(Sáng kiến kinh nghiệm) phương pháp giải bài toán về số phức

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN LỜI GIỚI THIỆU Số Phức vấn đề lớn tốn học đại trình bày chương trình sách giáo khoa lớp 12 Tuy nhiên thời lượng phân phối nên học sinh tiếp cận với nội dung mà chưa mở rộng khai thác cách chuyên sâu, đặc biệt lại phần kỳ thi lớn em học sinh chuẩn bị thi để bước vào trường đại học Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung đáp ứng cách thức thi trắc nghiệm áp dụng kì thi THPTQG, để học sinh dễ dàng tự tin gặp số toán liên quan đến số phức Đề tài cung cấp cho học sinh tài liệu chuyên sâu, bổ ích thiết thực Đề tài viết dựa tư tưởng hoàn toàn mẻ, khoa học phù hợp với thay đổi Giáo dục Trong sáng kiến kinh nghiệm nội dung tác giả sâu vào dạng toán số phức nâng cao, đặc biệt cách sử dụng MTCT để giải toán trắc nghiệm, khai thác cách giải vận dụng dạng toán liên quan đến số phức Nội dung trình bày có tính sư phạm sáng tạo, tận dụng đầy đủ mạnh phương pháp giải toán, tập xếp theo mức độ tăng dần Hy vọng phù hợp em học sinh phổ thông TÊN SÁNG KIẾN Đề tài chọn là: “Phương pháp giải toán số phức ” TÁC GIẢ SÁNG KIẾN - Họ tên: Nguyễn Thị Hồng Phương - Địa chỉ: Trường THPT Trần Phú - Số điện thoại: 0977.948.863 Email: nguyenthihongphuong.phttranphu@vinhphuc.edu.vn CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN Nguyễn Thị Hồng Phương – Phó Hiệu trưởng trường THPT Trần Phú - Thành phố Vĩnh Yên - Tỉnh Vĩnh Phúc LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Luyện thi học sinh ơn thi THPT QG mơn Tốn lớp 12 NGÀY BẮT ĐẦU ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Tháng năm 2018 áp dụng cho lớp 12 niên khóa 2015 – 2018 trường THPT Trần Phú MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN Nội dung đề tài: Đề tài gồm hai chương CHƯƠNGI: CƠ SỞ LÝ LUẬN- CÁC DẠNG TỐN VỀ SỐ PHỨC Trong chương Tác giả trình bày lý thuyết số phức Với cách phát biểu tính chất để giúp giáo viên học sinh có tư hướng suy nghĩ để làm tập vận dụng vào tốn; Các ví dụ điển hình phương pháp giải: Dạng 1: Các phép toán trường số phức Dạng 2: Giải phương trình bậc hai tập số phức Dạng Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Dạng 4.( Chương trình nâng cao) Dạng lượng giác số phức ứng dụng CHƯƠNG II: PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN VỀ SỐ PHỨC Trong chương - Tác giả trình bày sai lầm học sinh thường mắc phải hướng khắc phục - Các dạng tốn trắc nghiệm khách quan có đáp án dạng tập tự luận có hướng dẫn Thông qua tập xây dựng chọn lọc từ đề thi thử THPTQG, với hướng dẫn cách trình bày chi tiết giúp giáo viên học sinh có hướng tiếp cận với dạng tốn đề thi, có hướng giải tốt giải toán loại CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN- CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC I Kiến thức Định nghĩa: Số phức số có dạng z = a + bi (a, b ∈ R) , i đơn vị ảo, tức i = −1 a gọi phần thực z, kí hiệu a = Re z b gọi phần ảo z, kí hiệu b = imz Tập hợp số phức kí hiệu C Các phép toán số phức: +) Cho z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i +) z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i +) z1 − z2 = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) i +) z1.z2 = ( a1 + b1i ) ( a2 + b2i ) = a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i = a1a2 − b1b2 + (a1b2 + a2b1 )i +) z1 ( a1 + b1i ) ( a + b i ) ( a2 − b2i ) = a1a2 − b1b2 + (a2b1 − a1b2 )i = = 1 