt H Chứng minh rằng: BH.BD = BE.BA Giải: Ta có � EBH : DBA (g.g) (theo (2) toán ( 1)) BE BH  � BD.BH  BE.BA BD BA (đpcm) Bài toán 2.2: Cho tam giác nhọn ABC.BD CE hai đường cao cắt H Chứng minh rằng: BH BD  CH CE  BC Giải: Nối A với H, kéo dài tia AH cắt BC F ta đường cao AF Ta có: � BFH : BDC BH BF  � BH BD  BC.BF BC BD Tương tự ta có: � (g.g) (chứng minh tương tự (2) toán ( 1)) CHF : CBE (1) (g.g) CH CF  � CH CE  CB.CF CB CE (2) Từ (1) (2) suy ra: BH BD  CH CE  BC BF  BC.CF  BC ( BF  CF )  BC (Vì ABC nhọn nên F nằm B C) hay BH BD  CH CE  BC (đpcm) Bài toán 2.2.1: Cho tam giác nhọn ABC AF, BD, CE đường cao cắt H Chứng minh rằng: AB  AC  BC AH.AF  BH.BE  CH.CF  Giải: Từ kết toán 2.2 ta AH.AF + BH.BD = AB2 (1) AH.AF + CH.CE = AC (2) BH BD  CH CE  BC (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: � 2(AH.AF + BH.BD + CH.CE ) = AB2 +AC +BC � AH.AF  BH.BD  CH.CE  AB2  AC  BC 2 (đpcm) Bài tốn 3: Cho hình bình hành ABCO Kẻ CE  AB E, CF  AO F, Kẻ 10 OH  AC H, kẻ BK  AC K a) Tứ giác OHBK hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CE.CO = CB.CF c) Chứng minh : AB.AE + AO.AF = AC2 (Bài 258 sách Nâng cao Phát triển Toán tập 2) Giải: a) Dễ thấy tứ giác OHBK hình bình hành � � � � b) Ta có ABC = AOC nên suy CBE = COF � CBE : COF � (g.g) CE CF = � CE.CO=CB.CF CB CO c) Ta có AOH : ACF (g.g) (theo (2) toán 1) � AO AH = � AO.AF=AC.AH AC AF (1) Tương tự ta có:  ABK :  ACE � (g.g) AB AK = � AB.AE=AC.AK AC AE (2) Từ (1) (2) suy AO.AF+AB.AE=AC.AH+AC.AK=AC(AH+AK) (3) Xét  AOH  CBK có: � � AHO = CKB (= 900) AO = BC (tính chất hình bình hành) �  BCK � OAH (so le trong) Suy ra:  AOH =  CBK (cạnh huyền-góc nhọn) � AH  CK (cạnh tương ứng) thay vào (3) ta có � AO.AF+AB.AE=AC(CK+AK)=AC.AC=AC 11 +) Từ kết tập trên: DBA : ECA cho phép ta giải toán sau: Bài toán 3.1: Cho tam giác nhọn ABC BD, CE hai đường cao cắt H Chứng minh rằng: AE.AB =AD.AC Giải: Ta có � DBA : ECA (g.g) (theo (6) toán 1) AD AB  � AD.AC  AE AB AE AC (đpcm) Bài toán 3.2: Cho tam giác nhọn ABC AF, BD, CE đường cao cắt H Chứng minh rằng: 1) AD.AC = AH.AF = AE.AB 2) CD.CA = CH.CE = CF.CB 3) BF.BC = BH.BD = BE.BA Giải: Từ kết tốn 2.1 ta có AH.AF = AE.AB (1) Từ kết tốn 3.1 ta có AE.AB = AD.AC (2) Từ (1) (2) suy AD.AC= AH.AF= AE.AB (đpcm) Chứng minh tương tự ta hai đẳng thức 2) 3) Bài toán 3.3: Cho tam giác nhọn ABC AF, BD, CE đường cao cắt H 12 Chứng minh rằng: BE.BA + CD.CA = BC2 viết hai hệ thức tương tự Giải: Theo kết 2.2: BH.BD + CH.CE = BC2 (1) Mà theo kết toán 3.2: BH.BD = BE.BA CH.CE = CD.CA Thay vào (1) ta được: BE.BA + CD.CA = BC2 (đpcm) Hai hệ thức tương tự: AE.AB + CF.CB = AC2 AD.AC + BF.BC = AB2 Bài toán 3.4: Cho tam giác nhọn ABC BD, CE hai đường cao Chứng minh rằng: ADE : ABC Giải: Ta có � ADB : AEC (g.g) (theo (6) toán 1) AD AB AD AE  �  AE AC AB AC Xét  ADE  ABC có : AD AE  AB AC (chứng minh trên) �A chung Suy ADE : ABC (c.g.c) (đpcm) Những thông tin cần bảo mật: không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Về kinh phí: 250.000đ 13 - Cơ sở vật chất phục vụ thực sáng kiến: SGK toán 8, sách tập toán 8, sách nâng cao toán lớp - Về người: Học sinh khối lớp Trường TH THCS Bạch Lưu 10 Kết đạt được: Sau học xong toán học sinh có kỹ làm tốn cách hợp lý , em nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác Từ kích thích tị mị, sáng tạo, ham học hỏi, khám phá lạ học tập mơn Tốn nói riêng mơn khoa học khác nói chung Đặc biệt nhiều em học sinh vận dụng phương pháp khai thác toán cách hợp lý nên taọ nhiều toán hay ,bài tốn khó có lời giải độc đáo Sau áp dụng sáng kiến vào dạy học có chuyển biến rõ rệt; đặc biệt em có học lực từ trung bình trở lên; em chịu khó suy nghĩ, tìm tịi, lời giải mạch lạc Như sau áp dụng số lượng HS giải theo mức độ có thay đổi đáng kể Đặc biệt em giải từ 50% trở lên tăng rõ rệt Những hạn chế: Ngoài kết đạt nêu trình thực áp dụng kinh nghiệm vào việc hướng dẫn giảng dạy cho học sinh thấy hạn chế sau : - Số lượng tốn cịn nên việc hình thành kỹ vận dụng chuyên đề cịn hạn chế - Các tốn khó nên chuyên đề áp dụng học sinh ,giỏi Bài