z2 ( a2 + b2i ) ( a2 + b2i ) ( a2 − b2i ) a22 + b22 Mô đun số phức, số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Khi : +) Đại lượng 2 a + b gọi môđun z Kí hiệu z = a + b +) Số phức z = a − bi gọi số phức liên hợp z +) Định nghĩa: Cho số phức z = a + bi Căn bậc hai số phức z số phức z1 = a1 + b1i thỏa mãn z12 = z II Kiến thức mở rộng nâng cao Các tính chất z  z +) ∀z1 , z2 ∈ £ : z1 + z2 = z1 + z2 ; z1.z2 = z1.z2 ;  ÷ = , ( z2 ≠ )  z2  z2 + ) z = z z ; z = z ; z = ⇔ z = +) ∀z1 , z2 ∈ £ : z1.z2 = z1 z2 ; z z1 = , ( z2 ≠ ) z2 z2 +) ∀z1 , z2 ∈ £ : z1 + z2 ≤ z1 + z2 ; z1 − z2 ≤ z1 − z2 Dạng lượng giác số phức + Xét số phức dạng đại số: z = a + bi  a Ta có z = a + b   a +b  a Nhận xét  2  a +b Đặt cosϕ = a a2 + b 2  i ÷ ÷ a2 + b  b + 2   b ÷ + ÷    a +b ;sin ϕ =  ÷ =1 ÷  b a2 + b ; Khi z = a + b (cosϕ +sinϕ )=r(cosϕ +isinϕ ) (*) (r = z = a2 + b ) (*) Gọi dạng lượng giác số phức z, ϕ gọi acgumen z Nhận xét: Nếu ϕ acgumen z ϕ + k 2π acgumen z + Nhân chia số phức dạng lượng giác Cho z1 = r1 (cosϕ1 +isinϕ1 ); z = r2 (cosϕ +isinϕ ) Khi z1z = r1r2 [cos(ϕ1 +ϕ )+isin(ϕ1 +ϕ2 )] z1 r1 = [cos(ϕ1 − ϕ )+isin(ϕ1 − ϕ2 )] z r2 Đặc biệt với z = r (cosϕ +isinϕ ) ⇒ z = r (cos2ϕ +isin2ϕ ) z = r (cos3ϕ +isin3ϕ ) z n = r n (cosnϕ +isinnϕ ) (**) (**) gọi công thức moavơrơ III Các dạng tập ví dụ điển hình Dạng 1: Các phép tốn trường số phức Ví dụ 1: (BT3 sgk trang 138) thực phép tính: 2i ( + i ) ( + 4i ) Lời giải: 2i ( + i ) ( + 4i ) = ( 6i − ) ( + 4i ) = 12i − 24 − − 8i = −28 + 4i Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay ( 570 ES plus II) + Mode + Nhập biểu thức: 2i ( + i ) ( + 4i ) = kết quả: -28+4i Ví dụ Cho z1 = + i, z2 = − i Tính z1 + z1 z2 Lời giải: z1 + z1z2 = + i + ( + i ) ( − i ) = 10 = 10 + 0i ⇒ z1 + z1 z2 = 102 + 02 = 10 Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode + Nhập biểu thức:shift +hyp + i + (3 + i)(2 − i ) = kết quả: 10 Ví dụ (Bài 4.3 BT giải tích 12 nâng cao) tìm nghiệm phức phương trình sau: 2+i −1 + 3i z= 1− i 2+i Lời giải: z = −1 + 3i − i + 4i (2 + 4i)(3 − 4i) 22 = = = + i + i + i + 4i 25 25 25 Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode + Nhập biểu thức: −1 + 3i − i 22 + i = kết quả: 2+i 2+i 25 25 Ví dụ Tìm số phức z biết z + z = ( − i ) ( − i ) (1) Lời giải: Giả sử z = a + bi, ∀a, b ∈ ¡ ⇒ z = a − bi (1) ⇔ a + bi + 2(a − bi ) = (23 + 3.22 i + 3.2i + i )(1 − i) ⇔ a + bi + 2a − 2bi = (8 + 12i − − i )(1 − i ) = (11i + 2)(1 − i) 13  3a = 13 13 a = ⇔ ⇒ z = − 9i ⇔ 3a − bi = 11i − 11i + − 2i = 13 + 9i ⇔  −b =  b = −9 Nhận xét: Các tập tìm z mà giả thiết có z , z, z n , n ∈ ¥* Ta giả sử z = a + bi, ∀a, b ∈ ¡ Rồi xây dựng hệ ẩn a,b giải Lúc máy tính hỗ trợ phép tính khơng chứa ẩn Ví dụ Tìm phần ảo z biết: z + z = ( + i ) ( − i ) (1) Lời giải: Giả sử z = a + bi, ∀a, b ∈ ¡ (1) ⇔ a + bi + 3a − 3bi = ( + 12i + 6i + i ) ( − i ) = ( + 11i ) ( − i ) ⇔ 4a − 2bi = − 2i + 22i − 11i = 20i + 15 ⇔ a = 15 ; b = −10 Vậy phần ảo z -10 Ví dụ (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i ) z + 2(1 + 2i ) = + 8i (1) Tìm môđun 1+ i số phức ω = z + + i Lời giải: Giả sử z = a + bi, ∀a, b ∈ ¡ (1) ⇔ (2 + i )(a + bi ) + ⇔ 2a + 2bi + + bi + 2(1 + 2i) = + 8i 1+ i 2(1 + 2i )(1 − i ) = + 8i + i2  2a − b + = a = ⇔ ⇔ 2a + 2bi + − bi + − i + 2i − 2i = + 8i ⇔  2b + a + = b = Do ω = + 2i + + i = + 3i ⇒ ω = 16 + = Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode   2(1 + 2i )   ÷ :(2 + i ) = kết quả: + 2i  + i  + Nhập biểu thức tìm z: 7 + 8i −   + Nhập biểu thức tìm modun w: shift +abs + 2i + + i = kết quả: Ví dụ (A-2011) Tìm tất số phức z, biết z = z + z (1) Lời giải: Giả sử z = a + bi, ∀a, b ∈ ¡ (1) ⇔ ( a + bi ) = a + b + a − bi ⇔ a + b 2i + 2abi = a + b + a − bi 1  a = − ; b =  2b + a =  ⇔ 2b + a − bi − 2abi = ⇔  ⇔ b = 0; a = b + 2ab =  −1 −1 a = ; b = 2  Vậy z = 0; z = −1 −1 + i; z = − i 2 2 Ví dụ Tìm số nguyên x, y cho số phức z = x + iy thỏa mãn z = 18 + 26i   x − xy = 18 ( x + iy ) = 18 + 26 i ⇔ Lời giải: Ta có   3 x y − y = 26 ⇒ 18(3 x y − y ) = 26( x − xy ) Giải phương trình cách đặt y = tx ta t = ⇒ x = 3, y = Vậy z=3+i Dạng 2: Giải phương trình bậc hai tập số phức Xét phương trình az + bz + c = 0( a, b, c ∈ C ; a ≠ 0) Cách giải Tính ∆ = b − 4ac Gọi ± k bậc hai ∆ , nghiệm phương trình là: z = −b − k −b + k ,z= 2a 2a Đặc biệt b=2b’, ta tính ∆ ' Gọi ± k ' bậc hai ∆ ' , nghiệm phương trình là: z = −b '− k ' −b '+ k ' ,z= a a Chú ý: Cách tìm bậc hai số phức (Dành cho chương trình SGK nâng cao 12) Ví dụ 9: (ví dụ SGK giải tích 12 trang 140) Giải phương trình sau tập số phức : z + z + = Lời giải: ∆ ' = 12 − = −3 = 3i ⇒ bậc hai ∆ ' ±i Vậy nghiệm phương trình là: z1 = −1 + 3i −1 − 3i , z2 = 2 Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode ( Chọn chức giải phương trình bậc hai ) + Nhập a=1, b=1,c=1 kết quả: z1 = −1 + 3i −1 − 3i , z2 = 2 Ví dụ 10 Cho phương trình trường số phức: z + z + = Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình tìm: w=2z1 + z2 Lời giải: ∆ ' = 22 − = −3 = 3i ⇒ bậc hai ∆ ' ±i Nghiệm phương trình là: z1 = −2 + 3i, z2 = −2 − 3i Vậy w là: w = 2(−2 + 3i ) + ( −2 − 3i) = −6 + 3i Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode ( Chọn chức giải phương trình bậc hai ) + Nhập a=1, b=4,c=7 kết quả: z1 = −2 + 3i, z2 = −2 − 3i + Tìm w Mode Nhập biểu thức: w = 2(−2 + 3i) + (−2 − 3i) = kết quả: w − + 3i Ví dụ 11 (Chương trình nâng cao) Tìm bậc hai số phức z = + 12i Lời giải: Giả sử a+bi (a; b∈ R) bậc hai z Ta có: (a + bi) = + 12i ⇔ a + 2abi + b 2i = + 12i ⇔ a + 2abi − b = + 12i a − b = 5(1) a − b =  ⇔ ⇔ Thay (2) vào (1) ta có: a = (2) 2ab = 12  b  2 6  ÷ − b = ⇔ 36 − b = 5b b ⇔ b + 5b − 36 = ⇔ b = 4; b = −9(loai ) b = ⇒ a = ⇒ Vậy z có hai bậc hai 3+2i -3-2i b = −2 ⇒ a = −3 Ví dụ 12: (Chương trình nâng cao) Tìm bậc hai số phức z = −164 + 48 5i Lời giải: Giả sử m + ni (m; n∈ R) bậc hai z Ta có: (m + ni ) = −164 + 48 5i ⇔ m2 + 2mni − n = −164 + 48 5i m − n = −164(1)  m − n = −164  ⇔ ⇔ Thay (2) vào (1) ta có: 24 n = (2)  2mn = 48  m  m2 − ( 24 ) = −164 ⇔ m + 164m − 2880 = ⇔ m = 16; m = −180(loai ) m m = ⇒ n =  Vậy z có hai bậc hai + 5i, − − 5i  n = −4 ⇒ m = −6 Ví dụ 13 (chương trình nâng cao) Giải phương trình: z − (3i + 8) z + 11i + 13 = Lời giải: ∆ = (3i + 8) − 4(11i + 13) = 4i + Giả sử m+ni (m; n∈ R) bậc hai ∆ Ta có: (m + ni ) = + 12i ⇔ m + 2mni + n 2i = + 4i ⇔ m + 2mni − n = + 4i m − n = 3(1) m2 − n =  ⇔ ⇔ Thay (2) vào (1) ta có: 2mn = n = (2) m  m2 = m = ⇒ n = 2 m −  ÷ = ⇔ m − 3m − = ⇔   m  m = −1(loai)  m = −2 ⇒ n = −1 Vậy ∆ có hai bậc hai 2+i -2-i Do nghiệm phương trình  3i + + i + = 2i + z =   z = 3i + − i − = i +  Ví dụ 14 giải phương trình: z + z + (4 + i) z + + 3i = (1) Lời giải: Dễ thấy z = -i nghiệm (1) nên (1) ⇔ ( z + i)( z + (4 − i) z + − 3i) = z + i = ⇔  z + (4 − i) z + − 3i = 0(2) Giải (2): ∆ = (4 − i ) − 12 + 12i = 16 − − 8i − 12 + 12i = + 4i = + 2.2.i + i = (2 + i) Vậy ∆ có hai bậc hai là: 2+i -2-i Do nghiệm (2)  −4 + i + + i = −1 + i z =  Vậy (1) có nghiệm –i, -3, -1+i  z = −4 + i − − i − = −3  Ví dụ 15 Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: 2 ( + i ) z − ( − i ) z − − 3i = Tính z1 + z2 Lời giải: Ta có ∆ ' = ( − i ) + ( + i ) ( + 3i ) = 16 Vậy phương trình có hai 2 2 nghiệm phức z1 = − i, z2 = − − i Do z1 + z2 = Dạng Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Cách giải: Giả sử z = a + b i ; thay vào giả thiết, tìm hệ thức a b Từ suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z Ví dụ 16 ( Bài 16b sgk giải tích 12 trang 148) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn bất đẳng thức z −i ≤1 Lời giải: Giả sử z = a + ib ( a, b ∈ R ) , a + bi − i ≤ ⇔ a + ( b − 1) ≤ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình trịn tâm (0;1), bán kính Ví dụ 17 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u = z + + 3i số z −i ảo Lời giải: Giả sử z = a + ib ( a, b ∈ R ) , u= a + + bi + 3i (a + + (b + 3)i )(a − (b − 1)i ) = a + (b − 1)i a + (b − 1) Tử số a + b + 2a + 2b − + 2(2a − b + 1)i u số ảo  a + b + 2a + 2b − = (a + 1) + (b + 1) = ⇔ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số   2a − b + ≠ (a; b) ≠ (0;1), ( −2; −3) phức z đường trịn tâm I (−1; −1) , bán kính , khuyết điểm (0;1) (-2;3) Ví dụ 18 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: z + − 3i = 1(*) z −4+i Lời giải: Giả sử z = a + bi (*) ⇔ a + + (b − 3)i = x − − (b − 1)i ⇔ (a + 2) + (b − 3) = (a − 4) + (b − 1) ⇔ 3a − b − = Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình 3x-y1=0 Dạng 4.( Chương trình nâng cao) Dạng lượng giác số phức ứng dụng Ví dụ 19 Viết số phức sau dạng lương giác: z = − i  i π π  −π −π    − ÷ =  cos − sin i ÷ =  cos − i sin ÷ 6  6     2 Lời giải: z =   Ví dụ 20 Tìm acgumen số phức: z =  sin  π π − icos ÷ 5 Lời giải π π π π  3π 3π  −3π −3π     z =  cos( − ) − i sin( − ) ÷ =  cos − i sin ) + i sin( )÷ ÷ =  cos( 5  10 10  10 10     ⇒ acgumen z −3π + k 2π 10 Ví dụ 21 Cho z = + 2i Tìm dạng đại số z 2012 10   π π    + i ÷= 2  + i ÷ = 2  cos + i sin ÷ 4   2 2   Lời giải: z = 2  Áp dụng cơng thức moavơrơ ta có: z 2012 = (2 2) 2012 (cos 2012π 2012π + i sin ) = (2 2) 2012 (−1 + i.0) = −(2 2) 2012 4 Ví dụ 22 (B-2012) Gọi z1 ; z2 nghiệm phức phương trình: z − 3iz − = , Viết dạng lượng giác z1 ; z2 Lời giải: z − 3i.z − = , ∆ = 3i + = − = , z1 = 3i − 1; z2 = 3i +  −1  2π 2π  z1 =  + i ÷ =  cos + isin  3   1  π π   i ÷ =  cos + isin ÷ ÷; z2 =  + 3   2  CHƯƠNG II: CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC I Những sai lầm thường gặp hướng khắc phục Học sinh không học kiến thức mà phụ thuộc vào máy tính cầm tay Nên tốn số phức có lũy thừa lơn bậc phép toán khai bậc máy tính khơng làm dẫn đến việc lúng túng định hướng giải Ví dụ1: Cho phương trình trường số phức: z + z + = 12 Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình tìm: w=2z1 + ( z2 ) Lời giải Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode ( Chọn chức giải phương trình bậc hai ) + Nhập a=1, b=4,c=7 kết quả: z1 = −2 + 3i, z2 = −2 − 3i + Tìm w Mode Nhập biểu thức: w = 2(−2 + 3i) + (−2 − 3i)12 = máy tính khơng cho kết Khắc phục: Nhập biểu thức: w = 2(−2 + 3i) + ( −2 − 3i)3 (−2 − 3i)3 (−2 − 3i) = Học sinh nhầm kí hiệu modul thành trị tuyệt đối nên không định hướng giải Ví dụ2: Trên trường số phức tìm x để: | x+2i| = |5| 11  x + 2i =  x = − 2i ⇔  x + 2i = −5  x = −5 − 2i Lời giải:  Vậy x=-5-2i, x=5-2i Khắc phục: Lời giải tưởng sai học sinh nhầm kí hiệu Lời giải đúng: x + 2i = ⇔ x + = 25 ⇔ x = 21 ⇔ x = ± 21 Vậy x = ± 21 Học sinh nhầm lẫn khái niệm đường trịn hình trịn kết luận tốn tập hợp điểm biểu diễn số phức Phân tích Ví dụ 17.