học kinh nghiệm: Để đạt hiệu cao dạy học mơn Tốn, giáo viên phải có phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh.Muốn có có phương pháp tốt đòi hỏi người thầy phải thường xuyên học hỏi, tự bồi dưỡng kiến thức cho Đồng thời phải trang bị cho học sinh ý tưởng giải toán, sau rèn luyện kỹ trình bày lời giải 14 Nội dung tập phát triển phải theo trình tự logic từ dễ đến khó Học sinh phải có thời gian tự học, trao đổi, tự tìm tịi lời giải, tự phân tích phát triển toán theo nhiều hướng khác Kết quả: Trong trình trang bị cho học sinh phương pháp giải tốn hình học với cách tiếp cận đề tài thấy học sinh say mê học tập thực phát huy tính tị mị, sáng tạo, tích cực học tập học sinh Cụ thể :Sau học sinh giáo viên truyền đạt nội dung đề tài học sinh tiếp thu nhanh, vận dụng tốt đặc biệt số học sinh giỏi Kết áp dụng sáng kiến sau : Số h/s Số h/s giải Số h/s có cách giải chưa hợp lý Số h/skhông giải 29 Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ 26 89,6% 6,9% 3,4% 11 Danh sách học sinh tham gia áp dụng áp dụng sáng kiến: Stt Họ tên học sinh Lớp Địa Lĩnh vực áp dụng 15 Vũ Hồng Anh 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học Lê Thị Vân Anh 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học Nguyễn Xuân Bắc 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học Đào Xuân Chiến 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học Đỗ Văn Chuẩn 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học Nguyễn Quốc Dân 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học Đỗ Thị Thuỳ Dương 16 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học Nguyễn Tùng Dương 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học Nguyễn Vũ Đức 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 10 Hà Mạnh Giang 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 11 Nguyễn Tuấn Khanh 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 12 Dương Đặng Quốc Khánh 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 13 Nguyễn Nam Khánh 8A 17 Trường THCS Bạch Lưu Hình học 14 Khương Thị Ngọc Lan 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 15 Vũ Khánh Linh 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 16 Nguyễn Thị Ly 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 17 Trần Thu Mai 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 18 Đỗ Tiến Mạnh 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 19 Nguyễn Thị NgaB 8A Trường THCS Bạch Lưu 18 Hình học 20 Trần Thị Thu Phượng 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 21 Hà Thị Quyên 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 22 Ngơ Văn Quyết 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 23 Dương Văn Sáng 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 24 Nguyễn Thế Tài 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 25 Nguyễn Xuân Thịnh 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 19 26 Trần Văn Thọ 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 27 Hà Trần Tiến 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 28 Trần Thị Huyền Trang 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học 29 Lưu Thị Yên 8A Trường THCS Bạch Lưu Hình học Bạch Lưu, ngày17 tháng 06 năm 2020 HIỆU TRƯỞNG (Ký tên, đóng dấu) Sơng Lơ, ngày tháng năm 2020 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG 20 Bạch Lưu, ngày17 tháng 06 năm 2020 TÁC GIẢ (Ký, ghi rõ họ tên) Đồn Cơng Bộ 21 ... thống câu hỏi từ dễ đến khó (có gợi mở); - Phải tổ chức tốt thể vai trò chủ đạo người thày; Tên sáng kiến: ? ?Phát triển toán từ tập sách giáo khoa? ?? Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Đồn Cơng Bộ - Địa... đặt sáng kiến: Từ tập số 20 trang 68 (SGK hình học lớp ? ?Tập -NXB Giáo dục 2008) tập 46 trang 84 SGK Toán Tập 2-NXB giáo dục 2008 sau học sinh làm, thay đổi thành tốn có nội dung sau: Bài tốn 1:... Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Về kinh phí: 250.000đ 13 - Cơ sở vật chất phục vụ thực sáng kiến: SGK toán 8, sách tập toán 8, sách nâng cao toán lớp - Về người: Học sinh khối lớp