( Bài 16b sgk giải tích 12 trang 148) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn bất đẳng thức z − i ≤ Lời giải: Giả sử z = a + ib ( a, b ∈ R ) , a + bi − i ≤ ⇔ a + ( b − 1) ≤ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm (0;1), bán kính 1( kết luận sai) Kết luận đúng: Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình trịn tâm (0;1), bán kính II Bài tập trắc nghiệm tự luận Bài tập trắc nghiệm Bài tập trắc nghiệm dạng 1: 3− 4i bằng: 4− i 16 13 16 11 A − i B − i C − i 17 17 15 15 5 3+ 2i 1− i + Câu Thu gọn số phức z = ta được: 1− i 3+ 2i 21 61 23 63 15 55 A z = + i B z = + i C z = + i 26 26 26 26 26 26 Câu Cho số phức z = − + i số phức ( z )2 bằng: 2 3 A − − i B − + i C 1+ 3i 2 2 Câu Cho số phức z = z = − + i số phức 1+ z + z2 bằng: 2 A − + i B − 3i C 2 Câu1 Số phức z = 12 D 23 − i 25 25 D z = + i 13 13 D − i D Câu Cho số phức z = a+ bi Khi số phức A Một số thực B ( ) z + z là: C số thực D i Câu Phần thực số phức z thỏa mãn ( + i ) ( − i ) z = + i + ( + 2i ) z là: A −6 B −3 D −1 C Câu Mô đun số phức z = + 2i − ( + i ) là: A B C D Câu Có số phức thỏa mãn phương trình z = z + z : A B C D Câu Cho hai số phức z1 = + i, z2 = − i Giá trị biểu thức z1 + z1 z2 là: A C −10 B 10 D 100 Câu 10 Phần ảo số phức z thỏa mãn z + z = ( − i ) ( − i ) là: B −13 A 13 C −9 D Câu 11 Cho hai số phức thỏa z1 = + 3i, z2 = + i Giá trị biểu thức z1 + 3z2 là: A B C 61 D 55 Câu 12 Số phức z thỏa mãn phương trình z + 3z = ( − 2i ) ( + i ) là: A z = 11 19 − i 2 B z = 11 − 19i C z = 11 19 + i 2 D z = 11 + 19i Câu 13 Phần ảo số phức z thỏa phương trình z + 3z = ( + i ) ( − i ) là: A 10 B −10 C 15 D − 15 5( z + i) = − i Môđun số phức ω = + z + z là: Câu 14 Cho số phức z thỏa mãn z +1 A B C 13 D 13 2(1 + 2i ) = + 8i Mô đun số phức Câu 15 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i ) z + 1+ i ω = z + + i là: A B C 13 D Câu 16 Môđun số phức z thỏa mãn phương trình (2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i ) = − 2i là: A 3 B C D Câu 17 Cho ( x + 2i ) = 3x + yi; x, y ∈ R Giá trị x y bằng: A x = y = x = y = B x = -1 y = -4 x = vµ y = 16 C x = y = x = y = -4 D x = vµ y = x = y = Cõu 18 Trong C, phơng trình iz + - i = cã nghiƯm lµ: A z = - 2i B z = + i C z = + 2i D z = - 3i Câu 19 Trong C , phơng trình (2 + 3i)z = z - cã nghiƯm lµ: + i 10 10 C z = + i 5 + i 10 10 D z = − i 5 Câu 20 Trong C , phơng trình (2 - i) z - = cã nghiƯm lµ: 4 A z = − i B z = − i 5 5 C z = + i D z = − i 5 5 A z = B z = − Bài tập trắc nghiệm dạng Câu 21 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + z + = Khi z1 + z2 bằng: A 10 B.7 C 14 D 21 Câu 22 Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 A 10 B 15 C 20 Câu 23 Trong C, phương trình z + = có nghiệm là:  z = 2i A   z = −2i  z = 1+ 2i B   z = 1− 2i Câu 24 Trong C, phương trình  z = 1+ i C   z = − 2i D 25  z = + 2i D   z = − 5i = 1− i có nghiệm là: z+1 A z = - i B z = + 2i C z = - 3i D z = + 2i Câu 25 Trong C, phương trình z + 3iz + = có nghiệm là: z = i A   z = −4i  z = 3i B   z = 4i  z = 1+ i C   z = −3i 14  z = − 3i D   z = 1+ i Câu 26 Trong C, phương trình z2 - z + = có nghiệm là:  + 3i z = A   − 3i z =   1+ 3i z = B   1− 3i z =   1+ 5i z = C   1− 5i z =   z = + 5i D   z = − 5i Câu 27 Trong C, phương trình z2 + (1 - 3i)z - 2(1 + i) = có nghiệm là:  z = 3i  z = + 3i  z = 2i z = i A  B  C  D   z = −2 + i z = 2− i  z = −1 + i  z = −2 + 5i Câu 28 Tìm hai số phức biết tổng chúng - i tích chúng 5(1 - i) Đáp số toán là: z = 3+ i  z = + 2i A   z = 1− 2i B   z = − 2i z = 3+ i C   z = 1− 2i  z = 1+ i D   z = − 3i 2 Câu 29 Trong C, phương trình ( z + i ) ( z − 2iz − 1) = có nghiệm là: ( 1− i ) ( −1+ i ) , i 2 3 C ( 1− 2i ) ; ( −2 + i ) ; 4i 2 A , B - i ; -1 + i ; 2i D - 2i ; -15i ; 3i Câu 30 Trong C, phương trình z4 - 6z2 + 25 = có nghiệm là: A ±3 ± 4i B ±5 ± 2i C ±8 ± 5i D ±2 ± i = 2i có nghiệm là: z B ± i C 1± i Câu 31 Trong C, phương trình z + A ( 1± 2) i ( ) ( ) Câu 32 Trong C, phương trình z3 + = có nghiệm là: A -1 ; 1± i B -1; 2± i C -1; 1± i D ( ± 5) i D -1; 5± i Câu 33 Trong C, phương trình z4 + = có nghệm là: A ± ( 1− i ) ; ± ( 1+ i ) B ± ( 1− 2i ) ; ± ( 1+ 2i ) C ± ( 1− 3i ) ;± ( 1+ 3i ) D ± ( 1− 4i ) ;± ( 1+ 4i ) Câu 34 Cho phương trình z2 + bz + c = Nếu phương trình nhận z = + i làm nghiệm b, c là: A b = 3, c = B b = 1, c = C b = 4, c = D b = -2, c = Câu 35 Cho phương trình z + az + bz + c = Nếu z = + i z = hai nghiệm phương trình a, b, c bằng:  a = −4  A b =  c = −4  a =  B b = c =  a =  C b = c =  a =  D b = −1 c =  Bài tập trắc nghiệm dạng Câu 36 Cho số phức z thỏa z − + i = Chọn phát biểu đúng: A Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng B Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Parabol C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính 15 D Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính Câu 37 Cho số phức z thỏa + z = − i Chọn phát biểu đúng: A Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng B Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Parabol C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn D Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Elip Câu 38 Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − i = là: A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một đoạn thẳng D Một hình vng Câu 39 Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1+ 2i = là: A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một đoạn thẳng D Một hình vng Câu 40 Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z2 số thực A Trục hoành (trừ gốc tọa độ O) B trục tung (trừ gốc tọa độ O) C Đường thẳn y = x (trừ gốc tọa độ O) D Đường thẳn y = -x (trừ gốc tọa độ O) Bài tập tự luận Bài tập tự luận dạng Bài Thức phép tính: a (3i + 4) [ (−3 + 2i) − (4 − 7i ) ] b ( − 5i ) ( + i ) − ( 3i + 2i ) d ( −3 + 4i ) + c ( + 4i ) ( − 7i ) − 7i + 5i Bài Tìm phần thực ; phần ảo;mơ đun số phức liên hợp số phức sau: a z1 = (2i − 1) − 3i (i + 1) + 2i b z2 = − 2i − 3i i+2 Bài Tìm phần ảo số phức z, biết: z = ( + i) (1- i) Bài Cho số phức z thỏa mãn: (2 − 3i)z + (4 + i) z = −(1 + 3i) Xác định phần thực phần ảo z Bài Tính mô đun số phưc sau: z1 = (2 + 3i ) + ( −3 + 4i ); z2 = (3 − 2i) ; z3 = (2i − 1) − (3 + i) (1 − 3i)3 Bài Cho số phức z thỏa mãn: z = Tìm mơđun z + iz 1− i Bài Tìm số thực x, y thỏa mãn: x(3 + 5i) + y (1 − 2i )3 = + 14i 16 Bài (A-2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( z + i ) = − i (1) Tính mơđun số phức z +1 ω = + z + z2 Bài tập tự luận dạng 2: Bài Giải phương trình sau: z − z + 11 + i = z + 2(1 − 2i ) z − (7 + 4i ) = Bài 10 Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phương trình z − z − z + z − = tập số phức tính tổng: S = 1 1 + + + z12 z22 z32 z42 z2 Bài 11 Giải phương trình sau tập số phức C: z − z + + z + = (1) Bài tập tự luận dạng Bài 12 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: a + z = i − z b z =3 z −i c z = z − + 4i d z −i =1 z +i e | z − i | = | (1 + i)z | f | z − (3 − 4i) | = Bài 13 Tìm quĩ tích điểm M biểu diễn số phức ω = (1 + i 3) z + biết số phức z thỏa mãn: z − ≤ (1) Bài tập tự luận dạng Bài 14 Tìm acgumen z = − 2i Bài 15.Biết z = − i Tìm dạng đại số z 2012 Bài 16 Cho z1 = − i ; z2 = + 2i Tìm dạng đại số z 20 z15  Bài 17.Tìm acgumen z =  sin  π π − icos ÷ 7  Bài 18.Tìm acgumen z = −3  sin  π π + icos ÷ 5 Bài 19 Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i III Hướng dẫn giải 17 Bài tập trắc nghiệm 1-A 2-C 3-B 4-D 5-A 11-C 12-A 13-B 14-D 15-C 21-D 22-C 23-A 24-D 25-A 31-A 32-A 33-A 34-D 35-A Bài tập tự luận Bài Thức phép tính: a (3i + 4) [ (−3 + 2i) − (4 − 7i ) ] = −55 + 15i 6-C 16-A 26-B 36-D 8-C 18-C 28-C 38-B 9-B 19-B 29-A 39-B 10-C 20-A 30-D 40-B b ( − 5i ) ( + i ) − ( 3i + 2i ) = 12 − 3i d ( −3 + 4i ) + c ( + 4i ) ( − 7i ) = 133 + 169i 7-A 17-B 27-C 37-A − 7i −188 177 = + i + 5i 61 61 Bài Tìm phần thực ; phần ảo;mô đun số phức liên hợp số phức sau: a z1 = (2i − 1) − 3i(i + 1) + 2i = −9i b z2 = − 2i 22 − 3i = − i i+2 5 Bài Phần ảo số phức z − Bài Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Thay vào giả thiết ta giải a=-2; b=5 Vậy phần thực z -2; phần ảo z Bài Hướng dẫn z1 = −1 + 7i = z3 = −11 − 10i = 221 Bài Tìm z = −4 − 4i ⇒ z = −4 + 4i Tìm mơđun z + iz = −8 − 8i = Bài Tìm số thực x, y thỏa mãn: x(3 + 5i ) + y (1 − 2i )3 = + 14i Hưỡng dẫn: Sử dụng khái niệm hai số phức x= 172 −3 ; y= 61 61 Bài (A-2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( z + i ) = − i (1) Tính mơđun số phức z +1 ω = 1+ z + z2 Lời giải: Giả sử z = a + bi, ∀a, b ∈ ¡ (1) ⇔ 5(a − bi + i ) = 2−i a + bi + ⇔ 5a − 5i (b − 1) = 2a + 2bi + − − bi − i ⇔ 3a − − b − i (5b − − 2b + a + 1) = 18 3a − − b = a = ⇔ ⇒ ⇒ z = 1+ i 3b + a − = b = ω = + + i + + 2i − = + 3i ⇒ ω = + = 13 Bài tập tự luận dạng 2: Bài Giải phương trình sau: z − z + 11 + i = z + 2(1 − 2i ) z − (7 + 4i ) = z − 2(2 − i) z + − 8i = z − (2 + i ) z + i + = z − (2 + i) z + (2 + 2i ) z − 2i = Bài 10 Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phương trình z − z − z + z − = tập số phức tính tổng: S = 1 1 + + + z12 z22 z32 z42 Lời giải PT: z − z − z + z − = ⇔ ( z − 1) ( z + ) ( z − z + ) = (1)  z1 =  z = −2 Khơng tính tổng qt ta gọi nghiệm (1)  z3 = + i   z4 = − i 1 1 1 Thay biểu thức ta có: S = z + z + z + z = + + − i + + i = ( ) ( ) z2 Bài 11 Giải phương trình sau tập số phức C: z − z + + z + = (1) Lời giải: Nhận xét z = khơng nghiệm phương trình (1) z ≠ Chia hai vế PT (1) cho z2 ta : ( z + 1 1 ) − ( z − ) + = (2) Đặt t = z − Khi z z z t2 = z2 + 1 − ⇔ z + = t + Phương trình (2) có dạng : z z ∆ = − + 3i − 3i + 3i = −9 = 9i Vậy PT (3) có nghiệm t = , t= Với t = ta có 2 2 z− t2 − t + = (3) 1 + 3i = ⇔ z − (1 + 3i ) z − = (4) Có ∆ = (1 + 3i ) + 16 = + 6i = + 6i + i = (3 + i ) z 19 Vậy PT(4) có nghiệm : z = (1 + 3i ) + (3 + i ) (1 + 3i) − (3 + i ) i − = 1+ i , z = = 4 Do PT cho có nghiệm: z=1+i; z=1-i ; z = i −1 −i − ; z= 2 Bài tập tự luận dạng Bài 12 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: a + z = i − z b z =3 z −i c z = z − + 4i d z −i =1 z +i e | z − i | = | (1 + i)z | f | z − (3 − 4i) | = Bài 13 Tìm quĩ tích điểm M biểu diễn số phức ω = (1 + i 3) z + biết số phức z thỏa mãn: z − ≤ (1) Lời giải: Giả sử ω = a + bi Ta có a + bi = (1 + i 3) z + ⇔ z = (1) ⇔ a − + bi a − + (b − 3i ) ⇔ z −1 = 1+ i 1+ i a − + (b − 3)i a − + (b − 3)i ≤2 ⇔ ≤2⇔ 1+ i 1+ i (a − 3) + (b − 3)2 ≤2 ⇔ (a − 3) + (b − 3) ≤ 16 Vậy quĩ tích điểm M biểu diễn số phức hình trịn ( x − 3)2 + ( y − 3) ≤ 16 (kể điểm nằm biên) Bài tập tự luận dạng Bài 14 Tìm acgumen z = − 2i   π π  − i ÷ =  cos − i sin ÷ = Lời giải: z = − 2i =  6   2  −π −π    cos( ) + i sin( ) ÷ 6   Vậy acgumen z −π + k 2π Bài 15 Biết z = − i Tìm dạng đại số z 2012 20 1 3 π π  Lời giải: z = − i =  − i ÷ =  cos − i sin ÷  3  2 −π −π   =  cos( ) + i sin( ) ÷ 3   z 2012 = (2 2) 2012 (cos 2012π 2012π + i sin ) = (2 2) 2012 (−1 + i.0) = −(2 2) 2012 4 Bài 16 Cho z1 = − i ; z2 = + 2i Tìm dạng đại số z 20 z15 Lời giải  π π −π −π     z1 = − i =  − i ÷ =  cos − i sin ÷ =  cos( ) + i sin( ) ÷ 4 4      −20π −20π  10  z120 = ( 2) 20  cos( ) + i sin( ) ÷ = (−1 + i.0) = −210 4     π π  − i ÷ =  cos + i sin ÷ 6   2  z2 = + 2i =  15π 15π 15  z15 + i sin =  cos 6   15 15 20 15 40 ÷ = (0 + i1) = i Suy z z = −2 i   Bài 17.Tìm acgumen z =  sin   Lời giải: z =  sin  π π − i cos ÷ 7 π π − icos ÷ 7 π π π π  5π 5π  −5π −5π     =  cos( − ) − i sin( − ) ÷ =  cos − i sin ) + i sin( )÷ ÷ =  cos( 7  14 14  14 14     ⇒ acgumen z −5π + k 2π 14  Bài 18.Tìm acgumen z = −3  sin   Lời giải: z = −3  sin  π π + icos ÷ 5 π π + icos ÷ 5 π π π π  3π 3π    = −3  cos( − ) + i sin( − ) ÷ = −3  cos + i sin ÷ 5  10 10    ⇒ acgumen z 3π + k 2π 10 21 Bài 19 Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i  π π   − i ÷ = 2  cos − i sin ÷ 4    −π −π   = 2  cos( ) + i sin( ) ÷ 4   Lời giải: z = 2  22 - Về khả áp dụng sáng kiến: Đề tài áp dụng cho niên khóa 2015-2018 trường THPT Trần Phú tiếp tục áp dụng cho lớp 12 trường THPT Trần Phú chương trình ơn thi THPT NHỮNG THÔNG TIN CẦN BẢO MẬT Tài liệu giúp học sinh giáo viên làm tài liệu tham khảo sử dụng rộng rãi luyện thi THPT Quốc gia CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Sáng kiến áp dụng rộng rãi tất đối tượng học sinh ôn thi THPT Quốc gia 10 ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Tài liệu dùng để dạy chuyên đề phần số phức cho giáo viên dạy lớp 12 ôn thi THPT quốc gia DANH SÁCH GIÁO VIÊN ÁP DỤNG TRONG DẠY HỌC PHẦN SỐ PHỨC STT 10 11 12 13 HỌ TÊN CHỮ KÝ Đỗ Thị Thanh Huyền Nguyễn Thị Mai Phương Nguyễn Thị Thu Hồi Trương Minh Hùng Phan Trọng Vĩ Trần Hùng Quân Trần Thị Minh Thảo Quách Thị Phương Thúy Nguyễn Thị Thu Hương Chu Thị Thúy Liễu Nguyễn Thị Thanh Nguyễn Thị Kim Dung Dương Công Huân Vĩnh Yên, ngày 28 tháng 02 năm 2020 Hiệu trưởng Vĩnh Yên, ngày 20 tháng 02 năm 2020 Tác giả sáng kiến Nguyễn Thị Hồng Phương 23 ... pháp giải: Dạng 1: Các phép toán trường số phức Dạng 2: Giải phương trình bậc hai tập số phức Dạng Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Dạng 4.( Chương trình nâng cao) Dạng lượng giác số phức. .. b22 Mô đun số phức, số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Khi : +) Đại lượng 2 a + b gọi môđun z Kí hiệu z = a + b +) Số phức z = a − bi gọi số phức liên hợp z +) Định nghĩa: Cho số phức z =... hướng tiếp cận với dạng tốn đề thi, có hướng giải tốt giải toán loại CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN- CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC I Kiến thức Định nghĩa: Số phức số có dạng z = a + bi (a, b ∈ R) , i đơn vị